Couplage Electromagnétique Exercices d application

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1 oupag Ectomagnétiqu Excics d appication Excic Puissanc tanspoté pa un ond éctomagnétiqu Un msu d champ éctomagnétiqu a été ffctué dans un appatmnt situé à poximité d un émttu adioféqunc. a msu st ffctué à aid d un msuu d champ éctiqu. a msu diqu un champ éctiqu d ampitud cêt d V/m.. étmz a dnsité d puissanc cêt t moynn tanspoté pa ond éctomagnétiqu.. s commandations uopénns d xposition du pubic aux champs éctomagnétiqus xignt qu s psonns n sot pas soumiss à un dnsité d puissanc cêt > W/m². Qu concuz-vous d ctt msu? Excic Modè d ign Soit un ign bifiai d m d ong. ayon d chaqu b st d mm t a sépaation nt b st d 5 mm. méta pésnt un conductivité σc d S/m. On suppos qu s conductus baign dans un miiu diéctiqu d pmittivité ativ ε., d pméabiité magnétiqu ativ µ t d conductivité σd -6 S/m. On tansmt ds signaux dont occupation féqunti st compis nt t MHz. ign.. acu ductanc, a capacité, a ésistanc t a conductivité éiqu d ctt. étm impédanc caactéistiqu d a ign t a vitss d popagation (on poua véifi qu a ign pésnt ds pts faibs). 3. En dédui un modè éctiqu équivant pou a ign. 4. On dispos matnant d un scond ign supposé à faib pts. Son impédanc caactéistiqu st d c Ω t a vitss d popagation d.6 8 m/s. En dédui ductanc t a capacité éiqu d ctt ign. axand.boy@sa-touous.f Pag

2 Excic 3 Tansmission d un signa su un pai bifiai On considè un ign bifiai d onguu mèt composé d fis d ayon a µm t sépaés d un distanc d 5 µm. On suppos qu s conductus sont idéaux. On appiqu n nté d a ign un signa d typ échon d ampitud V. généatu pésnt un impédanc d soti d Ω. a ign st chagé à aut xtémité pa un ésistanc d 3 Ω. On not V(,t) t V(,t) s tnsions aux xtémités d a ign, t I(,t) t I(,t) s couants tavsant s chags connctés à chaqu xtémité d a ign.. Tac évoution dans tmps ds tnsions V(,t), V(,t) t ds couants I(,t) t I(,t).. Vs qus vaus convgnt couant t a tnsion msués à chaqu xtémité d a ign? Excic 4 Réfctométi Un éfctomèt dans doma tmpo (Tim oma fctomty TR) st un stumnt d msu utiisé pou anays s popiétés ds igns d tansmission t ocais ds défauts ts qu ds cassus. pcip d fonctionnmnt pos su nvoi d un impusion bèv pa éfctomèt dans a ign à anays t ngistmnt simutané d a tnsion n soti du éfctomèt. -ci dépnd d ond cidnt poduit pa éfctomèt, mais aussi d a éfxion poduit pa s uptus d impédanc d a ign à anays. a tnsion d cicuit ouvt du éfctomèt st un impusion d ampitud Vco V t d µs d agu. impédanc d soti du éfctomèt st TR 5 Ω. On souhait anays un câb coaxia d onguu connu t conncté su un chag ésistiv tma, aussi connu. On sait sumnt qu câb st adapté c 5 Ω t qu i st constitué d un isoant d typ tfon (ε.). On suppos qu câb n pésnt pas d défauts. a msu au éfctomèt d c câb donn ésutat suivant : Vtd(V) 6 6 Tmps (µs) étm a onguu du câb t impédanc d a chag tma. axand.boy@sa-touous.f Pag

3 Excic 5 iagnostic d un bus AN bus AN (onto Aa Ntwok standad IEEE 898) st un bus numéiqu dusti agmnt utiis pou s appications automobis. I st dédié à a communication nt s diffénts ogans d contô, captus t actionnus épatis dans un véhicu (i put connct usqu à 48 ntités). fomation numéiqu st tanspoté pa un signa diffénti, dont suppot physiqu pus couant st un pai bifiai, d impédanc caactéistiqu c Ω. haqu ntité conncté au bus pésnt un impédanc d nté d Ω. On souhait diagnostiqu s défauts d un bus AN impémnté dans un véhicu, à aid d un méthod basé su a éfctométi. On s téss à dux typs d défauts : s uptus d fi, qu on pésnta pa un cicuit ouvt (impédanc fi) Un cout-cicuit nt s fis du bus (impédanc nu) a pai bifiai utiisé pou bus a un onguu m, a vitss d popagation ong du bus v st d 8 m/s. On suppos qu s pts d a ign sont négigabs. On suppos qu bus st conncté à un xtémité à appai d éfctométi (appai d diagnostic), t à un ntité communicant à aut xtémité. appai d éfctométi mpoyé génè ds signaux d typ échon d ampitud V GO V. On négiga tmps d monté du signa. impédanc d soti d appai G st d 5 Ω. ui-ci msu pofi tmpo d tnsion V TR n soti d appai. G 5 Ω V G V TR Bus AN c Ω Ω Appai d éfctométi V G V G V Entité communicant t t. Pouquoi chaqu ntité communicant conncté au bus doit pésnt un impédanc d nté d Ω?. acu s cofficts d éfxion Γ G t Γ, n nté t n soti du bus. acu tmps d popagation Tp d un signa d un bout à aut du bus. 3. On suppos dans un pmi tmps qu bus n pésnt aucun défaut. A aid d un diagamm d bounc, tac pofi d tnsion msué pa appai d éfctométi. 4. On suppos qu un défaut d typ uptu d fi st pésnt su bus. Qu st modè éctiqu équivant du bus? A aid d un diagamm d bounc, tac pofi d tnsion msué pa appai d éfctométi n pésnc d c défaut. On appa T df axand.boy@sa-touous.f Pag 3

4 tmps pacouu pa signa cidnt pou attd défaut. On poua aêt tacé du pofi d tnsion apès T df. 5. On suppos qu un défaut d typ cout-cicuit st pésnt su bus. Qu st modè éctiqu équivant du bus? A aid d un diagamm d bounc, tac pofi d tnsion msué pa appai d éfctométi n pésnc d c défaut. On appa T df tmps pacouu pa signa cidnt pou attd défaut. On poua aêt tacé du pofi d tnsion apès T df. 6. On a obtnu vé suivant avc un bus. bus st-i défctuux? Si oui, donnz quaitativmnt typ d défaut asi qu sa position. V TR 7 V 3.4 V t t 8 ns t Excic 6 igns n ambda/4 tansfomatu d impédanc Un ign n ambda/4 st un ign dont a onguu st éga au quat d a onguu d ond à un féqunc donné. but d ct xcic st d compnd s popiétés téssants d tout ign d tansmission n condition ambda/4 n tant qu tansfomatu d impédanc.. Soit un ign d tansmission d onguu d impédanc caactéistiqu c, chagé pa un impédanc tma. On app a constant d popagation. étm xpssion théoiqu d impédanc vu dpuis nté d a ign.. Qu dvt xpssion pécédnt si a onguu d a ign λ/4? Qu st fft d a ign su impédanc vu dpuis nté d a ign? 3. En condition ambda/4, qu impédanc voit-on n nté d a ign si on chag a soti d a ign pa un capacité? Pa un ductanc? 4. On connct un antnn à un généatu d tnsion à aid d un ign micouban d impédanc caactéistiqu c 5 Ω. impédanc d soti du généatu st aussi 5 Ω. antnn doit émtt à GHz. A ctt féqunc, antnn st équivant à un impédanc compx fomé pa un ésistanc d 5 Ω n paaè d un capacité d pf. Qu pnsz-vous d fficacité d tansft d puissanc nt généatu t antnn? Qu condition faudait-i assu pou optimis? 5. Montz qu n aoutant un ductanc n paaè d antnn i st possib d optimis tansft d puissanc à antnn à un féqunc donné. Qu vau faudait-i donn à ctt ductanc pou optimis tansft d puissanc à GHz? 6. En vous basant su s qustions pécédnts, commnt pouait-on optimis tansft d puissanc à antnn à aid d un condnsatu? Qu vau choisiiz-vous pou c condnsatu? axand.boy@sa-touous.f Pag 4

