Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (limites, continuité, dérivées, intégration) T. Gallouët

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1 Université de Mrseille Licence de Mthémtiques, ere nnée, Anlyse (limites, continuité, dérivées, intégrtion) T. Gllouët July 29, 205

2 Tble des mtières Limites 3. Définition et propriétés Opértions sur les limites Fonctions monotones Exercices Quelques rppels (Prties mjorées et minorées, Suites... ) Limites Exercices corrigés Continuité 9 2. Définition et propriétés Théorème des vleurs intermédiires Fonction continue sur un intervlle fermé borné Fonction strictement monotone et continue Exercices Exercices corrigés Dérivée Définitions Opértions sur les dérivées Théorème des Accroissements Finis Fonctions de clsse C n Exercices Exercices corrigés Formules de Tylor et développements limités Tylor-Lgrnge Tylor-Young Fonctions nlytiques (hors progrmme...) Développements limités Exemples (formules de tylor, DL) Equivlents Exercices Exercices corrigés

3 5 Intégrle et primitives 2 5. Objectif Intégrle des fonctions en esclier Intégrle des fonctions continues Primitives Intégrtion pr prties, formule de Tylor Théorème de convergence Exercices Exercices corrigés Fonctions réelles de plusieurs vribles Limite, continuité Différentielle, dérivées prtielles Recherche d un extremum Exercices

4 Chpitre Limites. Définition et propriétés Dns tout ce document, on utiliser indifférement le terme fonction et le terme ppliction. Une ppliction (ou une fonction) f de D dns E est l donnée pour tout x D de son imge pr f, notée f(x). (Le domine de définition de f est donc ici l ensemble D.) lorsque nous prlerons d une fonction de R de R, le domine de définition de f ser donc R tout entier. Définition. (Limite finie en un point de R) Soit f une ppliction de D R dns R, R et l R. On suppose qu il existe b, c R t.q. b < < c et D ]b, [ ], c[. On dit que l est limite de f en si pour tout ε > 0, il existe α > 0 t.q. : (x D, x, x α) ( f(x) l ε). Proposition. (Unicité de l limite) Soit f une ppliction de D R dns R et R. On suppose qu il existe b, c R t.q. b < < c et D ]b, [ ], c[. Soit l, m R. On suppose que l est limite de f en et que m est ussi limite de f en. Alors, l = m. Démonstrtion : Soit ε > 0. Comme l est limite de f en, il existe α > 0 t.q. Comme m est limite de f en, il existe β > 0 t.q. x D, x, x α f(x) l ε. x D, x, x β f(x) m ε. On choisit mintennt x = min( + α, + β, +c 2 ). On lors x, x D (cr < x < c), x α et x β. On donc f(x) l ε et f(x) m ε. On en déduit l m 2ε. On insi montré que l m 2ε, pour tout ε > 0. On en déduit que l = m. En effet, si l m on l m > 0. On choisit lors ε = l m 4 et on obtient 2ε = l m 2 et donc 2 (cr ε > 0). Ce qui est bsurde. On donc bien, nécessirement, l = m. ε, Nottion : Si l est limite de f en, on note l = lim x f(x). 3

5 Proposition.2 (Crctéristion séquentielle de l limite) Soit f une ppliction de D R dns R, R et l R. On suppose qu il existe b, c R t.q. b < < c et D ]b, [ ], c[. Alors, l est l limite en de f si et seulement si f trnsforme toute suite convergente vers (et prennt ses vleurs dns D \ {}) en suite convergente vers l, c est-à-dire : (x n ) n N D \ {}, lim n + x n = lim f(x n) = l. n + Démonstrtion : On suppose tout d bord que l = lim x f(x) et on v montrer que f trnsforme toute suite convergente vers (et prennt ses vleurs dns D \ {}) en suite convergente vers l. Soit (x n ) n N D \ {} t.q. lim n + x n =. On veut montrer que lim n + f(x n ) = l, c est-à-dire (pr définition de l limite d une suite) que pout tout ε > 0 il existe n 0 N t.q. n n 0 f(x n ) l ε. (.) Soit donc ε > 0. On cherche à montrer l existence de n 0 donnnt (.). On commence pr remrquer que, comme l = lim x f(x), il existe α > 0 t.q. Puis, comme lim n + x n =, il existe n 0 N t.q. x D, x, x α f(x) l ε. (.2) n n 0 x n α. On donc pour n n 0, x n D, x n (cr l suite (x n ) n N prend ses vleurs dns D \ {}) et x n α. Ce qui donne, pr (.2), f(x n ) l ε. On donc bien n n 0 f(x n ) l ε. On donc bien montré que lim n + f(x n ) = l. Ce qui termine l première prtie de l démonstrtion (c est-à-dire que l = lim x f(x) implique que f trnsforme toute suite convergente vers (et prennt ses vleurs dns D \ {}) en suite convergente vers l.) On montre mintennt l réciproque. On suppose que f trnsforme toute suite convergente vers (et prennt ses vleurs dns D \ {}) en suite convergente vers l. On veut montrer que l = lim x f(x). Pour cel, on v risonner pr l bsurde. On suppose que l n est ps l limite en de f (l fonction f peut lors voir une limite en différente de l ou bien ne ps voir de limite en ) et on v construire une suite (x n ) n N prennt ses vleurs dns D \ {}, t.q. lim n + x n = et l n est ps limite de f(x n ) qund n + (en contrdiction vec l hypothèse). Comme l n est ps l limite en de f, il existe ε > 0 t.q. pour tout α > 0 il existe x t.q. x D, x, x α et f(x) l > ε. (.3) Soit n N. En prennt α = n+ dns (.3), on peut donc choisir un réel x n t.q. x n D, x n, x n n + et f(x n) l > ε. (.4) On insi construit une suite (x n ) n N t.q. (x n ) n N D \ {}, lim n + x n = (cr x n n+ pour tout n) et l n est ps limite de f(x n ) qund n + (cr f(x n ) l > ε pour tout n). Ce qui est bien en contrdiction vec l hypothèse que f trnsforme toute suite convergente vers (et prennt ses vleurs dns D \ {}) en suite convergente vers l. Ce qui termine l démonstrtion de l proposition.2. 4

6 Remrque. Il est souvent prtique d utiliser l crctéristion séquentielle de l limite. Soit, pr exemple, une fonction f de R dns R, A une prtie non vide mjorée de R et l borne supérieure de A. Soit enfin m R. On suppose que. f(x) m pour tout x A, 2. lim x f(x) = f(). On veut montrer que f() m. Bien sûr, ceci est immédit si A (et il suffit lors d utiliser l première condition!) mis est un peu moins immédit si A. Dns ce cs ( A), on remrque qu il existe une suite (x n ) n N d éléments de A t.q. lim n + x n = (ceci est donné dns l proposition.3). Comme lim x f(x) = f(), on donc lim n + f(x n ) = f() et comme f(x n ) m pour tout n N, on en déduit bien que f() m. Proposition.3 Soit A une prtie non vide de R.. On suppose que A est mjorée et on pose = sup(a). Il existe lors une suite (x n ) n N d éléments de A t.q. lim n + x n =. 2. On suppose que A n est ps mjorée. Il existe lors une suite (x n ) n N d éléments de A t.q. lim n + x n = +. Démonstrtion : Cette démonstrtion est lissée en exercice (exercice.6). Définition.2 (Limite finie à droite (ou à guche) en un point de R) Soit f une ppliction de D R dns R, R et l R.. On suppose qu il existe c R t.q. < c et D ], c[. On dit que si l est limite à droite de f en si pour tout ε > 0 il existe α > 0 t.q. : x D, < x + α f(x) l ε. 2. On suppose qu il existe b R t.q. b < et D ]b, [. On dit que l est limite à guche de f en si pour tout ε > 0 il existe α > 0 t.q. : x D, α x < f(x) l ε. Proposition.4 (Unicité de l limite à droite (ou à guche)) Soit f une ppliction de D R dns R et R.. On suppose qu il existe c R t.q. < c et D ], c[. Si f dmet une limite (finie) à droite en, cette limite est unique. 2. On suppose qu il existe b R t.q. b < et D ]b, [. Si f dmet une limite (finie) à guche en, cette limite est unique. Démonstrtion : L démonstrtion de l unicité de l limite à droite est très voisine de l démonstrtion de l unicité de l limite fite pour l proposition.. On reprend ici cette démonstrtion. On suppose que l est limite à droite de f en et que m est ussi limite à droite de f en. Soit ε > 0. Comme l est limite à droite de f en, il existe α > 0 t.q. x D, < x + α f(x) l ε. 5

