Toutes les questions de cours et R.O.C. au bac de T.S. Vincent PANTALONI

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Toutes les questions de cours et R.O.C. au bac de T.S. Vincent PANTALONI"

Transcription

1 Toutes les questions de cours et R.O.C. u bc de T.S. Vincent PANTALONI VERSION DU 9 MARS 2012

2 Tble des mtières Bc Bc Bc Bc Bc Bc Bc Bc ii

3 Remerciements. Cette compiltion des questions de cours et restitutions orgnisées des connissnces d près les nnles été fite à prtir des fichiers L A TEX tpuscrits pr Denis Vergès et disponibles sur l toile sur le site de l A.P.M.E.P. (l Assocition des Professeurs de Mthémtiques de l Enseignement Public) 1

4 2 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S VERSION DU 9 MARS 2012

5 Bc 2011 Exercice n o 1 Restitution orgnisée de connissnces ( (Métropole L Réunion, septembre 2011) L espce est muni d un repère orthonorml O, ı, j, ) k. Prtie A - Restitution orgnisée de connissnces On désigne pr, b, c, d qutre réels tels que le vecteur n = ı + b j + c k soit différent du vecteur nul. On ppelle P le pln d éqution x+by +cz +d = 0. Démontrer que le vecteur n est un vecteur norml u pln P, c est-à-dire que le vecteur n est orthogonl à tout vecteur AB où A et B sont deux points quelconques du pln P. Exercice n o 2 Question de cours (Polynésie, septembre 2011 Prtie A Question de cours Soit I un intervlle de R. Soient u et v deux fonctions continues, dérivbles sur I telles que les fonctions dérivées u et v soient continues sur I. Rppeler et démontrer l formule d intégrtion pr prties sur un intervlle [ ; b] de I. 3

6 4 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S VERSION DU 9 MARS 2012

7 Bc 2011 Exercice n o 3 Restitution orgnisée de connissnces (Antilles Guyne, septembre 2010) On suppose connues l dérivée de l fonction exponentielle et l formule de dérivtion de u v insi que ses conditions d utilistion. On suppose svoir que l fonction ln est dérivble sur ]0 ; + [ et que pour tout x de ]0 ; + [ on : exp(lnx) = x. À prtir de ces qutre rguments, montrer que l dérivée de l fonction ln est l fonction définie sur ]0 ; + [ qui à x ssocie 1 x. Exercice n o 4 Restitution orgnisée de connissnces (Nouvelle Clédonie novembre 2010) On suppose connus les résultts suivnts : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] vec < b si pour tout x [ ; b] u(x) 0 lors b [u(x)+v(x)] dx = αu(x) dx = α u(x) dx+ v(x) dx u(x) dx 0 u(x) dx où α est un nombre réel. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] vec < b et si pour tout x de [ ; b], f(x) g(x) lors : Exercice n o 5 f(x) dx g(x) dx. Restitution orgnisée de connissnces (Nouvelle-Clédonie mrs 2011) On utiliser le résultt suivnt : les solutions de l éqution différentielle y = y où R sont les fonctions g définies sur R pr g(x) = Ke x où K R. Le but de cette prtie est de déterminer les solutions de l éqution différentielle (E) y = y+b où R et b R. 1. Démontrer que l fonction u définie sur R pr u(x) = b est une solution de (E). 2. Soit f une fonction définie et dérivble sur R. Démontrer l équivlence suivnte : f est solution de (E) f u est solution de l éqution différentielle y = y. 3. En déduire toutes les solutions de l éqution différentielle (E). Exercice n o 6 Restitution orgnisée de connissnces (Amérique du Nord 27 mi 2011) On considère trois points A, B et C de l espce et trois réels,b et c de somme non nulle. Démontrer que, pour tout réel k strictement positif, l ensemble des points M de l espce tels que MA +bmb +cm C = k est une sphère dont le centre est le brycentre des points A, B et C ffectés des coefficients respectifs, b et c. 5

8 6 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Exercice n o 7 Restitution orgnisée de connissnces [Spécilité] (Amérique du Nord 27 mi 2011) Démontrer le théorème de Guss en utilisnt le théorème de Bézout. Exercice n o 8 Restitution orgnisée de connissnces (Libn 31 mi 2011) Prérequis : On suppose connu le résultt suivnt : Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z, rg(z z ) = rg(z)+ rg(z ( ) à 2π près. z ) Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls z et z, on : rg z = rg(z) rg(z ) à 2π près. Exercice n o 9 Restitution orgnisée de connissnces [Spécilité] (Libn 31 mi 2011) On se plce dns le pln complexe muni d un repère orthonorml direct. Prérequis : L écriture complexe d une similitude directe est de l forme z = z+b où et b sont deux nombres complexes tels que 0. Démontrer que si A, B, A et B sont qutre points du pln tels que A B et A B, lors il existe une unique similitude directe trnsformnt A en A et B en B. Exercice n o 10 Restitution orgnisée de connissnces (Polynésie 10 juin 2011) On supposer connus les résultts suivnts : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b]. Pour tous réels α et β, [αu(x)+βv(x)] dx = α u(x) dx+β v(x) dx. Si u désigne une fonction continue sur un intervlle [ ; b] et U une primitive de u sur [ ; b] lors u(x) dx = [U(x)] b = U(b) U(). En utilisnt l formule de dérivtion d un produit de deux fonctions dérivbles, à dérivées continues sur un intervlle [ ; b], démontrer l formule d intégrtion pr prties. Exercice n o 11 Restitution orgnisée de connissnces (Asie 21 juin 2011) Pré-requis : 1. p B (A) = p(a B) (où A et B sont deux évènements tels que p(b) 0); p(b) 2. p ( A ) = 1 p(a) (où A est un évènement); 3. p([ ; b]) = F(b) F() (où et b sont des nombres réels positifs tels que b). Démontrer que, pour tout nombre réel positif s, on : p [t ; + ] ([t ; t+s]) = F(t+s) F(t), 1 F(t) et que p [t ; + ] ([t ; t+s]) est indépendnt du nombre réel t. Pour l suite de l exercice, on prendr λ = 0,2. Exercice n o 12 Restitution orgnisée de connissnces [Spécilité] (Asie 21 juin 2011) 1. Pré-requis : tout nombre entier n strictement supérieur à 1 dmet u moins un diviseur premier. Démontrer que tout nombre entier n strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de fcteurs premiers (on ne demnde ps de démontrer l unicité de cette décomposition). VERSION DU 9 MARS 2012