5 Excic 7 Fit à ign mico uban Un ign d tansmission put êt modéisé à aid d un ésau distibué d ductancs t d capacités. Judiciusmnt dimnsionné, un ign put donc svi d fit pass-bas, pass-haut ou pass-band. but d ct xcic st d compnd pcip d bas d un fit à ign mico uban.. Soit un ign mico uban d impédanc caactéistiqu c t d onguu, chagé pa un impédanc. Mont qu impédanc d nté d a ign put s éci : tan tan << λ).. Simpifi xpssion pécédnt dans cas d un ign éctiqumnt cout ( 3. ans cas d un ign éctiqumnt cout, cacu impédanc d nté d a ign n fonction d a féqunc osqu a ign st chagé pa un faib impédanc t qu : << c? Si c <<? ans s cas, commnt s compot a ign? 4. Soit un ign mico-uban adapté 5 ohms. -ci st éaisé su un substat d pmittivité éctiqu ativ ε 4.5 t d épaissu h.5 mm. Un généatu d tnsion d ampitud tn V G avc un ésistanc séi R G d 5 ohms st conncté n nté d a ign, aos qu un chag 5 ohms st conncté su a soti. Au miiu d ctt ign pcipa, dux auts igns mico uban appés ign t ign sont connctés n paaè. a ign st cout-cicuité au pan d mass, aos qu a ign s tm n cicuit ouvt (impédanc d chag supposé fi). icuit ouvt c 5 Ω ign W 4 mm 4 mm Enté ign pcipa Soti ign W 3 µm 8 mm icuit fmé a. Véifiz qu s igns t sont éctiqumnt couts usqu à.5 GHz. b. étmz s paamèts éiqus d a ign (on négiga ss pts). En dédui son impédanc caactéistiqu t a vitss d popagation d ond ong d a ign. c. En assimiant a ign comm un capacité pan, détmz a capacité équivant pésnté pa a ign. d. onstui modè éctiqu équivant d ctt ign usqu à.5 GHz, n s basant su s ésutats d a qustion 3. axand.boy@sa-touous.f Pag 5

6 . Spécifiz a natu du fit fomé pa s igns t, asi qu a féqunc sguiè d c fit. Excic 8 Utiisation d a matic AB. Soit cicuit n T ci-dssous. étmz a matic AB d c cicuit. 3 Pot Pot. En utiisant s matics AB, détmz impédanc d nté d un ign sans pts, d onguu t d impédanc caactéistiqu c, chagé pa un impédanc noté. Qu s pass t-i si c? 3. Soit AB a matic d a ign pécédnt chagé pa un impédanc quconqu noté. -ci st xcité pa un généatu d tnsion Vg t d impédanc d soti g. Expimz a tnsion d nté n fonction d g, Vg t ds paamèts d a matic. En dédui xpssion d a tnsion d nté si g c. Excic 9 Emission ayonné d un ign bifiai Mod diffénti vs. mod commun Un ign d tansmission pacouu pa un couant va podui à gand distanc un ond éctomagnétiqu. but d ct xcic st d détm xpssion du champ éctiqu poduit pa un ign bifiai n champ ota. Soit un ign bifiai d onguu t d impédanc caactéistiqu c. On suppos qu a onguu d a ign st éctiqumnt cout. On suppos aussi qu a ign adapté. s bs sont sépaés pa un distanc noté d, agmnt féiu à a onguu d ond. Nous aons considé mods d popagation du couant : mod diffénti t mod commun. mod diffénti st mod «noma» d fonctionnmnt d un ign d tansmission à conductus : un ds conductus st conductu a, aut conductu st uniqu conductu d tou. ans mod commun, conductu dvt aussi un conductu a ( conductu tou st aos assué pa un 3 conductu, qu nous n idntifions pas). couant cicu aos dans mêm sns dans s conductus d a pai bifiai. ans un cas patiqu, couant qui cicu dans s diffénts conductus d igns d tansmission ésut d a supposition ds mods difféntis t communs. Nous aons voi qu s couants d mod diffénti t d mod commun n ont pas mêm impact su émission ayonné. axand.boy@sa-touous.f Pag 6

7 I Mod diffénti Fi Id Id Fi Fi I écomposition d mods d popagation Fi Ic I I I I I I I I I I I I Mod commun Fi Fi Ic. onnaissant ampitud du couant su un ds bs d a ign, pouquoi put-on utiis appoximation du dipô éémntai pou cacu champ éctiqu poduit n champ ota pa c b?. En utiisant pè géométiqu ci-dssous cnté su pot O, détmz xpssion théoiqu du champ éctiqu n champ ota. On not I t I s couants cicuant su chacun ds bs d a pai bifiai. M Eθ θ I X O φ d I Y a. On pac un pot d obsvation M à gand distanc d a pai bifiai ( >> d t >> ). étmz un xpssion du champ éctiqu n M n fonction ds couants I t I, asi qu ds distancs t nt M t cnt d chaqu b. b. En notant a distanc nt pot O t pot M, montz qu : t -. Pécisz a vau d. Expimz champ éctiqu n fonction d t. 3. On considè qu un couant diffénti Id cicu su s conductus. onnz xpssion théoiqu du champ éctiqu au pot M n fonction d a féqunc f. ans qu diction champ st-i maxima? Montz qu champ put s éci dans ctt diction sous a fom : Emax Kd.d.f²/.Id, où Kd st un constant à pécis. 4. On considè matnant qu un couant d mod commun Ic cicu su s conductus. onnz xpssion théoiqu du champ éctiqu au pot M n fonction d a féqunc f. ans qu diction champ st-i maxima? Montz qu champ put s éci dans ctt diction sous a fom : Emax Kc..f/.Ic, où Kc st un constant à pécis. axand.boy@sa-touous.f Pag 7

8 5. Soit un ign bifiai d onguu 5 cm, s bs sont sépaés d un distanc d cm. Jusqu à qu féqunc appoximation qu nous avons fait sa xact? acuz ampitud ds champs éctiqus maximum à m poduit pa un couant d mod diffénti, puis pa un couant d mod commun. Pou un ampitud d couant donné, concu su fft d chacun d cs mods. Excic Emission ayonné d un ign ongu t xcic étant a suit d xcic 9, i st consié d fai c dni avant On considè un pai bifiai d onguu, qu on n suppos pus éctiqumnt cout. a sépaation nt s bs st noté d. -ci st supposé tès ptit dvant a onguu d ond. On suppos qu a ign st pafaitmnt adapté t sans pts. On not a constant d popagation d ond ong d a ign, t a constant d popagation d ond n spac ib On considè qu couant qui cicu su a ign st pumnt diffénti. On considè aussi un couant susoïda d ampitud Io. a ign st oté ong d ax, s positions ong d a ign sont péés à pati d un oig pacé au cnt d a ign (positions compiss nt / t /).. Qu st xpssion du couant diffénti cicuant ong d a ign, n fonction d a position z su a ign.. Etabi xpssion du champ éctiqu diffénti de n champ ota poduit pa un tonçon d ign éctiqumnt cout, d onguu noté d. 3. En dédui xpssion du champ éctiqu diffénti E n champ ota poduit pa tout a ign. Véifiz qu on touv xpssion du champ éctiqu diffénti d un ign cout, détmé à a qustion 3 d xcic Pou qu(s) féqunc(s) ayonnmnt n champ ota poduit pa a ign pésnt-i ds maxima? ds mima? Excic Antnn d msu On souhait msu champ éctiqu à 9 MHz n utiisant un dipô dmi-ond. On suppos qu on st n conditions d champ ota t n spac ib. impédanc d ond st c du vid.. Qu onguu donniz-vous au dipô? Qu st sa sufac équivant?. acu a vau théoiqu d son factu d antnn, n considéant qu écptu pésnt un impédanc d nté d 5 Ω? Si a tnsion msué aux bons d antnn st d V, qu st ampitud du champ éctiqu cidnt? Et c du champ magnétiqu associé? 3. Apès caactéisation d ctt antnn, on obtt s donnés suivants : axand.boy@sa-touous.f Pag 8

