Primitives et intégrales

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1 Primitives et intégrles Dniel PERRIN Je donne ici des éléments pour triter l exposé de CAPES 53 (liste 2013) : Intégrles, primitives. On trouver à l fin une proposition de pln d exposé. Ce texte est conforme u progrmme de Terminle S de Le lecteur trouver des détils et notmment un historique des progrmmes dns mon ppier 1 Aires, intégrles et primitives, voir : perrin/conferences.html. Dns tout ce qui suit, I désigne un intervlle de R (ni vide, ni réduit à un point). 1 Primitives 1.1 Définition. Soit f : I R une fonction définie sur un intervlle de R (ou une réunion d intervlles). On dit que l fonction F : I R est une primitive de f si F est dérivle et si l on F (x) = f(x) pour tout x I. 1.2 Proposition. 1) Si F est une primitive de f il en est de même de F + k où k est une fonction constnte. 2) Si F et G sont deux primitives de f sur un intervlle I, l différence F G est une constnte. En prticulier on, pour tous, I, F () F () = G() G(). 3) Soient I un intervlle, c I et k R. Si f dmet une primitive F sur I, il existe une unique primitive G de f qui vérifie G(c) = k. Démonstrtion. Le point 1) est clir. Pour 2) on (F G) = 0, donc F G est une constnte k. On en déduit G() G() = F () + k (F () + k) = F () F (). Le dernier point se voit en justnt l constnte. 1.3 Remrques. 1) Dns 2), on utilise de mnière essentielle le fit que I est un intervlle. Sur une réunion d intervlles disjoints on peut voir plusieurs primitives. Pr exemple, l fonction nulle sur ] 1, 0[ ]0, 1[ dmet comme primitives les fonctions qui vlent une certine constnte sur ] 1, 0[ et une utre sur ]0, 1[. 1. D illeurs, du dire même de ses concepteurs, l ctuel progrmme s inspire de ce texte. C est ien le seul point positif de ce progrmme. 1

2 Un exemple de fonction nturellement définie sur une réunion d intervlles est celui de l fonction x 2 1 qui est définie sur ], 1] [1, + [. 2) Une fonction qui dmet une primitive est l dérivée d une fonction. Il est connu qu lors elle vérifie le théorème des vleurs intermédiires. Il en résulte que l fonction prtie entière sur [0, 2] n ps de primitive. 2 Aires On dmet l existence de l notion d ire et ses propriétés essentielles. Précisément, on dmet qu il existe une ppliction µ : Q R +, ppelée mesure d ire, définie sur certines prties de R 2 dites qurrles et qui vérifie les propriétés suivntes 2 : 1) Les polygones sont qurrles, insi que l hypogrphe d une fonction f continue et positive sur un segment (l prtie limitée pr l xe des x, le grphe de f et les droites d équtions x = et x =, voir figure ci-dessous). f(x) Figure 1 L hypogrphe de f x L démonstrtion de cette dernière propriété n est ps évidente et repose sur l continuité uniforme de f. 2) L mesure du crré unité âti sur les xes est égle à 1. 3) L mesure est dditive : si A, B sont des prties qurrles disjointes, on µ(a B) = µ(a) + µ(b). C est encore vri si les prties sont presque 2. Sur ce thème, voir Mthémtiques d école, Cssini, 2011, cité [ME] dns ce qui suit, notmment pour des précisions sur l différence entre ire et mesure d ire. 2