7 Comme m est limite à droite de f en, il existe β > 0 t.q. x D, < x + β f(x) m ε. On choisit mintennt x = min( + α, + β, +c 2 ). On lors x D, < x + α et < x + β. On donc f(x) l ε et f(x) m ε. On en déduit l m 2ε. On insi montré que l m 2ε, pour tout ε > 0. Comme dns l proposition., on en déduit que l = m. Ce qui donne l unicité de l limite à droite de f en. L démonstrtion de l unicité de l limite à guche est semblble et est lissée en exercice. Nottion : Si l est limite à droite de f en, on note l = lim x,x> f(x). Si l est limite à guche de f en, on note l = lim x,x< f(x). Proposition.5 (Limite=limite à droite et à guche) Soit f une ppliction de D R dns R, R et l R. On suppose qu il existe b, c R t.q. que b < < c et D ]b, [ ], c[. Alors, f dmet l comme limite en si et seulement si f dmet l comme limite à droite et à guche en. Démonstrtion : Cette démonstrtion (dns le cs D = R \ {}) est lissé en exercice (exercice.9). Proposition.6 (Crctéristion séquentielle de l limite à droite) Soit f une ppliction de D R dns R, R et l R. On suppose qu il existe c R t.q. < c et D ], c[. On lors :. l est l limite à droite en de f si et seulement si f trnsforme toute suite convergente vers, prennt ses vleurs dns D \ {} et supérieure à, en suite convergente vers l, c est-à-dire : (x n ) n N D, x n > pour tout n N, lim n + x n = lim f(x n) = l. n + 2. l est l limite à droite en de f si et seulement si f trnsforme toute suite convergente vers, prennt ses vleurs dns D \ {} et décroissnte, en suite convergente vers l, c est-à-dire : (x n ) n N D, < x n+ x n pour tout n N, lim n + x n = lim f(x n) = l. n + Démonstrtion : L démonstrtion du premier item est très voisine de celle fite pour l proposition.2. On reprend donc ici l démonstrtion de l proposition.2. On suppose tout d bord que l = lim x,x> f(x) et on v montrer que f trnsforme toute suite convergente vers, prennt ses vleurs dns D \ {} et supérieure à, en suite convergente vers l. Soit (x n ) n N D t.q. lim n + x n = et < x n pour tout n N. On veut montrer que lim n + f(x n ) = l, c est-à-dire (pr définition de l limite d une suite) que pout tout ε > 0 il existe n 0 N t.q. n n 0 f(x n ) l ε. (.5) Soit donc ε > 0. On cherche à montrer l existence de n 0 donnnt (.5). On commence pr remrquer que, comme l = lim x,x> f(x), il existe α > 0 t.q. x D, < x + α f(x) l ε. (.6) 6

8 Puis, comme lim n + x n = (et que x n > pour tout n N), il existe n 0 N t.q. n n 0 < x n + α. On donc pour n n 0, x n D (cr l suite (x n ) n N prend ses vleurs dns D) et < x n + α. Ce qui donne, pr (.6), f(x n ) l ε. On donc bien n n 0 f(x n ) l ε. On donc bien montré que lim n + f(x n ) = l. Ce qui termine l première prtie de l démonstrtion (c est-à-dire que l = lim x f(x) implique que f trnsforme toute suite convergente vers, prennt ses vleurs dns D \ {} et supérieure à, en suite convergente vers l.) On montre mintennt l réciproque. On suppose que f trnsforme toute suite convergente vers, prennt ses vleurs dns D \ {} et supérieure à, en suite convergente vers l. On veut montrer que l = lim x,x> f(x). Pour cel, on v risonner pr l bsurde. On suppose que l n est ps l limite à droite en de f (l fonction f peut lors voir une limite à droite en différente de l ou bien ne ps voir de limite à droite en ) et on v construire une suite (x n ) n N prennt ses vleurs dns D \ {}, supérieure à, t.q. lim n + x n = et t.q. l n est ps limite de f(x n ) qund n + (en contrdiction vec l hypothèse). Comme l n est ps l limite à droite en de f, il existe ε > 0 t.q. pour tout α > 0 il existe x t.q. x D, < x + α et f(x) l > ε. (.7) Soit n N. En prennt dns (.7) α = n+, on peut donc choisir x n t.q. x n D, < x n + n + et f(x n) l > ε. on obtient insi une suite (x n ) n N D \ {}, supérieure à, tendnt vers, qund n +, et dont l imge pr f ne tend vers l. Ce qui est bien en contrdiction vec l hypothèse que f trnsforme toute suite convergente vers, prennt ses vleurs dns D \ {} et supérieure à, en suite convergente vers l. Ce qui termine l démonstrtion du premier item de l proposition.6. On montre mintennt le deuxième item. L première prtie est immédite. Si l = lim x,x>, l fonction f trnsforme toute suite convergente vers, prennt ses vleurs dns D \ {} et décroissnte, en suite convergente vers l (cr une telle suite est nécessirement supérieure à ). Pour montrer l réciproque, on risonne une nouvelle fois pr l bsurde. On suppose que l n est ps l limite à droite en de f. L démonstrtion du premier item permis de montrer qu il existit ε > 0 et une suite (x n ) n N vérifint < x n, x n D, f(x n ) l > ε pour tout n N et lim x n =. n + Il suffit de modifier légerement cette suite pour l rendre décroissnte. Pour n N on pose y n = min(x 0,..., x n ). L suite (y n ) n N vérifie lors (en remrqunt que y n est l un des x p pour p n et que < y n x n ) < y n+ y n, y n D, f(y n ) l > ε pour tout n N et lim y n =. n + l suite (y n ) n N prend donc ses vleurs dns D\{}, est décroissnte, converge vers et l suite (f(y n )) n N ne converge ps vers l. Ceci est en contrdiction vec l hypothèse. L démonstrtion de l proposition.6 est terminée. 7

