Cours de Mathématiques 2

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1 Cours de Mthémtiques 2 première prtie : Anlyse 2 DEUG MIAS 1 e nnée, 2 e semestre. Mximilin F. Hsler Déprtement Scientifique Interfcultire B.P F SCHOELCHER CEDEX Fx : e-mil : mhsler@univ-g.fr version du 21 vril 2002

2 TABLE DES MATIÈRES Tble des mtières Préfce 3 Préfce à l deuxième édition 4 1 Clcul intégrl Intégrle de Riemnn Subdivisions et sommes de Drboux Fonctions Riemnn intégrbles, intégrle de Riemnn Sommes de Riemnn Propriétés de l intégrle de Riemnn Intégrle de Riemnn et primitives Primitive d une fonction continue Prtique du Clcul intégrl Intégrle indéfinie Primitives des fonctions usuelles Intégrtion pr prties Formule de Tylor vec reste intégrl Chngement de vrible d intégrtion Formule de l moyenne générlisée Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples Division euclidienne Polynômes irreductibles Pôles et éléments simples Clcul des coefficients d une décomposition en éléments simples Appliction u clcul de primitives Primitives des fonctions rtionnelles de sin x et cos x Autres frctions rtionnelles Fonctions négligebles et équivlentes ; développements limités Fonctions négligebles Fonctions équivlentes Développements limités : définition et propriétés D.L. d ordre n en x Unicité du D.L Existence des D.L. Formules de Tylor Appliction : D.L. de quelques fct élémentires Opértions sur les D.L Combinison linéire, produit et quotient de D.L Intégrtion d un D.L Composée de D.L Appliction des D.L. : Etude locle d une courbe M. Hsler: Anlyse 2

3 TABLE DES MATIÈRES 2.6 D.L. en ± Appliction : étude d une brnche infinie en ± Equtions différentielles Introduction définitions générles Equtions différentielles du 1 er ordre Eq.diff. à vribles séprées Détermintion de l cte. d intégrtion Equtions différentielles linéires Principe de superposition Equtions différentielles linéires du 1 er ordre Structure de l ens. de solutions Résolution de l éqution homogène ssociée Solution prticulière pr vrition de l constnte Equtions différentielles linéires du 2 e ordre à coefficients constnts Définitions Résolution de l éqution homogène ssociée (E.H.) Solution prticulière à (E) Fonctions à vleur dns R 2 : courbes prmétrées Pln d étude d une courbe prmetrée Etude des brnches infinies Etude de points prticuliers Tngente en un point sttionnire M(t 0 ) Position de C/T et nture d un point M(t 0 ) Points doubles (ou multiples) Etude d un exemple

4 TABLE DES MATIÈRES Préfce Ces notes de cours sont issues de l enseignement du module de Mthémtiques 2 (U.E. MIP2) du DEUG MIAS, u Déprtement Scientifique Interfcultire de l Université Antilles Guyne (cmpus de Schoelcher), u printemps L première prtie «Anlyse 2» de ce cours trite des sujets 1. Clcul intégrl, 2. Fonctions équivlentes et développements limités, 3. Equtions différentielles du 1 er et 2 nd ordre, 4. Fonctions à vleur dns R 2 et courbes prmétrées. Cette prtie est l suite du cours de Mthémtiques 1 du premier semestre, qui tritit des sujets 0. Eléments de logique élémentire, 1. Clcul dns R, 2. Suites réelles (convergence, limite,...), 3. Clcul dns C et fonctions circulires, 4. Fonctions numériques de l vrible réelle, 5. Fonctions usuelles et fonctions réciproques. Dns le présent cours, on fer éventuellement ppel à des notions fisnt prtie de ces sujets, qui devrient donc être mîtrisés. Le chpitre sur le clcul intégrl est de loin le plus volumineux. Il commence pr une introduction à l intégrle de Riemnn. Cette notion ne figure ps explicitement u progrmme, on peut donc psser directement à l notion de primitive et insi définir l intégrle indéfinie et définie. (Dns ce cs, le théorème fondmentl du clcul infinitésiml devient trivil, et seules les fonctions continues sont intégrbles.) Le chpitre termine sur l décomposition en éléments simples, qui en constitue presque l moitié. Dns cette prtie plutôt lgébrique, on dmet quelques résultts concernnt l décomposition de polynômes. Etnt limité dns le temps (ce cours devrit être enseigné en un totl de 16 heures), on peut dmettre quelques utres démonstrtions un peu techniques (intégrbilité de fonctions continues, théorème de Tylor-Young). Les chpitres sont presque indépendnts, mis on utilise l intégrtion pour les équtions différentielles, et les développements limités pour l nlyse des points singuliers des courbes prmétrées. Notons ussi que nous fisons le lien vec l lgèbre linéire (notion de sous-espce vectoriel, ppliction linéire, noyu) lors de l intégrtion et dns le cdre des équtions différentielles linéires. En cette nnée 2001, le cours mgistrl commencé vec le 2 e chpitre, pour pouvoir donner plus rpidement des exercices clcultoires ux étudints (pr rpport u chpitre sur l intégrtion, qui comprend une prtie théorique vnt de donner les techniques pour des clculs ppliqués. En ce qui concerne les équtions différentielles, on se limite à celles du 1er ordre qui sont à vribles séprées ou lors linéires, et celles du 2nd ordre qui sont linéires, à coefficients constnts. Schoelcher, mi M. Hsler: Anlyse 2

5 TABLE DES MATIÈRES Préfce à l deuxième édition L structure globle du cours n ps chngée, mis quelques modifictions concernnt l mise en pge et l présenttion ont été fites. Les fonctions négligebles et équivlentes constituent mintennt des souschpitres indépendntes précédnt celui des développements limités. Quelques notions concernnt l intégrle de Riemnn sont présentés un peu différemment, et une figure été joutée. Les pssges trop sommires dns le chpitre tritnt des développements limités ont été complétés. Quelques erreurs typogrphiques ont été éliminées et une figure joutée dns le dernier chpitre. Schoelcher, vril

6 1 CALCUL INTÉGRAL 1 Clcul intégrl Ce chpitre donne une introduction à l intégrle de Riemnn, et de quelques propriétés fondmentles qui sont conséquence des définitions. Ensuite, on étblit le lien entre cette intégrle et les primitives, pour enfin se dédier à l prtique du clcul intégrl vec quelques recettes. Une grnde prtie du cours est conscrée ux méthodes de l décomposition en éléments, pour l intégrtion des frctions rtionelles. 1.1 Intégrle de Riemnn Le progrmme ne précise ps si l définition de l intégrle de Riemnn doit figurer dns le cours. Certins collègues commencent ce cours directement vec l définition de l primitive d une fonction, et b f(x) dx := F (b) F (). Ainsi, le théorème fondmentl de l nlyse, qui étblit le lien entre l intégrtion et l dérivtion, devient trivil. A mon vis, ce cours est qund même l occsion ou jmis de définir l intégrle de Riemnn. Même si on psse sur les détils, on peut donner les trois définitions de ce premier chpitre et évoquer l interpréttion géométrique qui est très liée à l définition des sommes de Drboux Subdivisions et sommes de Drboux Définition Une subdivision d ordre n d un intervlle [, b] est une prtie finie X = {x 0, x 1,..., x n } [, b] telle que = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. On noter S,b l ensemble des subdivisions de [, b]. Exemple (subdivision équidistnte) Lorsque x i = + i h vec h = b n, on prle de l subdivision équidistnte d ordre n de [, b] ; on l note prfois [, b] n. Le nombre h est le ps (uniforme) de cette subdivision. Définition L somme de Drboux inférieure resp. supérieure de f : [, b] R reltivement à une subdivision X = {x 0,..., x n } sont définies pr s(f, X) := n h i inf f(i i ) resp. S(f, X) := i=1 n h i sup f(i i ), où h i = x i x i 1 est l longueur du i e sous-intervlle I i = [x i 1, x i ]. i=1 Les sommes de Drboux sont des réels bien définis ssi l fonction f est bornée, c est-à-dire M R : f([, b]) [ M, M]. 6 M. Hsler: Anlyse 2