9 fficacité η 95 % coffict d éfxion n nté Γ. (n considéant un impédanc caactéistiqu d 5 Ω) a msu su un chag 5 ohms donn un puissanc d. µw. Qu st a vau du champ éctiqu cidnt? Excic Antnn isotop Soit un antnn isotop pafaitmnt adapté t sans pts. On a fait fonctionn à un féqunc F GHz. On ui founit un puissanc éctiqu moynn d mw.. En champ ota, qu st ga d ctt antnn? (a épons à ctt qustion n nécssit aucun cacu).. On s pac à un distanc R m d antnn. Est-on dans a égion d champ poch ou d champ ota d antnn? 3. acuz a dnsité d puissanc d ond éctomagnétiqu poduit pa antnn à un distanc R m. 4. acuz ampitud du champ éctiqu à m d ctt antnn. Excic 3 Péimèt d sécuité autou d un station d bas UMTS Un station d bas UMTS st pacé su toit d un immub. ga d antnn st d 6 n fac avant d antnn. a puissanc d émission moynn st d W su un band situé autou d MHz. a figu ci-cont pésnt un simuation du ayonnmnt poduit pa c typ d antnn. E mont qu un immub vois put cvoi un champ éctiqu impotant. pndant, a égisation uopénn xig qu à ctt féqunc, pubic n soit pas xposé à un champ éctiqu supéiu à 6 V/m, t qu psonn habiité n soit pas xposé à pus d 37 V/m.. étmz péimèt d sécuité n fac d antnn pou pubic.. A qu distanc put s appoch un psonn habiité d antnn? Excic 4 Récupéation d éngi d un émttu adio On souhait écupé éngi ayonné pa un station d bas GSM af d aimnt pusius captus d nvionnmnt. systèm d écupéation d éngi dispos d un antnn d écption d un ga d.5. E st accodé à 93 MHz, a féqunc d un cana axand.boy@sa-touous.f Pag 9

10 GSM su qu a station d bas émt. On suppos qu ndmnt d antnn st éga à.85. a station d bas émt un puissanc moynn d W à aid d un antnn pésntant un ga d 6. On suppos qu antnn d écption du captu st pacé à 5 mèts d antnn émttic, dans a diction d son ob pcipa. étmz a puissanc éctiqu moynn qu on st suscptib d écupé. axand.boy@sa-touous.f Pag

11 octions Excic Puissanc tanspoté pa un ond éctomagnétiqu Un msu d champ éctomagnétiqu a été ffctué dans un appatmnt situé à poximité d un émttu adioféqunc. a msu st ffctué à aid d un msuu d champ éctiqu. a msu diqu un champ éctiqu d ampitud cêt d V/m.. étmz a dnsité d puissanc cêt t moynn tanspoté pa ond éctomagnétiqu.. s commandations uopénns d xposition du pubic aux champs éctomagnétiqus xignt qu s psonns n sot pas soumiss à un dnsité d puissanc cêt > W/m². Qu concuz-vous d ctt msu?. On suppos un égim susoïda. a puissanc cêt tanspoté pa éngi éctomagnétiqu st d : P max E H, a puissanc moynn d P moy / E H. En supposant qu ond st pan (mod TEM), c qui st vai à un distanc suffisammnt impotant d émttu adioféqunc (condition d champ ota), s champs éctiqu t magnétiqu d ond sont n phas t iés pa impédanc d ond η 377 Ω dans ai ou dans vid : E / H η. a puissanc tanspoté pa ond msué st d : P P max E η P moy max mw / m² 33 mw / m². a puissanc cêt tanspoté pa ond st nvion fois pus faib qu a imit pévu pa a commandation d xposition du pubic. A pioi, i n y a pas d pobèms égaux iés à xposition du pubic t donc pas d modifications à appot pa popiétai d émttu (homis si pcip d pécaution st appiqué). Excic Modè d ign Soit un ign bifiai d m d ong. ayon d chaqu b st d mm t a sépaation nt b st d 5 mm. méta pésnt un conductivité σc d S/m. On suppos qu s conductus baign dans un miiu diéctiqu d pmittivité ativ ε., d pméabiité magnétiqu ativ µ t d conductivité σd -6 S/m. On tansmt ds signaux dont occupation féqunti st compis nt t MHz. ign.. acu ductanc, a capacité, a ésistanc t a conductivité éiqu d ctt axand.boy@sa-touous.f Pag

12 A pati ds fomus anaytiqus vus n cous, on détm s paamèts éiqus d un pai bifiai : 7 µ d 4π 5 n n 77nH / m π a π πε ε π c 44 pf / m d 5 n n a 5.7 mω / m 7 σ πa 5.6 π. σ d g ε ε µs / m. étm impédanc caactéistiqu d a ign t a vitss d popagation (on poua véifi qu a ign pésnt ds pts faibs). ans cas généa d un ign pésntant ds pts, impédanc caactéistiqu s cacu son a fomu suivant : ω g cω Si s pts ( t g) sont négigabs, aos impédanc caactéistiqu s simpifi n. Paçons-nous à a féqunc a pus faib : MHz. A ctt féqunc : ω c.74 >>, t cω.8-4 >> g, donc on put négig s pts. impédanc caactéistiqu d a ign st d 79 Ω. ans cas généa d un ign pésntant ds pts, a constant d popagation s γ ( ω)( g cω) α cacu son a fomu suivant :. omm s pts ω sont négigabs, a constant d popagation st pumnt compx : γ ω c où v v st a vitss d popagation : 8 v.86 m / s c 3. En dédui un modè éctiqu équivant pou a ign. modè éctiqu d a ign doit êt vaid su tout doma féqunti du signa véhicué. Modéis un tonçon d ign pa un cicuit éctiqu à bas d constants cg ocaisés supposnt qu c tonçon soit éctiqumnt cout (onguu faib dvant a onguu d ond). En posant a onguu d c tonçon, cui-ci st éctiqumnt cout tant qu < λ/. contnu féqunti du signa st imité à MHz. a onguu d ond a v pus cout st donc d : λ.86m. f a ign n st donc pas éctiqumnt cout, on n put donc pas a modéis pa un su cicuit cg. I faut donc a modéis pa ds cicuits cg distibués pésntant ds tonçons d ign éctiqumnt couts. Pa xmp, un tonçon d ign d 5 cm d ong st éctiqumnt cout usqu à MHz. On put modéis pa un cicuit RG, où R *5 cm.4 mω, 69 nh, axand.boy@sa-touous.f Pag

13 pf t G.7 µs. On modéis a ign ntiè pa 4 cicuits RG d c typ, comm mont a figu ci-dssous. Rmaqu : comm s pts stnt négigabs, on pouait suppim s éémnts R t G. 4. On dispos matnant d un scond ign supposé à faib pts. Son impédanc caactéistiqu st d c Ω t a vitss d popagation d.6 8 m/s. En dédui ductanc t a capacité éiqu d ctt ign. omm s pts d a ign stnt faibs, impédanc caactéistiqu t a vitss d popagation s cacunt son s fomus suivants : t v. c c On n déduit : 385 nh / m t c 38 pf / m v v. Excic 3 Tansmission d un signa su un pai bifiai On considè un ign bifiai d onguu mèt composé d fis d ayon a µm t sépaés d un distanc d 5 µm pa d ai. On suppos qu s conductus sont idéaux. On appiqu n nté d a ign un signa d typ échon d ampitud V. généatu pésnt un impédanc d soti d Ω. a ign st chagé à aut xtémité pa un ésistanc d 3 Ω. On not V(,t) t V(,t) s tnsions aux xtémités d a ign, t I(,t) t I(,t) s couants tavsant s chags connctés à chaqu xtémité d a ign. I(,t).. Tac évoution dans tmps ds tnsions V(,t), V(,t) t ds couants I(,t) t Pou ca, on va tac diagamm d bond (Bounc iagam) pou ctt ign. On commnc pa cacu s ductancs t capacités éiqus d a ign. omm on suppos qu a ign st sans pts, on n considè pas a ésistanc séi ié aux pts ohmiqus. µ d n 555nH / m I π a πε ε /, I pf m ε d a d n a axand.boy@sa-touous.f Pag 3