3 disjointes i.e. si leur intersection est une réunion finie de segments 3. Un corollire de cette propriété est l croissnce de µ : si on A B on µ(a) µ(b). 4) L mesure est invrinte pr isométrie : si g est une isométrie on µ(g(a)) = µ(a). 5) Elle est homogène : si h est une homothétie de rpport k on µ(h(a)) = k 2 µ(a). On montre que l mesure d un rectngle R dont les côtés sont de longueurs et est égle à. Il fut être conscient que ce résultt, vec lequel chcun est fmilier depuis l école primire, est fcile si l on dispose de l propriété 5) mis que sinon, il nécessite un pssge à l limite, voir [ME] p. 216 et Intégrle d une fonction continue positive 3.1 Définition 3.1 Définition. Soient, R vec <. Soit f : [, ] R une fonction continue 0. On ppelle intégrle de à de f et on note f(t)dt l mesure de l ire de l hypogrphe de f, vec l unité d ire choisie ci-dessus. C est l définition du progrmme ctuel de TS (à ceci près que le mot mesure est souvent omis). 3.2 Lien vec les primitives Le théorème essentiel est le suivnt. 3.2 Théorème. Soit f : [, ] R une fonction continue 0. L fonction F définie sur [, ] pr F (x) = x f(t)dt est une primitive de f. Précisément, c est l unique primitive de f qui s nnule en. Si G est une primitive quelconque de f on f(t)dt = G() G(). Démonstrtion. On trite seulement le cs monotone, disons croissnt. On clcule le tux F (x + h) F (x) d ccroissement, disons pour h > 0. h 3. Il fut svoir justifier le fit qu un segment est d ire nulle, pr exemple, s il est de longueur l, en l englont dns des rectngles de longueur l et de lrgeur ɛ et en fisnt tendre ɛ vers 0. 3

4 f(x+h) f(x) x x+h Figure 2 L preuve de 3.2 L quntité F (x + h) F (x) est l ire de l hypogrphe entre les scisses x et x + h. Comme cette prtie est comprise entre deux rectngles de lrgeur h et de longueurs f(x) et f(x + h) on : hf(x) F (x + h) F (x) F (x + h) F (x) hf(x + h), d où f(x) f(x + h). Qund h tend vers h 0, comme f est continue, les deux extrêmes tendent vers f(x), donc ussi le tux d ccroissement et on donc, pr définition de l dérivée, F (x) = f(x). On l formule F () = f(t)dt. Comme F () est nulle, on donc encore F () F () = f(t)dt. Si G est une utre primitive de f, l formule vut ussi vec G en vertu de Remrques. 1) Il fut être cple de triter les cs f continue non monotone et h < 0 si le jury le demnde. Pour h < 0 il n y ps de difficulté. On les inéglités : hf(x + h) F (x) F (x + h) hf(x) et l inéglité est l même qu uprvnt pour le tux d ccroissement. Pour une fonction continue quelconque, il y deux voies. On introduit le minimum m h et le mximum M h de f sur [x, x + h], en supposnt qu ils existent, ce qu un élève de TS dmettr sns peine. On les inéglités : hm h F (x + h) F (x) hm h et l conclusion vient du fit que, comme f est continue en x, m h et M h tendent tous deux vers f(x) qund h tend vers 0. On utilise directement l continuité de f en ɛ, η (ce qui disqulifie cette preuve u niveu TS). On se donne ɛ > 0 et on doit montrer que, pour h < η, on F (x + h) F (x) f(x) h < ɛ. Comme f est continue, il existe η tel que, si t est dns [x, x + h] vec h < η on f(x) ɛ < f(t) < f(x) + ɛ. 4