7 1.1 Intégrle de Riemnn Suf mention du contrire, dns tout ce qui suit, les fonctions considérées seront toujours bornées sur l intervlle en question, sns que celà soit nécessirement dit explicitement. Remrque Etudier l interpréttion géométrique des sommes de Drboux comme ire des rectngles de bse [x i 1, x i ], encdrnt l épigrphe de f de endessous resp. u-dessus. '() $%! & "! # FIG. 1 Somme de Drboux inférieure (hchurée) et supérieure (hchuré plus blnc) de f(x) pour une subdivision équidistnte d ordre 4 de [, b]. Exercice Montrer qu en joutnt un point x (entre x i 1 et x i ) à X, l somme de Drboux inférieure (resp. supérieure) croît (resp. décroît). En déduire qu on X, Y S,b : X Y = s(f, X) s(f, Y ) et S(f, X) S(f, Y ). Utiliser le résultt précédent et l subdivision Z = X Y pour montrer que X, Y S,b : s(f, X) S(f, Y ). Solution : s(f, X) s(f, Z) S(f, Z) S(f, Y ). Remrque Lorsque X Y pour X, Y S,b, on dit que Y est plus fine que X. (C est une reltion d ordre prtiel sur S,b.) 7

8 1 CALCUL INTÉGRAL Fonctions Riemnn intégrbles, intégrle de Riemnn Définition L fonction f est Riemnn intégrble sur [, b] ssi les deux nombres s b (f) := sup s(f, X), S(f) b := inf S(f, X). X S,b X S,b coïncident ; ce nombre est lors ppellé l intégrle de Riemnn de f sur [, b] (ou de à b), et noté b f(x) dx. L ensemble des fonctions Riemnn intégrbles sur [, b] est noté R,b. Remrque L existence de s b (f) et S b (f) est évidente : il suffit de constter que les ensembles {s(f, X); X S,b } et {S(f, X); X S,b } sont non-vides (prendre {, b} S,b ) et mjorés resp. minorés d près l exercice précédent. On peut ussi montrer que s b (f) et S b (f) sont tteints lorsque le ps de l subdivision, X = mx x i x i 1 tend vers zéro. L tille de ce ps induit l structure d une bse de filtre sur S,b, permettnt de considérer l limite de s(f, X) et S(f, X) en X. Remrque Revenir sur l interpréttion géométrique de s b (f) et S b (f), en considérnt l limite de subdivisions de plus en plus fines. Remrque L vrible d intégrtion x dns b f(x) dx est une vrible muette, c est-à-dire elle peut être remplcée pr n importe quelle utre vrible (qui n intervient ps déjà illeurs dns l même formule). Donnons encore une propsition d ordre plutôt technique, vnt d énoncer une condition d intégrbilité suffisnte dns tous les cs que nous llons rencontrer. Proposition (Critère d intégrbilité de Riemnn.) Une fonction f est Riemnn intégrble sur [, b] ssi pour tout ε > 0 il existe une subdivision X S,b telle que S(f, X) s(f, X) < ε. Démonstrtion. Pr déf. de s b (f) et S(f), b ε > 0, X, X S,b : S(f, X ) S(f) b < ε/2 et s b (f) s(f, X ) < ε/2. Avec X = X X, il vient que S(f, X) s(f, X) < S(f, X ) s(f, X ) < ε+s(f) s b b (f). Donc si f R,b S(f) b = s b (f), on l subdivision souhitée. Réciproquement, si une telle subdivision existe pour tout ε > 0, lors S b et s b coïncident évidemment. Théorème Toute fonction monotone ou continue sur un intervlle [, b] est Riemnn intégrble. Démonstrtion. Si f est monotone, le sup et inf est tteint u bord de chque sous-intervlle I i. On donc S(f, X) s(f, X) = h i f(x i ) f(x i 1 ) X f(x i ) f(x i 1 ) = X f(b) f(). Il suffit donc de choisir le ps de l subdivision ssez petit, X < ε/ f(b) f(), pour que ceci soit inférieur à un ε donné, d où l intégrbilité d près le critère de Riemnn. 8 M. Hsler: Anlyse 2

9 1.1 Intégrle de Riemnn Pour une fonction continue, l démonstrtion est dmise dns le cdre de ce cours. A titre indictif : f(x i ) f(x i 1 ) est à remplcer pr f(ξ sup i ) f(ξi inf ), où ξ sup i, ξi inf sont les points de l intervlle fermé et borné I i en lesquels l fonction continue f tteint son mximum et minimum. On utilise mintennt le fit qu une fonction continue sur [, b] R y est uniformément continue, c est-à-dire pour ε > 0 donné il existe η > 0 (indépendnt du point x) tel que x y < η = f(x) f(y) < ε. Donc, pour X < η, on S(f, X) s(f, X) < η n ε. Ceci devient ussi petit que voulu, cr on peut prendre des subdivisions équidistntes pour lesquelles n = (b )/ X (b )/η, il suffit donc de prendre ε ssez petit. Pour montrer qu une fonction continue est uniformément continue sur un intervlle borné [, b], on peut utiliser que l ensemble des boules ouvertes B η (x) telles que y B η (x) = f(y) B ε (f(x)), est un recouvrement ouvert de [, b], dont on peut extrire un recouvrement fini d près le théorème de Heine Borel. Le minimum de ces η correspond u η de l continuité uniforme (u pire pour 2ε u lieu de ε). (Pour une démonstrtion du théorème de Heine Borel, voir illeurs...) Corollire. De même, une fonction (bornée!) continue suf en un nombre fini de points, ou monotone sur chque sous-intervlle d une prtition finie de [, b], est Riemnn intégrble. (On peut en effet utiliser l dditivité des sommes de Drboux, s(f, X Y ) = s(f, X)+s(f, Y ) pour X S,c, Y S c,b qui entrîne celle de s b (f) et de même pour S b (f).) Remrque (fonction de Dirichlet) L fonction de Dirichlet, { 1 x Q χ Q (x) = 0 x Q n est ps Riemnn intégrble, cr on X S,b : s(f, X) = 0, S(f, X) = b. En effet, sur chque I = [x i 1, x i ] il existe un point irrtionnel, donc inf I f = 0, mis ussi un point rtionnel, d où sup I f = 1. Ainsi s(f, X) = 0 et S(f, X) est somme des longeurs des sous-intervlles et donc égle à b. Remrque Le ps uniforme des subdivisions équidistntes simplifie beucoup l expression des sommes de Drboux (exercice!). On peut montrer que pour f R,b, on b f(x) dx = lim n s(f, [, b] n) = lim n S(f, [, b] n) L réciproque est vrie si f est continue Sommes de Riemnn Les sommes de Drboux ne sont ps très utiles pour le clcul effectif d une intégrle, pr exemple à l ide d un ordinteur, cr il est en générl ssez difficile de trouver les inf et sup sur les sous-intervlles. On considère plutôt s n (f) = n (x i x i 1 ) f(x i 1 ) ou S n (f) = i=1 9 n (x i x i 1 ) f(x i ). i=1