9 Bien sûr, une crctéristion nlogue est possible pour l limite à guche. Dns le premier item, on remplce supérieure pr inférieure et dns le deuxième item, on remplce décroissnte pr croissnte, voir l exercice.9. Exemple. On prend ici D =]0, [ et on cherche l limite à droite de f en 0 dns les deux exemples suivnts :. Pour x D, f(x) = sin( x ). Pour cet exemple, f n dmet ps de limite à droite en Pour x D, f(x) = x sin( x ). Pour cet exemple, lim x 0,x>0 f(x) = 0. Définition.3 (Limite infinie en point, limites en ± ) Soit f une ppliction de D R dns R.. Soit R. On suppose qu il existe b, c R t.q. D ]b, [ ], c[ et b < < c. On dit que lim x f(x) = + si pour tout A R il existe α > 0 t.q. : x D, x, x α f(x) A. 2. Soit l R. On suppose qu il existe b R t.q. D ]b, + [. On dit que lim x + f(x) = l si pour tout ε > 0, il existe M > 0 t.q. : x D, x M f(x) l ε. 3. On suppose qu il existe b R t.q. D ]b, + [. On dit que lim x + f(x) = + si pour tout A R il existe M > 0 t.q. : x D, x M f(x) A. Bien sûr, des définitions nlogues existent vec u lieu de + et, dns le cs du premier item, il est ussi possible de définir des limites infinies à droite et à guche. Il est suggéré d écrire de telles définitions. Exemple.2 On prend ici D =]0, [ f(x) = pour x D. On lors ; x2. lim x 0,x>0 f(x) = +, 2. lim x + f(x) = 0..2 Opértions sur les limites Proposition.7 (Limite d une somme, d un produit et d un quotient) Soit f, g deux pplictions de D R dns R et, b, c R t.q. b < < c et D ]b, [ ], c[. Soit l, m R t.q. lim x f(x) = l et lim x g(x) = m. Alors :. lim x (f + g)(x) = l + m, 2. lim x fg(x) = lm, 8

10 3. Si m 0, il existe β > 0 t.q. ] β, [ ], + β[ D et g(x) 0 pour tout x ] β, [ ], + β[ (de sorte que f/g est bien définie sur ] β, [ ], + β[) et on : f lim x g (x) = l m. Démonstrtion : Les items et 3 sont lissés en exercice (exercice.0). On montre ici le deuxième item. On veut montrer que lim x fg(x) = lm, c est-à-dire que pour tout ε > 0 il existe α > 0 t.q. x D, x, x α fg(x) lm ε. (.8) Soit ε > 0. On cherche donc α > 0 vérifint (.8). Pour x D, on rppelle que fg(x) = f(x)g(x). On commence pr remrquer que fg(x) lm = fg(x) lg(x) + lg(x) lm, de sorte que Comme lim x g(x) = m, il existe α > 0 t.q. fg(x) lm f(x) l g(x) + l g(x) m. (.9) x D, x, x α g(x) m ε 2( l + ), de sorte que x D, x, x α l g(x) m ε 2. (.0) Il existe ussi 2 > 0 t.q. x D, x, x α 2 g(x) m g(x) m +, de sorte que x D, x, x α 2 f(x) l g(x) f(x) l ( m + ). (.) Enfin, comme lim x f(x) = l, il existe α 3 > 0 t.q. x D, x, x α 3 f(x) l ε 2( m + ). (.2) On pose mintennt α = min(α, α 2, α 3 ) > 0 et on obtient, grâce ux inéglités (.9)-(.2), Ce qui est (.8) et conclut l démonstrtion. x D, x, x α fg(x) lm ε 2 + ε 2 = ε. Des résultts nlogues à ceux donnés dns l proposition.7 sont possibles si l = ± et (ou) si m = ±. Proposition.8 (pssge à limite dns une inéglité) Soit f, g deux pplictions de D R dns R et, b, c R t.q. D ]b, [ ], c[ vec b < < c. Soit l, m R t.q. lim x f(x) = l et lim x g(x) = m. On suppose que f(x) g(x) pour tout x D. On lors l m. 9

11 Démonstrtion : On commence pr montrer que l m 2ε, pour tout ε > 0. Soit ε > 0. Comme lim x f(x) = l, il existe α > 0 t.q. x D, x, x α f(x) l ε l ε f(x) l + ε. Comme lim x g(x) = m, il existe α 2 > 0 t.q. x D, x, x α 2 g(x) m ε m ε g(x) m + ε. On choisit mintennt x = + α vec α = min(α, α 2, +c 2 ) (de sorte que α α, α α 2, x et x D). On lors l ε f(x) g(x) m + ε. On donc bien montré que l m 2ε pour tout ε > 0. On en déduit que l m 0. En effet, si l m > 0, on pose ε = l m 4 et on obient 4ε = l m 2ε, ce qui est bsurde cr ε > 0. Finlement, on bien montré que l m. Voici une conséquence immédite de l proposition.8. Soit f, g, h trois pplictions de D R dns R et, b, c R t.q. D ]b, [ ], c[ vec b < < c. Soit l, m, k R t.q. lim x f(x) = l, lim x g(x) = m et lim x h(x) = k. On suppose que f(x) h(x) g(x) pour tout x D. On lors l k m. Il suffit en effet d ppliquer l proposition.8 vec le couple f, h et vec le couple h, g. Il est ussi intéressnt de remrquer que si l = m, il est inutile de supposer que h it une limite en. Le fit que h it une limite en (et que cette limite soit l) est lors une conséquence de l encdrement de h entre f et g. Ceci est donné dns l proposition.9. Proposition.9 (Limite pr encdrement) Soit f, g, h trois pplictions de D R dns R et, b, c R t.q. D ]b, [ ], c[ vec b < < c. Soit l R t.q. lim x f(x) = lim x g(x) = l. On suppose que f(x) h(x) g(x) pour tout x D. L fonction h lors une limite en et cette limite est l. (c est-à-dire lim x h(x) = l.) Démonstrtion : Soit ε > 0. Comme lim x f(x) = l, il existe α > 0 t.q. x D, x, x α f(x) l ε l ε f(x) l + ε. Comme lim x g(x) = l, il existe α 2 > 0 t.q. x D, x, x α 2 g(x) l ε l ε g(x) l + ε. On pose lors α = min(α, α 2 ) On lors x D, x, x α l ε f(x) h(x) g(x) l + ε, et donc x D, x, x α h(x) l ε. Ce qui prouve bien que l fonction h une limite en et que cette limite est l. On donne mintennt un résultt (mlheureusement un peu compliqué à énoncer) sur l composition de limites. 0

12 Proposition.0 (Composition de limites) Soit f, g deux pplictions de R dns R et, b, c R. On suppose que lim x f(x) = b et lim x b g(x) = c. On suppose ussi que f(x) b pour tout x R\{}. Alors, lim x g f(x) = c Démonstrtion : Soit ε > 0. On cherche α > 0 t.q. x, x α g(f(x)) c ε. On commence pr utiliser le fit que lim y b g(y) = c. Ceci donne l existence de η > 0 t.q. Puis, comme lim x f(x) = b, il existe α > 0 t.q. y b, y b η g(y) c ε. (.3) x, x α f(x) b η. Comme f(x) b (pour tout x R \ {}), on donc vec (.3) On bien montré que lim x g f(x) = c. x, x α g(f(x)) c ε. Remrque.2 Dns l proposition.0, nous vons pris (pour simplifier l énoncé) des pplictions de R dns R. Mis, cette proposition reste vrie si f est définie que D R et g définie sur E R en supposnt qu il existe γ > 0 t.q. D ] γ, [ ], + γ[ et E ]b γ, b[ ]b, +γ[. Il fut lors commençer pr remrquer que g f est définie sur ensemble qui contient ] δ, [ ], + δ[ pour un certin δ > 0..3 Fonctions monotones Définition.4 (fonctions croissntes) Soit < b + et f une ppliction de ], b[ dns R.. On dit que f est croissnte (ou monotone croissnte) si : x, y ], b[, x < y f(x) f(y). 2. On dit que f est strictement croissnte (ou strictement monotone croissnte) si : x, y ], b[, x < y f(x) < f(y). De mnière nlogue, on définit les fonctions décroissntes. Proposition. (Limites d une fonction monotone) Soit < b + et f une ppliction croissnte de ], b[ dns R. On lors :. L ppliction f dmet en tout point c ], b[ une limite à droite et une limite à guche, encdrnt f(c) (c est-à-dire lim x c,x<c f(x) f(c) lim x c,x>c f(x)). 2. L ppliction f dmet une limite (à guche) finie ou égle à + en b, et l ppliction f dmet une limite (à droite) finie ou égle à en.

