Solutions. Été-automne Solutions

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1 Solutions Été-automne 01 Solutions L évolution de glacies Compte tenu des données de l énoncé, le volume de glace en ntactique est ~ = km, ce qui epésente ~ ,9 = km d eau. Pa ailleus, puisque la suface de la tee est ~ 4π(6 71) = km, alos la suface des océans est ~ ,7 = km. Finalement, on divisant le volume total d eau pa la suface des océans, on obtient ~ 0,070 km, soit 70 mètes. L-systèmes Pouve que a(n + 1) = a(n) + ( n ) 8. L itéation 1 de la plante, S[-F][+F], compote 9 instuctions. Pou passe à l itéation, nous devons etie deux F et les emplace pa S[-F][+F]. Mathématiquement, nous avons a() = = 5. Pou passe à l itéation, nous devons etie quate F et les emplace pa S[-F][+F]. Le nombe de F à etie pou passe à l itéation n + 1 est donc n. Ces F doivent ête etiés de a(), puis emplacés pa quate S[-F][+F] de longueu 9. Mathématiquement, nous avons a() = a() + ( ) 9. Plus généalement, a(n + 1) = a(n) n + ( n ) 9. En mettant en évidence n, nous avons a(n + 1) = a(n) + ( n ) 8. Pouve que a(n) = n+ 7. En simplifiant a(n + 1) = a(n) + ( n ) 8, nous obtenons a(n + 1) = a(n) + n+, ca 8 =. Réécivons-la de manièe à avoi a(n) dans le membe de gauche de l équation a(n) = a(n 1) + n+. Nous pouvons développe cette équation: a(n) = a(n ) + n+1 + n+ = a(n ) + n + n+1 + n+... = n + n+1 + n+. Rajoutons les temes 1 et manquants dans cette pogession géométique et etions-les à la fin de l expession a(n) = n + n+1 + n+ 1. La somme des temes de 1 à n+ est alos la somme des n + pemies temes d une pogession géométique dont le pemie teme est a = 1 et la aison est =. O, la somme des k pemies temes d une telle pogession est S k k+ 1 a( 1) =. 1 Dans le cas pésent, on obtient S n+ n+ 1( 1) n+ = = 1, 1 d où a(n) = n+ 1 1 = n+ 7. ccomath vol.8, été-automne 01

2 ccomath vol.8, été-automne 01 II Regad achimédien su le cecle et la sphèe : le clin d oeil de Keple 1. Simple comme 1-- Le volume d un cylinde ciculaie de ayon et de hauteu est donné pa π = π, tandis que celui du cône de mêmes ayon et hauteu 1 est π. Il s agit donc de touve un solide dont le volume est π. O, comme le volume d une sphèe de ayon est égal à π, 4 on peut tout simplement pende comme solide intemédiaie une demi-sphèe de ayon. Il en ésulte qu en additionnant les volumes d une demi-sphèe de ayon et d un cône ciculaie de ayon et de hauteu, on obtient le volume d un cylinde ciculaie de ayon et de hauteu. On notea que dans son taité De la sphèe et du cylinde, chimède démonte que le volume d un cylinde ciconscit à une sphèe est une fois et demie le volume de celle-ci (coollaie de la poposition 4). utement dit, le appot du volume du cylinde à celui de la sphèe inscite est :. O, pou une sphèe de ayon, le cylinde ciconscit est alos de ayon et de hauteu. En coupant en deux le cylinde et la sphèe, on conseve le même appot ente le «demi-cylinde» (c est-à-die le cylinde de hauteu ) et la demi-sphèe. Une aute famille de solides dont les volumes sont dans un appot 1 : : est constituée d un cône ciculaie de ayon et de hauteu, d une sphèe de ayon et d un cylinde ciculaie de ayon et de hauteu.. Suface de la sphèe a) chimède cheche à monte que la suface d une sphèe a une aie qui vaut quate fois celle d un de ses gands cecles (affimation faite aux lignes 4-6 du texte d chimède). utement dit, la suface d une sphèe de ayon a pou aie 4π. Ce ésultat fait l objet de la poposition de son taité De la sphèe et du cylinde : «L aie de toute sphèe est quaduple du plus gand de ses cecles.» 