10 1 CALCUL INTÉGRAL Plus générlement, si ξ = (ξ 1,..., ξ n ) vérifie i {1,..., n}, ξ i [x i 1, x i ], on ppelle (X, ξ) une subdivision pointé et n S(f, X, ξ) = (x i x i 1 ) f(ξ i ) i=1 l somme de Riemnn ssociée à l subdivision pointée (X, ξ). Si on pose de plus x i = x i x i 1, on S(f, X, ξ) = n f(ξ i ) x i, i=1 c est de là que vient l nottion f(x) dx. Théorème Si f R,b, lors les sommes de Riemnn S(f, X, ξ) tendent vers f(x) dx, independmment du choix des ξ i, lorsque l subdivision devient de plus en plus fine. Démonstrtion. Pr définition, il est évident que s(f, X) S(f, X, ξ) S(f, X). Soit f R,b et X tel que S(f, X) s(f, X) < ε. Alors on ussi S(f, X, ξ) s b < ε, quel que soit le choix des ξ i, et fortiori pour tout X X. D où le résultt. Si f est continue, f tteint son minimum et mximum sur chque [x i 1, x i ] en un certin ξi min et ξi mx. On obtient donc les sommes de Drboux comme cs prticulier des sommes de Riemnn, en ssocint à chque X des points ξ min, ξ mx tels que s(f, X) = S(f, X, ξ min ), S(f, X) = S(f, X, ξ mx ). En prticulier, lorsque l fonction est monotone, pr exemple croissnte, sur un sous-intervlle I i, lors ξi min = x i 1 et ξi mx = x i. Les sommes de Riemnn s n et S n données en début de ce prgrphe coïncident donc vec les sommes de Drboux inférieure et supérieure pour une fonction croissnte. 1.2 Propriétés de l intégrle de Riemnn Proposition Pour f R,b, on X S,b : s(f, X) En prticulier, on (b ) inf f([, b]) b b f(x) dx S(f, X). f(x) dx (b ) sup f([, b]). (sis) (iis) Démonstrtion. L inéglité (sis) est conséquence immédite de l définition de s b 10 M. Hsler: Anlyse 2

11 1.2 Propriétés de l intégrle de Riemnn resp. S b. Pour montrer (iis), il suffit de prendre X = {, b}. Théorème (de Chsles) Soit c b. Alors, f R,b ( f R,c f R c,b ) et on l reltion de Chsles : b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx. Démonstrtion. Pour tout X S,c, Y S c,b, on évidemment X Y S,b et s(f, X Y ) = s(f, X) + s(f, Y ). Ceci entrîne s b (f) = s c (f) + s b c(f). Le même s pplique à S(f). b Ainsi l intégrbilité sur [, c] et [c, b] implique celle sur [, b], et l reltion de Chsles. Réciproquement, tout Z S,b qui contient c se décompose en X Y vec X S,c, Y S c,b, et on les mêmes reltions pour les sommes de Drboux. Pour psser à s b (f) et S(f), b on peut toujours supposer c Z, quitte à l jouter, sns perte de générlité. On en déduit le théorème. (Exercice : détiller cette démonstrtion.) Définition Pour b <, on définit b et pour b =, f(x) dx = 0. f(x) dx = b f(x) dx, Remrque Avec ces conventions, l reltion de Chsles est vlble quel que soit l ordre de, b, c (pr exemple ussi pour < b < c). C est en effet l principle motivtion pour ces définitions, ce qui lisse deviner l utilité et importnce de cette reltion dns les pplictions. Il convient d être très vigilnt concernnt cette générlistion lorsqu on utilise des inéglités (telles que celles de l Prop ), qui ne sont générlement vlbles que pour < b. Proposition R,b est un sous-espce vectoriel du R espce vectoriel R [,b] des fonctions de [, b] dns R, et I : R,b R, f b f(x) dx est une forme linéire sur R,b. Autrement dit, o R,b et surtout f, g R,b, α, β R : α f + β g R,b et b (α f(x) + β g(x)) dx = α b f(x) dx + β b g(x) dx. Démonstrtion. Les sommes de Drboux ne sont ps linéires (cr sup et inf ne sont ps dditives). Pssons donc pr les sommes de Riemnn, dont l linérité, S(αf + βg, X, ξ) = αs(f, X, ξ) + βs(g, X, ξ), est évidente, ce qui donne, pr pssge à l 11

12 1 CALCUL INTÉGRAL limite X 0, le résultt souhité. (Exercice : détiller ceci...) Proposition Pour f, g R,b, ( < b), on : f 0 = f g = f R,b et b b b f(x) dx 0, (1) f(x) dx f(x) dx b b g(x) dx, (2) f(x) dx. (3) Démonstrtion. (1) : f 0 = X S,b : s(f, X) 0, et s(f, X) b f(x) dx. (2) : g f = g f 0 = (1) (g f) 0 (lin) = g f. (3) : on f f f, vec le (2) donc f f et f f. Remrque L réciproque du (1) est évidemment fusse, c est-à-dire f 0 n implique ps f 0. (Contre-exemple : sin x sur [ π, π].) Remrque Dns le cs f R,b, f 0, on que b f(x) dx est l ire de l épigrphe E = { (x, y) R 2 x [, b] et 0 y f(x) }. Théorème (de l moyenne) Soit f C([, b]) (fonction continue de [, b] R). Alors 1 b c [, b] : f(x) dx = f(c) b } {{ } moyenne de f sur [, b] Démonstrtion. f étnt continue, on D près l éq. (iis), x i, x s [, b] : f(x i ) = inf f([, b]), f(x s ) = sup f([, b]). f(x i ) 1 b b f(x) dx f(x s ). D près le thm. des vleurs intermédiires ppliqué à f (continue) entre x i et x s, on c ]x i, x s [ (ou ]x s, x i [) tel que f(c) = 1 b b f(x) dx. 12 M. Hsler: Anlyse 2

13 1.3 Intégrle de Riemnn et primitives 1.3 Intégrle de Riemnn et primitives En principe il est possible de clculer des intégrles en utilisnt simplement l définition en terme des sommes de Drboux. Or, ceci est générlement ssez lourd et difficile. De plus, ynt fit le clcul de l intégrle sur un intervlle, il fut le refire pour chque utre intervlle à lquelle on s intéresse (à moins de pouvoir fire un chngement de vribles plus ou moins compliqué). Exemple Clculer J k = 1 0 xk dx pour k = 1 et k = 2, en utilisnt des subdivisions équidistntes de [0, 1]. Solution. Comme x k est une fonction croissnte sur R +, elle est intégrble et les sommes de Drboux coïncident vec les sommes de Riemnn n s n = 1 1 ( ) k i ; S n = s n + 1 n n n = 1 n n k+1 i k. i=0 Pour k = 1, cette somme est bien connue : n i=1 i = 1 2n(n + 1), et donc S n = 1 2 (1 + 1 n ), J 1 = lim n S n = 1 2 Pour k = 2, il fut utiliser n i=1 i2 = 1 6n(n + 1)(2n + 1), d où S n = 1 6 n(n + 1)(2n + 1) n 3 = J 2 = 1 3. (Pour trouver l vleur de i 2, on peut utiliser i 2 = i(i 1) + i, et observer que l pemière expression est l vleur de (x i ) en x = 1. En permutnt somme et dérivées, on clcule lors l 2 e dérivée de l somme géométrique égle à (1 x n+1 )/(1 x), puis s limite en x = 1.) On voit que l méthode se générlise à n importe quel k N, mis pour k R les choses se compliquent. Aussi, pour clculer b xk dx vec [, b] [0, 1], il fut fire des chngements de vribles pour se rmener u cs ci-dessus. L objet de ce chpitre est d introduire l notion de primitive d une fonction, qui permettr d éviter ce genre de clcul, en utilisnt les conclusions du présent et les méthodes des suivnts chpitres. i= Primitive d une fonction continue Soit D R et f : D R une fonction numérique définie sur D. Définition Une fonction F : D R est une primitive de f dns D ssi F est dérivble sur D, et F = f dns D. Proposition Si F et G sont deux primitives de f, lors F G est une constnte sur tout intervlle I D. 13

