I. Moments magnétiques des circuits ; notion de dipôle magnétique. 1 ) Moment magnétique d une distribution de courants.

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1 DIPÔLES AGNÉTIQUES EN ARQS AGNÉTIQUE DIPÔLES AGNÉTIQUES EN ARQS AGNÉTIQUE I omnts magnétiqus ds cicuits ; notion d dipôl magnétiqu 1 ) omnt magnétiqu d un distibution d couants Cas d un cicuit filifom Soit un cicuit filifom pacouu pa un couant d intnsité i(t), évntullmnt vaiabl mais aant mêm valu n tout point du cicuit à un dat donné (cad d l ARQS) C cicuit st pésnté pa un contou fmé C, qui délimit un sufac S (ouvt!) Ointons l contou C pa l couant i : l vctu nomal S st alos pafaitmnt défini (ègl d la main doit) L momnt magnétiqu du cicuit st l vctu, aial comm S : is Notion d dipôl magnétiqu On appll dipôl magnétiqu tout distibution d couants localisés, d momnt magnétiqu non nul t dont ls dimnsions sont ptits vis-à-vis d la distanc à laqull on étudi l champ ainsi céé Ctt étud suppos d tavaill dans l cad d l ARQS pou pouvoi défini l couant i(t) dans l cicuit On nota qu tout distibution d couants pmannts ou lntmnt vaiabls, «vu d loin», st assimilabl à un dipôl magnétiqu ) Rappot gomagnétiqu d l élcton n mécaniqu classiqu Dans l modèl d oh d l atom d hdogèn, l élcton décit un obit ciculai autou d un poton stationnai situé n O L momnt cinétiqu d l élcton pa appot à O s écit L mv En considéant l obit élctoniqu comm un boucl d couant i, on put v attibu à c cicuit l momnt magnétiqu On constat qu L t sont popotionnls suivant la la- tion L L appot nt ls momnts magnétiqu t cinétiqu st donc un constant indépndant d la tajctoi, applé appot gomagnétiqu, noté souvnt m v - O i L L appot gomagnétiqu d l élcton, défini pa classiqu m L, vaut n théoi Quantification du momnt magnétiqu obital ; magnéton d oh En phsiqu quantiqu, l momnt cinétiqu st quantifié Dimnsionnllmnt, un momnt cinétiqu st homogèn à la constant d Planck En fft : 1 [ h] éngi tmps foc longuu tmps L T mass longuu vitss La théoi quantiqu postul qu l momnt cinétiqu L d un sstèm (atoms, moléculs, ions, ) st caactéisé pa un nomb, nti positif ou nul, la nom du momnt cinétiqu étant donné pa h 4 L ( 1), avc où h st la constant d Planck : h 6,66 1 J s La pojction L d L su un diction fi qulconqu (a O) n put pnd qu +1 valus égulièmnt spacés d L m avc m, 1,, 1, pag 1/6

2 DIPÔLES AGNÉTIQUES EN ARQS AGNÉTIQUE La mécaniqu quantiqu pédit actmnt la mêm lation liant l momnt cinétiqu obital d un sstèm t son momnt magnétiqu obital qu cll obtnu n théoi classiqu Ainsi L m soit n tnant compt d la quantification d L m, avc m st applé magnéton d oh, m, où 4 9,7 1 Am ) Aimants pmannts On appll miliu magnétiqus tous ls cops suscptibls d cé un champ magnétiqu pop (pa aimantation spontané pou ls aimants pmannts t/ou pa aimantation induit) Pou déci la matiè aimanté, du moins au nivau macoscopiqu, on fait l hpothès qu tout volum élémntai d possèd un momnt dipolai magnétiqu On définit l vctu aimantation du matéiau comm l momnt dipolai magnétiqu volumiqu s pim n usi n ampè pa mèt (Am -1 ) d st un gandu nivlé, à la fois spatialmnt, n pnant la monn ds momnts magnétiqus élémntais su un volum d dimnsions atomiqus (donc à l échll mésoscopiqu), mais aussi tmpollmnt, pou élimin ls vaiations apids non souhaités On put évalu n odg l momnt magnétiqu volumiqu maimal d un aimant n supposant qu touts ls momnts magnétiqus atomiqus (tpiqumnt d valu égal au magnéton d oh) sont alignés Soit a l paamèt d maill du matéiau (n odg,1nm à 1nm ) En considéant un atom pa maill, l aimantation maimal vaut tpiqumnt d ma a 4 7 1, soit d 1 à 1 Am Pou ls aimants pmannts, on donn généalmnt soit l champ magnétiqu maimal généé su la sufac d l aimant au nivau d un pôl, soit la foc sufaciqu d adhénc df / qui atti du aimants idntiqus nt u Ctt foc sufaciqu st homogèn à un pssion (ou un containt), soit aussi un éngi volumiqu En égalant df / avc l éngi magnétiqu volumiqu, on n déduit df µ Tpiqumnt, vai nt 1mT (aimants n f) t 1T (aimants au néodm), qui donn df 1 Pa Pa, soit un valu d df nt,1ba t 1ba Dimnsionnllmnt, on put aussi éci à l aid d l équation d awll Ampè qu ot( ) µ j, soit On put donc considé df Avc un valu caactéistiqu d j longuu µ d d n faisant intvni l aimantation du matéiau Am pou / d df, on obtint 6 1 Pa 1ba pag /6