1 On notea ici les mots utilisés pa chimède dans le texte cité à la Section poblèmes : «J ai conçu que la suface de toute sphèe équivaut à quate de ses plus gands cecles.» (Nous soulignons.) chimède nous dit donc explicitement d où lui est venue l intuition de cette elation, apès quoi il lui este à la démonte ce qu il fait à la poposition du taité De la sphèe et du cylinde. b) Le pemie ésultat utilisé pa chimède est pésenté dès le début du passage cité : toute sphèe a un volume quaduple de celui d un cône ciculaie dont le ayon et la hauteu sont égaux au ayon de la sphèe. Ce ésultat a été établi igoueusement pa chimède à la poposition 4 du taité De la sphèe et du cylinde, où il est démonté de façon «géométique», c est-à-die à l aide d une double peuve pa contadiction. Il est epis via une appoche «mécanique» à la poposition de La méthode, qui pécède justement le passage cité d chimède. Ce pemie ésultat peut se efomule comme suit. Soit une sphèe de ayon, et soit un cône de hauteu et dont la base est un gand cecle de la sphèe. los le volume de la sphèe vaut 4 fois celui du cône. Et ce fait se véifie facilement si on se pemet l intoduction des fomules bien connues. La base du cône a en effet pou aie π, de sote que son volume est π /. Pa ailleus, la sphèe, ayant un volume de 4π /, vaut donc quate fois le cône selon le volume. 1. chimède, De la sphèe et du cylinde. Voi Paul Ve Eecke, Les œuves complètes d chimède, tome I (p. 6). Liège, Vaillant-Camanne, La méthode de double peuve pa contadiction est discutée dans le texte «Regad achimédien su le cecle» de Maie-Fance Dallaie et enad R. Hodgson, ccomath, vol. 8, hive-pintemps 01, p. 5.

3 Solutions Le second ésultat utilisé pa chimède est intoduit à la toute fin du passage cité. Il s agit alos d une analogie audacieuse : tout comme le cecle équivaut, du point de vue de l aie, à un tiangle ectangle dont les cathètes sont le ayon et la ciconféence du cecle, de même la sphèe, quant à son volume, est comme un cône dont la base a même aie que la suface de la sphèe et dont la hauteu est la ayon de la sphèe. utement dit, chimède fait un glissement depuis la fomule C/ pou l aie du cecle ves S/ pou le volume de la sphèe. À note qu chimède ne pétend pas avoi établi le ésultat concenant le volume de la sphèe : il dit bien qu il en a eu l intuition, sans évéle d éléments venant la sous-tende. Peut-ête s agissait-il d une vision infinitésimale à la Keple Mais cette intuition lui offe une voie le menant à «concevoi», selon ses popes dies, le ésultat à popos de la suface de la sphèe en fonction d un gand cecle (voi patie c). c) Étant donné une sphèe de ayon et de suface S, chimède a intoduit deux cônes, tous deux de hauteu : un cône ciculaie dont la base est un gand cecle de la sphèe, un cône dont la base a pou aie S. O, le volume de la sphèe vaut quate fois celui du pemie de ces cônes (*), et est égal à celui du second (**). Il s ensuit donc que la suface S de la sphèe vaut en aie quate gands cecles. En fomules, appelant V le volume de la sphèe, on a d une pat V = 4π / (pa le ésultat (*)) et d aute pat V = S/ (ésultat (**)), d où il suit S = 4π. Note 1 : La discussion qui pécède est basée su une emaque faisant suite à la poposition du taité La méthode, chimède tavaillant alos à pati des deux ésultats pésentés à la patie b l un intoduit semi-igoueusement dans ce même taité et l aute, puement intuitif. chimède ebasse ces ésultats dans le cade plus igoueux du taité De la sphèe et du cylinde, ceux-ci étant alos établis à l aide de méthodes encontant les exigences de igueu d chimède. La séquence de ésultats utilisée pa chimède dans De la sphèe et du cylinde va comme suit : la suface d une sphèe a pou aie le quaduple de celle d un gand cecle (poposition ); le volume d une sphèe vaut le quaduple de celui d une cône ayant pou base un gand cecle et pou hauteu le ayon de la sphèe (poposition 4); étant donné une sphèe ainsi qu un cylinde dont la base est un gand cecle de la sphèe et la hauteu son diamète, alos le volume du cylinde est une fois et demie celui de la sphèe, et son aie, les bases compises, une fois et demie celle de la suface de la sphèe (coollaie