9 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S 2. Donner l décomposition en produit de fcteurs premiers de 629. Exercice n o 13 Restitution orgnisée de connissnces (L Réunion juin 2011) Soient A,B deux points du pln d ffixes respectives et b. On rppelle ( que : u ) *, AB = rg(b )+2kπ oùk Z. * L imge du point B pr l rottion de centre A et d ngle θ est le point C défini pr : ( ) AC = AB et sia B, AB, AC = θ +2kπ oùk Z. Exprimer l ffixe c du point C en fonction de, b et θ. Exercice n o 14 Restitution orgnisée de connissnces [Spécilité] (L Réunion juin 2011) Soient A,B deux points du pln d ffixes respectives et b. On rppelle ( que : u ) *, AB = rg(b )+2nπ oùn Z. * L imge du point B pr l similitude directe de centre A, de rpport k(k > 0) et d ngle θ est le point C défini pr : ( ) AC = kab et sia B, AB, AC = θ +2nπ oùn Z. Exprimer l ffixe c du point C en fonction de, b, θ et k. Exercice n o 15 Restitution orgnisée de connissnces (Métropole 21 juin 2011) On désigne pr P le pln d éqution x + by + cz + d = 0 et pr M 0 le point de coordonnées (x 0 ; y 0 ; z 0 ). On ppelle H le projeté orthogonl du point M 0 sur le pln P. On suppose connue l propriété suivnte : Propriété : Le vecteur n = ı +b j +c k est un vecteur norml u pln P. Le but de cette prtie est de démontrer que l distnce d(m 0, P) du point M 0 u pln P, c est-àdire l distnce M 0 H, est telle que d(m 0, P) = x 0 +by 0 +cz 0 +d 2 +b 2 +c Justifier que n M 0 H = M 0 H 2 +b 2 +c Démontrer que n M 0 H = x 0 by 0 cz 0 d. 3. Conclure. Exercice n o 16 Restitution orgnisée de connissnces [Spécilité] (Métropole 21 juin 2011) On rppelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS. Théorème de BÉZOUT : Deux entiers reltifs et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (u ; v) d entiers reltifs vérifint u + bv = 1. Théorème de GAUSS : Soient, b, c des entiers reltifs. Si divise le produit bc et si et b sont premiers entre eux, lors divise c. 1. En utilisnt le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS. 2. Soient p et q deux entiers nturels tels que p et q sont premiers entre eux. Déduire du théorème de GAUSS que, si est un entier reltif, tel que 0 [p] et 0 [q], lors 0 [pq]. VERSION DU 9 MARS 2012

10 8 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S VERSION DU 9 MARS 2012

11 Bc 2010 Exercice n o 17 Restitution orgnisée de connissnces (Amérique du Sud, novembre 2009) Soit D le point de coordonnées (x D, y D, z D ) et P le pln d éqution x+by +cz +d = 0, où, b et c sont des réels qui ne sont ps tous nuls. Démontrer que l distnce du point D u pln P est donnée pr : d(d,p) = x D +by D +cz D +d 2 +b 2 +c 2 Exercice n o 18 Restitution orgnisée de connissnces (Pondichéry, vril 2010) Soit et b deux réels tels que < b et f et g deux fonctions continues sur l intervlle [ ; b]. On suppose connus les résultts suivnts : [f(t)+g(t)] dt = f(t) dt+ g(t) dt. Si pour tout t [ ; b], f(t) 0 lors f(t) dt 0. Montrer que : si pour tout t [ ; b], f(t) g(t) lors Exercice n o 19 f(t) dt g(t) dt. Restitution orgnisée de connissnces (Antilles Guyne, juin 2010) ( Le pln est muni d un repère orthonorml direct O, u, ) v d unité 1 cm. Pour M Ω, on rppelle que le point M est l imge du point M pr l rottion r de centre Ω et d ngle de mesure θ si et seulement si : { ( ΩM = ΩM (1) ΩM ; ) ΩM = θ à 2kπ près (k Z) (2) 1. Soient z, z et ω les ffixes respectives des points M, M et Ω. Trduire le reltions (1) et (2) en termes de modules et d rguments. 2. En déduire l expression de z en fonction de z, θ et ω Exercice n o 20 Restitution orgnisée de connissnces spécilité) (L ( Réunion, juin 2010) Le pln complexe est rpporté à un repère orthonorml direct O, u, ) v. Soient A, B et C trois points du pln d ffixes respectives, b, c. On suppose que A et B sont distincts, insi que A et C. ( u ) On rppelle que, AB = rg(b ) [2π]. 9