14 Rmaqu : dans cous, ductanc éiqu d un pai bifiai st donné pa : µ d µ n. I s agit d un u. a bonn xpssion st : d n. π a π a 555nH / m acu d impédanc caactéistiqu : 67Ω t d a pf / m 8 vitss d popagation : v 3 m / s. tmps d 555nH / m pf / m popagation st d T P 3. 33ns 8 v 3, tmps d a tou st d TAR TP 6. 66ns 3 67 offict d éfxion au nivau d a chag : Γ G 67 offict d éfxion au nivau d a souc : ΓG. 89 G 67 Vau pis pa ond cidnt à t : 67 V (, t) V t V.94V v 67 G Tmps (ns) Souc.89 Γ G VG()V.94 V ( Γ ). V VG V V G VG V V3 ΓG ( ) V hag.8 Γ V V. 94V V V Γ. 6V V V V ΓG. 7V V V Γ. V 3 V V V ΓG. 76V 4 3 V V Γ. V 5 4 Pou obtni couant n nté d a ign I(,t) : I(, t) soti d ign I(,t), c'st-à-di tavsant a chag : I( t) Véification pa un simuation SPIE : Simuation ds tnsions : (, t) V()V ( Γ ). V V V ( Γ ). V V V 9 ( Γ ). V V V 4 97 V. Pou obtni couant n (, t) V,. axand.boy@sa-touous.f Pag 4

15 V(,t) V(,t) Simuation ds couants : I(,t) I(,t). Vs qus vaus convgnt couant t a tnsion msués à chaqu xtémité d a ign? osqu t, font cidnt n bondit pus d un xtémité à aut d a ign (éngi tansmis aux chags connctés à chaqu xtémité d a ign), donc a tnsion t couant sont constants n tout pot d a ign. égim pmannt st attt. Tout s pass comm si a ign n était pus pésnt. On s touv avc schéma équivant suivant : a tnsion n nté d a ign c aux bons d R. a tnsion à chaqu xtémité d a R ign convg donc vs : V VG.968V. couant dans a ign convg R R vs : I VG R R G G 3.mA, c qui st confimé pa s ésutats d simuation SPIE. axand.boy@sa-touous.f Pag 5

16 Excic 4 Réfctométi Un éfctomèt dans doma tmpo (Tim oma fctomty TR) st un stumnt d msu utiisé pou anays s popiétés ds igns d tansmission t ocais ds défauts ts qu ds cassus. pcip d fonctionnmnt pos su nvoi d un impusion bèv pa éfctomèt dans a ign à anays t ngistmnt simutané d a tnsion n soti du éfctomèt. -ci dépnd d ond cidnt poduit pa éfctomèt, mais aussi d a éfxion poduit pa s uptus d impédanc d a ign à anays. a tnsion d cicuit ouvt du éfctomèt st un impusion d ampitud Vco V t d µs d agu. impédanc d soti du éfctomèt st TR 5 Ω. On souhait anays un câb coaxia d onguu connu t conncté su un chag ésistiv tma, aussi connu. On sait sumnt qu câb st adapté c 5 Ω t qu i st constitué d un isoant d typ tfon (ε.). On suppos qu câb n pésnt pas d défauts. a msu au éfctomèt d c câb donn ésutat suivant : Vtd(V) 6 6 Tmps (µs) étm a onguu du câb t impédanc d a chag tma. On poua utiis s xpssions diqués su bounc diagam d xcic pou détm xpssion théoiqu da tnsion msué n nté d a ign. Pou épond à cs qustions, i suffit d i ésutat d a msu du éfctomèt, qui donn pofi d a tnsion n nté d a ign. schéma équivant du TR conncté au ca^b d onguu connu t chagé pa un chag connu st suivant : Msu d Vtd éfctomèt st modéisé pa un généatu d Thévn d ésistanc d soti 5 ohms. généatu d tnsion tn poduit un impusion d µs d dué t d ampitud V. ommnçons pa anays a msu. Si a chag tma était adapté su impédanc du câb, a tnsion msué pa TR sait constant pou un dué dué du pus émis tmps d a tou dans câb. O, c n st pas cas, a tnsion msué vai au bout d 6 µs, diquant qu i y a un uptu d impédanc n bout d ign (comm câb n axand.boy@sa-touous.f Pag 6

17 pésnt pas d défaut, i n put pas y avoi d uptus d impédanc n p miiu d a ign). ommnçons pa détm a onguu du câb coaxia. Ent t 6 µs, a tnsion msué pa éfctomèt st constant t V. a tnsion itia n nté d a ign st éga VO à : V (, t) V t VO V, puisqu i y a adaptation d impédanc v TR n soti du éfctomèt. Pndant cs 6 pmiès µs, TR n ngist qu impusion qu TR émt. Au bout d 6 µs, a tnsion chang butamnt. TR vt d cvoi font d ond éféchi à aut xtémité du câb. tmps d a tou TAR dans câb st donc d 6 µs. a vitss d popagation dans câb st donné pa : v 8 µ ε ε.69 m / s, donc a onguu du câb st d : T AR v 6m étmons matnant a vau d a chag tma, à pati d a vau d a tnsion msué à t 6 µs. -ci st a somm du signa émis pa éfctomèt V t ond éféchi pa a chag tma V -. -ci s écit : V V V Γ V TR V Γ ( ) VO V coffict d éfxion n nté d a ign ΓG puisqu i y a adaptation, donc : V VTR V V ( Γ ) V TR Γ. VO coffict d éfxion n soti d ign., impédanc d chag st donc éga à : Γ. 5 75Ω Γ. G Excic 5 iagnostic d un bus AN bus AN (onto Aa Ntwok standad IEEE 898) st un bus numéiqu dusti agmnt utiis pou s appications automobis. I st dédié à a communication nt s diffénts ogans d contô, captus t actionnus épatis dans un véhicu (i put connct usqu à 48 ntités). fomation numéiqu st tanspoté pa un signa diffénti, dont suppot physiqu pus couant st un pai bifiai, d impédanc caactéistiqu c Ω. haqu ntité conncté au bus pésnt un impédanc d nté d Ω. On souhait diagnostiqu s défauts d un bus AN impémnté dans un véhicu, à aid d un méthod basé su a éfctométi. On s téss à dux typs d défauts : s uptus d fi, qu on pésnta pa un cicuit ouvt (impédanc fi) axand.boy@sa-touous.f Pag 7

18 Un cout-cicuit nt s fis du bus (impédanc nu) a pai bifiai utiisé pou bus a un onguu m, a vitss d popagation ong du bus v st d 8 m/s. On suppos qu s pts d a ign sont négigabs. On suppos qu bus st conncté à un xtémité à appai d éfctométi (appai d diagnostic), t à un ntité communicant à aut xtémité. appai d éfctométi mpoyé génè ds signaux d typ échon d ampitud V GO V. On négiga tmps d monté du signa. impédanc d soti d appai G st d 5 Ω. ui-ci msu pofi tmpo d tnsion V TR n soti d appai. G 5 Ω V G V TR Bus AN c Ω Ω Appai d éfctométi V G V G V Entité communicant t t. Pouquoi chaqu ntité communicant conncté au bus doit pésnt un impédanc d nté d Ω? Pou assu un adaptation d impédanc à chaqu xtémité du bus, af d évit ds éfxions paasits, c qui duit ds déais d étabissmnt du signa t donc un éduction du débit max. d fomation su bus.. acu s cofficts d éfxion Γ G t Γ, n nté t n soti du bus. acu tmps d popagation Tp d un signa d un bout à aut du bus. a chag d soti étant adapté su impédanc d ign, Γ. I n y a pas d éfxion n bout d ign. impédanc d soti d appai d éfctométi st diffént d c du bus, i y a donc G 5 éfxion d ond n nté d bus : ΓG. 4 G 5 tmps d popagation d un bout à aut du bus st éga à : T P 5ns 8 v. 3. On suppos dans un pmi tmps qu bus n pésnt aucun défaut. A aid d un diagamm d bounc, tac pofi d tnsion msué pa appai d éfctométi. Vau pis pa ond cidnt à t : VTR ( ) V VG 7. V 5 G axand.boy@sa-touous.f Pag 8