de la poposition 4). En fomules, considéant une sphèe de ayon, de suface S et de volume V, chimède s intéesse donc successivement aux quate ésultats suivants : S 4 ( ), V 4 1 = π = π, V V S S, cyl = cyl =, où V cyl et S cyl epésentent espectivement le volume et la suface du cylinde de ayon et de hauteu dont il est question dans le coollaie de la poposition 4. On se appellea à cet égad, pou ce qui est des deux denièes égalités, que le volume d un cylinde de ayon et de hauteu h est donné pa π h, et sa suface (totale), pa πh + π (le pemie teme de cette somme coespondant à l aie latéale du cylinde et le second, à l aie des deux bases ciculaies). ppliquant ces fomules au cylinde ciconscit à la sphèe, on etouve bien les elations énoncées pa chimède. On aua obsevé au passage que la suface (4π ) d une sphèe de ayon est égale à la suface latéale (π ) du cylinde qui lui est ciconscit. Note : Il est possible, pa des considéations géométiques élémentaies assoties d un appel au pincipe de Cavaliei, de justifie la fomule expimant l aie d une sphèe en fonction de son ayon. La constuction géométique su laquelle epose ce aisonnement est d ailleus tès pès de celle utilisée pa chimède à la poposition du taité La méthode. Soit à cet effet une demi-sphèe de ayon, ainsi qu un cylinde de ayon et de hauteu. Plaçons à l intéieu du cylinde un cône, également ccomath vol.8, été-automne 01 III

4 ccomath vol.8, été-automne 01 IV de ayon et de hauteu. Nous allons monte que le volume du cylinde est égal à la somme des volumes du cône et de la sphèe (autement dit, la sphèe a même volume que la égion ente le cylinde et le cône). ppliquons à ces deux figues la «méthode des tanches». À cet effet, coupons-les pa un plan situé à une hauteu x. La section dans la demi-sphèe est donc un cecle dont le ayon y dépend de la hauteu x. En appliquant la elation de Pythagoe, on touve immédiatement que y = x, de sote que l aie du cecle est π( x ). x y Passant au cylinde, intéessons-nous à la égion ente celui-ci et le cône. On voit que la section déteminée pa le plan de coupe est un anneau de ayon extéieu et de ayon intéieu x. Cet anneau est donc d aie π πx, c est-à-die de même aie que le cecle dans la demi-sphèe. On se touve donc en pésence de deux solides de même hauteu (la demi-sphèe et la égion ente le cylinde et le cône) dont les sections pises à une hauteu donnée sont de même aie. Le pincipe de Cavaliei stipule pécisément que ces solides ont alos même volume. On a ainsi établi que vol(demi-sphèe) + vol(cône) = vol(cylinde). Si on sait de plus que le cylinde a un volume tiple de celui du cône, on en conclut que le volume de la demi-sphèe epésente les deux-ties de celui du cylinde. (Il s agit là de la elation abodée au poblème 1 de la pésente Section poblèmes.) Passant maintenant à une sphèe de ayon, on obseve que la même elation existe ente son volume et celui d un cylinde de ayon et de hauteu, etouvant ainsi l un des ésultats pésentés au coollaie de la poposition 4 du taité De la sphèe et du cylinde. x x Note : vec les concepts et outils du calcul difféentiel et intégal, on peut emplace l application du pincipe de Cavaliei, à la Note, pa une intégale. Le volume de la demi- sphèe est alos obtenu en «faisant la somme» des aies de tous les cecles ésultant d une section pa un plan de coupe (voi la demi-sphèe à la gauche de la figue pécédente). On a donc que le volume de la demisphèe est égal à π( x ) dx = π. 0 On en tie immédiatement la fomule usuelle pou le volume de la sphèe, V = 4π /. Les méthodes du calcul difféentiel et intégal pemettent également de etouve la fomule pou l aie de la suface de la sphèe. L idée est de voi cette suface comme ésultant de la otation d un demi-cecle autou d une doite (l axe des x, pa exemple). Mais les techniques en jeu sont cette fois plus subtiles, et nous les laissons aux soins du lecteu