Intégrale impropre d'une fonction continue sur un intervalle de R. Exemples

Transcription

1 38 Intégrle impropre d'une fontion ontinue sur un intervlle de R. Eemples Les fontions onsidérées sont priori dénies sur un intervlle réel I non réduit à un point, à vleurs réelles ou omplees et ontinues pr moreu. 38. Dénitions et eemples d'intégrles impropres Dns un premier temps, on se donne un intervlle réel I = [, b[ ve < < b + et une fontion f : [, b[ R (ou C) ontinue pr moreu. On rppelle tout d'bord l dénition d'une fontion ontinue pr moreu sur l'intervlle I. Dénition 38. On dit qu'une fontion f dénie sur l'intervlle I est ontinue pr moreu sur et intervlle s'il eiste une subdivision = < < < p < p+ = b telle que l fontion f soit ontinue hun des intervlle ] k, k+ [ ( k p) et dmette une limite à droite en et des limites à droite et à guhe en hun des points k ( k p). Ave les nottions de ette dénition, l restrition de l fontion f à l'intervlle ] p, b[ se prolonge en une fontion ontinue sur [ p, b[ et pour tout entier k ompris entre et p, l restrition de l fontion f à l'intervlle ] k, k+ [ se prolonge en une fontion ontinue sur [ k, k+ ]. Une fontion ontinue pr moreu sur I est don en prtiulier lolement intégrble sur et intervlle, e qui signie qu'elle est intégrble sur tout segment [α, β] I. Si f est ontinue pr moreu sur I, on peut dénir s primitive F nulle en, 'est-à-dire l fontion dénie sur [, b[ pr : Préisément, pour [, [, on : [, b[, F () = F () = f (t) f (t). 935

2 936 Intégrle impropre d'une fontion ontinue sur un intervlle de R. Eemples et pour [ k, k+ [ ve k ompris entre et p, on : k F () = j= j+ j f (t) + k f (t). Dénition 38.2 Ave les nottions qui préèdent on dit que l'intégrle de f sur [, b[ est onvergente, si l fontion F dmet une limite nie qund tend vers b dns I. Dns e s on note f (t) ette limite. Le slire insi déni est ppelé l'intégrle générlisée (ou impropre) de f sur [, b[. Dns le s où F n' ps de limite nie en b on dit que l'intégrle de f sur [, b[ est divergente. On don, en s de onvergene : f (t) = lim b f (t). Remrque 38. Si f : [, b[ R (ou C) est une fontion ontinue pr moreu et si [, b[ lors l'intégrle de f est onvergente sur [, b[ si, et seulement si, l'intégrle de f est onvergente sur [, b[ (le problème de l onvergene se pose en b) et dns e s, on : f (t) = f (t) + f (t). Cel résulte imméditement de l reltion de Chsles pour les intégrles dénies : ], b[, f (t) = f (t) + f (t). On dénit de mnière nlogue l'intégrle d'une fontion f à vleurs réelles ou omplees dénie sur un intervlle ], b] ve < b < + et ontinue pr moreu sur et intervlle pr : f (t) = lim f (t) qund ette dernière limite eiste. Dns le s d'une fontion f dénie sur un intervlle ], b[ ve < b + (et toujours ontinue pr moreu), on dit que l'intégrle de f est onvergente sur ], b[ si pour tout dns ], b[ hune des intégrles f (t) et f (t) est onvergente. Dns e s l somme de es intégrles impropres ne dépend ps de, e qui permet de dénir l'intégrle générlisée de f sur ], b[ pr : f (t) = = lim f (t) + f (t) y f (t) + lim f (t). y b Le lemme qui suit justie l'rmtion préédente et nous dit ussi qu'il sut de vérier l onvergene des intégrles f (t) et f (t) pour une vleur de.