14 1 CALCUL INTÉGRAL Démonstrtion. Soit, x I. On pplique le théorème des ccroissements finis à l fonction h = F G, dérivble sur [, x] I comme somme de fonctions dérivbles. On donc c ], x[ : (F G)(x) (F G)() = (x ) (F G) (c) } {{ } =f(c) f(c)=0 Donc F (x) G(x) = F () G(), ce qui est une constnte, indépendnte de x qui peut prcourir l ensemble des points de I. Remrque Le mot «intervlle» est essentiel dns cette proposition : si D est réunion d intervlles (ouverts) disjoints, F G peut être différent sur chcun des intervlles. Existence d une primitive Théorème Toute fonction continue f : [, b] R possède une primitive, donnée pr F (x) = x f(t) dt. Démonstrtion. Vérifions que l fonction F (x) = x f(t) dt convient. D bord, cette intégrle existe pour tout x [, b] cr f continue sur [, b] donc f R,b. Clculons [ F (x + h) F (x) lim = 1 x+h ] x f(t) dt f(t) dt h 0 h h = 1 h x+h x f(t) dt D près le thm. de l moyenne, ξ [x, x + h] tel que 1 h x+h x f(t) dt = f(ξ). (reltion de Chsles) Donc F (x + h) F (x) lim = lim f(ξ) = f(x). h 0 h ξ x (NB : Si x = ou x = b on ne peut considérer que l limite à guche ou à droite, c est-à-dire h > 0 ou h < 0.) Remrque Ce résultt permet d identifier l intégrtion comme une ntidifférentition (à une constnte près), puisque F = f pour F (x) = x f(x) dx. Intérêt de l primitive D près le thm précédent, F (x) = x f(t) dt est une primitive de f, et d près l proposition 1.3.3, toute primitive de f est égle à F, à une constnte près. Donc, si F est une primitive quelconque de f, lors F = F + c, et F (b) F () = F (b) F () = b f(x) dx, 14 M. Hsler: Anlyse 2

15 1.4 Prtique du Clcul intégrl en utilisnt l reltion de Chsles. Ainsi, l connissnce d une primitive quelconque F d une fonction f sur un ensemble D permet de clculer l intégrle de f sur n importe quel intervlle [, b] D, en ppliqunt l formule b f(x) dx = [ ] b F (x) F (b) F (). Ainsi, bien que cel soit possible, on n utilise dns l prtique qusiment jmis l définition de l intégrle de Riemnn en terme de sommes de Drboux, pour l clculer. Suf exceptions, on chercher toujours une primitive de f pr les méthodes qui seront développées dns l suite, pour ppliquer l formule ci-dessus. 1.4 Prtique du Clcul intégrl Nous llons ici border quelques méthodes pour clculer des primitives d une lrge clsse de fonctions Intégrle indéfinie Soit f : D R continue. On note f(x) dx l une quelconque des primitives de f, définie à une constnte près que l on joute toujours explicitement. Exemple x dx = ln x + C. Ici, D f = R \ {0}, on peut donc voir des constntes différentes sur ], 0[ et sur ]0, [. Autrement dit, C est une fonction constnte sur chque sous-intervlle de D. On dit que f(x) dx est l intégrle indéfinie de f, lors que b f(x) dx s ppelle intégrle définie. Remrque On utilise l notion d intégrle indéfinie comme synonyme de primitive. On pourrit fire une distinction plus rigoureuse en définissnt l intégrle indéfinie f(x) dx comme l une quelconque des fonctions de l forme x f(x) dx, ou D n est ps spécifié. (C est insi qu on l détermine et qu on l utilise, dns l esprit du sous-chpitre qui précède.) Les deux définitions sont équivlentes u détil près qu on n obtient lors ps toutes les primitives pr les intégrles indéfinies : en effet, en chngent l borne inférieure on ne peut ps obtenir toutes les constntes, si x D est borné ou si les primitives de f sont bornées, c est-à-dire si lim x ± f(x) dx est finie Primitives des fonctions usuelles Pr dérivtion, on vérifie isément l vlidité des reltions données dns le tbleu 1. De même, on vérifie pr dérivtion (règle de chîne!) que u (x) f(u(x)) dx = F (u(x)) vec F (t) = f(t) dt. 15

16 1 CALCUL INTÉGRAL x α dx = xα+1 α C 1 (α R \ { 1}) dx = ln x + C x cos x dx = sin x + C sin x dx = cos x + C e x dx = e x + C ch x dx = sh x + C (rppel : ch x = 1 2 (ex + e x )) sh x dx = ch x + C (rppel : sh x = 1 2 (ex e x )) 1 dx = rctn x + C 1 + x2 1 dx = rcsin x + C ( 1 x 1) 1 x 2 1 dx = Arsh x + C = ln(x x 2 ) + C x 2 TAB. 1 Primitives des fonctions usuelles Cette formule ser étudiée plus en détil dns le prgrphe Elle permet d utiliser les formules élémentires ci-dessus pour toute une clsse de fonctions élémentires «composées». Son ppliction notmment u cs u(x) = x + b (et donc u = ) est immédite et donne : f( x + b) dx = 1 F ( x + b) Exercice Générliser le formulire précédent, en remplçnt x dns l intégrnd pr x + b Intégrtion pr prties Proposition Pour f, g C 1 (I R), on f (x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx ou encore, vec I = [, b] et en utilisnt les intégrles définies : b f (x) g(x) dx = [ ] b f(x) g(x) b f(x) g (x) dx 16 M. Hsler: Anlyse 2

17 1.4 Prtique du Clcul intégrl Démonstrtion. On f(x) g(x) (+C) = (fg) (x) dx = = [f (x) g(x) + f(x) g (x)] dx f (x) g(x) dx + f(x) g (x) dx, D où (en bsorbnt l constnte d intégrtion dns les intégrles indéfinies) l première prtie de l proposition. L deuxième prtie s obtient en prennt l vleur en b moins l vleur en. Remrque Cette reltion est souvent utilisé pour diminuer successivement le degré d un polynôme g(x) qui multiplie une fonction f (x) que l on sit intégrer. Elle sert ussi pour l intégrtion des expressions fisnt intervenir les fonctions trigonometriques, où l on retombe sur l fonction d origine près deux intégrtions. Exemple Clculons l primitive x 2 e x dx. On poser deux fois successivement f = e x = f : x 2 e x dx = x 2 e x 2 x e x dx = x 2 e x 2 x e x + 2 e x dx = x 2 e x 2 x e x + 2 e x + C Exemple Clculons l primitive sin x e x dx. On poser successivement f = sin x, puis f = cos x : sin x e x dx = sin x e x cos x e x dx [ ] = sin x e x cos x e x ( sin x) e x dx = (sin x cos x) e x sin x e x dx On met tous les dns le membre de guche et obtient près division pr 2 : sin x e x dx = 1 2 (sin x cos x) ex ( + C ) Formule de Tylor vec reste intégrl Comme ppliction importnte de l intégrtion pr prties, démontrons le Théorème (formule de Tylor vec reste intégrl) Pour, x R et f C n+1 ([, x]), on f(x) = f()+f () (x )+ + 1 n! f (n) () (x ) n + 1 n! x f (n+1) (t) (x t) n dt. (4) 17