12 10 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Montrer que ( ) ( ) c AB, AC = rg b [2π]. Exercice n o 21 Restitution orgnisée de connissnces (L Réunion, juin 2010) ( Le pln complexe est rpporté à un repère orthonorml direct O, u, ) v. Prérequis : On rppelle que l écriture complexe d une similitude directe du pln est de l forme z = αz +β, où α est un nombre complexe non nul et β est un nombre complexe. Soient A, B, C, D qutre points du pln ; on suppose d une prt que les points A et C sont distincts et d utre prt que les points B et D sont distincts. Démontrer qu il existe une unique similitude directe s telle que s(a) = B et s(c) = D. Exercice n o 22 Restitution orgnisée de connissnces (Métropole, juin 2010) Démontrer à l ide de l définition et des deux propriétés ci-dessous que si (u n ) et (v n ) sont deux suites djcentes, lors elles sont convergentes et elles ont l même limite. Définition : deux suites sont djcentes lorsque l une est croissnte, l utre est décroissnte et l différence des deux converge vers 0. Propriété 1 : si deux suites (u n ) et (v n ) sont djcentes vec (u n ) croissnte et (v n ) décroissnte lors pour tout entier nturel n, v n u n. Propriété 2 : toute suite croissnte et mjorée converge ; toute suite décroissnte et minorée converge. Exercice n o 23 Restitution orgnisée de connissnces (Métropole, juin 2010) Prérequis Soit z un nombre complexe tel que z = +bi où et b sont deux nombre réels. On note z, le nombre complexe défini pr z = bi. Questions 1. Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z, z z = z z. 2. Démontrer que, pour tout entier nturel n non nul, et tout nombre complexe z, z n = (z) n. VERSION DU 9 MARS 2012

13 Bc 2009 Exercice n o 24 Question de cours (Amérique du Sud, novembre 2008) Dns cet exercice, on demnde ux cndidts d étblir, en suivnt l démrche proposée, deux résultts de cours. On rppelle que l fonction ln est définie et dérivble sur ]0 ; + [, positive sur [1 ; + [, et vérifie : ln1 = 0 Pour tous réels strictement positifs x et y, ln(xy) = ln x + ln y Pour tout réel strictement positifx, [ln(x)] = 1 x ln(2) 0,69 à 10 2 près 1. On considère l fonction f définie sur ]0 ; + [ pr f(x) = x lnx.. Étudier les vritions de f et en déduire que f dmet un minimum sur ]0 ; + [. b. En déduire le signe de f puis que, pour tout x > 1, 0 < lnx x x < x. lnx c. En déduire que lim x + x = Soit n un entier nturel non nul. On considère l fonction f n définie sur ]0 ; + [ pr : f n (x) = lnx. x 1 n En utilisnt l question 1., déterminer, si elle existe, l limite en + de l fonction f n. Exercice n o 25 Restitution orgnisée de connissnces (Amérique du Nord, juin 2009) On supposer connus les résultts suivnts : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] vec < b. Si u 0 sur [ ; b] lors Pour tous réels α et β, b u(x) dx 0. [αu(x)+βv(x)] dx = α u(x) dx+β v(x) dx. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] vec < b et si, pour tout x de [ ; b], f(x) g(x) lors Exercice n o 26 f(x) dx g(x) dx. Restitution orgnisée de connissnces (Centres étrngers, juin 2009) Prérequis : On rppelle que deux évènements A et B sont indépendnts pour l probbilité p si et seulement si : p(a B) = p(a) p(b). Soient A et B deux évènements ssociés à une expérience létoire 11

14 12 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S 1. Démontrer que p(b) = p(b A)+p ( B A ). 2. Démontrer que, si les évènements A et B sont indépendnts pour l probbilité p, lors les évènements A et B le sont églement. Exercice n o 27 Cette question est une restitution orgnisée de connissnces (Métropole, juin 2009) ( ) n n! On rppelle que si n et p sont deux nombres entiers nturels tels que p n lors = p p!(n p)!. Démontrer que pour ( ) tout( nombre ) entier ( nturel ) n et pour tout nombre entier nturel p tels que n n 1 n 1 1 p n on : = +. p p 1 p VERSION DU 9 MARS 2012

15 Bc 2008 Exercice n o 28 Question de cours (Antilles Guyne, septembre 2007) Soit I un intervlle de R. Soient u et v deux fonctions continues, dérivbles sur I telles que u et v soient continues sur I. Rppeler et démontrer l formule d intégrtion pr prties sur un intervlle [ ; b] de I. Exercice n o 29 Restitution orgnisée de connissnces (Métropole, L Réunion, septembre 2007) L formule donnnt l dérivée du produit de deux fonctions dérivbles est supposée connue. On énoncé ci-dessous deux propositions désignées pr P et Q. Dire pour chcune d elles si vrie ou fusse et justifier. Dns cet exercice n désigne un entier nturel strictement supérieur à 1. P : Soit f l fonction définie sur R pr f(x) = x n ; lors f est dérivble sur R, de dérivée f donnée sur R pr : f (x) = nx n 1. Q : Soit u une fonction dérivble sur R et soit f l fonction définie sur R pr f = u n ; lors f est dérivble sur R, de dérivée f donnée pr f = nu n 1. Exercice n o 30 Question de cours (Amérique du Sud, novembre 2007) Dns cette question, on demnde u cndidt d exposer des connissnces. On suppose connu le résultt suivnt : L fonction x e x est l unique fonction ϕ dérivble sur R telle que ϕ = ϕ, et ϕ(0) = 1. Soit un réel donné. 1. Montrer que l fonction f définie sur R pr f(x) = e x est solution de l éqution y = y. 2. Soitg une solution de l équtiony = y. Soithl fonction définie sur R prh(x) = g(x)e x. Montrer que h est une fonction constnte. 3. En déduire l ensemble des solutions de l éqution y = y. Exercice n o 31 Question de cours (Nouvelle Clédonie spécilité novembre 2007) 1. Soit f une fonction réelle définie sur [ ; + [. Compléter l phrse suivnte : «On dit que f dmet une limite finie l en + si...» 2. Démontrer le théorème «des gendrmes» : soient f, g et h trois fonctions définies sur [ ; + [ et l un nombre réel. Si g et h ont pour limite commune l qund x tend vers +, et si pour tout x ssez grnd g(x) f(x) h(x), lors l limite de f qund x tend vers + est égle à l. Exercice n o 32 Question de cours (Nouvelle Clédonie mrs 2008) 13