3 Les intégrles de Riemnn 937 Lemme 38. Si, ve les nottions qui préèdent, il eiste un réel ], b[ tel que les intégrles f (t) et pour tout réel d ], b[, on : f (t) soient onvergentes, lors l'intégrle de f sur ], b[ est onvergente et d f (t) + d f (t) = f (t) + Pr bus de lngge, l'epression étudier l nture de f (t). f (t), sns svoir si ette intégrle onverge ou non est un rouri pour étudier l onvergene de l'intégrle de f sur ], b[. Remrque 38.2 Il fut bien noter que l divergene de l'une des deu intégrles f (t) équivut à l divergene de f (t). f (t) et Remrque 38.3 Dns le s où = et b = + l'eistene de lim + lim + f (t) ne prouve ps l onvergene de l'intégrle de f sur ], + [. Pr eemple pour f (t) = t on f (t) = pour tout > et pourtnt l'intégrle diverge. En eet f (t) = +. Pour prouver l onvergene de l'intégrle de f sur ], + [ on doit prouver indépendmment l onvergene de lim + f (t) et lim + f (t). Eerie 38. Montrer que l'intégrle de f : t sin (t) est divergente sur [, + [. Eerie 38.2 Montrer que l'intégrle de f : t sur ], + [ et f (t) =. ( e + ln (t) ) e t est onvergente t t Dns le s où l fontion f, dénie sur [, b[ ve b ni, dmet une limite nie l en b, le problème de onvergene de l'intégrle est un fu problème. En eet, en posnt f (b) = l l fontion f se prolonge pr ontinuité en b et désignnt pr F l primitive nulle en de l fontion ontinue pr moreu f sur [, b], l fontion F est ontinue en b et on : lim b f (t) = lim b F () F () = F (b) F () = l dernière intégrle étnt une intégrle de Riemnn. f (t) 38.2 Les intégrles de Riemnn Une fmille importnte d'intégrles générlisées est donnée pr elle des intégrles de Riemnn.

4 938 Intégrle impropre d'une fontion ontinue sur un intervlle de R. Eemples Théorème 38. Soient α un réel et f l fontion dénie sur ], + [ pr : f : t t α.. L'intégrle de f sur [, + [ est onvergente si, et seulement si, α > ve : α >, t = α α. 2. L'intégrle de f sur ], ] est onvergente si, et seulement si, α < ve : α <, t = α α. Remrque 38.4 L'intégrle est divergente quel que soit le réel α. tα On peut montrer de mnière nlogue (ou en eetunt le hngement de vrible u = b t [resp. u = t ]) que pour < b et α dns R l'intégrle de f : t (b t) α [resp. f : t (t ) α ] sur [, b[ est onvergente si, et seulement si, α < ve : α <, b (b t) α = (t ) α = α (b ) α. Pr eemple, pour =, b = et α = 2, on : t = Opértions sur les intégrles générlisées On se ple sur I = [, b[ et se donne deu fontions f et g ontinues pr moreu sur et intervlle. Théorème 38.2 Si les intégrles de f et g sur I sont onvergentes, il en est lors de même de l'intégrle des fontion f et f + λg pour tout nombre omplee λ et on : f () d = f () d Si f () d onverge et (f () + λg ()) d = g () d diverge, lors f () d + λ g () d. (f () + g ()) d diverge.

5 Opértions sur les intégrles générlisées 939 Pour e qui est de l somme de deu intégrles divergentes, on ne peut rien dire priori omme le montre l'eemple des fontions f () =, g () = 2 et f () = 2, g () = 2 2 sur ], ]. Pour e qui est du produit des deu fontions f et g d'intégrles onvergentes, on ne peut rien dire priori omme le montre l'eemple des fontions f () =, g () = et f () =, g () = sur ], ]. Corollire 38. Si f est à vleurs omplees, lors f () d est onvergente si, et seulement si, les intégrles réelles onvergene, on : f () d = R (f) () d et R (f) () d + i I (f) () d sont onvergentes et en s de I (f) () d. Eerie 38.3 Soient, b deu nombres réels. Étudier l nture de l'intégrle en préisnt s vleur en s de onvergene. e t os (bt) L'utilistion du théorème d'intégrtion pr prties ou du théorème de hngement de vrible pour les intégrles dénies est prfois utile pour justier l onvergene d'une intégrle. Théorème 38.3 (Intégrtion pr prties) Si f, g sont de lsse C sur I et si lim f () g () b eiste, lors les intégrles de onvergene, on : f () g () d et f () g () d = lim b f () g () f () g () f () g () d sont de même nture et en s f () g () d. Dns l prtique il est préférble de reprendre l démonstrtion de e théorème sur l'intégrle étudiée en eetunt une intégrtion prties sur [, ] puis en pssnt à l limite. Eerie 38.4 Montrer que t n e t est onvergente et luler s vleur I n pour tout n N. rtn (t Eerie ) Montrer que l'intégrle onverge et luler s vleur. t 2 Théorème 38.4 (Chngement de vrible) Soient φ un C -diéomorphisme roissnt de J = [α, β[ sur I = [, b[ et f une pplition ontinue sur l'intervlle I à vleurs réelles ou omplees. Les intégrles onvergene, on : β α f (φ (t)) φ (t) et f () d = β α f () d sont de même nture et en s de f (φ (t)) φ (t). Dns l prtique, on eetue le hngement de vrible sur l'intégrle dénie on psse à l limite ensuite. Eerie 38.6 Prouver l onvergene et luler π 2 ln (sin (t)). f (t) et

