Série d exercices Les nombres complexes

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1 Sére d exercces Les nombres complexes Exercce Sot l équton (E) : + + ( + ) = 0 ) Résoudre dns C l équton (E) schnt qu elle dmet une soluton réelle et une soluton mgnre.on note 3 et les utres solutons. ) Le pln mun d un repère (O,, j), soent A,B,C et D les ponts d ffxes respectves,, 3 et Quelle est l nture du qudrltère de sommets A,B,C et D Exercce ) Sot θ réel de [0,π[, résoudre dns C l équton ( ) ( ) P() = + cosθ + cosθ ² + + cos θ ² = 0. )Mettre P() sous l forme d un produt de deux polynômes du second degré à coeffcents réels Exercce 3 Sot le nombre complexe = ) Vérfer que = e π ) Vérfer que =( ) ( ) 3) En dédure que =0 ) Montrer que 3 = et () = ) En dédure que ( + ) + + = 0 6) Clculer + et en dédure π cos Exercce Le pln complexe est rpporté à un repère orthonormé (O,u,v). On consdère les pont A et B d ffxes et, Sot f l pplcton de P =P\{A} dns P qu tout pont M de P d ffxe dstnct de ssoce le pont M d ffxe tel que + ' = ) Détermner le pont f(o). ) Sot C d ffxe +, détermner l ntécédent de C 3) Montrer que + = dmet deux solutons AM π ) Montrer que OM' = et (u,om') (MB,MA) + ( π) ) Montrer que les mges pr f des ponts de l drote d équton y = 0 sont stuées sur un même cercle (C) que l on précser 6) Sot M un pont du cercle de dmètre [AB] dfférent de A et B, montrer que f(m) pprtent à l xe des bscsses Exercce Sot, dnsc, l équton (E) : 3 (3 + ) + (8 + 9) = 0

2 ) Montrer que l équton(e) dmet une rcne réelle α que l on détermner pus clculer les deux utres rcnes et vec >. ) On désgne pr A, B et C les ponts d ffxes respectves α, et dns le pln P le pln P rpporté à un repère orthonormé (O,u,v). Montrer que le qudrltère OABC est un rectngle. Exercce 6 Sot, dnsc, l équton (E) : où m est un prmètre réel. 3 + ( ) + ( + m ) ( + m ) = 0 ) Montrer que (E) dmet une soluton mgnre pure 0 que l on détermner et clculer en foncton de m les deux utres solutons. ) Dns le pln complexe rpporté à un repère orthonormé(o,u,v), soent les ponts A, B,M et M d ffxes respectves :,, m et +m. ) Montrer que le qudrltère AM est un prllélogrmme. b) Détermner m pour que le qudrltère AM sot un rectngle. Exercce ) (E) dmet une soluton réelle =, IR Correcton + + ( + ) = 0 + = 0 () ( + ) + ( + ) = 0 + = 0 () () = 0 ou = 3 ; 0 n est ps une soluton de () et 3 est une soluton de () donc = 3 et = 3 (E) dmet une soluton mgnre pur =b, b IR (b) + (b) + ( + )(b) = 0 (b b ) + ( b + b) = 0 b b = 0 () b + b = 0 () () b = 0 ou b = 3 ; 0 n est ps une soluton de () et 3 est une soluton de () donc b = 3 et = ( + ) = ( + 3)( 3)( + b + c) = = ( + (3 3) 9)( + b + c) d où = et c = les termes en sont + b(3 3) 9 = ( + b(3 3) 9) et pr dentfcton on obtent b = 3 3 lors (E) ( + 3)( 3)( + (3 3) ) = 0 + (3 3) = 0 pour dscrmnnt = ( +), on obtent lors deux solutons 3 = et = lors S C = { 3,3,, } ) On A( 3,0) ; B(0,3) ; C(, ) et D(, ) d où AB et CD sont colnéres et on AD = BC = 6 d où ABCD est un trpèe socèle. Exercce