16 14 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Quelles sont les propriétés de comptibilité de l reltion de congruence vec l ddition, l multipliction et les puissnces? Démontrer l propriété de comptibilité vec l multipliction. Exercice n o 33 Démonstrtion de cours (Pondichéry vril 2008) Démontrer que l rottion r d ngle α et de centre Ω d ffixe ω est l trnsformtion du pln qui à tout point M d ffixe z ssocie le point M d ffixe z tel que z ω = e iα (z ω). Exercice n o 34 Démonstrtion de cours (Libn mi 2008) Prérequis : définition d une suite tendnt vers plus l infini. «une suite tend vers + si, pour tout réel A, tous les termes de l suite sont, à prtir d un certin rng, supérieurs à A». Démontrer le théorème suivnt : une suite croissnte non mjorée tend vers +. Exercice n o 35 Restitution orgnisée de connissnces (Asie juin 2008) e x On suppose connu le résultt suivnt : lim x + x = +. Démontrer que : lim x + xe x = 0. Exercice n o 36 Restitution orgnisée de connissnces (Centres étrngers juin 2008) e x Prérequis : on rppelle que : lim x + x = +. lnx 1. Démontrer que lim x + x = En déduire que pour tout entier nturel n non nul : lim x + lnx x n = 0. Exercice n o 37 Restitution orgnisée de connissnces (Métropole juin 2008) On rppelle que pour tout t 0, P(X t) = t 0 λe λx dx. L fonction R définie sur l intervlle[0 ; + [ pr R(t) = P(X > t) est ppelée fonction de fibilité. 1. Démontrer que pour tout t 0 on R(t) = e λt. 2. Démontrer que l vrible X suit une loi de durée de vie sns vieillissement, c est-à-dire que pour tout réel s 0, l probbilité conditionnelle P X>t (X > t+s) ne dépend ps du nombre t 0. Exercice n o 38 Restitution orgnisée de connissnces (Polynésie juin 2008) On supposer connus les résultts suivnts : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] vec < b. VERSION DU 9 MARS 2012

17 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Si u 0 sur [ ; b] lors Pour tous réels α et β u(x) dx 0. [αu(x)+βv(x)] dx = α u(x) dx+β v(x) dx. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] vec < b et si, pour tout x de [ ; b],f(x) g(x), lors f(x) dx g(x) dx. VERSION DU 9 MARS 2012

18 16 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S VERSION DU 9 MARS 2012

19 Bc 2007 Exercice n o 39 Question de cours (Frnce, septembre 2006) Pré-requis Les solutions de l éqution différentielle y = λy sont les fonctions x Ce λx où C est une constnte réelle. 1. Démontrer l existence et l unicité de l solution z de l éqution différentielle (E λ ) : z = (λz +1) telle que z(0) = Donner l expression de cette fonction que l on noter z 0. Exercice n o 40 ). On prendr pour unité gr- Question de cours (Amérique du Sud, novembre( 2006) Le pln complexe est rpporté u repère orthonorml O, u, v phique 1 cm. On rppelle que : «Pour tout vecteur w non nul, d ffixe z on : z = w et rg (z) = ( u, w)». Soient M, N et P trois points du pln, d ffixes respectives m, n et p tels que m n et m p. ( ) p m ( 1. Démontrer que : rg = MN, ) MP. n m 2. Interpréter géométriquement le nombre p m n m Exercice n o 41 Question de cours (Nouvelle-Clédonie, mrs 2007) Pour tout cet exercice, l espce est muni d un repère orthonorml (O; ı, j, k). étblir l éqution crtésienne d un pln dont on connît un vecteur norml n (, b, c) et un point M 0 (x 0, y 0, z 0 ). Exercice n o 42 Question de cours (Antilles-Guyne, juin 2007) Prérequis : positivité et linérité de l intégrle. Soient et b deux réels d un intervlle I de R tels que b. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l intervlle I, f(x) g(x), lors f(x) dx Exercice n o 43 g(x) dx. Question de cours ( Asie, juin 2007) On rppelle que lorsque t tend vers +, lors et tend vers +. t lnx Démontrer que lim x + x = 0. 17

20 18 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Exercice n o 44 Restitution orgnisée de connissnces. (Amérique du Nord, juin 2007) e x L objet de cette question est de démontrer que lim x + x = +. On supposer connus les résultts suivnts : l fonction exponentielle est dérivble sur R et est égle à s fonction dérivée ; e 0 = 1 ; pour tout réel x, on e x > x. Soient deux fonctions ϕ et ψ définies sur l intervlle [A ; + [ où A est un réel positif. Si pour tout x de [A ; + [, ψ(x) ϕ(x) et si lim ψ(x) = +, lors lim ϕ(x) = +. x + x + 1. On considère l fonction g définie sur [0 ; + [ pr g(x) = e x x2 2. Montrer que pour tout x de [0 ; + [, g(x) En déduire que lim x + Exercice n o 45 e x x = + Restitution orgnisée de connissnces. (Centres étrngers, juin 2007) 1. Démontrer qu un nombre complexe z est imginire pur si et seulement si z = z. 2. Démontrer qu un nombre complexe z est réel si et seulement si z = z. 3. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on l églité : zz = z 2. Exercice n o 46 Restitution orgnisée de connissnces. (Métropole, juin 2007) Démontrer l formule d intégrtion pr prties en utilisnt l formule de dérivtion d un produit de deux fonctions dérivbles, à dérivées continues sur un intervlle [ ; b]. Soient les deux intégrles définies pr I = π 0 e x sinx dx et J = 1. Démontrer que I = J et que I = J+e π En déduire les vleurs exctes de I et de J. Exercice n o 47 π 0 e x cosx dx. Restitution orgnisée de connissnces. (L Réunion, juin 2007) On suppose connue l propriété : «Pour tout couple (x ; y) de nombres réels strictement positifs, on ln(xy) = ln(x)+ln(y).» En déduire que, pour tout nombre réel m strictement positif, on : ln ( m ) = 1 2 ln(m). VERSION DU 9 MARS 2012