18 1 CALCUL INTÉGRAL (Rppel : on note C k (I) les fonctions k fois continûment dérivbles sur I.) Cette formule de Tylor vec reste intégrl est historiquement l première prmi les différentes formules de Tylor (cf. chp , pge 34), trouvée pr Monsieur Brook Tylor ( ). Elle sert pour le clcul de développements limités qui seront étudiés u chpitre suivnt. Elle donne une pproximtion polynômile de l fonction f u voisinge de : en effet, si x est proche de, lors les termes de l forme (x ) k deviennent très petits, d utnt plus que k est élevé. Le dernier terme, ppelé «reste intégrl» du développement, tend encore plus vite vers zéro que (x ) n (comme on le démontre u chpitre 2.3.3). Démonstrtion. Pour n = 0, l formule est vrie : en effet, elle s écrit dns ce cs f(x) f() = x f (t) dt, ce qui exprime simplement le fit que f est une primitive de f, lorsque f C 1 ([, x]). Supposons mintennt (4) vrie pour un certin n N, et que f (n+1) dmette une dérivée f (n+2) continue sur [, x]. Ainsi, les deux fcteurs dns le reste intégrl vérifient les conditions suffisntes pour pouvoir fire une intégrtion pr prtie, vec u = f (n+1) = u = f (n+2) et v (t) = (x t) n = v(t) = 1 n+1 (x t)n+1. Alors x = f (n+1) (t) (x t) n dt [ f (n+1) (t) 1 n+1 (x t)n+1] x 1 n+1 x f (n+2) (t) (x t) n+1 dt. L borne supérieure du crochet donne zéro et pour l borne inférieure les signes ( ) se compensent, on donc x f (n+1) (t) (x t) n dt = 1 n+1 f (n+1) () (x ) n n+1 x et en reportnt ceci dns (4), on trouve l formule u rng n + 1. f (n+2) (t) (x t) n+1 dt Chngement de vrible d intégrtion Proposition Soit f : I R continue et ϕ : J I un difféomorphisme, c est-à-dire une bijection telle que ϕ et ϕ 1 soient continûment dérivbles. Dns ce cs, f(x) dx = F (ϕ 1 (x)) vec F (t) = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt ( + C ). Autrement dit, F ϕ 1 est une primitive de f. En terme d intégrles définis, on ϕ(b) ϕ() f(x) dx = b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. 18 M. Hsler: Anlyse 2

19 1.4 Prtique du Clcul intégrl Démonstrtion. Il fut et il suffit de montrer que F ϕ 1 comme dérivée f. Or, d près l règle de chîne, on (F ϕ 1 ) = F ϕ 1 (ϕ 1 ) Or, F = f ϕ ϕ et (ϕ 1 ) = 1/(ϕ ϕ 1 ) (ce qui se montre en dérivnt ϕ(ϕ 1 (x)) = x). Donc (F ϕ 1 ) = f ϕ ϕ 1 1/(ϕ ϕ 1 ) = f. Pour une intégrle définie, on donc β α f(x) dx = F (ϕ 1 (β)) F (ϕ 1 (α)) = ϕ 1 (β) ϕ 1 (α) f(ϕ(t)) ϕ (t) dt ce qui revient u même que l formule donnée dns l énoncé vec = ϕ 1 (α) et b = ϕ 1 (β). Applictions Disposition prtique : Ce théorème permet de clculer f si l on sit clculer f ϕ ϕ, ou réciproquement. Il est à l bse de tout «l rt de l intégrtion», qui consiste à trouver les bons chngements de vribles x = ϕ(t). Dns l prtique, on écrit lors x = ϕ(t) = dx dt = ϕ (t). On écrit symboliquement dx = ϕ (t)dt, et on substitue ces deux équtions dns l intégrle en question : f(x) dx = f(ϕ(t) ) ϕ (t)dt }{{} } {{ } =x =dx Puis, ynt trouvé l primitive F (t) du membre de droite, on retourne à l vrible x en substitunt t = ϕ 1 (x). Exemple Clculons l primitive sin x cos x dx sur l intervlle ] 1, 1[. Posons sin x = t = cos xdx = dt. C est justifié cr sin est une bijection différentible de [ π 2, π 2 ] sur [ 1, 1], et l fonction réciproque x = rcsin t est églement dérivble à l interieur de cette intervlle. D où sin }{{} x cos } {{ xdx } = t dt = 1 2 t2 + C = 1 2 (sin x)2 + C. =t =dt N.B. : En terme des définitions de l proposition, on trvillé vec ϕ 1 plutôt qu vec ϕ ; c est souvent plus insi qu on procède dns l prtique. Remrque Il fut s ssurer que l fonction ϕ est effectivement une bijection, générlement en considérnt ses propriétés de monotonie. Dns le cs echént, il fut découper l intervlle d intégrtion en des sous-intervlles sur lesquels ϕ est monotone. 19

20 1 CALCUL INTÉGRAL Formule de l moyenne générlisée. Comme ppliction intéressnte des chngements de vrible, considérons le Théorème (de l moyenne, générlisé.) Soient f, g C([, b]) et g > 0 sur ], b[. Alors, ξ [, b] : b f(x) g(x) dx = f(ξ) b g(x) dx. Exercice Démontrer ce théorème, en étudint l fonction G(x) = x g(t) dt pour justifier le chngement de vrible u(x) = + G(x) (b )/G(b). Solution : L fonction G est bien définie (g intégrble cr continue) et dérivble sur [, b], vec G = g > 0 sur ], b[. Donc G est strictement croissnte sur ], b[, et idem pour u, qui est donc bijection de [, b] sur [u(), u(b)] = [, b]. u est dérivble et u = g (b )/G(b). Ainsi on peut fire le chngement de vrible pour psser de x à u : b b f(x) g(x) dx = f(x(u)) du G(b) b. En utilisnt le théorème de l moyenne pour u f(x(u)), ũ [, b] : b f(x(u)) du = (b ) f(x(ũ)), on le résultt cherché, vec ξ = x(ũ) (puisque G(b) = b g(t) dt). 20 M. Hsler: Anlyse 2