intéessé. N : L utilisation des techniques du calcul difféentiel et intégal pou touve tant le volume que la suface de la sphèe est pésentée dans la vidéo «DimensionSphèe» éalisée pa ndé Ross et accessible à l ul Passage à la limite Regadons de plus pès la longueu de chacun des chemins pou se ende de à : a) le long du gand demi-cecle de ayon 1 : π 1 = π; b) le long des deux demi-cecles de ayon 1/ : π π = π; c) le long des quate demi-cecles de ayon 1/4 : π = π; Plus généalement, le n e tajet se fait le long d un chemin fomé de n 1 demi-cecles de ayon 1/ n 1, et donc de longueu π. Nous sommes ainsi en pésence d une famille de coubes de longueu constante, toutes ayant la même longueu π. Une telle suite de nombes a

5 Solutions donc pou «limite» π. Mais justement, en passant «à la limite», on semble se appoche «aussi pès que l on veut» du diamète, qui est de longueu. En identifiant la limite de la longueu des coubes avec la longueu de la coube limite, on en conclut que π =, ce qui est absude. Note : Le poblème ici vient du fait que visuellement, les demi-cecles semblent «s écase» su le diamète, leu ayon devenant de plus en plus petit. Mais en un sens ce n est là qu appaence. Chacun des tajets se fait le long d un chemin festonné, bosselé. Et quel que soit ce tajet, c està-die aussi gand que soit n, les bosses demeuent. Même si les points des demi-cecles se appochent «aussi pès que l on veut» des points du diamète, cela se fait sans que les chemins ne «deviennent» pou autant le diamète. Mais alos pouquoi accepte que le «tiangle festonné» devienne un véitable tiangle ectangle, et le paallélogamme festonné, un ectangle (voi pp. 4 et 5)? Et plus généalement comment distingue les situations où un tel agument «mache», et celles où il mène à un ésultat absude? Il s agit là de questions difficiles, et pou y éponde adéquatement, il faut faie inteveni des considéations fines, tant su les coubes que su le pocessus de limite, abodées dans des cous de mathématiques supéieues. Il est intéessant de lie les commentaies que font à ce sujet, à l intention des enseignants du secondaie, ndé oileau et Mauice Gaançon dans un texte pau dans la evue Envol (publiée pa le GRMS Goupe des esponsables en mathématiques au secondaie) : Pouquoi sommes-nous potés à ejete l agument dans le second cas [les chemins en demicecles] et à l accepte dans le pemie [les polygones festonnés]? Est-ce pace que nous savons d avance que le ésultat auquel il mène est vai dans le pemie cas et faux dans le second? N est-il pas dangeeux d utilise devant les élèves un agument qui ne fonctionne pas toujous sans que l on puisse die pouquoi? Peut-on touve un agument altenatif dont on soit sû qu il soit coect? En fait, à note connaissance, il n y a pas d agument simple qui nous pemette de monte de façon élémentaie que le pemie agument est «épaable» tandis que le second ne l est pas. 1 (Si vous connaissiez un tel agument, nous seions tès intéessés à en entende pale.) On est donc ici face à la situation suivante : on dispose dans le pemie cas d une explication qui semble nous donne une intuition intéessante de la situation, mais qui d un aute côté n est pas entièement satisfaisante. Que doit-on faie : l utilise quand même sans indique ses limitations; s en sevi tout en soulignant ses faiblesses; ou la banni complètement? Il n est pas facile de éponde à une telle question. Le plus simple seait de emplace note «explication poblématique» pa une aute qui l est moins. Dans le cas pésent, il est facile de faie appel à une agumentation moins poblématique, basée su appoximation pa des tiangles plutôt que pa des secteus. À pemièe vue, il peut semble que ça ne ègle en ien note poblème, mais détompez-vous. Le point cucial ici est le fait que la suite des péimètes des polygones égulies inscits tend ves la longueu de la ciconféence du cecle : o ceci découle de la définition même de la longueu d une coube en généal, et du cecle en paticulie. Pou ce qui est du este de l agument, il est semblable à ce qu on faisait avec les secteus : il utilise encoe le concept délicat de limite, mais de façon non poblématique. 