19 iagamm d bounc : a chag d soti étant adapté, i n y a pas d ond éféchi n bout d ign. égim étabi st attt dans tout a ign apès Tp 5 ns. Tmps (ns) Tp 5 Tp Souc.4 Γ G VTR() V 7. V hag Γ V V 7. V V V Γ V Régim étabi V()V ( Γ ) 7. V V V Pofi tmpo msué : égim étabi st obtnu immédiatmnt apès a tansmission du font. Aucun événmnt n st ngisté pa a suit, diquant qu aucun défaut (uptu d impédanc) n st pésnt ong d a ign. V TR 7. V t t 4. On suppos qu un défaut d typ uptu d fi st pésnt su bus. Qu st modè éctiqu équivant du bus? A aid d un diagamm d bounc, tac pofi d tnsion msué pa appai d éfctométi n pésnc d c défaut. On appa T df tmps pacouu pa signa cidnt pou attd défaut. On poua aêt tacé du pofi d tnsion apès T df. Un défaut d typ uptu d fi st un coupu su un ds fis (ou s ) d a pai bifiai. On assimi à un cicuit ouvt. Tout s pass comm si bus s aêtait à ndoit du défaut t qu i était tmé pa un impédanc d chag fi. coffict d éfxion n soti d ign dvt : Γ. ond cidnt poduit pa appai d éfctométi st ntièmnt éféchi n bout d ign t vt n phas vs cui-ci. iagamm d bounc : ds éfxions d ond s poduisnt n nté t n soti d ign tous s Tdf (tmps d pacous nt nté d a ign t défaut). Un égim tansitoi s étabi n nté t n soti, où s tnsions osct avant d attd égim pmannt. Nous n pésntons a tnsion d nté qu nt t *Tdf. Apès *Tdf, a tnsion n nté augmnt, puisqu ond éféchi s additionn avc ond cidnt, puv d un défaut d typ haut impédanc ong d a ign. Sa position put êt déduit d a msu d Tdf. Tmps (ns) Tdf Tdf Souc.4 Γ G VTR() V 7. V ( Γ ). V VTR V V G 3 hag axand.boy@sa-touous.f Pag 9 Γ V V 7. V V V Γ 7. V V V()V ( Γ ) 4. V V V

20 V TR.3 V 7. V t t.tdf t 5. On suppos qu un défaut d typ cout-cicuit st pésnt su bus. Qu st modè éctiqu équivant du bus? A aid d un diagamm d bounc, tac pofi d tnsion msué pa appai d éfctométi n pésnc d c défaut. On appa T df tmps pacouu pa signa cidnt pou attd défaut. On poua aêt tacé du pofi d tnsion apès T df. Un défaut d typ cout-cicuit st un cout-cicuit nt s fis d a pai bifiai. Tout s pass comm si un impédanc nu était pacé n paaè d a chag tma au nivau du défaut. Tout s pass donc comm si bus s aêtait à ndoit du défaut t qu i était tmé pa un impédanc d chag nu. coffict d éfxion n soti d ign dvt : Γ -. ond cidnt poduit pa appai d éfctométi st ntièmnt éféchi n bout d ign t vt n opposition d phas vs cui-ci. iagamm d bounc : ds éfxions d ond s poduisnt n nté t n soti d ign tous s Tdf (tmps d pacous nt nté d a ign t défaut). Un égim tansitoi s étabi n nté t n soti, où s tnsions osct avant d attd égim pmannt. Nous n pésntons a tnsion d nté qu nt t *Tdf. Apès *Tdf, a tnsion n nté dimu, puisqu ond éféchi s soustai à ond cidnt, puv d un défaut d typ faib impédanc ong d a ign. Sa position put êt déduit d a msu d Tdf. Tmps (ns) Tdf Tdf Souc.4 Γ G VTR() V 7. V ( Γ ). V VTR V V G 9 V TR 7. V.9 V hag Γ V V 7. V V V Γ 7. V V V()V ( Γ ) V V V t t.tdf t 6. On a obtnu vé suivant avc un bus. bus st-i défctuux? Si oui, donnz quaitativmnt typ d défaut asi qu sa position. axand.boy@sa-touous.f Pag

21 V TR 7 V 3.4 V t t 8 ns t bus st défctuux puisqu on obsv un égim tansitoi apès étabissmnt du font émis pa appai d éfctométi. Pa compaaison avc s anayss faits su ds bus pésntant dux typs d défauts «idéaux», on put di qu défaut s appoch d un cout-cicuit, puisqu a tnsion s mt à dimu apès étabissmnt du font. a diqu qu un ond éféchi n opposition d phas avc ond cidnt aiv n su appai d éfctométi. coffict d éfxion au nivau du défaut st focémnt < impédanc faib. ond éféchi aiv apès 8 ns à appai d éfctométi, soit *Tdf Tdf 4 ns. a position du défaut msué dpuis nté d a ign st donc : 8 9 v T. 4.. m d df 8 Excic 6 igns n ambda/4 tansfomatu d impédanc Un ign n ambda/4 st un ign dont a onguu st éga au quat d a onguu d ond à un féqunc donné. but d ct xcic st d compnd s popiétés téssants d tout ign d tansmission n condition ambda/4 n tant qu tansfomatu d impédanc.. Soit un ign d tansmission sans pts d onguu d impédanc caactéistiqu c, chagé pa un impédanc tma. On app a constant d popagation. étm xpssion théoiqu d impédanc vu dpuis nté d a ign. émonstation d cous : ˆ Γˆ ( ) ˆ Γ ( ) ˆ Γ Γ impédanc vu dpuis nté d a ign va vai n fonction d a féqunc ( dépnd d a onguu d ond t donc d a féqunc). En bass féqunc, osqu <<, xpssion pécédnt s simpifi : ˆ Γ, fft d a ign st négigab. Γ tt fomu mont fft «tansfomatu d impédanc» d un ign d tansmission. impédanc d nté cospond à impédanc d chag, modifié pa un tm d déphasag toduit pa a ign. Γˆ Γˆ Rmaqu : on auait aussi pu xpim impédanc d nté n fonction d impédanc d chag : ( ) ( ) axand.boy@sa-touous.f Pag

22 tan tan. Qu dvt xpssion pécédnt si a onguu d a ign λ/4? Qu st fft d a ign su impédanc vu dpuis nté d a ign? xpssion pécédnt put s simpifi pou ctas vaus d féqunc ou d onguu λ π λ d ign. Pa xmp, pou λ/4 : π, donc tm d phas s 4 λ 4 simpifi : π. impédanc d nté dvt : ˆ Γ Γ impédanc d chag t coffict d éfxion n soti sont iés pa : ˆ Γ, donc : Γ ˆ Γ Γ a ign n ambda/4 conduit à tansfom impédanc n nté d a ign, d t sot qu st vs d impédanc d chag. Si st un ésistanc d gand vau, aos impédanc vu n nté d a ign st un impédanc d ptit vau. 3. En condition ambda/4, qu impédanc voit-on n nté d a ign si on chag a soti d a ign pa un capacité? Pa un ductanc? Qu s pass t-i si impédanc d chag st compx? Si i s agit d un capacité pa xmp? ω En condition ambda/4 : ˆ ω qω où q. impédanc d nté st équivant à un ductanc d vau c² mutipié pa a capacité d chag. On a tansfomé un capacité n ductanc. Et si on pac un chag ductiv : ω ˆ En condition ambda/4 : où q. ω ω impédanc d nté st équivant à un capacité d vau divisé pa c². On a tansfomé un ductanc n capacité. q 4. On connct un antnn à un généatu d tnsion à aid d un ign micouban d impédanc caactéistiqu c 5 Ω. impédanc d soti du généatu st aussi 5 Ω. antnn doit émtt à GHz. A ctt féqunc, antnn st équivant à un impédanc compx fomé pa un ésistanc d 5 Ω n paaè d un capacité d pf. Qu pnsz-vous d fficacité d tansft d puissanc nt généatu t antnn? Qu condition faudait-i assu pou optimis? axand.boy@sa-touous.f Pag