21 Bc 2006 Exercice n o 48 Question de cours (Nouvelle-Clédonie, novembre 2005) Soient A et B deux événements indépendnts. Démontrer que A et B sont indépendnts. Exercice n o 49 Question de cours (Amérique du Nord, juin 2006) Prérequis : le module d un nombre complexe z quelconque, noté z, vérifie z 2 = zz où z est le conjugué de z. Démontrer que : pour tous nombres complexes z 1 et z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2. pour tout nombre complexe z non nul, 1 z = 1 z. Exercice n o 50 Question de cours (Métropole 15 juin 2006) On prend comme pré-requis les résultts suivnts : Si z et z sont deux nombres complexes non nuls, lors : rg(zz ) = rg(z)+rg(z ) à 2kπ près, vec k entier reltif Pour tout vecteur ( u ) w non nul d ffixe z on : rg(z) = ; w à 2kπ près, vec k entier reltif 1. Soit( z et z des nombres complexes non nuls, démontrer que z ) rg z = rg(z) rg(z ) à 2kπ près, vec k entier reltif. 2. Démontrer que si A, ( B, C) sont trois points du pln, deux à deux distincts, d ffixes respectives c ( ), b, c, on : rg = AB, AC à 2kπ près, vec k entier reltif. b Exercice n o 51 Restitution orgnisée de connissnces. (Pondichéry 3 vril 2006) L espce est muni d un repère orthonorml (O; ı, j, k). Prtie A (cette prtie constitue une restitution orgnisée de connissnces) Soit, b, c et d des réels tels que (, b, c) (0, 0, 0). Soit P le pln d éqution x+by +cz +d = 0. On considère le point I de coordonnées (x I, y I, z I ) et le vecteur n de coordonnées (, b, c). Le but de cette prtie est de démontrer que l distnce dei u plnp est égle à x I +by I +cz I +d 2 +b 2 +c Soit l droite pssnt pr I et orthogonle u pln P. Déterminer, en fonction de, b, c, x I, y I et z I, un système d équtions prmétriques de. 2. On note H le point d intersection de et P.. Justifier qu il existe un réel k tel que IH = k n. b. Déterminer l expression de k en fonction de, b, c, d, x I, y I et z I. c. En déduire que IH = x I +by I +cz I +d 2 +b 2 +c 2. 19

22 20 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Exercice n o 52 Restitution orgnisée de connissnces. (Antilles-Guyne, juin 2006) Pré-requis : l fonction logrithme népérien est dérivble sur ]0 ; + [ et s fonction dérivée est l fonction inverse ( x 1 x ). ln(1) = 0 Démontrer que pour tous réels strictement positifs et x, ln(x) = ln()+ln(x). Utiliser le résultt précédent pour démontrer que ( ) 1 ( ln = ln(b) et que ln = ln() ln(b) b b) Exercice n o 53 Restitution orgnisée de connissnces. (Asie juin 2006) Prérequis : On sit que si z et z sont deux nombres complexes non nuls, lors : rg(zz ) = rg(z)+rg(z ). Soient z et z deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : ( z ) rg z = rg(z) rg(z ) Exercice n o 54 Restitution orgnisée de connissnces. (Centres étrngers, juin 2006) Prérequis : On rppelle les deux résultts suivnts : i. Si z est un nombre complexe non nul, on l équivlence suivnte : { { z = r z = r(cosθ + isinθ) rg z = θ à 2π près r > 0 ii. Pour tous nombres réels et b : { cos(+b) = coscosb sinsinb sin(+b) = sincosb+sinbcos Soient z 1 et z 2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les reltions : z 1 z 2 = z 1 z 2 et rg(z 1 z 2 ) = rg(z 1 )+rg(z 2 ) à 2π près VERSION DU 9 MARS 2012

23 Bc 2005 Exercice n o 55 Restitution orgnisée de connissnces (L Réunion, juin 2005) On se propose de démontrer qu il existe une seule fonction f dérivble sur R vérifint l condition : { f( x)f (C) (x) = 1 pour tout nombre réel x, f(0) = 4 (où f désigne l fonction dérivée de l fonction f) et de trouver cette fonction. 1. On suppose qu il existe une fonction f stisfisnt l condition (C) et on considère lors l fonction g définie sur R pr g(x) = f( x)f(x).. Démontrer que l fonction f ne s nnule ps sur R. b. Clculer l fonction dérivée de l fonction g. c. En déduire que l fonction g est constnte et déterminer s vleur. d. On considère l éqution différentielle (E)y = 1 y. Montrer que l fonctionf est solution 16 de cette éqution et qu elle vérifie f(0) = Question de cours. On sit que l fonction x e x 16 est solution de l éqution différentielle (E). Démontrer lors que l ensemble des solutions de l éqution (E) est l ensemble des fonctions, définies sur R, de l forme x Ke x 16, où K est un nombre réel quelconque. b. Démontrer qu il existe une unique solution de l éqution différentielle (E) prennt l vleur 4 en Déduire des questions précédentes qu il existe une seule fonction dérivble sur R stisfisnt l condition (C) et préciser quelle est cette fonction. Exercice n o 56 Question de cours ( Polynésie, juin 2005) Prérequis : définition d une suite tendnt vers +. «Une suite tend vers + si, pour tout réel A, tous les termes de l suite sont, à prtir d un certin rng, supérieurs à A». Démontrer le théorème suivnt : une suite croissnte non mjorée tend vers +. Exercice n o 57 Restitution orgnisée de connissnces. ( Frnce juin 2005) Cet exercice constitue une restitution orgnisée de connissnces. Prtie A : question de cours On suppose connus les résultts suivnts : 1 deux suites (u n ) et (v n ) sont djcentes lorsque : l une est croissnte, l utre est décroissnte et u n v n tend vers 0 qund n tend vers + ; 2 si(u n ) et(v n ) sont deux suites djcentes telles que(u n ) est croissnte et(v n ) est décroissnte, lors pour tout n pprtennt à N, on u n v n ; 3 toute suite croissnte et mjorée est convergente ; toute suite décroissnte et minorée est convergente. 21