21 1.5 Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples 1.5 Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples Dns ce (long) chpitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute frction rtionnelle f(x) = A(x) B(x), où A, B sont de polynômes. On procède pr étpes, en illustrnt l théorie à l ide de l exemple f(x) = A(x) B(x) = 2 x6 + 3 x 5 3 x 4 3 x 3 3 x 2 18 x 5 x 5 + x 4 2 x 3 x 2 x + 2 L première prtie de ce chpitre est plutôt lgébrique : nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importnts d lgèbre sns démonstrtion, qui n ps s plce dns ce cours d nlyse Division euclidienne 1 e étpe : On utilise le Théorème (et définition : division euclidienne) Soient A, B R[X], B 0. Alors il existe un unique couple (Q, R) de R[X] tel que A = B Q + R et deg R < deg B On dit que Q est le quotient et R le reste de l division euclidienne de A pr B. Ainsi on peut écrire f(x) = A(x) B(x) Q(x) + R(x) = = Q(x) + R(x) B(x) B(x) B(x) vec deg R < deg B. Le polynôme Q(x) s ppelle prtie entière de l frction rtionnelle. Exemple On effectue l division euclidienne comme suit : 2 x x 5 3 x 4 3 x 3 3 x 2 18 x 5 x 5 + x 4 2 x 3 x 2 x x x 5 4 x 4 2 x 3 2 x x 2x + 1 x 5 + x 4 x 3 x 2 22 x 5 x 5 + x 4 2 x 3 x 2 x + 2 x 3 21 x 7 On donc f(x) = 2x x 3 21 x 7 x 5 + x 4 2 x 3 x 2 x Polynômes irreductibles 2 e étpe : On considère donc dorénvent une frction rtionnelle R(x)/B(x) telle que deg R < deg B. Pour procéder, on pose 21

22 1 CALCUL INTÉGRAL Définition Les polynômes irréductibles (sur R) sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 sns rcine réelle (c est-à-dire X 2 + b X + c vec = b 2 4 c < 0). Un polynôme est unitire ssi le coefficient du terme de plus hut degré est 1. On se servir du Théorème Tout polynôme de R[X] se décompose de mnière unique en un produit de l forme P (X) = (X r 1 ) m1 (X r p ) mp (X 2 + b 1 X + c 1 ) n1 (X 2 + b q X + c q ) nq c est à dire d une constnte qui est le coefficient du terme de plus hut degré de P, et de polynômes irréductibles unitires : r i sont les rcines (distinctes) de P, m i leurs multiplicités, et les fcteurs de degré 2 sont sns rcine réelle (c est-à-dire vec = b 2 j 4 c j < 0). On utilise cette décomposition pour le polynôme B(x) u dénominteur de l frction rtionnelle. On suppose de plus que le numérteur n ps de fcteur commun vec le dénominteur, sinon on simplifie pr ce fcteur commun. Exemple Pour trouver l fctoristion B(x), on commence pr chercher des rcines évidentes en tâtonnnt (i.e. en essynt pour x les vleurs 0, ±1,...). On trouve que B(1) = 0 et B( 2) = 0, donc (x 1)(x + 2) = x 2 + x 2 divise B(x). On effectue l division euclidienne x 5 + x 4 2 x 3 x 2 x + 2 x 2 + x 2 x 5 + x 4 2 x 3 x x 2 x + 2 x 2 x Or, x 3 1 = (x 1)(x 2 + x + 1), pr conséquent, B(x) = (x + 2)(x 1) 2 (x 2 + x + 1) En effet, x 2 + x + 1 est un trinôme du 2 nd degré à discriminnt négtif Pôles et éléments simples 3 e étpe 22 M. Hsler: Anlyse 2

23 1.5 Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples Définition On dit que f(x) := A(x) B(x), A, B R[X], est une frction rtionnelle irréductible ssi les polynômes A et B sont sns fcteur commun. On ppelle pôles de l frction rtionnelle irréductible les rcines du polynôme B. Soit B(X) = (X r 1 ) m1 (X r p ) mp (X 2 +b 1 X+c 1 ) n1 (X 2 +b q X+c q ) nq l décomposition irréductible de B. On ppelle éléments simples de 1 e espèce reltifs ux pôles r i, les m i fonctions rtionnelles du type A 1 x r i, A 2 (x r i ) 2,..., A mi (x r i ) mi, où les A k sont des constntes réelles. On ppelle éléments simples de 2 e espèce reltifs ux polynômes irréductibles X 2 + b j X + c j, les n j fonctions rtionnelles du type B 1 x + C 1 x 2 + b j x + c j, où les B k, C k sont des constntes réelles. B 2 x + C 2 (x 2 + b j x + c j ) 2,..., B nj x + C nj (x 2 + b j x + c j ) nj, Exemple Décrire les éléments simples de R(x) B(x) = x 3 21 x 7 (x + 2)(x 1) 2 (x 2 + x + 1) éléments simples de 1 e espèce : le pôle x = 1 de multiplicité 2 2 éléments simples : A 1 x 1, A 2 (x 1) 2, A 3 pôle x = 2 de multiplicité 1 1 éléments simple : x + 2. éléments simples de 2 e espèce : 1 seul, ssocié u fcteur irreductible x 2 + x + 1 : B 1 x + C 1 x 2 + x + 1. Attention : il fut toujours d bord s ssurer de l décomposition complète du dénominteur! Pr exemple, B(x) urit pu être écrit comme B(x) = (x 1)(x+2)(x 3 1) ; ce qui ne permet ps de voir imméditement les éléments simples. Théorème Soit f(x) = A(x)/B(x) une fct. rtionnelle irréducitble. Alors 1. Si A = BQ + R, deg R < deg B (div.euclidienne de A pr B), on f = A B = Q + R B dns D f. R 2. B se décompose de mnière unique comme somme de tous les éléments simples reltifs à B : R(x) B(x) = i k A ik (x r i ) k + j l B jk x + C jk (x 2 + b j x + c j ) k. (des) 23

24 1 CALCUL INTÉGRAL Exercice Donner l structure de l décomposition en éléments simples de f(x) = R(x)/B(x). On R(x) B(x) = x 3 21 x 7 (x + 2)(x 1) 2 (x 2 + x + 1) = A 1 x 1 + A 2 (x 1) A 3 x B 1 x + C 1 x 2 + x + 1. (*) NB : qund on ne demnde que l structure de l décomposition, on peut lisser les A i, B j, C j indéterminées Clcul des coefficients d une décomposition en éléments simples 4 e étpe : (l plus dure...) () : POUR LES PÔLES SIMPLES DE MULTIPLICITÉ 1 On multiplie l éq. (des) pr (x r i ), et on prend x = r i : dns le membre de droite ne survit que A i, dont l vleur est donné pr le membre de guche, R(r i )/B (r i ) vec B (x) = B(x)/(x r i ) (simplifié). Pr exemple, ppliquons ceci u clcul de A 3 : En multiplint (*) pr (x + 2), on x 3 ( 21 x 7 A1 (x 1) 2 (x 2 = (x + 2) + x + 1) x 1 + A ) 2 (x 1) 2 + A 3 + (x + 2) B 1 x + C 1 x 2 + x + 1 et en posnt x = 2, = A 3 A 3 = 1. (b) : LES COEFF. A imi DES PÔLES DE MULTIPLICITÉ m i Pour trouver le coefficient A i,mi qui correspond à un pôle d ordre m i, on multiplie pr (x r i ) mi, puis on prend x = r i : de mnière nlogue à ce qui précède, on trouve le coeff. recherché. Dns notre exemple, on détermine insi A 2 en multiplint pr (x 1) : x 3 ( 21 x 7 (x + 2)(x 2 + x + 1) = (x 1) A A3 1 + A 2 + (x 1) x B ) 1 x + C 1 x 2 + x + 1 et en prennt x = 1, A 2 = (1 21 7)/(3 3) = 3. (c) : LES COEFF. B jnj, C jnj DES FACTEURS QUADRATIQUES On peut ppliquer l même méthode, mis vec les rcines complexes de ces fcteurs x 2 + b j x + c j. Pour celà, on multiplie pr le fcteur (x 2 + b j x + c j ) nj, puis on prend x égl à une des rcines complexes du fcteur, pour trouver (vec l prtie réelle et imginire) les coeff. B j et C j : Dns notre cs, x 2 + x + 1 = x3 1 x 1, 24 M. Hsler: Anlyse 2