23 En cous, nous avons vu qu un tansft d puissanc optima nt un généatu d impédanc G t un chag était optima sumnt osqu i y avait adaptation d impédanc ( G ). ans ct xmp, généatu pésnt un impédanc d 5 ohms, adapté su impédanc caactéistiqu d a ign. Pa cont, a chag cospondant à impédanc d nté d antnn pésnt un pati é mais aussi un pati imagai ié à a capacité paasit. tansft d puissanc n st donc pas optima puisqu i n y a pas adaptation d impédanc au nivau d a chag. a su façon d optimis tansft d puissanc st d annu a pati imagai d impédanc d a chag. O, c-ci st pop à antnn, donc i st nécssai d aout un composant pès d antnn capab d annu fft d ctt capacité. 5. Montz qu n aoutant un ductanc n paaè d antnn i st possib d optimis tansft d puissanc à antnn à un féqunc donné. Qu vau faudait-i donn à ctt ductanc pou optimis tansft d puissanc à GHz? Un soution pou optimis tansft d puissanc à antnn consist à aout nt a ign t antnn un ésau d adaptation, qui modifi impédanc d a chag conncté à antnn. Ici, ô du ésau d adaptation st d annu a pati imagai d impédanc d chag du à antnn t s assu qu a pati é d a chag 5 Ω. a soution consist à mtt n paaè d antnn un ductanc adapt. a figu ci-dssous pésnt modè équivant d a chag, avc ductanc du ésau d adaptation n paaè du modè équivant d antnn. I s agit d un fit R paaè. a condition d adaptation n st quis qu à a féqunc d fonctionnmnt d antnn, c'st-à-di GHz. a vau d ductanc du ésau d adaptation doit êt choisi pou fai ésonn fit à GHz. En fft, impédanc d un fit paaè st t adaptω qu : //. Pou f appé féqunc d ésonnanc, adaptantω π adapt ant impédanc d c fit dvt fi. onc impédanc du fit R paaè st éga à R à a féqunc d ésonanc. hoix pou adapt : adapt. 63nH 9 4π f 4π ( ) ant Un ductanc paaè d.63 nh put svi d ésau d adaptation à GHz pou ctt antnn. 6. En vous basant su s qustions pécédnts, commnt pouait-on optimis tansft d puissanc à antnn à aid d un condnsatu? Qu vau choisiiz-vous pou c condnsatu? ommnt éais ctt ductanc? Un possibiité st d constui un ductanc équivant à pati d un capacité t d un ign quat d ond. Pa xmp, imagons qu on axand.boy@sa-touous.f Pag 3

24 Pag 4 considè ds igns micouban éaisé su un substat d ε., d impédanc caactéistiqu 5 ohms. En utiisant un capacité d.5 pf n soti d un ign micouban 5 ohms quat d ond qui st pacé n paaè d antnn t n soti d a ign connctant antnn au généatu, impédanc vu dpuis nté d a ign st équivant à un ductanc d.63 nh. a onguu d a ign doit donc êt éga à : cm f c ε λ utiisation d igns micouban comm tchniqu d adaptation d impédanc st tès couant n éctoniqu micoonds t hypféqunc, ca tès économiqu t facimnt tégab. utiisation d cicuits passifs discts toduit touous ds éémnts paasits non négigabs. On app «stub» a ign quat d ond pacé n paaè d a chag à adapt. Excic 7 Fit à ign mico uban Un ign d tansmission put êt modéisé à aid d un ésau distibué d ductancs t d capacités. Judiciusmnt dimnsionné, un ign put donc svi d fit pass-bas, pass-haut ou pass-band. but d ct xcic st d compnd pcip d bas d un fit à ign mico uban.. Soit un ign mico uban d impédanc caactéistiqu c t d onguu, chagé pa un impédanc. Mont qu impédanc d nté d a ign put s éci : tan tan émonstation : ( ) ( ) Γ Γ Γ Γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos s s cos tan tan. Simpifi xpssion pécédnt dans cas d un ign éctiqumnt cout ( << λ).

25 ign éctiqumnt cout < < λ < < tan 3. ans cas d un ign éctiqumnt cout, cacu impédanc d nté d a ign n fonction d a féqunc osqu a ign st chagé pa un faib impédanc t qu : << c? Si c <<? ans s cas, commnt s compot a ign? Pmi cas : << c. a chag st tès ptit dvant impédanc caactéistiqu d a ign. xpssion d impédanc caactéistiqu d a ign s simpifi : ω v qω, q ans cas où impédanc caactéistiqu d a ign st gand dvant impédanc d chag, un ign éctiqumnt cout s compot comm un ductanc q. En tchnoogi mico-uban, i suffit d édui a agu d a ign pou augmnt impédanc caactéistiqu t ductanc équivant. En utiisant ds igns couts t étoits, on poua éais ds ductancs équivants ocaisés. uxièm cas : <<. a chag st tès gand dvant impédanc caactéistiqu d a ign. xpssion d impédanc caactéistiqu d a ign s simpifi : ω v, q ω q ans cas où impédanc caactéistiqu d a ign st ptit dvant impédanc d chag, un ign éctiqumnt cout s compot comm un capacité q. En tchnoogi micouban, i suffit d augmnt a agu d a ign pou édui impédanc caactéistiqu t augmnt a capacité équivant. En utiisant ds igns couts t ags, on poua éais ds capacités équivants ocaisés. 4. Soit un ign mico-uban adapté 5 ohms. -ci st éaisé su un substat d pmittivité éctiqu ativ ε 4.5 t d épaissu h.5 mm. Un généatu d tnsion d ampitud tn V G avc un ésistanc séi R G d 5 ohms st conncté n nté d a ign, aos qu un chag 5 ohms st conncté su a soti. Au miiu d ctt ign pcipa, dux auts igns mico uban appés ign t ign sont connctés n paaè. a ign st cout-cicuité au pan d mass, aos qu a ign s tm n cicuit ouvt (impédanc d chag supposé fi). v v axand.boy@sa-touous.f Pag 5

26 c 5 Ω ign icuit ouvt W 4 mm 4 mm Enté ign pcipa Soti ign W 3 µm icuit fmé 8 mm a. Véifiz qu s igns t sont éctiqumnt couts usqu à.5 GHz. Jusqu à.5 GHz, s igns t puvnt êt considéés comm éctiqumnt couts. En 8 c 3 fft : λ 8. cm, donc s onguus t sont < λ/ usqu à ε 9 f..5.5 GHz. b. étmz s paamèts éiqus d a ign (on négiga ss pts). En dédui son impédanc caactéistiqu t a vitss d popagation d ond ong d a ign. arapp fomus pou cacu ds ductancs t capacités éiqus d un ign micouban (on négig s pts, donc a ésistanc ohmiqu t a conductanc d pts diéctiqus sont nus) : ε ε h ε ff W πε ff ε ( ) F / m 8h W n W 4h µ 8h W ( H / m) n π W 4h ign : d apès s dimnsions géométiqus, on touv : 738 nh/m t 45 pf/mm, c 8 Ω t v m/s. c. En assimiant a ign comm un capacité pan, détmz a capacité équivant pésnté pa a ign. a agu d a ign étant agmnt pus gand qu a hautu pa appot au pan d mass, comm a ign st éctiqumnt cout, on put négig ductanc d a ign t a considé comm un capacité pan. Sa vau st aos d : ε ε W q 4. pf h d. onstui modè éctiqu équivant d ctt ign usqu à.5 GHz, n s basant su s ésutats d a qustion 3. Modè éctiqu équivant : / axand.boy@sa-touous.f Pag 6