5 L ire de l hypogrphe entre x et x + h est lors comprise entre h(f(x) ɛ) et h(f(x) + ɛ) et on le résultt. 2) Il y des fonctions non continues qui dmettent des primitives. Pr exemple l fonction définie pr f(x) = 2x sin 1 cos 1 pour x 0 et pr x x f(0) = 0 n est ps continue en 0 mis dmet l primitive F définie pr F (x) = x 2 sin 1 pour x 0 et F (0) = 0. x 3.4 Corollire. 1) Soit f : [, ] R une fonction continue. Alors, f dmet des primitives. 2) L même ssertion est encore vlle sur un intervlle I quelconque. Démonstrtion. 1) On dmet 4 que f est minorée pr une constnte m. On considère g = f m qui est continue 0. L fonction g dmet une primitive G et f dmet l primitive F (x) = G(x) + mx. 2) On définit une primitive F de f comme suit. On fixe un point c I. Soit x un point de I et soient, I vec < tels que x, c [, ]. Il existe une unique primitive G, de f sur [, ] qui est nulle en c. On pose F (x) = G, (x). Cette définition est indépendnte du choix de et. En effet, si on deux utres points et vérifint les mêmes conditions, les primitives G, et G, coïncident sur [, ] [, ] en vertu de 1.2, donc elles sont égles en x. Il est clir que F convient. 3.5 Remrque. Une utre voie pour prouver l existence d une primitive d une fonction continue f de signe quelconque est de définir les fonctions f + = Mx (f, 0) et f = Mx ( f, 0), de montrer qu elles sont continues (c est le point délict) et qu on f = f + f. Comme f + et f sont positives, elles ont des primitives G et H et G H est une primitive de f. 4 Intégrle d une fonction continue de signe quelconque 4.1 Définition Pour une fonction positive, les choses sont clires, l intégrle c est l ire sous l coure. On vu en 3.2 que, si F est une primitive de f, on lors f(t)dt = F () F (). Cette formule est une première justifiction de l définition suivnte, qui vut pour une fonction de signe quelconque et sns supposer l condition < sur les ornes : 4. Il fut voir une idée de l preuve. On peut pr exemple le fire pr dichotomie. 5

6 4.1 Définition. Soient f : I R une fonction continue, et des points de I et soit F une primitive 5 de f sur I. On définit l intégrle de à de f pr l formule f(t)dt = F () F (). 4.2 Remrque. Avec l définition ci-dessus, x f(t)dt = F (x) F () est une primitive de f sur I. 4.2 Discussion On peut donner une justifiction supplémentire de l définition ci-dessus en voynt l intégrle comme une ire orientée. On considère une fonction continue définie sur un intervlle I, de signe constnt, mis ps nécessirement 0, et deux points, I (on ne suppose ps < ). On considère son hypogrphe H et le ord orienté H qui est l coure fermée simple constituée du segment [, ], prcouru de vers, puis du segment verticl qui v de (, 0) à (, f()), puis du grphe de f llnt jusqu à (, f()) puis du segment verticl qui joint ce point à (, 0). L intégrle f(t)dt ser lors l ire de l hypogrphe, mis comptée positivement (resp. négtivement) si H tourne dns le sens trigonométrique (resp. dns le sens des iguilles d une montre). En prticulier, l ire ser négtive si on < et f 0 ou > et f 0. Exminons ces deux cs et montrons que l intégrle insi définie est ien donnée pr l formule F () F () où F est une primitive de f. ire positive ire négtive ire négtive Figure 3 Aires orientées Si on < et f négtive, l ire de l hypogrphe, en vleur solue est l même que celle de l hypogrphe de f en vertu de l invrince de l ire pr symétrie. Notons α cette ire. Si F est une primitive de f, F en est une 5. Il en existe pr

7 de f et on α = ( F )() ( F )() en vertu de 3.2. Comme l intégrle, pr convention, doit être négtive, c est ien α = F () F (). Si mintennt on >, mis f 0, c est l intégrle de à qui est positive et vut F () F (). Comme l intégrle de à correspond à l même ire, comptée négtivement, c est encore F () F (). 4.3 Remrque. Si f n est ps de signe constnt, mis n qu un nomre fini de chngements de signe, ce qui précède permet encore de définir directement son intégrle. Attention, il y des fonctions continues qui chngent eucoup de signe, pr exemple f(x) = x sin 1 x. 4.3 Propriétés 4.4 Proposition. Soient I un intervlle de R, f, g : I R deux fonctions continues et,, c I. On les propriétés suivntes : 1) (Reltion de Chsles) On f(t)dt, f(t)dt = 0. 2) (Linérité) Pour tous λ, µ R on µ g(t)dt. f(t)dt = c f(t)dt+ c f(t)dt, (λf(t)+µg(t))dt = λ f(t)dt = f(t)dt+ 3) (Positivité) On suppose. Si f(t) est 0 pour tout t [, ], f(t)dt est 0. Si on f g, on f(t)dt g(t)dt. Démonstrtion. Avec l définition 4.1 les preuves sont très fciles. En revnche, vec l définition 3.1 ce n est ps le cs, même en se limitnt ux fonctions positives. Le lecteur réfléchir pr exemple à l formule (f +g) = f + g. Montrons Chsles. Si F est une primitive de f, il s git de prouver les formules : F () F () = F (c) F ()+F () F (c), F () F () = (F () F ()) et F () F () = 0. On devrit y rriver. Pour l linérité, on note que λf + µg est une primitive de λf + µg et il s git de vérifier lors (λf + µg)() (λf + µg)() = λ(f () F ()) + µ(g() G()). Là non plus il n y ps de difficulté. Enfin, l positivité est évidente vec l définition Remrques. 1) Pour l positivité, ttention à l condition. Une question piège est 7