24 22 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Démontrer lors l proposition suivnte : «Deux suites djcentes sont convergentes et elles ont l même limite». Prtie B On considère une suite (u n ), définie sur N dont ucun terme n est nul. On définit lors l suite (v n ) sur N pr v n = 2 u n. Pour chque proposition, indiquer si elle est vrie ou fusse et proposer une démonstrtion pour l réponse indiquée. Dns le cs d une proposition fusse, l démonstrtion consister à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rpporte ucun point. 1. Si (u n ) est convergente, lors (v n ) est convergente. 2. Si (u n ) est minorée pr 2, lors (v n ) est minorée pr Si (u n ) est décroissnte, lors (v n ) est croissnte. 4. Si (u n ) est divergente, lors (v n ) converge vers zéro. Exercice n o 58 On considère l fonction f, définie sur [1 ; + [ pr f(t) = et t. 1.. Justifier l continuité de f sur [1 ; + [. b. Montrer que f est croissnte sur [1 ; + [. 2. Restitution orgnisée de connissnces. (Pondichéry 31 mrs 2005) On pourr risonner en s ppuynt sur le grphique fourni. Pour tout réel x 0 de [1 ; + [, on note A(x 0 ) l ire du domine délimité pr l courbe représentnt f dns un repère orthogonl, l xe des bscisses et les droites d équtions x = 1 et x = x 0. On se propose de démontrer que l fonction insi définie sur [1 ; + [ est une primitive de f.. Que vut A(1)? b. Soit x 0 un réel quelconque de [1 ; + [ et h un réel strictement positif. Justifier l encdrement suivnt : f(x 0 ) A(x 0 +h) A(x 0 ) h f(x 0 +h). c. Lorsque x 0 > 1, quel encdrement peut-on obtenir pour h < 0 et tel que x 0 +h 1? d. En déduire l dérivbilité en x 0 de l fonction A insi que le nombre dérivé en x 0 de l fonction A. e. Conclure e x x 0 +h 2 VERSION DU 9 MARS 2012

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Cours de Mthémtiques Bcclurét 20 Résumé Ce document contient les principles définitions, théorèmes et propriétés du cours de mthémtiques du tronc commun de mthémtiques de Terminle S. Je tiens à remercier

Plus en détail

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4 BTS DOMOTIQUE Clcul intégrl 8- Clcul intégrl Tble des mtières I Primitives I. Définitions............................................... I. Clculs de primitives.........................................

Plus en détail

CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES

CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES Primitives et intégrles Cours CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES. Primitives d une fonction Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I. Une fonction F est une primitive de f sur I, si

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

Résumé du cours d analyse de maths spé MP

Résumé du cours d analyse de maths spé MP 1 TOPOLOGE Résumé du cours d nlyse de mths spé MP 1 Topologie 1) Normes, normes équivlentes Une norme sur l espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x). x E, (N(x) = x = ) (xiome

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

MP1 Janson DS6 du 17 janvier 2014/2015. 1 n x.

MP1 Janson DS6 du 17 janvier 2014/2015. 1 n x. MP Jnson DS6 du 7 jnvier 24/25 Problème (CCP) Toutes les fonctions de ce problème sont à vleurs réelles. PARTE PRÉLMNARE Les résultts de cette prtie seront utilisés plusieurs fois dns le problème.. Fonction

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S Clmths.fr - Les Roc en Terminle S CONTENTS ROC - exigibles... 2 Roc 1 Théorème de comprison pour les suites... 2 Roc 2 Limite de qn lorsque q > 1... 2 Roc 3 Unicité de l fonction exponentielle... 3 Roc

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 12 : Calcul Intégral

Cours de mathématiques. Chapitre 12 : Calcul Intégral Cours de mthémtiques Terminle S1 Chpitre 12 : Clcul Intégrl Année scolire 2008-2009 mise à jour 5 mi 2009 Fig. 1 Henri-Léon Leesgue et Bernhrd Riemnn n les confond prfois 1 Tle des mtières I Chpitre 12

Plus en détail

Kit de survie - Bac S

Kit de survie - Bac S Kit de survie - Bc S. Inéglités - Étude du signe d une expression Opértions sur les inéglités Règles usuelles : Pour tout x < y x + < y + même sens Pour tout k > : x < y kx < ky même sens Pour tout k

Plus en détail

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a Intégrtion Les fonctions considérées ci-dessous sont des fonctions définies sur un intervlle réel I, à vleurs réelles ou complees ou, plus générlement, à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension

Plus en détail

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (limites, continuité, dérivées, intégration) T. Gallouët

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (limites, continuité, dérivées, intégration) T. Gallouët Université de Mrseille Licence de Mthémtiques, ere nnée, Anlyse (limites, continuité, dérivées, intégrtion) T. Gllouët July 29, 205 Tble des mtières Limites 3. Définition et propriétés......................................

Plus en détail

Théorème de Rolle et formules de Taylor

Théorème de Rolle et formules de Taylor Théorème de Rolle et formules de Tylor 1 Extrémums des fonctions différentibles à vleurs réelles 1. Soient K un compct d un espce vectoriel normé (E, ) et f une fonction définie sur K à vleurs dns R. Montrer

Plus en détail

Terminales S. Liste «non exhaustive» des Restitutions Organisées des Connaissances:

Terminales S. Liste «non exhaustive» des Restitutions Organisées des Connaissances: Terminles S Liste «non exhustive» des Restitutions Orgnisées des Connissnces: Théorème 1 : Critère de divergence d'une suite Théorème 2 : Comprison pr rpport à une suite divergente Théorème 3 : Théorème

Plus en détail

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013 Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Préprtion à l'exmen écrit de mturité Mthémtiques 2013 1.Primitives et intégrles 1.1Primitives (CRM pp.77-80) Une primitive pourrit se définir