13 Démonstrtion : Soit c ], b[. On v montrer que f dmet une limite à guche en c et que cette limite est inférieure ou égle à f(c). On pose A = {f(x), x < c}. L ensemble A est une prtie non vide de R, mjorée pr f(c) (cr f est croissnte), il dmet donc une borne supérieure, que l on note l. On l f(c) (cr f(c) est un mjornt de A). On montre mintennt que l = lim x c,x<c f(x). Soit ε > 0. Comme l ε n est ps un mjornt de A (puisque l est le plus petit des mjornts de A), il existe b A t.q. b > l ε. Il existe donc x 0 < c t.q. f(x 0 ) = b > l ε. On pose α = c x 0. On donc α > 0 et, grâce à l croissnce de f, et donc, comme x 0 = c α et f(x 0 ) = b > l ε, x 0 x f(x 0 ) f(x), c α x l ε < f(x). Pr définition de l on ussi On donc, finlement, x < c f(x) l. c α x < c l ε < f(x) l. Ceci prouve que l = lim x c,x<c f(x). On donc bien montré que f dmet une limite à guche en c et que cette limite est inférieure ou égle à f(c). Un risonnement semblble (non fit ici) permet de montrer que f dmet une limite à droite en c et que cette limite est supérieure ou égle à f(c). Pour montrer que f dmet une limite à guche, finie ou égle à +, en b, on pose Im(f) = {f(x), x ], b[}. Si Im(f) est mjorée, on note β l borne supérieure de Im(f). L croissnce de f permet lors de montrer que β = lim x b,x<b f(x). Cette démonstrtion est lissée ici en exercice. Si Im(f) n est ps mjorée, l croissnce de f permet de montrer que lim x b,x<b f(x) = +. Cette démonstrtion est ussi lissée ici en exercice. Bien sûr, les démonstrtions pour trouver l limite à droite en sont très voisines. Remrque.3 Soit < b + et f une ppliction croissnte de ], b[ dns R. On pose α = lim x,x> f(x) et β = lim x b,x<b f(x) (on rppelle que α R { } et β R {+ }). Si f n ps de sut (c est-à-dire lim x c,x<c f(x) = lim x c,x>c f(x) pour tout c ], b[), l ppliction f est lors une bijection de ], b[ dns ]α, β[. Nous démontrerons cette propriété u chpitre 2, section Exercices.4. Quelques rppels (Prties mjorées et minorées, Suites... ) Exercice. Soit, b R. Montrer les implictions suivntes :. ( ε > 0, < ε) = 0. 2

14 2. ( ε > 0, < b + ε) b. 3. ( ε > 0, b < ε) = b. Pour les exercices suivnts, on rppelle que si A est une prtie non vide mjorée de R, il existe un nombre réel, noté sup(a), qui est le plus petit des mjornts de A. De même, si A est une prtie non vide minorée de R, il existe un nombre réel, noté inf(a), qui est le plus grnd des minornts de A. Exercice.2 Soit A est une prtie non vide mjorée de R. On pose A = {, A}. Montrer que A est une prtie non vide minorée R. Comprer inf( A) et sup(a). Exercice.3 Soit A et B deux prties non vides de R t.q. A B. On suppose que B est mjorée. Montrer que A est mjorée et que sup(a) sup(b). Cette dernière inéglité est-elle nécessirement stricte si l inclusion de A dns B est stricte? Exercice.4 Soit A et B deux prties non vides mjorées de R. On pose A + B = { + b, A et b B}. Montrer que A + B est mjorée et comprer sup(a + B) et sup(a) + sup(b). Exercice.5. Montrer que toute suite convergente dns R est bornée (c est-à-dire mjorée et minorée). 2. Montrer que toute suite croissnte mjorée est convergente dns R. Exercice.6 Soit A une prtie non vide de R.. On suppose que A est mjorée et on pose = sup(a). Montrer qu il existe une suite d éléments de A qui converge vers. 2. On suppose que A n est ps mjorée. Montrer qu il existe une suite d éléments de A qui converge vers l infini. Exercice.7 (Moyennes hrmonique et rithmétique). Montrer que, pour tout, b R t.q. 0 < < b, on : < 2b + b < + b < b Soit u 0, v 0 R t.q. 0 < u 0 < v 0. On définit, pr récurrence, les suites (u n ) n N et (v n ) n N pr : u n+ = 2u nv n, v n+ = u n + v n. u n + v n 2 () Montrer que les suites (u n ) n N et (v n ) n N sont bien définies et que u n, v n > 0 pour tout n N. Montrer que les suites (u n ) n N et (v n ) n N sont convergentes (dns R). (b) Montrer que lim n + u n = lim n + v n. (c) Vérifier que l suite (u n v n ) n N est constnte. (d) Donner l limite commune ux suites (u n ) n N et (v n ) n N. 3

15 .4.2 Limites Exercice.8 Soit l R, R, (u n ) n N une suite et f une ppliction de R dns R. Ecrire à l ide des quntificteurs les phrses suivntes :.. L suite (u n ) n N ne tend ps vers l qund n tend vers L suite (u n ) n N tend vers + qund n tend vers f(x) ne tend ps vers l qund x tend vers. 4. f(x) ne tend ps vers l qund x tend vers +. Exercice.9 (Limite, limite à droite et limite à guche) Soit R et l R. Soit f une ppliction définie sur A = R \ {} à vleurs dns R.. Montrer que f dmet l comme limite en si et seulement si f dmet (en ) l comme limite à droite et comme limite à guche. 2. Montrer que f dmet l comme limite à guche en si et seulement si f vérifie l condition suivnte : Pour toute suite (x n ) n N de points de A, x n, qund n + lim f(x n) = l, n + où x n qund n + signifie = lim n + x n et x n+ x n pour tout n N. 3. Reprendre les questions et 2 vec l = et vec l =. Exercice.0 (Opértions sur les limites) Soit, b R, < b et I =], b[. Soit f et g deux pplictions de I dns R et l, m R. On suppose que l = lim x, x> f(x) et m = lim x, x> g(x).. Montrer que l + m = lim x, x> (f + g)(x). 2. On suppose que m 0. Montrer qu il existe c ], b[ t.q. g(x) 0 pour tout x J =], c[. Montrer que l m = lim x, x> f(x) g(x). 3. On suppose que m = 0, l > 0 et que g(x) > 0 pour tout x I. Montrer que lim x, x> f(x) g(x) =. 4. On prend ici = 0, b =, f(x) = sin( x ) et g(x) = x. Les pplictions fg et f/g (qui est bien définie sur I) ont-elles une limite à droite en 0? Exercice. (Quelques exemples... ) Pour les exemples suivnts, l fonction f est définie sur I = R.. On définit f pr f(x) = x + x 2 x pour x 0 et f(0) =. L ppliction f -t-elle une limite en 0? une limite à droite en 0? une limite à guche en 0? 4