3 DIPÔLES AGNÉTIQUES EN ARQS AGNÉTIQUE II Dipôl magnétiqu n ARQS magnétiqu 1 ) Champ magnétiqu céé à gand distanc Analogis boucl d couant - dipôl élctostatiqu Champ céé pa un boucl ciculai Champ E céé pa un doublt (+q ; -q) Epssion du champ n coodonnés sphéiqus (, : On établit t nous admttons qu () = 4 4 cos sin a O P i ) Actions subis pa un dipôl magnétiqu placé dans un champ téiu a) Éngi potntill d'intaction d'un dipôl igid placé dans un champ téiu L dipôl magnétiqu st supposé igid, d momnt magnétiqu, d dimnsions tès ptits dvant ls distancs où s'cnt ss ffts, t placé dans un champ téiu t L'hpothès du dipôl d ptits dimnsions pmt d pouvoi considé t comm quasi unifom su la sufac S limité pa l cicuit constituant l dipôl On définit alos l'éngi potntill d'intaction du dipôl pa Emag = - t b) Actions subis pa un dipôl magnétiqu dans un champ téiu En pmiè appoimation, on put considé qu l champ appliqué t st quasi unifom au nivau ds dimnsions du dipôl, l'action du champ su ls couants du dipôl s éduit alos à un coupl d momnt = t C coupl tnd à align l dipôl suivant la diction t l sns du champ appliqué Si l champ appliqué st inhomogèn, l'fft pincipal du champ st un coupl (pssion pécédnt) qui tnd à align l momnt magnétiqu du dipôl igid avc l champ t La non unifomité du champ s taduit à l'od d'appoimation ultéiu (fft scondai) pa l'istnc d'un ésultant non null R ds focs s'çant su l dipôl, cnté n O On put mont qu R ( gad) t pag /6

4 c) Pécssion d Lamo DIPÔLES AGNÉTIQUES EN ARQS AGNÉTIQUE On considè un dipôl atomiqu d momnt magnétiqu t d appot gomagnétiqu momnt cinétiqu bacntiqu d c dipôl st donné pa On plong c dipôl dans un champ magnétiqu téiu L t L En négligant tout aut foc qu clls cés pa t notammnt ls évntulls focs d inti, l mouvmnt du dipôl st égi pa dl l équation t, soit t (théoèm du momnt cinétiqu bacntiqu) C tp d mouvmnt s caactéis pa du gandus consvés : 1 La nom du momnt cinétiqu (ou magnétiqu) st constant : L angl qu fait avc st constant : d( ) d( ) En conséqunc, la pojction d dans un plan ppndiculai à décit un ccl avc la pulsation L véifiant L, soit L m L vctu décit un côn d a paallèl à à la vitss angulai autou d à la vitss angulai L, applé pulsation d Lamo Numéiqumnt, dans un champ 1T, on a pou L On dit qu pécss un élcton : fl 14,GH (domain ds onds cntimétiqus) un poton : fl 76H l ) Analogis dipôl élctiqu - dipôl magnétiqu omnt dipolai p qnp (ou p qioa i ) i 1 V()= p 4 E 1 p cos( ) 4 ou Potntil céé à gand distanc 1 pcos( ) V()= 4 t E Champ céé à gand distanc 1 p sin( ) 4 = is Hos pogamm! cos( ) 4 Éngi potntill d'un dipôl igid placé dans un champ téiu E pe E s t mag t t sin( ) 4 Coupl subi dans un champ téiu = p E t = t Résultant ds focs subis dans un champ téiu R = (p gad) E t R = ( gad) t pag 4/6