Plus en détail

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2 TS, Correction Bc Blnc n o Exercice Nouvelle-Clédonie, mrs extrit) points Restitution Orgnisée de Connissnces On utiliser le résultt suivnt : les solutions de l éqution différentielle E ) y = y où R sont

Plus en détail

Primitive et intégrale d une fonction continue

Primitive et intégrale d une fonction continue Primitive et intégrle d une fonction continue O. Simon, Université de Rennes I 24 mi 2005 Avertissement : Ceci n est ps le contenu d une leçon de CAPES. Dns le progrmme 2002 de terminles S, on introduit

Plus en détail

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn)

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn) Chpitre 7 Primitives et Intégrles 7. Primitive d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervlle K de R. On ppelle primitive de f, une fonction F dont l dérivée est f : F (x) = f(x). On note

Plus en détail

Cours de Terminale S Lycée Camille Pissarro 2013-2014. Sébastien Andrieux

Cours de Terminale S Lycée Camille Pissarro 2013-2014. Sébastien Andrieux Cours de Terminle S Lycée Cmille Pissrro 203-204 Sébstien Andrieux 7 juin 204 Tble des mtières I Cours de Terminle S 5 Risonnement pr récurrence 6 2 Suites et limites des suites 8 I Suite convergente,

Plus en détail

Zéros des fonctions. 1. La dichotomie. Exo7. 1.1. Principe de la dichotomie

Zéros des fonctions. 1. La dichotomie. Exo7. 1.1. Principe de la dichotomie Exo7 Zéros des fonctions Vidéo prtie 1. L dichotomie Vidéo prtie. L méthode de l sécnte Vidéo prtie 3. L méthode de Newton Dns ce chpitre nous llons ppliquer toutes les notions précédentes sur les suites

Plus en détail

Résumés de cours : Terminale S.

Résumés de cours : Terminale S. Résumés de cours : Terminle S. Mths-Terminle S. Mr Mmouni : myismil@ltern.org source disponible sur: c http://www.chez.com/myismil Smedi 08 Avril 2006. Tble des mtières Nombres complexes. 3. Prtie réelle

Plus en détail

ROC: Restitution Organisée des Connaissances

ROC: Restitution Organisée des Connaissances ROC: Restitution Orgnisée des Connissnces Terminle S Septembre 2005 Tble des mtières 1 Anlyse 2 1.1 Limites et ordre........................... 2 1.2 Bijection............................... 3 1.3 Fonction

Plus en détail

Sujet de Bac 2011 Maths S Obligatoire & Spécialité Polynésie

Sujet de Bac 2011 Maths S Obligatoire & Spécialité Polynésie Sujet de Bc 20 Mths S Oligtoire & Spécilité Polynésie Exercice : 5 points Commun à tous les cndidts. Pour chcune des propositions suivntes, indiquer si elle est vrie ou fusse et donner une démonstrtion

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010 Corrigé du bcclurét S Pondichéry 2 vril 2 EXERCICE Commun à tous les cndidts Prtie A : Restitution orgnisée de connissnces 6 points f et g sont deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] donc g f

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

Espaces métriques, espaces vectoriels normés. Tewfik Sari. L2 Math

Espaces métriques, espaces vectoriels normés. Tewfik Sari. L2 Math Espces métriques, espces vectoriels normés Tewfik Sri L2 Mth Avertissement : ces notes sont l rédction, progressive et provisoire, d un résumé du cours d espces métriques de d espces vectoriels normés

Plus en détail

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques 2000 2001 2001nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se

Plus en détail

Kit de survie - Bac ES

Kit de survie - Bac ES Kit de survie - Bc ES. Étude du signe d une expression ) Signe de x + Ü Ü ½ Ò µ¼ Ò ½ 0) On détermine l vleur de x qui nnule x +, puis on pplique l règle : «signe de près le 0». ) Signe de x + x + c ܾ

Plus en détail

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1 Chpitre 7 Intégrle et primitive TABLE DES MATIÈRES pge - Chpitre 7 Intégrle et primitive Tble des mtières I Exercices I-................................................ I- Clcul pproché d une intégrle

Plus en détail

zz' = z. z' ; Si z' # 0 1 z' Re(z) = z + z z est réel z = z ; z est imaginaire pur z = - z

zz' = z. z' ; Si z' # 0 1 z' Re(z) = z + z z est réel z = z ; z est imaginaire pur z = - z Nomres complexes Module et conjugué d'un nomre complexe Définition - Propriétés Un nomre complexe z s'écrit de fçon unique sous l forme + i ; IR, IR On dit que + i est l forme lgérique du nomre complexe

Plus en détail

LOIS A DENSITE (Partie 1)

LOIS A DENSITE (Partie 1) LOIS A DENSITE (Prtie ) I. Loi de probbilité à densité ) Rppel Eemple : Soit l'epérience létoire : "On lnce un dé à si fces et on regrde le résultt." L'ensemble de toutes les issues possibles Ω = {; ;

Plus en détail

Chapitre 3 Dérivées et Primitives

Chapitre 3 Dérivées et Primitives Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Chpitre Dérivées et Primitives A) Rppels de première et compléments ) Dérivées usuelles Fonction définie sur Fonction f() =

Plus en détail

Continuité - Limites Asymptotes à une courbe

Continuité - Limites Asymptotes à une courbe Continuité - Limites Asymptotes à une cre Continuité - Théorème des vleurs intermédiires Notion de continuité Grphiquement, on peut reconnître une fonction continue sur un intervlle I pr le fit que le

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Dérivation : rappels et compléments

Synthèse de cours (Terminale S) Dérivation : rappels et compléments Synthèse de cours (Terminle S) Dérivtion : rppels et compléments Rppels de 1ère Nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervlle I et un élément de I. f ( + h) f ( ) Si l limite lim existe, on