6 94 Intégrle impropre d'une fontion ontinue sur un intervlle de R. Eemples 38.4 Une ondition néessire de onvergene de f () d On sit qu'une ondition néessire de onvergene d'une série numérique est que son terme générl tende vers. Dns le s des fontions ontinues, l onvergene de f () d n'implique ps néessirement que f soit nulle à l'inni omme le montre l'eemple de l'eerie qui suit. Eerie 38.7 Soit f l fontion f ne pr moreu et ontinue sur [, + [ telle que : ( n, f n + ) = n 2 et : Montrer que n, f(n) = f(n + 2 n2 ) = f(n + n 2 + ) = f(n + ) =. n2n f () d est onvergente et que f n'est ps nulle à l'inni. Dns le s où l fontion f est uniformément ontinue sur R +, l ondition est une ondition néessire de onvergene de l'intégrle. lim f () = + Théorème 38.5 Soit f une fontion uniformément ontinue sur I = [, + [. Si l'intégrle f () d onverge, on lors lim f () = Cs des fontions à vleurs positives. Intégrles bsolument onvergentes On se ple sur I = [, b[ (ve < < b + ) et se donne une fontion f ontinue pr moreu sur et intervlle. On désigne toujours pr F : nulle en. Théorème 38.6 Si f est à vleurs positives et si Dns le s où f est ontinue sur I, l'églité est identiquement nulle. f () d onverge, lors f (t) l primitive de f f () d. f () d = est rélisée si, et seulement si, f On rppelle que si F est une fontion roissnte de I = [, b[ dns R, elle dmet lors une limite nie en b si, et seulement si, elle est mjorée. Dns le s où elle est mjorée, on : lim F () = sup F () b [,b[ et dns le s ontrire, on lim b F () = +. Comme onséquene de e résultt, on le suivnt.

7 Cs des fontions à vleurs positives. Intégrles bsolument onvergentes 94 Théorème 38.7 Si f est à vleurs positives, lors l'intégrle de f sur [, b[ est onvergente si, et seulement si, l fontion F est mjorée. Pour f à vleurs positives : en s de divergene on s de onvergene, on noter nturellement f (t) < +. f (t) = lim F () = + et en + Le s d'une fontion f à vleurs positives se rmène à elui d'une fontion positive en étudint g = f. On déduit du résultt préédent un théorème de omprison nlogue à elui obtenu pour les séries numériques. Théorème 38.8 Soient f, g deu fontions dénies, ontinues pr moreu sur [, b[, à vleurs réelles positives et telles que : t [, b[, f (t) g (t).. L onvergene de l'intégrle de g sur [, b[ entrîne l onvergene de l'intégrle de f sur [, b[ ve : f () d g () d. 2. L divergene de l'intégrle de f sur [, b[ entrîne l divergene de l'intégrle de g sur [, b[. Eerie 38.8 Montrer que l'intégrle de f : e 2 est onvergente sur ], + [. Dénition 38.3 On dit que l'intégrle de f sur [, b[ (à vleurs réelles ou omplees) est bsolument onvergente si f (t) < +. Comme pour les séries numérique, on dispose du résultt suivnt. Théorème 38.9 Soit f une fontion ontinue pr moreu sur [, b[ ve < < b +. Si l'intégrle de f sur [, b[ est bsolument onvergente elle est lors onvergente et on : f (t) f (t). Eerie 38.9 Montrer que pour tout réel α > les intégrles sont onvergentes. os (t) et t α sin (t) t α Dénition 38.4 On dit que l'intégrle de f sur [, b[ est semi-onvergente si elle est onvergente et non bsolument onvergente. Eerie 38. Montrer que les intégrles générlisées onvergentes et que : sin (t) = t sin 2 (t). t 2 sin (t) et t sin 2 (t) sont t 2