16 2. On définit f pr f(x) = x 2 + x + (x + ) pour tout x. Quelle l limite de f en +? 3. On définit f pr f(x) = sin( x 2 ) x pour x 0 et f(0) =. L ppliction f -t-elle une limite en 0? une limite à droite en 0? une limite à guche en 0? 4. Pour x R, on note E(x) = sup{n Z; n x}. On définit f pr f(x) = x x E(x) pour tout x 0. Soit n Z, L ppliction f -t-elle une limite en n? une limite à droite en n? une limite à guche en n? Exercice.2 (Autres exemples... ). f(x) = x 3 3x+2 2x 2 x pour x ]0, [. Quelle est l limite (à guche) de f en? 2. f(x) = x+3 4x+3 x+4 2x+4 pour x ]0, [. Quelle est l limite (à droite) de f en 0? 3. Soit > 0. On définit f pr f(x) = (+x) x pour x ]0, [. Quelle est l limite (à droite) de f en 0? 4. f(x) = ( + sin x) x pour x ]0, [. Quelle est l limite (à droite) de f en 0? Exercice.3 (Fonction périodique dmettnt une limite) Soit f une ppliction de R dns R. on suppose qu il existe T > 0 t.q. f(x + T ) = f(x) pour tout x R (on dit lors que f est périodique de période T ). On suppose de plus que f dmet une limite finie, notée l, en +. Montrer que f est une fonction constnte. Exercice.4 (Limite en + ) Soit f : R R définie pr f(x) = sin(x) pour tout x R. L fonction f dmet-elle une limite en +? Exercice.5 (Point fixe d une ppliction croissnte) Soit I = [0, ] et f une ppliction croissnte de I dns I. On pose A = {x I, f(x) x}. Montrer que :. A, 2. x A f(x) A. 3. A possède une borne inférieure I. 4. f() =. (Toute ppliction croissnte de [0, ] dns [0, ] dmet donc un point fixe.) Exercice.6 (Densité de Q dns R) Pour tout x R et tout ε > 0, construire x ε Q tel que x x ε ε. Exercice.7 (Moyenne de Cesàro) Soit (u n ) n N une suite de nombres complexes. On définit l suite (v n ) n N pr v n = u+...+un n.. Soit l C. On suppose (dns cette question) que lim n + u n = l. Montrer que lim n + v n = l. 2. On suppose mintennt que u n R, pour tout n N. () Montrer que lim n + u n = + implique lim n + v n = +. 5

17 (b) On suppose que l suite (u n ) n N est croissnte. Soit l R +, montrer que lim v n = l lim u n = l. n + n + 3. (Générlistion) Soit (λ n ) une suite de nombres réels strictement positifs. Soit l C. On suppose que lim n + u n = l et que lim λ k ) = +. Pour n N, on pose Montrer que lim n + w n = l. 4. Montrer que n + ( k=n w n = k= k=n k= λ ku k k=n k= λ. k n n lim =. n + n 5. Soit l C. On suppose que lim n + (u n+ u n ) = l. Montrer que lim n + u nn = l..5 Exercices corrigés Exercice.8 (Corrigé de l exercice.) Pour les exemples suivnts, l fonction f est définie sur I = R.. On définit f pr f(x) = x + x 2 x pour x 0 et f(0) =. L ppliction f -t-elle une limite en 0? une limite à droite en 0? une limite à guche en 0? Pour x > 0, on f(x) = x +. On donc lim x 0,x>0 f(x) =. L fonction f donc une limite à droite en 0. Pour x < 0, on f(x) = x (cr x 2 = x). On donc lim x 0,x<0 f(x) =. L fonction f donc une limite à guche en 0. Comme lim x 0,x>0 f(x) lim x 0,x<0 f(x), l fonction f n ps de limite en On définit f pr f(x) = x 2 + x + (x + ) pour tout x. Quelle l limite de f en +? Pour x > 0, on : f(x) = ( x 2 + x + (x + ))( x 2 + x + + (x + )) x2 + x + + (x + ) = x2 + x + (x + ) 2 x2 + x + + (x + ), et donc f(x) = x x2 + x + + (x + ) =. + x + x x On en déduit que lim x + f(x) = 2. 6

18 3. On définit f pr f(x) = sin( x 2 ) x pour x 0 et f(0) =. L ppliction f -t-elle une limite en 0? une limite à droite en 0? une limite à guche en 0? Pour x > 0, on f(x) = sin(x) x. L fonction sin est dérivble et s dérivée est l fonction cos. L limite à droite en 0 de f est donc cos(0), c est-à-dire lim x 0,x>0 f(x) =. L fonction f donc une limite à droite en 0. Pour x < 0, on f(x) = sin( x) x une limite à guche en 0. = sin(x) x. On donc lim x 0,x<0 f(x) =. L fonction f donc Comme lim x 0,x>0 f(x) lim x 0,x<0 f(x), l fonction f n ps de limite en Pour x R, on note E(x) = sup{n Z; n x}. On définit f pr f(x) = x x E(x) pour tout x 0. Soit n Z, L ppliction f -t-elle une limite en n? une limite à droite en n? une limite à guche en n? Pour x [n, n[, on E(x) = n et donc f(x) = x x n +. lim x n,x<n f(x) = n. L fonction f donc une limite à guche en n. On en déduit que Pour x [n, n+[, on E(x) = n et donc f(x) = x x n. On en déduit que lim x n,x>n f(x) = n. L fonction f donc une limite à droite en n. Comme lim x n,x>n f(x) lim x n,x<n f(x), l fonction f n ps de limite en n. Exercice.9 (Corrigé de l exercice.3) Soit f une ppliction de R dns R. on suppose qu il existe T > 0 t.q. f(x + T ) = f(x) pour tout x R (on dit lors que f est périodique de période T ). On suppose de plus que f dmet une limite finie, notée l, en +. Montrer que f est une fonction constnte. Soit x R, on v montrer que f(x) = l. On commence pr montrer, pr récurrence sur n, que f(x) = f(x + nt ) pour tout n N. En effet, pour n =, l hypothèse sur f donne bien f(x) = f(x + T ). Puis, soit n N. On suppose que f(x) = f(x + nt ). L hypothèse sur f, utilisée vec le point x + nt, donne f(x + nt ) = f(x + nt + T ). On en déduit que f(x) = f(x + (n + )T ). On bien insi montré, pr récurrence sur n, que f(x) = f(x + nt ) pour tout n N. On remrque mintennt que lim n + (x + nt ) = +. Comme f dmet l comme limite en +, on donc lim n + f(x + nt ) = l, et donc f(x) = l. Ce qui prouve que f est l fonction constnte et égle à l. Exercice.20 (Corrigé de l exercice.4) Soit f : R R définie pr f(x) = sin(x) pour tout x R. L fonction f dmet-elle une limite en +? L fonction f n ps de limite en +. En effet, supposons que f it une limite en +, notée l (vec l R {+ } { }). Toute suite convergent vers + est lors trnsformée en une suite ynt l pour limite. En prennt l suite (x n ) n N vec x n = 2nπ pour tout n N, on en déduit que l = 0. Puis, en prennt l suite (y n ) n N vec y n = 2nπ + π 2, on en déduit que l =. Ceci prouve que f n ps de limite en +. 7