27 a ign pcipa étant pafaitmnt adapté à chaqu xtémité, tout s pass comm si on pouvait amn s impédancs d soucs t d chag au miiu d a ign. a ign st équivant à un capacité q 7 pf usqu à.5 Ghz. Au-dà, a ign n st pus éctiqumnt cout t c modè n st pus vaab. a ign st étoit (c fot) t s tm pa un cout-cicuit impédanc d chag nu. On véifi donc a ation << c. On put donc assimi a ign coutcicuité comm un ductanc q d vau : 8 q nH 8 v.73. Spécifiz a natu du fit fomé pa s igns t, asi qu a féqunc sguiè d c fit. s igns t fomnt donc un fit paaè usqu à.5 GHz, qui st d natu passband. A pati du modè éctiqu équivant pécédnt, soit f impédanc du fit qω séi : f. impédanc d c fit tnd vs fi à a féqunc ω q q f.ghz. t tnd à s annu à pus bass t pus haut féqunc. π q q fit st un fit pass band, cnté autou d GHz. Excic 8 Utiisation d a matic AB. Soit cicuit n T ci-dssous. étmz a matic AB d c cicuit. 3 Pot Pot A V/V si I (pot n cicuit ouvt) / B -V/I si V (pot n cout-cicuit) 33/ (xpimz couant -I qui tavs 3 n fonction d I, V n fonction d I, puis V n fonction d I) axand.boy@sa-touous.f Pag 7

28 I/V si I (pot n cicuit ouvt) / -I/I si V (pot n cout-cicuit) 3/. En utiisant s matics AB, détmz impédanc d nté d un ign sans pts, d onguu t d impédanc caactéistiqu c, chagé pa un impédanc noté. Qu s pass t-i si c? cos s a matic AB d un ign sans pts st :. En a chagant s cos pa un impédanc tma, tout s pass comm si on paçait un admittanc paaè A B d vau Y /, dont a matic AB s not :. a matic AB Y d cs éémnts mis n cascad st éga au poduit d us matics AB spctivs. On touv donc a matic AB suivant pou a ign chagé : cos s A B s cos Y cos Y s s A B s Y cos cos impédanc d nté d a ign st appot nt a tnsion n nté d a ign su couant ntant dans a ign. a configuation d a ign st t qu n st xcité qu d un côté puisqu chagé pa un impédanc d aut. ans fomaism d a matic AB, on put éci qu I ( pot st ouvt). impédanc d nté s écit donc : V A V I V I En dévoppant cacu, on touv xpssion vu n cous : tan cos Y s s Y cos tan A tan tan Si a ign st adapté ( ), aos a matic dvt : cos s A B s cos A impédanc d nté st aos éga à :. s cos 3. Soit AB a matic d a ign pécédnt chagé pa un impédanc quconqu noté. -ci st xcité pa un généatu d tnsion Vg t d impédanc d soti g. Expimz a tnsion d nté n fonction d g, Vg t ds paamèts d a matic. En dédui xpssion d a tnsion d nté si g c. axand.boy@sa-touous.f Pag 8

29 omm I, on a : V A.V t I.V V A/ I. couant I put s cacu à pati d a diffénc d potnti aux bons d g impédanc d soti du généatu : I (Vg-V)/g, donc : A V VG A En maquant qu A/ t si g c, xpssion dvt : V En mpaçant pa xpssion d, on obtt : tan V VG tan G V G. Excic 9 Emission ayonné d un ign bifiai Mod diffénti vs. mod commun Un ign d tansmission pacouu pa un couant va podui à gand distanc un ond éctomagnétiqu. but d ct xcic st d détm xpssion du champ éctiqu poduit pa un ign bifiai n champ ota. Soit un ign bifiai d onguu t d impédanc caactéistiqu c. On suppos qu a onguu d a ign st éctiqumnt cout. On suppos aussi qu a ign adapté. s bs sont sépaés pa un distanc noté d, agmnt féiu à a onguu d ond. Nous aons considé mods d popagation du couant : mod diffénti t mod commun. mod diffénti st mod «noma» d fonctionnmnt d un ign d tansmission à conductus : un ds conductus st conductu a, aut conductu st uniqu conductu d tou. ans mod commun, conductu dvt aussi un conductu a ( conductu tou st aos assué pa un 3 conductu, qu nous n idntifions pas). couant cicu aos dans mêm sns dans s conductus d a pai bifiai. ans un cas patiqu, couant qui cicu dans s diffénts conductus d igns d tansmission ésut d a supposition ds mods difféntis t communs. Nous aons voi qu s couants d mod diffénti t d mod commun n ont pas mêm impact su émission ayonné. Fi Fi I I I I I I I I I I I I écomposition d mods d popagation I I Mod diffénti Mod commun Fi Fi Fi Fi Id Id Ic Ic axand.boy@sa-touous.f Pag 9

30 . onnaissant ampitud du couant su un ds bs d a ign, pouquoi put-on utiis appoximation du dipô éémntai pou cacu champ éctiqu poduit n champ ota pa c b? appoximation du dipô éémntai donn s champs éctiqus t magnétiqus poduits pa un fi éctiqumnt cout, connaissant couant qui cicu. tt appoximation suppos qu couant (susoïda) st constant su tout a ign. Nous supposons qu a ign bifiai st éctiqumnt cout ( << λ), donc couant st quasi-constant su tout a onguu d a ign. On put donc utiis appoximation du dipô éémntai pou cacu champ éctomagnétiqu poduit pa a pai bifiai n sommant s contibutions ds bs d a ign.. En utiisant pè géométiqu ci-dssous cnté su pot O, détmz xpssion théoiqu du champ éctiqu n champ ota. On not I t I s couants cicuant su chacun ds bs d a pai bifiai. M Eθ θ I X O φ d I Y a. On pac un pot d obsvation M à gand distanc d a pai bifiai ( >> d t >> ). étmz un xpssion du champ éctiqu n M n fonction ds couants I t I, asi qu ds distancs t nt M t cnt d chaqu b. Rapp d cous : champ éctiqu poduit pa un dipô éémntai (éctiqumnt cout) pacouu pa un couant Io n champ ota : η Ioh Eθ sθ 4π champ éctiqu au pot M ésut d a contibution ds bs : Eθ Eθ Eθ ηi ηi Eθ sθ sθ 4π 4π Puisqu st tès gand dvant s dimnsions d a ign, on put di qu / / / t s θ s θ s θ. pndant, puisqu i s agit d tms d phas, on n put pas di qu - -. xpssion put donc s éci : η Eθ sθ ( I I ) 4π b. En notant a distanc nt pot O t pot M, montz qu : t -. Pécisz a vau d. Expimz champ éctiqu n fonction d t. axand.boy@sa-touous.f Pag 3

31 En paçant pè au cnt d a pai bifiai, on put mont qu t -, où pésnt a diffénc d mach nt s contibutions ds bs. Mêm si cs bs sont quasimnt à a mêm distanc du pot d obsvation (si d << ), i xist un diffénc d phas nt cs contibutions au pot M. Géométiqumnt, on put mont qu ctt diffénc d mach st éga à : d sθ sϕ. xpssion du champ éctiqu dvt aos : η Eθ sθ 4π ( I I ) 3. On considè qu un couant diffénti Id cicu su s conductus. onnz xpssion théoiqu du champ éctiqu au pot M n fonction d a féqunc, n supposant qu d << λ. ans qu diction champ st-i maxima? Montz qu champ put s éci dans ctt diction sous a fom : Emax Kd.d.f²/.Id, où Kd st un constant à pécis. On n considè qu un couant diffénti Id, donc I -I Id. xpssion du champ éctiqu d mod diffénti (ié à xistnc su du couant d mod diffénti) dvt donc : η E sθ I ( ) 4π η E sθ I s d sθ sϕ 4π Puisqu d << λ, d <<, donc s d sθ sϕ d sθ sϕ. xpssion du champ éctiqu d mod diffénti dvt : πη. d. f E I s θ sϕ c 4. d. f E.36. I s θ sϕ ayonnmnt éctomagnétiqu st maxima pou θ π/ t φ π/, c'st-à-di dans pan ds fis. ans pan d antisyméti ds fis (φ ou π), M st à éga distanc ds fis qui sont pacouus pa ds couants égaux n ampitud mais d sns opposés, donc s contibutions ds fis s annunt. On voit qu champ éctiqu décoit n / (noma puisqu nous somms n champ ota), augmnt avc caé d a féqunc, dépnd d a sufac épésnté pa s fis ( d), t st popotionn à un constant Kd On considè matnant qu un couant d mod commun Ic cicu su s conductus. onnz xpssion théoiqu du champ éctiqu au pot M n fonction d a féqunc f. ans qu diction champ st-i maxima? Montz qu champ put s éci dans ctt diction sous a fom : Emax Kc..f/.Ic, où Kc st un constant à pécis. axand.boy@sa-touous.f Pag 3

