Construction de l action coadjointe du groupe de Poincaré sur son espace des Moments J.P.PETIT. 10 novembre 2004

Transcription

1 Acon coadjone oncaé //4 onsucon de acon coadjone du oupe de oncaé su son espace des omens J..EI novembe 4 aons de a mace de amm dénssan a méque de espace de nkwosk : Dénssons e pon-évènemen : ξ a méque es : d d d d d d ξ ξ a ee sne «ansposée de a mace». On dén aomaquemen e oupe de oen pa a eaon aomaque : On va dén e veceu ansaon spao-empoee :

2 Acon coadjone oncaé //4 On dén aos éémens du oupe de oncaé : a mace nvese es : -apès e «veceu anen au oupe», éémen de son «aèbe-de-e» : On éc cee déenee au vosnae de éémen neue du oupe. ou consue acon coadjone du oupe don éemen es nous paons de : omme a déencaon es eecuée au vosnae de éémens neue es une mace ansméque. Epcaon : a dénon de a mace de oen es : déencons.

3 Acon coadjone oncaé //4 3 Fasons ( en noan que ) enons compe que. On peu éce : ( ) Donc es une mace ansméque quon appeea. où es une mace ansméque Dans éémen de aèbe-de-e du oupe, dans a déenee de a mace on a e eme qu on éca sous a ome pusque : On pose : Nous aons consue appcaon : { } { },, : A A es-à-de : mas : donc :

4 Acon coadjone oncaé //4 4 mas : donc : d où appcaon : qu consue appcaon echechée : A A {, } {, } : Un éémen du oupe de oncaé p es dén pa une sue de paamèes { π } don e nombe es a dmenson du oupe. On peu éce appcaon : A A { π } { π } : acon adjone du oupe su son espace des momens se dén (Souau 97) comme a coacon, a duae de cee-c. a duaé se adu pa nvaance d un scaae S : n S J π n J π cons an e n éan a dmenson du oupe (d, pou e oupe de oncaé). es composanes J du momen son donc en nombe éa.. On décompose e momen J en deu objes. e peme es une mace de oma ( 4, 4 ), ansméque, aan donc s composanes. e second es un quadveceu (e quadveceu mpuson-énee) de oma ( 4, ) : e momen es : Nous écons e scaae sous a ome : p p J p E E {, p, E } { } J,

5 Acon coadjone oncaé //4 5 ( ) S snan «ace de». nvaance de a ome néae : ( ) ( ) S oun a duaé. Repenons ce qu a éé éab pus hau : ( ) ( ) ( ) ( ) mas, donc cec vau : ( ) ( ) Idenons es emes en ou : S on anspose équaon : Dans a ace on peu eecue une pemuaon ccuae : ( ) ( ) On dene es emes en :

6 Acon coadjone oncaé //4 6 ( ) ( ) e deuème eme du second membe es éa au podu d une mace ne pa une mace coonne. On peu commence pa éce : ( ) Dans cee ace nous pouvons opée deu pemuaons ccuaes successves de manèe à amene à doe : ( ) ( ) ( ) On epace ce ésua dans équaon e on oben : ( ) ( ) ( ) es une mace ansméque. On va appque de nouveau e héoème su es aces des maces qu son e podu d une aue mace pa une mace sméque. oue mace peu êe smésée ou an-smésée. De pus a ace du podu d une mace pa une mace sméque es nue. Donc : ( A ) ace de ( ansm ( A ) ) Appquons cea à a mace pusque, pus hau, on pend a ace de son podu pa une mace ansméque. sm ( ) ansm ( ) as : [ sm ( ) ] Donc : [ ] [ ansm ( ) ] ansm ansm [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) Fnaemen :

7 Acon coadjone oncaé //4 7 ( ) On peu nvese es ( - ) Qu on eoupe avec : E on oben ans acon coadjone du oupe de oncaé su son momen : J {, p, E } {, } Repenons a mace du oupe de oncaé : Sa ansposée es : onsdéons a mace ansméque : J Fomons : J On oben : J

8 Acon coadjone oncaé //4 8 Qu on peu dene à a mace : J On peu aos mee acon coadjone du oupe de oncaé sous a ome : J J es une mace ansméque qu possède s composanes, assmabes à deu veceus à os composanes. J..Souau éc en asan donc neven deu veceus. e «passae» : e e «ounoemen» : a mace s éc aos : e momen possède ben d composanes (eu nombe es éa à a dmenson du oupe) : J { E, p, p, p, j, j, j,,, } Un chanemen de coodonnées adéqua peme de amene a mace à une unque composane scaae, ce qu peme d éce e momen sous a ome : E p E p J

9 Acon coadjone oncaé //4 9 à, on suèe au eceu de se éée à ouvae de J..Souau «Sucue des Ssèmes Dnamques», Dunod 97 (épusé pa éédé en anas pa Bkhause ed. 999). e ounoemen a une dmenson, qu es : - e que ce aueu mone en asan appaaîe a masse en passan du oupe (eavse) de oncaé au oupe (non eavse) de Bamann. ee dmenson es aos cee de a consane de anck. a méhode de quancaon éoméque de Souau peme aos de mone que ce ounoemen do êe popoonne à a andeu «h bae». h h " bae" π Seon Souau e cassemen des pacues do êe eecué seon eu momen. I a oun une pemèe nepéaon puemen éoméque du spn s. es pacues ne son que des mouvemens pacues du «pon maée» nscs dans «espace des mouvemens» e éés pa e oupe Dnamque de oncaé qu èe es «mouvemens eavses». A chaque mouvemen es assocé un momen. es pacues son donc des momens pacues. anase de Souau a appaaîe deu pes de pacues, à spns enes : es phoons, décs pa eus momens. Dans a mace-momen c-dessus su de empace pa ± «h bae». On oben aos deu pes de phoons, qu ne dèen que pa eu hécé. ou e phoon énee e mpuson ne son pas des andeus ndépendanes. E h n p hν c On n a qu à empace aos es vaeus de énee e de mpusons dans es maces momens des deu pes de phoons «do» e «auche». es neunos on des maces momen denques, à a déence que eus spns son demenes. Rééences : J..Souau, Sucue des Ssèmes Dnamques, Edons Dunod, 97. Réédé en 999 pa es édons Bkhause sous e e «Sucue o Dnamca Ssems».