19 Une utre démonstrtion possible consiste à utiliser l exercice.9. 8

20 Chpitre 2 Continuité 2. Définition et propriétés Définition 2. (Continuité en un point) Soit f une ppliction de D R dns R et D.. On dit que f est continue en si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 t.q. : x D, x δ f(x) f() ε. 2. On dit que f est séquentiellement continue en si f trnsforme toute suite convergente vers en suite convergente vers f(), c est-à-dire : (x n ) n N D, lim n + x n = lim f(x n) = f(). n + Remrque 2. Sous les hypothèses de l définition 2. et si il existe b, c R t.q. b < < c et D ]b, [ ], c[, il est fcile de voir que f est continue en si et seulement si f() = lim x f(x). Théorème 2. (Continuité versus continuité séquentielle) Soit f une ppliction de D R dns R et D. Alors, f continue en si et seulement si f est séquentiellement continue en. Démonstrtion : L démonstrtion n est ps détillée ici. Il suffit essentiellement de reprendre celle de l proposition.2. Remrque 2.2 L continuité en un point est une propriété locle. En effet, Soit f une ppliction de D R dns R et D. Soit γ > 0. On pose D = D ] γ, + γ[. On ppelle f l restriction de f D (c est-à-dire que f est définie sur D et f = f sur D). Alors, f est continue en si et seulement si f est continue en. Définition 2.2 (Continuité) Soit f une ppliction de D R dns R. on dit que f est continue si f est continue en tout point de D. Remrque 2.3 Une ppliction f de R dns R peut être continue en tout point de R, elle peut être continue en certins points de R et non continue en d utres points. Enfin, elle peut ussi être continue en ucun point de R. C est le cs, pr exemple, de l fonction f définie pr f(x) = si x Q et f(x) = 0 si x R \ Q. 9

21 On donne mintennt l définition de l continuité uniforme, plus forte que l continuité. Définition 2.3 (Continuité uniforme) Soit f une ppliction de D R dns R. on dit que f est uniformément continue si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 t.q. : x, y D, x y δ f(y) f(x) ε. Exemple 2. On prend ici D =]0, [ et f(x) = x pour x ]0, [. L ppliction f est continue (c est-àdire continue en tout point de D) mis n est ps uniformément continue. Proposition 2. (Somme, produit et quotient d pplictions continues) Soit f, g deux pplictions de D R dns R et D. On suppose que f et g sont continues en. Alors :. L ppliction f + g est continue en, 2. L ppliction fg est continue en, 3. Il existe β > 0 t.q. g(x) 0 pour x D ] β, + β[ et f/g (qui est bien définie pour x D ] β, + β[) est continue en. Démonstrtion : Ici ussi, il suffit essentiellement de reprendre l démonstrtion de l proposition.7. Proposition 2.2 (Continuité de l composée) Soit f une ppliction de D R dns R et g une ppliction de E R de R. On suppose que Im(f) = {f(x), x D} E (de sorte que g f est définie sur D). Soit D. On suppose que f est continue en et g est continue en f(). Alors, g f est continue en. Démonstrtion : Ici ussi, il suffit essentiellement de reprendre l démonstrtion de l proposition Théorème des vleurs intermédiires Théorème 2.2 (Théorème des vleurs intermédiires) Soit, b R, < b, et f une ppliction continue de [, b] dns R. Alors, l ppliction f prend toutes les vleurs comprises entre f() et f(b) (c est-à-dire que pour tout γ pprtennt à l intervlle dont les bornes sont f() et f(b), il existe c [, b] t.q. f(c) = γ). Démonstrtion : On distingue deux cs possibles. Premier cs. On suppose que f() f(b). Soit γ [f(), f(b)]. On pose A = {x [, b] t.q. f(x) γ}. L ensemble A est non vide (cr il contient ) et est mjoré pr b. Il dmet donc une borne supérieure que nous notons c. On, bien sûr, c b ( A et b est un mjornt de A). On v montrer que f(c) = γ. On commence pr remrquer qu il existe une suite (c n ) n N de points de A t.q. lim n + c n = c (voir, pr exemple, l exercice.6). Pr continuité de f en c, on donc f(c) = lim n + f(c n ) et donc, comme f(c n ) γ pour tout n N, on en déduit f(c) γ. 20

22 On suppose mintennt que f(c) < γ (et on v montrer que ceci est impossible). On donc c < b (cr f(b) γ). On pose ε = γ f(c) > 0. Pr continuité de f en c, il existe donc α > 0 t.q. x [, b], x c α f(x) f(c) ε. On donc, en prticulier, vec β = min(α, b c) > 0, c x c + β f(x) f(c) + ε = γ. Ceci prouve que (pr exemple) c + β A, en contrdiction vec l définition de c (qui est c = sup A). On insi montré que f(c) n est ps strictement inférieur à γ. On donc f(c) = γ. Deuxième cs. On suppose que f() > f(b). Soit γ [f(b), f()]. On montre lors qu il existe c [, b] t.q. f(c) = γ pr un risonnement semblble u précédent en prennt A = {x [, b] t.q. f(x) γ}. Ce risonnement n est ps détillé ici. Remrque 2.4 Voici deux conséquences immédites du théorème des vleurs intermédiires.. Soit, b R, < b, et f une ppliction continue de [, b] dns R. Alors {f(x), x [, b]} contient l intervlle dont les bornes sont f() et f(b). 2. Soit I un intervlle de R et f une ppliction continue de I dns R. Alors, f vérifie l propriété des vleurs intermédiires, c est à dire : Pour tout, b I, < b, {f(x), x [, b]} contient l intervlle dont les bornes sont f() et f(b). Remrque 2.5 Soit I un intervlle de R et f une ppliction de I dns R. L remrque précédente montre que l continuité de f implique que f vérifie l propriété des vleurs intermédiires. L réciproque est fusse, c est-à-dire que le fit que f vérifie l propriété des vleurs intermédiires n implique ps l continuité de f. (L propriété des vleurs intermédiires peut être présentée comme une sorte de continuité vec l notion d ordre dns R, lors que l continuité fit plutôt ppel à l notion de distnce.) Nous verrons u chpitre 3 que si f est dérivble de ], b[ dns R, lors f vérifie l propriété des vleurs intermédiires mis n est ps toujours continue. 2.3 Fonction continue sur un intervlle fermé borné Théorème 2.3 (fonction continue sur un compct) Soit, b R, < b, et f une ppliction continue de [, b] dns R. Alors, l ppliction f est bornée et tteint ses bornes. (c est-à-dire qu il existe m, M R et c, d [, b] t.q. f(c) = m, f(d) = M et, pour tout x [, b], m f(x) M.) Démonstrtion : Etpe On montre tout d bord que f est mjorée (c est-à-dire que Im(f) = {f(x), x [, b]} est mjorée). Pour cel, on risonne pr l bsurde. On suppose donc que f n est ps mjorée. Soit n N. Comme f n est ps mjorée, l ensemble A n = {x [, b] t.q. f(x) n} est non vide. Comme cet ensemble est mjoré pr b, il dmet une borne supérieure, notée x n, et on x n [, b]. On sit ussi que x n est limite d une suite de point de A n (voir l exercice.6). Il existe donc une suite (x n,k ) k N d élément de A n t.q. lim k + x n,k = x n (noter que n est ici fixé). Comme x n,k A n, on f(x n,k ) n et comme f est continue en x n, on lim k + f(x n,k ) = f(x n ). On en déduit que f(x n ) n (noter bien encore que n est ici fixé). 2

