Les nombres premiers ( Spécialité Maths) Terminale S

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1 Les nombres premers ( Spécalté Maths) Termnale S Dernère mse à jour : Mercred 23 Avrl 2008 Vncent OBATON, Ensegnant au lycée Stendhal de Grenoble (Année ) Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vncent Obaton ) -1-

2 J amas et j ame encore les mathématques pour elles-mêmes comme n admettant pas l hypocrse et le vague, mes deux bêtes d averson. Stendhal Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vncent Obaton ) -2-

3 Table des matères 1 Défnton 4 2 Décomposton des enters en produts de facteurs premers 5 3 Pett théorème de Fermat 6 4 Applcatons Le codage RSA Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vncent Obaton ) -3-

4 1 Défnton Défnton 1 : On dt qu un nombre enter naturel st premer s l admet exactement deux dvseurs enters naturels dstncts : 1 et lu même. Notaton : Dans la sute de ce cours, on note P l ensemble des nombres premers. Théorème 1 : Tout enter naturel n dstnct de 1 admet au mons un dvseur premer. S n = 0 alors le théorème est vra car 2 dvse 0. On note n un enter naturel 2 et D n = {p N, p 1 tel que p n} n D n donc D n n est pas vde. D n admet un plus pett élément que l on note p 1. Démontrons que p 1 est premer. On note d un dvseur enter naturel 1 de p 1. Il en exste au mons un p 1 lu même. On a donc d p 1 et p 1 n donc d n or p 1 est le plus pett dvseur de n donc d p 1 De plus comme d p 1 alors d p 1 D après les deux remarques précédentes, d = p 1. p 1 admet donc d et 1 comme seul dvseur donc p 1 P Théorème 2 : L ensemble P est un ensemble nfn. Démontrons ce théorème par l absurde. On suppose que P est un ensemble fn et on note P = {p 1, p 2, p 3,..., p n }. n Sot d = p + 1 =1 d n est pas premer car l est plus grand que tous les p pour [ 1,.., n ] Il a donc un dvseur premer m d après le théorème précédent. m est dans l ensemble P = {p 1, p 2, p 3,..., p n }. n Comme m {p 1, p 2, p 3,..., p n } alors m dvse d et m dvse p donc m dvse 1. Ce qu est absurde. Donc l ensemble des nombres premers est nfn. =1 Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vncent Obaton ) -4-

5 2 Décomposton des enters en produts de facteurs premers Théorème 3 : Tout enter naturel non nul m dstncts de 1 se décompose de façon unqe sous la forme : m = p α pαn n (1) avec p des nombres premers tels que 0 < p 1 < p 2 <... < p n et α N Exstence de la décomposton : Récurrence sur m 2 : On note P m la proprété : Tout enter naturel k ( 2 k m) admet une décomposton de la forme (1). Intalsaton : P 2 est vrae car 2 = 2 1. Hérédté : On suppose que P m est vrae : 1. S m + 1 P alors m + 1 = (m + 1) 1 donc P m+1 est vrae. 2. S m + 1 P : D après le théorème 1 m + 1 admet un dvseur premer p et m + 1 = pq avec q N et 2 q m On a q 0 car m et q 1 car m + 1 P. On applque alors l hypothèse de récurrence sur q et donc P m+1 est vrae. Concluson : Tout enter naturel non nul m dstncts de 1 se décompose sous la forme : m = p α pαn n avec p des nombres premers tels que 0 < p 1 < p 2 <... < p n et α N Démontrons mantenant l uncté d une telle décomposton : Les seuls nombres premers dvsant m d après le théorème de Gauss, sont p 1, 2..., p n. Pour tout [ 1; n ], p α dvse m mas p α +1 ne dvse pas m. En effet, s p α +1 dvse m alors l exste q N tel que m = p α +1 q et en smplfant on aurat : p α 1 2 pα 2... pα +2 2 p αn n = p 1 q et donc p = p 1 ou p = p 2... ou p = p n ce qu n est pas le cas. Donc les α sont les exposants des plus grande pussances de p, dvsant m. Donc la décomposton est unque car nous n avons pas le chox des p et des α. Proposton 1 : On note m un enter dont la décomposton en facteurs premers est m = p α 1 Les dvseurs (postfs)de m sont les enters de la forme : p β 1 1 pβ pβn n avec pour tout [ 1; n ], 0 β α 2... pαn n Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vncent Obaton ) -5-

6 Théorème 4 : Tout enter naturel n 2 non premer admet au mons un dvseur premer p tel que p n On note n un enter naturel 2 et n P. On note p 1 le plus pett des dvseurs premers de n. alors l exste k N tel que n = p 1 k avec k p 1 On a donc n = p 1 k p 2 1 Or la foncton x x est strctement crossante sur R + donc n p 1. 3 Pett théorème de Fermat Théorème 5 : Sot p un nombre premer et a un enter non dvsble par p. Alors a p 1 1 est dvsble par p a p 1 1 [p] 1. Explquez pourquo p ne dvse aucun de la sute a, 2a,..., (p 1)a. 2. Démontrer par l absurde, que le reste des dvsons de a, 2a,..., (p 1)a par p sont tous dfférents. 3. En dédure les restes possbles de la dvson de a, 2a,..., (p 1)a par p. 4. En dédure que a p (p 1) (p 1) [p] 5. En dédure que a p 1 1 [p] Corollare : S p est un nombre premer et a un enter quelconque Alors a p a est dvsble par p a p a [p] A fare... Proprété 1 : S p est un nombre premer et a un enter, alors p dvse a ou p et a sont premers entre eux Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vncent Obaton ) -6-

7 A fare... Proprété 2 : S p est un nombre premer et a et b deux enters, alors S p dvse ab Alors p dvse a ou p dvse b. A fare... 4 Applcatons 4.1 Le codage RSA Vor prochan DM Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vncent Obaton ) -7-