3 ) ( ) ( ) + cosθ + cosθ + + cosθ = 0 Posons x = lors P() = 0 ( ) ( ) = x + cosθ + cosθ x + + cosθ = 0 cos θ ( + cos θ) ( + cos θ ) = ( + cos θ) (cos θ ) = cos θ (+ cos θ) ( + cos θ)snθ x = = (+ cos θ)(cos θ + sn θ ) et cos θ (+ cos θ ) + ( + cos θ)snθ x = = (+ cos θ)(cosθ sn θ ) ( + cos θ) sn θ = ( ( + cos θ) sn θ ) d où θ ( ) lors = (+ cos θ )e = ( + cos θ )e ou = (+ cos θ )e = ( + cos θ )e θ ( ) or θ [0,π[ lors + cosθ [0,] donc en posnt λ = + cosθ P() = 0 dmet solutons ( ) ( ) = λ = λ e, e ( ) ( ) 3 = λ = λ d où S = {,, 3, } e et e ) On remrque 3 = et = donc P() = ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( λe )( λ e ) = λ cos( ) + λ ( ) ( ) ( + λ e )( + λ e ) = + λ cos( ) + λ D où P() = ( λ cos( ) + λ )( + λ cos( ) + λ ) c est le produt de deux polynômes du second degré à coeffcents réels Exercce 3 ) π π = (e ) = e = ) ( ) ( ) = = 3) = ) = 0 ( ) ( ) = = 0 cr ) π 6π 3 3 = (e ) = e ; π π () = (e ) = e et comme 6 π π = π lors 6π e = e π donc 3 = () π 8π = (e ) = e ; π ( π + π) 8π = e = e = e d où = 3

4 ) 3 ( + ) + + = + + () + + = = 0 ( = = ) 6) π + = R () = cos d près ) π π cos + cos = 0 d où ( + ) + + = 0 lors cos π est soluton de x +x = 0 qu dmet deux solutons + x' = et x'' = et comme π π + cos >0 lors cos = Exercce + 0 ) On pour ffxe 0 lors son mge pour ffxe ' = = = 0 + donc f(o) = B + ) C pour ffxe + lors son ntécédent est le nombre complexe tel que + = (+ )() = + = donc l ntécédent de C est le pont d ffxe + 3) = () = + = = ou = + ( + ) ( ) AM ) On ' = = = lors ' = ' = OM' = ( ) ' = lors rg(') rg() + rg( ) rg()( π ) donc (u,om') π π + (u,am) (u,)( π) + (u,am) + (,u)( π) (u,om') π π + (,AM)( π) + (MB,MA)( π) ) Sot M un pont de l drote d équton y = 0 lors M (O,u) et pusque A et B ont pour ffxes et lors (O,u) est l AM médtrce de [AB] et pr conséquent MA = MB d où OM' = = M' ζ (O,) Les mges pr f des ponts de l drotes des bscsses sont les ponts du cercle trgonométrque 6) Sot M un pont du cercle de dmètre [AB] dfférent de A et B lors π (MB,MA) ( π) donc Exercce ) π (MB,MA) + 0( π) d où d près () (u,om') 0( π) 3 (3 + ) + (8 + 9) = 0α est une soluton réelle de (E) et pr sute M (O,u) 3 α (3 + ) α + (8 + 9) α = α 6 α + 8 α+ 3 = 0 () ( α 6α + 8α + 3) + ( α + 9α 9) = 0 α + 9α 9= 0

5 α + 9α 9 = 0 pour soluton 3 et l équton (E) et pr sute (E) ( 3)( + b +3) = 0 3 or seulement 3 est soluton de l équton () donc α = 3 est soluton de 3 + (b 3) + ( + 3 3b) = 0 pr dentfcton b 3 = (3+) b= 3 et + 3 3( 3 ) = d où (E) ( 3)( + ( 3 ) +3) = 0 = 3 ou + ( 3 ) +3 = 0 ; = 9, = et 3+I on " > ' lors = " = 3 + et = ' = ) A, B et C les ponts d ffxes respectves α, et lors = 3 OA A = ; = 3 CB B C = = lors = OA CB OA = CB donc OABC est un prllélogrmme or OB 3 0 = B = + = AC = A C = 3 = 0 lors OB =AC donc OABC est un prllélogrmme dont les dgonles sont sométrques d où c est un rectngle Exercce ( ) + ( + m ) ( + m ) = 0 0 = α est une soluton mgnre de (E) 3 ( α ) + ( )( α ) + ( + m )( α) ( + m ) = 0 α + α = 0 () 3 α + α + α + m α m = 0 () 3 ( α + α ) + ( α + α + α + m α m ) = 0 () α = 0 ou α = ; 0 n est ps soluton de () et est une soluton donc α= et pr sute 0 = est une soluton mgnre de (E) lors (E) ( )( + b + +m )= 3 + (b ) + ( + m b) ( + m ) Pr dentfcton b = d où (E) ( )( + + +m ) = 0 = ou + + +m = 0, = m = (m) lors = m et = +m ) ) A, B,M et M d ffxes respectves :, ; m et +m = AM' M' A = m, = m M"B B M" = = AM' M" B AM' = M"B donc AM est un prllélogrmme b) Pour que le prllélogrmme AM sot un rectngle l fut que ses dgonles soent sométrques AB = M M B A = M'' M' = m 0 = m m = m = ou m =