1. En fait, on doit se appele que la longueu des coubes est définie à l aide d appoximations via des lignes bisées composées uniquement de segments de doite, ce qui n est pas le cas des deux pocédés ci-dessus. Une étude plus poussée nous monte que si l on veut appoche la longueu d une coube C pa les longueus d une suite de coubes C n, il faut non seulement que les coubes C n tendent ves la coube C point pa point, mais aussi que les suites des tangentes des coubes C n en un point tendent «pesque toujous» ves la tangente coespondante de la coube C. Extait (pp. 4-44) tié de : ndé oileau et Mauice Gaançon, «L aie : une notion plus iche qu il n y paaît». Envol 104 (1998) ccomath vol.8, été-automne 01

6 ccomath vol.8, été-automne 01 VI insi donc ien n est vaiment simple si on veut taite ces questions avec igueu. Il est utile ici de appele diveses situations où ces difficultés sugissent. i) Étant donné un cecle, on accepte volonties que, losque qu on y tace successivement des polygones égulies inscits ou ciconscits dont le nombe de côtés devient de plus en plus gand, ces polygones peuvent s appoche autant que l on veut du cecle. Tant le péimète que l aie de ces polygones semblent espectivement «tende ves» le péimète et l aie du cecle. Ce point de vue, aisonnable au demeuant, a été utilisé dans le texte «Regad achimédien su le cecle : quand la ciconféence pend une bouffée d aie» (Maie-Fance Dallaie et enad R. Hodgson, ccomath, vol. 8, hive-pintemps 01, pp. -7), dont voici une figue montant des polygones inscits dans un cecle (successivement le caé et l octogone égulie, suggéant ainsi de façon généale le n -gone égulie inscit). ii) Le point de vue de Keple évoqué dans le pésent texte est de décompose un cecle en secteus, puis d aligne ceux-ci et de les tansfome en un «tiangle festonné». Losque les secteus sont en «nombe infini», on peut imagine l ac d un tel secteu deveni comme un «petit» segment de doite (infiniment petit!), de sote que le tiangle à bosses devient un véitable tiangle. Et ici encoe cette vision tient la oute et vient éventuellement alimente note intuition. iii) Mais gae quand on se balade le long de dents de scie ou de demicecles : ien ne va plus! insi la figue ci-conte, tiée du texte de Jean-Paul Delahaye intitulé «Peuves et cetitudes» (ccomath, vol., hive-pintemps 008, pp. -5), nous monte quelques étapes dans une séie de déplacements (de ves ) avec des «escalies» aux maches de plus en plus fines, divisant toujous gions et contemaches en deux paties égales. On véifie aisément que la longueu de chacun de ces tajets est toujous. insi pou les tois pemies, on a : = ; = ; =. 4 Mais en «passant à la limite», les escalies se appochent de plus en plus de la diagonale, de sote qu on seait amené à conclue que =. bsude! Cette situation paadoxale (tout comme celle pésentée dans le pésent poblème) fait essoti la nuance suivante : tandis que les polygones égulies inscits se tansfoment en un cecle (i), ou que les acs des polygones festonnés deviennent de plus en plus lisses et se métamophosent «à l infini» en segments de doite (ii), les dents de scie et les demi-cecles demeuent «à l infini» des dents de scie ou des demi-cecles. C 1 1 1/ 1/ 1/4 1/8 1/16 ef, tout comme pou la notion de peuve visuelle (voi le texte «Voyez-vous ce que je vois?» de Fédéic Goudeau, ccomath, vol., hive-pintemps 008, pp ), nous sommes ici dans un contexte où il faut éduque l intuition afin de la ende mieux agueie en vue de distingue les situations où les passages à la limite se compotent aisonnablement, de celles où on se heute à des conclusions paadoxales.