5 III Aspcts quantiqus du magnétism 1 ) L péinc d Stn t Glach Ctt péinc éalisé n 191 pa Otto Stn t Walt Glach mit n évidnc la quantification du momnt magnétiqu ds atoms t pa la suit la quantification d lu momnt cinétiqu Dans un ncint où ègn un vid poussé, il diigènt nt ls pôls d un aimant un faiscau d atoms d agnt nuts monocinétiqu, d vctu vitss v v, qui s déposaint nsuit su un plaqu d v (figu ci-dssous à gauch) DIPÔLES AGNÉTIQUES EN ARQS AGNÉTIQUE En l absnc d champ, on obsv un tait su la plaqu En appliquant un champ fotmnt inhomogèn (à gadint d champ constant d /d) afin d ngnd un ésultant F ( gad) impotant, ls dipôls magnétiqus subissnt la foc F pag 5/6 d d Eplication : L champ st céé pa un aimant pmannt dont la géométi st invaiant pa tanslation su un distanc suivant En négligant ls ffts d bods, on n déduit qu tout plan = cst st un plan d sméti ds soucs, donc qu D aut pat, n dépnd pas d Ls ldc pou montnt qu (, ) st un fonction pai n, tandis qu (, ) st un fonction impai n La déivé st alos impai Sa continuité impliqu qu D plus, n l absnc d soucs su l tajt ds atoms d agnt, on a ot( ) qui impliqu t donc qu Ainsi la foc su un atom s écit F ( gad) ( gad) ( gad), soit F En out, on sait qu l momnt magnétiqu pécss autou d, soit ici autou d puisqu dans l plan d la tajctoi on a Il n ésult qu oscill à la pulsation d Lamo, alos qu st constant Comm la dué d tansit ds atoms d agnt dans l aimant st tès supéiu à la péiod T d Lamo, on put mplac pa sa monn tmpoll qui st null Finalmnt, il st F En mécaniqu classiqu, put pnd un nomb continu d valus t l on dvait obsv simplmnt un étalmnt du faiscau suivant O O Stn t Glach obsvènt su la plaqu du tachs distincts montant qu pouvait êt ointé soit vs ls positifs, soit vs ls négatifs L oigin d la quantification ds msus d la composant du momnt magnétiqu ds atoms d agnt dans l péinc d Stn t Glach st la quantification ds msus d la composant L du momnt cinétiqu total ds atoms

6 pag 6/6 DIPÔLES AGNÉTIQUES EN ARQS AGNÉTIQUE ) Spin d l élcton Factu d Landé L péinc d Stn t Glach a bin mis n évidnc la quantification spatial mais l nomb d tacs obsvés n pouvait pas êt attibué sulmnt à m, puisqu c nomb quantiqu put pnd 1 valus, qui st toujous un nomb impai L nomb d tacs obsvés n fut coctmnt intpété qu n 195, avc l intoduction du concpt d spin pa Uhlnbck t Goudsmit, qui émint l idé qu un élcton possédait un momnt cinétiqu intinsèqu, dit momnt cinétiqu d spin, n pouvant pnd qu ls du valus 1, auqul st associé un momnt magnétiqu d spin L modul du momnt cinétiqu S du spin d l élcton st détminé pa l nomb quantiqu d 1 spin s slon S s( s 1) La pojction S d S suivant un a (O) qulconqu put pnd uniqumnt du valus : S m s, où m s st l nomb quantiqu magnétiqu d spin, avc 1 m s La lation nt l momnt magnétiqu d spin S t l momnt cinétiqu d spin S s écit: s S m Ctt lation mont qu l momnt cinétiqu d spin st du fois plus fficac qu l momnt cinétiqu obital pou cé un momnt magnétiqu Ctt diffénc mont bin qu l on n doit pas considé l élcton comm un chag n otation su ll-mêm Dès los, la composant suivant (O) du momnt magnétiqu put pnd du valus, donnés pa S m s Eplication coct d l péinc d Stn t Glach : Dans un atom qulconqu, l momnt cinétiqu du spin t l momnt cinétiqu obital d chaqu élcton contibunt tous du au momnt magnétiqu total d l atom L péinc d Stn t Glach dépnd d c momnt magnétiqu total d l atom Su ls 47 élctons d l atom d agnt, 46 fomnt ds couchs complèts avc un momnt cinétiqu nul t un momnt magnétiqu nul C st sulmnt l spin du dni élcton, dans l état =, qui contibu au momnt magnétiqu d l atom omnt magnétiqu total Factu d Landé g Chaqu élcton d un atom put êt décit pa 4 nombs quantiqus : n,, m qui détminnt son obital atomiqu t son nomb quantiqu d spin s L momnt cinétiqu total ds élctons d l atom ésult d la supposition ds momnts obitau t d spin J L S, avc L nti t S nti ou dmi-nti La nom du momnt cinétiqu s écit alos L J( J 1), où J put êt nti ou dmi-nti Un doublt d élctons possèd un momnt total d spin nul Ls - d un sous couch complèt ont un momnt cinétiqu nul Un valu non null d J pou un atom suppos la pésnc d élctons célibatais Pou un atom, la pojction su un a (O) qulconqu du momnt magnétiqu st d la fom gm, où m st l nomb quantiqu magnétiqu t g l factu d Landé d l atom, avc m J, J 1,, J 1, J, 1 g t g pou un momnt d spin