8 x 2 l suivnte : soit x un réel positif. Quel est le signe de x ln t dt? 2) On peut ussi énoncer des résultts concernnt l prité, les périodes, etc. 5 Applictions 5.1 Formule de l moyenne Il s git de l énoncé suivnt : 5.1 Proposition. Soit f : [, ] R une fonction continue. Il existe un point c [, ] qui vérifie : f(c) = 1 f(t)dt. L vleur f(c) est ppelée vleur moyenne de f sur [, ]. Démonstrtion. Soient m et M les ornes de f. On dmet qu elles existent et sont tteintes. Alors, l intégrle I est comprise entre m( ) et M( ). I Il en résulte que est compris entre m et M. Le théorème des vleurs intermédiires ssure qu il existe c [, ] tel que f(c) = 5.2 L inéglité des ccroissements finis I. 5.2 Proposition. Soit f : [, ] R une fonction de clsse C 1. On suppose qu il existe m et M tels que l on it m f (x) M pour tout x [, ]. Alors, on l inéglité des ccroissements finis : m( ) f() f() M( ). Démonstrtion. Il suffit d écrire f() f() = f (t)dt et d ppliquer l croissnce de l intégrle. 5.3 Autres pplictions Montrer l formule ln() = ln()+ln() pour, > 0 en utilisnt le fit que ln(x) est une primitive de 1/x (étudier l fonction ln(x) ln() ln(x)). Pour une fonction f : R R, périodique de période T, montrer les deux formules : f(t)dt = +T +T f(t)dt et 8 +T f(t)dt = T 0 f(t)dt

9 pour tous, R. (Pour l première, remplcer pr x et dériver pr rpport à x, pour l seconde, utiliser l reltion de Chsles vec les ornes, 0, T, + T. Au niveu BTS on peut ussi utiliser un chngement de vriles.) 5.4 L qudrture de l prole On considère l prole d éqution y = x 2 et on cherche à clculer, pr exemple, l ire de l prtie située u-dessus de l coure et en dessous de l droite d éqution y = 1 (ce domine est ce qu on ppelle un segment de prole), ou, ce qui revient u même, l ire de l prtie limitée pr l xe des x, les droites d équtions x = 1 et x = 1 et l coure. Pr symétrie, cette ire est doule de celle de s moitié droite E, définie pr x Figure 4 L prole et les rectngles Avec les primitives Avec le clcul intégrl le clcul est immédit cr x 3 /3 est une primitive de x 2 et on 1 0 t2 dt = 1/3. On peut ussi montrer vec cette méthode que l ire du segment de prole limité pr une corde [AB] (ps nécessirement perpendiculire à l xe de l prole) est égle ux deux tiers de l ire du tringle limité pr [AB] et pr les tngentes à l prole en A et B. Voir sur ce thème [ME] Ch. 7, Th. 2.14, p Note historique et pédgogique Le clcul de l qudrture du segment de prole remonte à Archimède et c est un des sommets des mthémtiques de l Antiquité. Archimède donne 9