8 942 Intégrle impropre d'une fontion ontinue sur un intervlle de R. Eemples L'eerie qui suit dérit une méthode de lul de Eerie 38. sin () d.. Montrer que si f est une fontion de lsse C de [, b] dns R, lors lim n Montrer que l'pplition f dénie sur [ fontion de lsse C sur, π ] Cluler, pour tout n N, J n = 4. On pose K n = π 2 5. Déduire de e qui préède que π 2 ], π ] pr f () = 2 sin () sin ((2n + ) ) d. sin () sin ((2n + ) ) d. Montrer que sin () d = π 2. lim K n = n + L'eerie qui suit nous donne un eemple de fontion telle que f () d onvergente. Eerie 38.2 On onsidère l fontion f dénie sur [, + [ pr : où n 3 est un entier. Montrer que [, + [, f () = e in f () d est onvergente ve lim f () = +. + f () sin (n) d = se prolonge en une sin () d. lim f () = + ve + Théorème 38. Soit f une fontion dénie et ontinue pr moreu sur [, + [. S'il eiste un réel α > et un réel positif λ tels que pour t ssez grnd, on it f (t) λ, lors l'intégrle tα générlisée f () d est onvergente. De même si f dénie sur ], b] ve b > est telle que f (t) λ pour t > voisin de tα ve < α <, lors l'intégrle générlisée Prtiquement, on peut utiliser les résultts suivnt. f () d est onvergente. Théorème 38. Soit f une fontion dénie et ontinue pr moreu sur [, + [. S'il eiste un réel α > tels que lim t + tα f (t) =, lors l'intégrle générlisée onvergente. Eemple 38. De générlisée lim + 2 P () e 2 P () e 2 d est bsolument onvergente. f () d est bsolument = pour tout polynôme P, on déduit que l'intégrle

9 Cs des fontions à vleurs positives. Intégrles bsolument onvergentes 943 Théorème 38.2 Soit f une fontion à vleurs réels dénie et ontinue pr moreu sur [, + [. S'il eiste un réel α tels que lim t + tα f (t) = l >, lors l'intégrle générlisée f () d est divergente. De même si f dénie sur ], b] ve b > est telle que lim t α f (t) = ve α < [resp. t lim t α f (t) = l > ve α ] lors l'intégrle générlisée f () d est bsolument onvergente [resp. divergente]. t Le résultt qui suit est nlogue à elui obtenu pour les séries à termes positifs. Théorème 38.3 Soient f, g deu fontions dénies, ontinue pr moreu sur [, b[, à vleurs réelles positives et telles que f = O (g) [resp. f = o (g)]. b b. Si l'intégrle de g sur [, b[ est onvergente, il en est lors de même de elle de f et : [resp. ( ) f (t) = O b g (t) ( f (t) = o g (t) b 2. Si l'intégrle de f sur [, b[ est divergente, il en est lors de même de elle de g et : ( ) f (t) = O g (t) b [resp. ( f (t) = o g (t) b L'utilistion de développements limités permet prfois d'obtenir des équivlents. Théorème 38.4 Soient f, g deu fontions dénies, ontinue pr moreu sur [, b[, à vleurs réelles positives et telles que f g. Les intégrles de f et g sur [, b[ sont de même t b nture, 'est-à-dire que l'intégrle de f sur [, b[ est onvergente si, et seulement si, l'intégrle de g sur [, b[ est onvergente. En s de onvergene, on : et en s de divergene : f (t) f (t) b b g (t) g (t) Remrque 38.5 Si f t b g ve g de signe onstnt u voisinge de b (i. e. stritement positif ou stritement négtif), lors l fontion f est églement de signe onstnt u voisinge de b, e signe étnt elui de g. On déduit du théorème préédent un ritère supplémentire de omprison u intégrles de Riemnn. ) ] ) ]

10 944 Intégrle impropre d'une fontion ontinue sur un intervlle de R. Eemples Théorème 38.5 Soit f une fontion dénie et ontinue pr moreu sur [, + [. S'il eiste λ + un réel α et un réel non nul λ tels que f (), lors l'intégrle générlisée f () d + α est onvergente pour α > et divergente pour α. De même si f dénie sur ], b] ve b > est telle que f () générlisée f () d est onvergente si, et seulement si α <. + A titre d'pplition on peut onsidérer le s des intégrles de Bertrnd. λ, lors l'intégrle α Eerie 38.3 Soit α et β deu réel et f l fontion dénie sur ], + [ {} pr : f : t t α ln (t) β.. Montrer que l'intégrle de f sur [e, + [ est onvergente si et seulement si α > ou α = et β >. ] 2. Montrer que l'intégrle de f sur, ] est onvergente si et seulement si α < ou α = e et β >. L'étude de l fontion Γ d'euler est ussi un eemple typique. Eerie 38.4 On s'intéresse ii u domine de onvergene de l'intégrle où est un nombre réel. On rppelle que pour t >, on t = e ( ) ln(t).. Montrer que 2. Montrer que e t t est onvergente pour tout R. e t t est onvergente si et seulement si >. 3. En déduire le domine de dénition de l fontion : e t t, Γ : e t t 4. Soit > é. On note, pour tout réel t >, f (t) = e t, g (t) = t. Montrer que : lim f (t) g (t) = et lim t + f (t) g (t) =. t + 5. Montrer, pr une intégrtion pr prties, que pour tout réel >, on : Γ () = Γ ( + ). 6. Montrer que Γ () =, puis que Γ (n) = (n )! pour tout entier n.