23 L suite (x n ) n N est décroissnte (cr A n+ A n ) et minorée (pr ). Elle est donc convergente dns R. On pose x = lim n + x n. Comme x n b pour tout n N, on ussi x b, et comme f est continue en x, on lim n + f(x n ) = f(x), ce qui impossible cr f(x n ) n pour tout n N (et donc lim n + f(x n ) = + ). On donc montré que f est mjorée. Un risonnement similire non fit ici permet de montrer que fest minorée. Etpe 2 On note M = sup{im(f)}. On montre mintennt qu il existe d [, b] t.q. f(d) = M. Pour cel, on utilise un risonnement semblble à celui de l première étpe. Soit n N, On pose M n = M n et B n = {x [, b] t.q. f(x) M n }. Comme M n n est ps un mjornt de Im(f), l ensemble B n est non vide. Comme cet ensemble est mjoré pr b, il dmet une borne supérieure, notée y n, et on y n [, b]. Comme y n est limite d une suite de point de B n et que f est continue en y n, on donc f(y n ) M n. (On risonné ici comme à l première étpe. Noter ussi que f(y n ) M cr M = sup{im(f)}.) L suite (y n ) n N est décroissnte (cr B n+ B n ) et minorée (pr ). Elle est donc convergente dns R. On pose d = lim n + y n. Comme y n b, pour tout n N, on ussi d b et, comme f est continue en d, on lim n + f(y n ) = f(d). On en déduit que f(d) = M en pssnt à l limite sur les inéglités M n = M n f(y n) M. Un risonnement similire non fit ici permet de montrer qu il existe c [, b] t.q. f(c) = m = inf(im(f)). Exemple 2.2 On prend ici I =]0, [ et f(x) = /x pour x ]0, [. Pour cet exemple, l ppliction f est non mjorée et elle est minorée mis s borne inférieure est non tteinte. Le théorème 2.2 permet de montrer que l imge d un intervlle pr une ppliction continue est un intervlle. Avec le théorème 2.3, on même que l imge pr une ppliction continue d un intervlle fermé borné est un intervlle fermé borné. Ceci est donné dns le théorème 2.4. Théorème 2.4 (Imge d un intervlle pr une ppliction continue) Soit I intervlle (non vide) de R et f une ppliction continue de I dns R. On pose Im(f) = {f(x), x I}. Alors :. L ensemble Im(f) est un intervlle. (Autrement dit, l imge pr une ppliction continue d un intervlle est un intervlle.) 2. Si I = [, b] vec, b R, < b, on Im(f) = [m, M] vec m, M R (on peut noter que m = inf(im(f)) et M = sup(im(f))). (Autrement dit, l imge pr une ppliction continue d un intervlle fermé borné est un intervlle fermé borné.) Démonstrtion : On montre tout d bord le er item du théorème. Si Im(f) est minorée, on pose α = inf(im(f)). Si Im(f) n est ps minorée, on pose α = (dns ce cs, on pose ussi inf(im(f)) = ). De même, si Im(f) est mjorée, on pose β = sup(im(f)). Si Im(f) n est ps mjorée, on pose β = + (dns ce cs, on pose ussi sup(im(f)) = + ). L définition de α et β donne donc imméditement que Im(f) [α, β]. Pour montrer que Im(f) est un intervlle, il suffit de montrer que ]α, β[ Im(f). Soit γ ]α, β[. Comme γ n est ps un minornt de Im(f), il existe I t.q. f() < γ. De même, Comme γ n est ps un mjornt de Im(f), il existe b I t.q. f(b) > γ. le nombre γ est donc compris entre f() 22

24 et f(b). Comme f est continue sur l intervlle fermé borné dont les bornes sont et b, le théorème des vleurs intermédiires (théorème 2.2) donne qu il existe x entre et b (et donc x dns I) t.q. f(x) = γ. On donc bien montré que ]α, β[ Im(f) et donc que Im(f) est un intervlle (c est un intervlle dont les bornes sont α et β). On montre mintennt le deuxième item du théorème. Le théorème 2.3 montre qu il existe m, M R et c, d [, b] t.q. f(c) = m, f(d) = M et que Im(f) [m, M). Puis le théorème des vleurs intermédiires (théorème 2.2) montre que pour tout γ [m, M], il existe x entre c et d (et donc x [, b]) t.q. f(x) = γ. On en déduit que Im(f) = [m, M]. 2.4 Fonction strictement monotone et continue Théorème 2.5 Soit I un intervlle (de R) dont les extrémités sont et b, vec < b +, et f une ppliction strictement croissnte, continue, de I dns R. On pose Im(f) = {f(x), x I}, α = inf(im(f)) (vec inf(im(f)) = si Im(f) est non minorée), β = sup(im(f)) (vec sup(im(f)) = + si Im(f) est non mjorée). Alors :. Im(f) est un intervlle dont les extrémités sont α et β. On note J cet intervlle. 2. Si I =], b[, on lors J =]α, β[. 3. L ppliction f est bijective de I dns J. 4. On note g l fonction réciproque de f (c est-à-dire g définie de J dns I t.q. g f(x) = x pour tout x I et f g(x) = x pour tout x J). L ppliction g est continue et strictement croissnte (de J dns I). Démonstrtion :. Le théorème 2.4 donne que Im(f) est un intervlle. L définition de α et β donne lors que les extrémités de cet intervlle sont α et β. 2. Pour montrer que Im(f) =]α, β[ (lorsque I =], b[), il suffit de montrer que α Im(f) et β Im(f). Pour cel, on risonne pr l bsurde. On suppose que α Im(f). Il existe lors c ], b[ t.q. f(c) = α (et donc α R). Mis, en prennt y ], c[, on lors, grâce à l stricte croissnce de f, f(y) < f(c) = α, ce qui contrdictoire vec l définition de α. Donc, α Im(f). De mnière nlogue, on peut montrer que β Im(f). On bien insi montré que Im(f) =]α, β[. 3. L fonction f est surjective de I dns J (cr J = Im(f)). Il reste à montrer que f est injective, mis ceci est une conséquence simple de l stricte croissnce de f. En effet, soit x, y I, x y. Si x > y, on f(x) > f(y). Si x < y, on f(x) < f(y). Dns les deux cs, on donc f(x) f(y), ce qui prouve l injectivité de f. L ppliction f est donc bien une bijection de I dns J. 4. On note g l fonction réciproque de f (g est donc définie de J dns I). On remrque tout d bord que g est strictement croissnte. En effet, soit x, y J, x < y. Si g(x) g(y), on, pr l croissnce de f, x = f(g(x)) f(g(y)) = y, ce qui est impossible. On donc g(x) < g(y), ce qui prouve que g est strictement croissnte. Il reste à montrer que g est continue en tout point de J. Soit α < γ < β. Comme g est croissnte, g dmet des limites à droite et à guche en γ, notées g l (γ) et g r (γ), et ces limites encdrent g(γ) (proposition.). Plus précisément : lim g(x) = sup{g(x), x < γ} = g l(γ) g(γ) g r (γ) = inf{g(x), x > γ} = lim g(x). x γ,x<γ x γ,x>γ 23