25 1.5 Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples les rcines sont donc les 2 rcines 3 es non-triviles de l unité, j = exp 2 π i 3. (En effet, il convient de vérifier que x = j est vriment un pôle en clculnt R(j) = 1 21 j 7 0.) En multiplint (*) pr x 2 + x + 1 x 3 21 x 7 (x 1) 2 (x + 2) = (x2 + x + 1) et en prennt x = j, on trouve insi ( A1 x 1 + A 2 (x 1) 2 + A 3 x j 7 j j 2 2 j 2 4 j + j + 2 = B 1 j + C 1 ) + B 1 x + C j B 1 j + C 1 = = j 3 3 j 1 j ce qui donne (prtie réelle et imginire) les coefficients B et C près un petit clcul. Cependnt, ici ce clcul de nombres complexes est un peu lourd et on utiliser plutôt une utre méthode, pr exemple celle des limites. (d) : LES AUTRES COEFF. A ik DES PÔLES DE MULTIPLICITÉ m i > 1 Ces coefficients peuvent ussi se clculer pr l méthode du chngement de vrible t = x r i. Ceci nous rmène à un pôle en t = 0. Pour clculer les coefficients ssociés à ce pôle, on fit l division pr les utres fcteurs de B(t + r i ) suivnt les puissnces croissntes en t, à l ordre m i -1 ; c est-à-dire on s rrête lorsque le reste ne contient que des termes de degré supérieur ou égle à m i, de fçon à pouvoir mettre en fcteur t mi. Le quotient donne lors tous les coefficients ssociés u pôle r i. Exemple Dns notre exemple, le chngement de vrible est t = x 1 x = t + 1, donc x 3 21 x 7 (x 1) 2 (x + 2)(x 2 + x + 1) = t3 + 3 t 2 18 t 27 t 2 (t + 3)(t t + 3). On divise lors t t 2 18 t 27 pr (t + 3)(t t + 3) = t + 6 t 2 + t 3 suivnt les puissnces croissntes, à l ordre 1 : D où : t + 3 t 2 + t t + 6 t 2 + t t 18 t 2 3 t t 18 t + 21 t t 3 18 t + 24 t t t 4 3 t 2 8 t 3 2 t t + 3 t 2 + t 3 = ( t)( t + 6 t 2 + t 3 ) + ( 3 t 2 8 t 3 2 t 4 ) En divisnt pr t 2 (t + 3)(t t + 3), on donc t + 3 t 2 + t 3 t 2 (t + 3)(t t + 3) = t 3 8 t 2 t2 t 2 + (t + 3)(t t + 3), et on déduit du premier terme que A 1 = 2 et A 2 = 3. NB : cette méthode est surtout intéressnte s il y un pôle de multiplicité élevée ( 4) et peu d utres fcteurs dns B(x), ou lors s il s git dès le début d un pôle en x = 0 (ce qui évite le chngement de vrible).. 25

26 1 CALCUL INTÉGRAL (e) : MÉTHODES GÉNÉRALES POUR LES COEFF. RESTANTS (i) : méthode des limites Cette méthode consiste à multiplier d bord pr l plus bsse puissnce qui intervient dns l décomposition en éléments simples, et de prendre l limite x (où il suffit de grder les puissnces les plus élevées). Ainsi, on dns le membre de droite l somme des coefficients qui correspondent à cette puissnce, qui permet de déterminer un coefficient en terme des utres. Exemple Dns notre exemple, on multiplie pr x, l limite donne lors lim x4 x 5 = 0 = A 1 + A 3 + B 1 et donc B 1 = A 1 A 3 = 2 1 = 3. (ii) : méthode des vleurs prticulières Une utre méthode consiste à simplement prendre des vleurs prticulières pour x (différents des pôles) et insi d voir un système d équtions qui permettr de déterminer les coefficients mnqunts. Exemple Dns notre exemple, prenons x = 0 : 7 2 = A 1 + A 2 + A C 1 et donc C 1 = A 1 A 2 A3 2 = = = 1. Remrque : dns le cs générl, il fut insi créer un système d utnt d équtions (indépendntes) qu il reste de coefficients à déterminer. (iii) : pr identifiction L méthode générique qui mrche toujours mis qui n est ps toujours ps l plus rpide, consiste à réécrire l somme des éléments simples sur le dénominteur commun qui est B(x), et d identifier les coeff. des mêmes puissnces de x du membre de guche (coefficients de R(x)) et du membre de droite (les A, B, C multipliés pr une prtie des fcteurs de B(x)). Ainsi on obtient un système d équtions linéires dont l solution donne les coefficients (mnqunts) Appliction u clcul de primitives Avec l technique étudiée dns ce chpitre, on peut intégrer toute fonction rtionnelle f(x) = A(x) B(x). En effet, on commence pr simplifier A(x) pr les fcteurs irréductibles de B(x) pour désormis pouvoir supposer f(x) irréductible. Ensuite, u cs ou deg A deg B, on effectue l division euclidienne pour voir f(x) = Q(x) + R(x) B(x) vec deg R < deg B. 26 M. Hsler: Anlyse 2

27 1.5 Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples Enfin, on décompose R(x) B(x) en éléments simples. On n donc plus qu à trouver les primitives pour les deux types d éléments simples, dx A x + B (x r) k et (x 2 + b x + c) k dx. L première intégrle ne pose ps de problème, s primitive est (x r) k+1 k + 1 si k 1 et ln x r si k = 1. Considérons donc le 2e type d intégrle. On l écrit d bord sous l forme A x + B (x 2 + b x + c) k = D 2 x + b (x 2 + b x + c) k + E (x 2 + b x + c) k vec D = A 2 et E = B b D. Ainsi, le premier terme est de l forme D u u k, vec D l primitive k+1 u k+1 (resp. D ln u pour k = 1). Tout ce qui reste donc à clculer est l primitive dx ( < 0). (x 2 +b x+c) k Pour ce fire, on se rmène pr un chngement de vrible à cette intégrle vec b = 0 et vec c = 1, en posnt successivement u = x + b 2, puis t = c b 2 /4 u). Pour clculer dt, on pose t = tn θ, θ ] π (t 2 +1) k 2, [ π 2, dt = (1 + tn 2 θ)dθ. [justifier ce chgt de vrible!] Alors dt (1 + tn 2 (t 2 + 1) k = θ)dθ (1 + tn 2 θ) = k dθ (1 + tn 2 θ) = (cos θ) 2k 2 dθ k 1 (rppel : 1/ cos 2 θ = 1 + tn 2 θ). Pour k = 1, une primitive est θ = rctn t. Sinon, on fit une intégrtion pr prtie d un fcteur cos x pour diminuer l exposnt de 2 : cos 2k 2 x dx = [cos 2k 3 x sin x] (2k 3) cos 2k 4 x( sin x) sin x dx = [cos 2k 3 x sin x] + (2k 3) cos 2k 4 x(1 cos 2 x) dx = 1 2k 2 ( [cos 2k 3 x sin x] + (2k 3) ) cos 2k 4 x dx où l dernière ligne est obtenue en fisnt psser toutes les cos 2k 2 x dx dns le membre de guche puis en divisnt pr le coefficient 4 2k. Avec cos 2k 3 x sin x = cos 2k 2 x tn x et cos 2 x = 1 + tn 2 x, on enfin dt I k := (t 2 + 1) k = 1 2k 2 ([ t (1 + t 2 ) k 1 ] ] + (2k 3)I k 1 ) ce qui permet, vec I 1 = rctn t, de clculer I k pour tout k N. Remrque Dns l prtique, on effectue le chngement de vribles pour psser de x 2 + b x + c à 1 + tn 2 θ en une seule fois. 27