11 Comprison entre série et intégrle générlisée Comprison entre série et intégrle générlisée Théorème 38.6 Si f : [, + [ R + est une fontion ontinue déroissnte, lors l série + f (n) est de même nture que l'intégrle générlisée f (t). L'eemple de f : t ve α > nous montre que les séries de Riemnn et les tα nα intégrles de Riemnn sont de même nture. tα Le résultt qui suit peut être utilisé pour montrer l divergene d'une intégrle. Théorème 38.7 Soient < < b + et f une fontion ontinue pr moreu sur [, b[. L'intégrle de f sur [, b[ est onvergente si, et seulement si, pour toute suite ( n ) n N de points de [, b[ qui onverge vers b, l série n+ f (t) est onvergente. Pour montrer l divergene de n f (t) il sut lors de trouver une suite ( n ) n N de points de [, b[ qui onverge vers b telle que l série n+ f (t) soit divergente. Eerie 38.5 Montrer que pour < α l'intégrle n sin (t) est semi-onvergente. t α Dns le s d'une fontion à vleurs réelles positives, on le résultt suivnt qui permet prfois de justier l onvergene d'une intégrle en utilisnt l série n+ f (t) où ( n ) n N est une suite prtiulière de points de [, b[ qui onverge vers b. Théorème 38.8 Soient < < b + et f une fontion ontinue pr moreu sur [, b[ à vleurs réelles positives. L'intégrle de f sur [, b[ est onvergente si, et seulement si, il eiste une suite roissnte ( n ) n N de points de [, b[ qui onverge vers b, telle que l série n+ f (t) soit onvergente. n 38.7 Un théorème d'abel Le théorème de Cuhy pour les intégrles générlisées et l deuième formule de l moyenne pour les intégrles dénies nous permettent de montrer les résultts suivnts. Théorème 38.9 (Abel) Soient f, g des fontions ontinues pr moreu sur [, b[ telles que :. f est déroissnte à vleurs positives sur [, b[ ; 2. l'intégrle g (t) est onvergente. Dns es ondition, l'intégrle f (t) g (t) est onvergente. Théorème 38.2 (Abel) Soient f, g des fontions ontinues pr moreu sur [, b[ telles que : n

12 946 Intégrle impropre d'une fontion ontinue sur un intervlle de R. Eemples. f est déroissnte à vleurs positives sur [, b[ ve lim f() = ; b 2. il eiste un réel M > tel que : [, b[, g (t) M Dns es ondition, l'intégrle f (t) g (t) est onvergente. Eerie 38.6 Montrer que si f : R + R est une fontion ontinue pr moreu, déroissnte et telle que lim f() =, lors pour tout réel λ non nul, l'intégrle f (t) e iλt est + + onvergente. Eerie 38.7 Le but de l'eerie est de déterminer l nture de l'intégrle e iλt sui- tα vnt les vleurs des nombres réels α et λ.. Triter le s λ =. On suppose, dns les questions suivntes, que λ. 2. Montrer que, si α >, lors 3. Montrer que, si < α, lors 4. Montrer que, si α, lors e iλt est bsolument onvergente. tα e iλt t e iλt est semi-onvergente. tα α est divergente. 5. Montrer que, si < α, lors les intégrles semi-onvergentes. 6. Montrer que sin 2 (t) est divergente. t os (λt) et t α 7. Montrer que les deu fontions f et g dénies sur [, + [ pr f (t) = sin (λt) sont t α sin (t) t et g (t) = sin (t) + sin2 (t) sont équivlentes u voisinge de +. À quelle propriété, ette question t t fournit-elle un ontre-eemple?