10 plusieurs preuves du résultt, voir [ME] p. 249 pour un perçu d une de ses preuves dont le ressort lgérique est le clcul de l somme d une série géométrique. Les progrmmes de terminle de 2002 suggérient fortement d order ce prolème pr l méthode des rectngles. Le principe est le suivnt. Si l on prtge le segment [0, 1] en n prties égles, voir figure 4, l somme des ires des rectngles situés en-dessous de l coure est égle à s n = 1 n à S n = 1 n n k 2 = k=1 n 1 k 2 n 2 k=0 n k=1 et celle des ires situées u-dessus de l coure est égle k 2 n 2. Pour clculer s n et S n il fut se souvenir de l formule n(n + 1)(2n + 1). On otient lors : 6 (n 1)n(2n 1) 6n t 2 dt n(n + 1)(2n + 1) 6n 3. Lorsque n tend vers +, le théorème des gendrmes montre qu on 1 0 t2 dt = 1/3. Archimède n utilise ps cette voie pour l qudrture de l prole, mis il emploie utilise une méthode très voisine, et notmment l somme des k 2, pour le clcul de l ire de l spirle dite d Archimède, voir : perrin/projet-geometrie/den-plom.pdf. Voir ussi sur m pge we : perrin/conferences.html l conférence sur l qudrture de l prole pour une discussion plus pprofondie. On noter que cette méthode, qui rmène le clcul à l somme des termes d une suite, est eucoup plus compliquée 6 que le clcul des primitives (méthode plus récente puisqu elle remonte à Newton et Leiniz, vers 1650). Encore, dns le cs de l prole, prvient-on à fire reltivement isément le clcul de n 2, mis on penser à l difficulté du clcul de n 23 pr rpport à celle de x 23 dx pour mesurer le progrès ccompli vec l invention du clcul infinitésiml. Toutefois, l méthode des rectngles et d utres (trpèzes, points médins, etc.) grdent un intérêt pour les clculs pprochés d intégrles dns le cs où l on ne connît ps de primitive. 6. D illeurs, le progrmme ctuel insiste eucoup moins sur ce point. 10

11 6 Un pln pour un exposé de CAPES Pour le jour de l orl, je propose essentiellement de reprendre l ordre cidessus (en grdnt en réserve toutes les remrques). Précisément : 1) On définit les primitives et on montre l proposition 1.2 (u moins les points 1 et 2) en insistnt sur le fit que I est un intervlle et en donnnt l formule F () F () = G() G() qui ser utile plus loin. On évoque les exemples clssiques de clculs de primitives pr lecture inverse du tleu des dérivées usuelles. 2) On nnonce orlement qu on utiliser lirement les propriétés des ires plnes (et notmment l dditivité et l ire du rectngle) sns entrer dns le détil (mis il fut pouvoir répondre à une question sur ce point). On définit l intégrle d une fonction continue positive comme l ire sous l coure (en indiqunt que c est celle donnée u lycée) et on énonce le théorème 3.2 (l intégrle donne une primitive dns ce cs). On précise qu on ne le démontrer que dns le cs monotone. On n oulie ps l formule donnnt l intégrle comme G() G() pour une primitive quelconque. 3) On énonce l existence d une primitive pour une fonction continue quelconque (peut-être seulement dns le cs [, ]). On dit orlement qu on utiliser le fit qu une fonction continue sur un segment est ornée inférieurement. 4) On définit l intégrle d une fonction continue quelconque (voir 4.1). On dit orlement qu on pourr en donner une justifiction géométrique, mis que surtout, l formule est essentielle pour étlir les propriétés de l intégrle et notmment l linérité et que, là encore, c est mintennt celle utilisée u lycée. 5) On énonce l proposition 4.4 et l formule de l moyenne. 6) On propose des pplictions, pr exemple les ccroissements finis, l éqution fonctionnelle du logrithme et les résultts sur les fonctions périodiques. On peut ussi évoquer l qudrture de l prole dns l version évidente donnée ci-dessus ou dns celle de [ME]. Dns ce cs, il est on, en prévision d une éventuelle question, de svoir ussi fire le clcul vec l méthode des rectngles et d indiquer pourquoi il est eucoup moins performnt que celui vec les primitives. 11