25 Mis, comme Im(g) est un intervlle (cr Im(g) = I) l ensemble [g l (γ), g r (γ)] est inclus dns Im(g), ce qui n est possible que si g l (γ) = g r (γ). On donc g l (γ) = g(γ) = g r (γ), ce qui prouve que g est continue en γ. Un risonnement nlogue prouve que g est continue en α si α J (on considère lors l limite à droite de g en α et on montre qu elle est égle à ) et que g est continue en β si β J (on considère lors l limite à guche de g en β et on montre qu elle est égle à b). Ceci termine l démonstrtion de ce théorème. Exemple 2.3 On prend dns cette exemple I =] π/2, π/2[ et, pour x I, f(x) = tn(x). L fonction f est continue strictement croissnte de I dns R. On α = inf(imf) = et β = sup(imf) = +. Le théorème 2.5 donne lors que f est une bijection de I dns J vec J = R et que s fonction réciproque est continue strictement croissnte de J dns I. Cette fonction réciproque est l fonction rctn. 2.5 Exercices Exercice 2. (Fonction continue, non nulle en un point) Soit f une fonction de R dns R et R. On suppose que f est continue en et que f() 0. Montrer que f est non nulle sur un intervlle ouvert contennt. Exercice 2.2 (Fonction lipschitzienne) Soit f : R R et k R +. On suppose que f(x) f(y) k x y pour tout x, y R. Montrer que f est continue (sur tout R). Exercice 2.3 Pour quelle vleur de α l fonction f, définie ci-près, est-elle continue sur R? { x 3 8 f(x) = x 2 si x 2 α si x = 2. Exercice 2.4 (Fonctions monotones) Soit, b R, < b et I =], b[. Soit f une ppliction strictement croissnte de I dns R. On pose A = {f(x), x I}, α = inf A et β = sup A. (Si A est non minorée, on pose inf A =. Si A est non mjorée, on pose sup A = +.). Montrer que lim x f(x) = α (on pourr distinguer les cs α R et α = ). Montrer que lim x b f(x) = β. 2. Soit c I. Montrer que f dmet une limite à droite en c, notée f d (c), et une limite à guche en c, notée f g (c). Montrer que f g (c) f(c) f d (c). 3. On suppose que f d (c) = f g (c) pour tout c I (vec f d et f g définies à l question précédente). Montrer que f est continue et que f est bijective de ], b[ dns ]α, β[. Exercice 2.5 (Polynôme de degré impir) Montrer que toute fonction polynôme de R dns R, de degré impir, s nnule en u moins un point. Exercice 2.6 (Existence d un mximum) 24

26 Soit f une fonction continue de R + dns R +. On suppose que lim x f(x) = 0. Montrer que f dmet un mximum (c est-à-dire qu il existe R + t.q., pour tout x R +, f(x) f()). Exercice 2.7 (Injectivité et continuité donne monotonie) Soit, b R, < b, et f [, b] R continue et injective. Montrer que f est monotone. [Utiliser le théorème des vleurs intermédiires.] Exercice 2.8 (Prolongement pr continuité) Soit f l ppliction de R \ {, } dns R définie pr :. L fonction f est-elle continue en 0? 2. Clculer lim x f(x) et lim x f(x). f(x) = x3 2x 2 x + 2. x 3. Existe-t-il une fonction g définie et continue sur R et qui est égle à f sur R \ {, }? Exercice 2.9 Soit f et g deux fonctions de [0, ] dns R, continues et t.q. f(0) = g() = 0 et g(0) = f() =. Montrer que : λ R +, x [0, ], f(x) = λg(x). Exercice 2.0 (Vleur intermédiire) Soit f une fonction continue de [0, ] dns R.. Montrer que pour tout t [0, ], l ensemble {s [0, ] t.q. f(s) = f(0)+f(t) 2 } est non vide. Pout t [0, ], on pose ϕ(t) = inf{s [0, ] t.q. f(s) = f(0)+f(t) 2 }. 2. Soit t [0, ], montrer que ϕ(t) [0, ] et que f(ϕ(t)) = f(0)+f(t) Montrer que si f est strictement croissnte, l ppliction ϕ insi définie de [0, ] dns [0, ] est continue. 4. Donner un exemple de fonction f pour lequel l fonction ϕ n est ps continue. Exercice 2. (Fonction dont l imge est discrète) Soit f : R R une fonction continue (c est-à-dire continue en tout point de R). On suppose que f(x) {0, }, pour tout x R. Montrer que f est constnte. [utiliser le théorème des vleurs intermédiires.] Exercice 2.2 (Continuité de mx et min ). Montrer que, pour tout x, y R, mx{x, y} = 2 (x + y + x y ) et min{x, y} = 2 (x + y x y ). 2. Soit f et g deux pplictions de R dns R. On définit les pplictions f g et f g de R dns R pr : (f g)(x) = mx{f(x), g(x)}, (f g)(x) = min{f(x), g(x)}, pour x R. Soit R. On suppose que f et g sont continues en. Montrer que f g et f g sont continues en. 25

27 Exercice 2.3 (Convexe implique continue) Soit f une ppliction de R dns R. On suppose que f est convexe, c est à dire que f(tx + ( t)y) tf(x) + ( t)f(y) pour tout t [0, ] et pour tout x, y R. On pose α = f() f(0), β = f(0) f( ) et γ = mx{ α, β }.. Soit x ]0, [. Montrer que βx f(x) f(0) αx. [Utiliser le fit que x = t + ( t)0, vec t = x, et 0 = tx + ( t)( ), vec t = +x.] 2. Soit x ], [. Montrer que f(x) f(0) γ x. En déduire que f est continue en Montrer que f est continue en tout point de R. Exercice 2.4 (Borne supérieure tteinte) Soit f une ppliction continue de R + dns R + (on rppelle que R + = [0, [). On suppose que lim x f(x) = 0. Montrer que l ensemble {f(x), x R + } est mjoré et qu il existe R + t.q. f() = sup{f(x), x R + }. Exercice 2.5 (Exercice sur les vleurs intermédiires) Soit f une ppliction continue de [0, ] dns R t.q. f(0) = f(). Soit n N. pour x [0, n ], on pose g(x) = f(x + n ) f(x).. Montrer que n k=0 g( k n ) = Montrer qu il existe x 0, x [0, n ] t.q. g(x 0) 0 et g(x ) Montrer qu il existe x [0, n ] t.q. f(x + n ) = f(x). Exercice 2.6 (Prolongement pr continuité) Pour x ]0, [, on pose f(x) = Exercice 2.7 (Point fixe) x ln(x). Peut on prolonger f pr continuité en 0 et en? Soit f une fonction continue de [0, ] dns [0, ] et vérifint. Montrer que f est injective. 2. Montrer que {f(0), f()} = {0, }. 3. Montrer que f est surjective. 4. Montrer que f dmet un point fixe. Exercice 2.8 (Eqution fonctionnelle) x, x 2 [0, ], x x 2 f(x ) f(x 2 ). Soit f une fonction définie sur R +, à vleurs dns R et vérifint l éqution fonctionnelle suivnte : Pour tout x, y R +, f(x + y) = f(x)f(y).. Montrer que f est à vleurs positives ou nulles. 26