32 On n considè qu un couant d mod commun, donc I I Ic. xpssion du champ éctiqu d mod commun (ié à xistnc su du couant d mod commun) dvt donc : η E sθ I ( ) 4π η E sθ I cos d sθ sϕ 4π Puisqu d << λ, d <<, donc cos d sθ sϕ. xpssion du champ éctiqu d mod commun dvt : η. f E I s θ c 6. f E.57. I s θ ayonnmnt éctomagnétiqu st maxima pou θ π/ t dépndant d φ. En fft, ququ soit φ, s contibutions ds bs, qui sont pacouus pa s mêms couants, n s compnsnt pas. On voit qu champ éctiqu décoit n / (noma puisqu nous somms n champ ota), augmnt avc a féqunc, dépnd d a onguu ds fis, t st popotionn à un constant Kc.57-6, b pus gand qu Kd. 5. Soit un ign bifiai d onguu 5 cm, s bs sont sépaés d un distanc d cm. Jusqu à qu féqunc appoximation qu nous avons fait sa xact? acuz ampitud ds champs éctiqus maximum à m poduit pa un couant d mod diffénti, puis pa un couant d mod commun. Pou un ampitud d couant donné, concu su fft d chacun d cs mods. s cacus ffctués sont xacts tant qu << λ, soit citè suivant : < λ/. ans ai ou dans vid, λc/f, donc appoximation st xact tant qu f < c/(.) 6 MHz. A 6 MHz, champ éctiqu diffénti maxima st d : E. 47I tandis qu champ éctiqu d mod commun maxima st d : max E. 75I max. A ampitud d couant donné, on voit qu usqu à 6 MHz champ éctiqu d mod commun st pus impotant qu champ éctiqu d mod diffénti. couant d mod commun st à oig d nombux pobèms d EM n aison d ctt popiété. a ésoution ds pobèms d émission ayonné paasit pass n gand pati pa un éduction ds couants d mod commun. Excic Emission ayonné d un ign ongu t xcic étant a suit d xcic 9, i st consié d fai c dni avant On considè un pai bifiai d onguu sans pts, qu on n suppos pus éctiqumnt cout. a sépaation nt s bs st noté d. -ci st supposé tès ptit dvant a onguu d ond. On suppos qu a ign st pafaitmnt adapté t sans pts. On not a constant d popagation d ond ong d a ign, t a constant d popagation d ond n spac ib axand.boy@sa-touous.f Pag 3

33 On considè qu couant qui cicu su a ign st pumnt diffénti. On considè aussi un couant susoïda d ampitud Io. a ign st oté ong d ax, s positions ong d a ign sont péés à pati d un oig pacé au cnt d a ign (positions compiss nt / t /).. Qu st xpssion du couant diffénti cicuant ong d a ign, n fonction d a position z su a ign. a ign étant pafaitmnt adapté, ampitud du couant st constant ong d tout a ign. pndant, sa phas vai ong d a ign ca c-ci n st pus éctiqumnt cout. En considéant un xcitation susoïda, a ign étant sans pts, i convt d aout au couant tm d déphasag ong d a ign xp(- z). pndant, on pè s positions d a ign à pati d un oig pacé au cnt d a ign, donc z st compis nt / t /. Si on pac oig ds phass au cnt d a ign (z ), xpssion du couant ong d a ign dvt : I ( z) I xp( z), z ;. Etabi xpssion du champ éctiqu diffénti de n champ ota poduit pa un tonçon d ign éctiqumnt cout, d onguu noté dz. de st a contibution au champ éctiqu ayonné pa un tonçon d ign éctiqumnt cout d onguu dz. En pnant s ésutats d xcic 9, on a monté qu champ éctiqu d mod diffénti poduit à un gand distanc i pa un ign bifiai éctiqumnt cout d onguu d dont s bs sont sépaés pa un distanc d << λ st d :. d. f i de I s θ sϕ i πη dz c tonçon étant pacé à un absciss z, on put todui xpssion du couant à absciss z, asi qu xpssion d i n fonction d (distanc nt pot d msu t cnt d a ign) : i -z cosθ. I st possib d considé qu i dans tm / si st tès gand dvant, mais pas dans tm d phas xp(-). champ éctiqu dvt : πη dz d f c.. z z de I s θ sϕ ( cosθ ) 3. En dédui xpssion du champ éctiqu diffénti E n champ ota poduit pa tout a ign. Véifiz qu on touv xpssion du champ éctiqu diffénti d un ign cout, détmé à a qustion 3 d xcic 9. Pou détm champ éctiqu tota au pot M pacé n champ ota, i faut tég a contibution d chaqu tonçon d ign : E E / / de πη d. f c I / / z s θ sϕ ( z cosθ ) En supposant qu st suffisammnt gand dvant, on put considé qu s vaiabs, θ t φ n dépndnt pas d absciss z du tonçon considéé : dz axand.boy@sa-touous.f Pag 33

34 πη / ( cosθ ) z E d. f s θ sϕ I dz c / πη ( cos ) ( cos ) θ θ. s s E d f θ ϕ I c cos θ πη I E d. f s θ sϕ s ( cos ) θ c ( cosθ ) ans cas d un ign éctiqumnt cout, / << donc xpssion pécédnt s simpifi t donn mêm ésutat qu cui d xcic pécédnt : πη E d. f s θ sϕ I c 4. Pou qu(s) féqunc(s) ayonnmnt n champ ota poduit pa a ign pésnt-i ds maxima? ds mima? On va considé champ dans a diction θ π/ t φ π/. ayonnmnt poduit pa a ign dépnd d nombux paamèts, ts qu a féqunc. E tvt dictmnt pa tm f², mais aussi dans a constant d popagation π/λ πf/v, où v st a vitss d popagation d ond ong d a ign. tm s( /) s(πf/v ) pésnt donc un péiodicité n fonction d a féqunc, avc ds maxima à chaqu fois qu tm à téiu du sus st éga à π/kπ, où k st un nti. champ éctiqu passa pa un maximum à chaqu fois qu a onguu d a ign st λ éga à un mutip d a moitié d a onguu d ond : k. λ, k N mêm champ éctiqu passa pa un mimum à chaqu fois qu a onguu d a ign st éga à un mutip d a onguu d ond : k.λ, k N En fft, osqu a onguu d a ign st éga à a onguu d a ign, d pat t d aut d a ign, on touv ds couants d mêm ampitud mais opposés n phas, dont s contibutions vont s annu à gand distanc. Excic Antnn d msu On souhait msu champ éctiqu à 9 MHz n utiisant un dipô dmi-ond. On suppos qu on st n conditions d champ ota t n spac ib. impédanc d ond st c du vid.. Qu onguu donniz-vous au dipô? Qu st sa sufac équivant? I vaut miux utiis autou d sa féqunc d ésonanc (dipô dmi-ond) : 8 λ c cm 8 f 9. s ε ga d un dipô dmi-ond st d.64. On s pac n conditions champ ota. A a féqunc d ésonanc, a sufac équivant d antnn st : Gλ S q.45m² 4π 4π axand.boy@sa-touous.f Pag 34