28 1 CALCUL INTÉGRAL Exemple On écrir pr exemple vec tn θ = ( x 2 + x + 1 = x + 1 ) 2 1 ( = x + 1 ) [ = 3 ( 4 x + 1 ) ] = (tn2 θ + 1), ( 4 3 x + 1 2) Primitives des fonctions rtionnelles de sin x et cos x Définition On dit que f(x) est une fonction rtionnelle de sin x et cos x s il existent des polynômes (en 2 vribles) A, B R[X, Y ] (c est-à-dire A = ij X i Y j, idem pour B) tels que f(x) = A(sin x, cos x)/b(sin x, cos x). Exemple f(x) = cos x sin x sin x cos 2 x : ici, A = Y X, B = X Y 2. Méthode d intégrtion : On distingue 3 cs (ide mnémotechnique : l nouvelle vrible est chque fois invrinte sous l trnsformtion considérée) si f( x) = f(x), on pose t = cos x (invrint, or sin( x) = sin(x)) si f(π x) = f(x), on pose t = sin x (invr., or cos(π x) = cos(x)) si f(π + x) = f(x), on pose t = tn x (invr., mis sin, cos chgt de signe) sin x Exemple f(x) = cos 3 x + sin 2. On pose t = cos x, dt = sin xdx, donc x dt f(x) dx = t 3 + (1 t 2 ), on rrive insi à une simple frction rtionnelle à intégrer, et on substituer finlement t = cos x dns le résultt Autres frctions rtionnelles Dns les cs suivnts, on peut encore se rmener à l recherche d une primitive d une frction rtionnelle : ) f(e x, sh x, ch x, th( x) : on pose t = e x, x = ln t, dx = 1 t dt. Avec sh x = 1 2 (t t 1 ), ch x = ) 1 2 t + t 1, on retrouve une frction rtionnelle en t. ) b) f (x, n vec d bc 0 : on pose x+b c x+d y = n x + b c x + d b d yn x = c y n, dx = d b c (c y n ) 2 n yn 1 dy. et on retrouve encore une frction rtionnelle en y. 28 M. Hsler: Anlyse 2

29 1.5 Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples c) f(x, x 2 + b x + c) : On trnsforme l rcine en une des formes suivntes : t : on pose lors t = sh u = t = ch u t 2 1 : on pose lors t = ± ch u (u > 0) = t 2 1 = sh u 1 t 2 : on pose lors t = sin u ou t = cos u Dns chcun des cs, on retombe sur une frction rtionnelle d un des types qui précèdent (vec ch, sh ou sin, cos). Exemple f(x) = x x2 + 4 x + 5 : on x2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1, on poser donc x + 2 = sh u, d ou x x + 5 = ch u, dx = ch u du et sh u 2 f(x) dx = ch u du = (sh u 2) du ch u = ch u 2 u = x x Arsh (x + 2). 29

30 2 FONCTIONS NÉGLIGEABLES ET ÉQUIVALENTES ; DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 2 Fonctions négligebles et équivlentes ; développements limités L notion de fonctions équivlentes devrit être connue du cours d Anlyse 1, sous f l forme f g lim () g = 1. On l réintroduit ici en utilisnt l nouvelle notion de fonctions négligebles, qui est très utile notmment dns le cdre des développements limités. 2.1 Fonctions négligebles Dns ce qui suit, on considère des fonctions f, g,... à vleurs dns R, définis sur un voisinge pointé V d un point R = R {± }, c est-à-dire u voisinge de suf eventuellement en ce point même. (On rppelle que {]M, [ ; M R} constitue une bse de voisinges de = ). Pour ne ps trop lourdir les nottions, on convient qu une églité entre fonctions sous-entend l restriction à l intersection des domines de définition. Définition L fonction f est dite négligeble devnt g u voisinge de, ss il existe un voisinge pointé V de et une fonction ε : V R de limite nulle en, telle que f = ε g (dns V ). On écrit f g f = () o(g) def ε : V R t.q. f = ε g et lim ε = 0, On ppelle f = o(g) l nottion de Lndu et f g l nottion de Hrdy. Exemple On f = o(1) lim f = 0. Exemple L fonction nulle o : x 0 est négligeble devnt toute fonction en tout point (prendre ε = 0). D utre prt, f = o(f) = f = ε f (1 ε)f = o = f = o (cr lim ε = 0 = (1 ε) 0) dns un voisinge de. Remrque Alors que l nottion de Hrdy prît plus «logique», on utilise dns l prtique plus souvent celle de Lndu, cr elle permet l bus de nottion très prtique qui consiste à écrire f(x) = g(x) + o(h(x)) (x ) u lieu de f g = () o(h). Lorsqu on utilise cette nottion, chque terme o(h(x)) représente une fonction quelconque de x, négligeble devnt h, mis à priori inconnue et différente d un éventuel utre terme o(h(x)). On prendr ussi grde de toujours préciser le point uquel l reltion de négligence s pplique. Ainsi on peut voir f g mis g b f pour, b différents. Exemple Si f est bornée et g tend vers l infini, lors f = o(g). 30 M. Hsler: Anlyse 2

31 2.1 Fonctions négligebles Exemple On x m = ( ) o(x n ) ssi m < n (cr lors ε = x m n 0), et l opposé u voisinge de 0. Exemple On x α = o(e βx ) et (ln x) α = o(x β ) (x ) pour tout α, β > ( ) ( ) 0. (Exercice : pourquoi?) L proposition suivnte permet de trouver utnt d exemples que l on souhite : Proposition Si l fonction f/g est définie dns un voisinge pointé de, lors f = o(g) lim f/g = 0. Démonstrtion. Exercice. (Il suffit d utiliser ε = f/g). Remrque Le seul cs ou f/g n est ps défini dns un voisinge de est celui ou g une infinité de zéros dns chque voisinge (c est-à-dire ussi près que l on veut) de, pr exemple pour g(x) = h(x) sin 1 x. Proposition L reltion est trnsitive, f g, g h = f h, et comptible vec l multipliction, c est-à-dire f g = f h g h, et f g, h k = f h g k pour toutes fonctions f, g, h, k : V R. Démonstrtion. Exercice. (Il suffit de substituer f = ε 1 g, g = ε 2 h, etc.) Remrque Attention : l reltion n est ps comptible vec l ddition! Pr exemple, x x 3 et x 2 x 3, mis x + x 2 x 3 + ( x 3 ) = o. Remrque Dns l prtique, on utilise donc l nottion o(g) (voire o(g(x))) pour représenter une fonction f quelconque, à priori inconnue, telle que f g. On écrit insi pr exemple x n o(x m ) = o(x n+m ), o(x n ) + o(x m ) = o(x mx(m,n) ) (x )... Attention : Il convient de grder en mémoire que le symbole o( ) correspond, chque fois qu il pprît, à une nouvelle (utre) fonction ε. On insi pr exemple o(λf(x)) = o(f(x)) λ R, mis o(f(x)) = o(λf(x)) seulement λ R. Noter ussi que pour m > n, o(x n ) = o(x m ) (x ), mis mlgré cette «églité», o(x m ) o(x n )! 31