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité Lois de probbilité à densité Christophe ROSSIGNOL Année scolire 0/03 Tble des mtières Loi à densité sur un intervlle I. Deux exemples pour comprendre..................................... Densité de probbilité...........................................3

Plus en détail

mémento de mathématiques pour les ECE1

mémento de mathématiques pour les ECE1 mémento de mthémtiques pour les ECE1 Abdellh Becht Résumé L objectif de ce mémento est de permettre ux élèves de première nnée des clsses préprtoires ux Ecoles de Commerces, option économique, d voir un

Plus en détail

2008 2010 MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV

2008 2010 MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV LEGTHP Sint Nicols STAV Promotion 8 MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV Fiches de cours S. FLOQUET Septemre 9 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 SOMMAIRE STAV PARTIE : RESUMES DE COURS Équtions de droites

Plus en détail

Primitives Calcul intégral

Primitives Calcul intégral Primitives Clcul intégrl Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2009/200 Tble des mtières Primitives 2. Définition, premières propriétés..................................... 2.2 Primitives des fonctions usuelles....................................

Plus en détail

Séquence 7. Intégration. Sommaire

Séquence 7. Intégration. Sommaire Séquence 7 Intégrtion Sommire. Prérequis. Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur [ ; ]. Primitives 4. Primitives et intégrles d une fonction continue 5. Synthèse de l séquence Dns ce

Plus en détail

Théorie de la mesure et intégration. J.C. Pardo

Théorie de la mesure et intégration. J.C. Pardo Feuille de TD 6. Théorie de l mesure et intégrtion. J.C. Prdo Exercices. Exo. 72 Soit f une fonction sur. On considère muni de l tribu B des boréliens et d une mesure λ sur B. On suppose que f est λ-loclement

Plus en détail

Fonctions de référence

Fonctions de référence Chpitre 7 Clsse de Seconde Fonctions de référence Ce que dit le progrmme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Fonctions de référence Fonctions linéires et fonctions ffines Vritions de l fonction

Plus en détail

Intégration, probabilités

Intégration, probabilités prép-greg 7-8 Intégrtion, probbilités Dns tous les exercices probbilistes, les vribles létoires sont supposées définies sur le même espce probbilisé (Ω, A, P). I Questions de cours L fonction t sin t t

Plus en détail

Chapitre 6 : Fonctions affines -28-01-12- Seconde 7, 2010-2011, Y. Angeli

Chapitre 6 : Fonctions affines -28-01-12- Seconde 7, 2010-2011, Y. Angeli Chpitre 6 : Fonctions ffines -8-01-1- Seconde 7, 010-011, Y. Angeli 1. Éqution réduite d une droite Théorème. Dns un repère, soient A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) tels que x A x B. Alors l droite (AB) est

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011

Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011 Baccalauréat S Métropole 1 juin 011 EXERCICE 1 Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment. 4 points Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10 4. Dans un pays,

Plus en détail

Cours de DEUG Méthodes mathématiques pour les sciences de la vie I. Avner Bar-Hen

Cours de DEUG Méthodes mathématiques pour les sciences de la vie I. Avner Bar-Hen Cours de DEUG Méthodes mthémtiques pour les sciences de l vie I Avner Br-Hen Université Aix-Mrseille III 3 Tble des mtières Tble des mtières i Fonctions, limites, continuité Fonction, représenttion grphique......................

Plus en détail

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1 Grenoble INP Pgor 1ère nnée Exercices corrigés Anlyse numérique NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durnt les sénces de cours. Les corrections données sont des corrections plus

Plus en détail

Mathématiques du signal déterministe

Mathématiques du signal déterministe Conservtoire Ntionl des Arts et Métiers MAA17 Mthémtiques du signl déterministe Nelly POINT 11 octobre 211 Tble des mtières 1 Intégrtion 3 1.1 Méthodes d intégrtion : rppels........................ 3

Plus en détail

Majorations de l erreur dans les calculs classiques de valeurs approchées d intégrale. Notes pour la préparation au CAPES - Strasbourg- février 2006

Majorations de l erreur dans les calculs classiques de valeurs approchées d intégrale. Notes pour la préparation au CAPES - Strasbourg- février 2006 Mjortions de l erreur dns les clculs clssiques de vleurs pprochées d intégrle Notes pour l préprtion u CAPES - Strsbourg- février 00 On trouve dns différents ouvrges élémentires des démonstrtions à coup

Plus en détail

Les intégrales. f(x) dx. f(x) dx est appelée intégrale définie, c est un nombre. La variable x ne sert qu à décrire la fonction f, on a b

Les intégrales. f(x) dx. f(x) dx est appelée intégrale définie, c est un nombre. La variable x ne sert qu à décrire la fonction f, on a b Les intégrles Introduction Etnt donnée une fonction positive f définie sur un intervlle borné [, b], on veut évluer l ire comprise entre l e des bscisses, l courbe représentnt f et les verticles = et =

Plus en détail

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers l dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chpitre Chpitre 20 Intégrtion Sommire 20.1 Continuité uniforme.................................

Plus en détail

Chapitre 10 Intégrales. Table des matières. Chapitre 10 Intégrales TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 10 Intégrales. Table des matières. Chapitre 10 Intégrales TABLE DES MATIÈRES page -1 Chpitre Intégrles TABLE DES MATIÈRES pge - Chpitre Intégrles Tble des mtières I Exercices I-................................................ I-................................................ I-................................................

Plus en détail

Fonctions définies par une intégrale. On suppose que g et h sont deux fonctions réelles définies sur R d, telles que la fonction

Fonctions définies par une intégrale. On suppose que g et h sont deux fonctions réelles définies sur R d, telles que la fonction Prép. Agrég. écrit d Anlyse, Annexe n o 6. Méthode de Lplce dns R d Fonctions définies pr une intégrle On suppose que g et h sont deux fonctions réelles définies sur R d, telles que l fonction F(t = g(x

Plus en détail

Intégration. Intégrale d une fonction. II - Interprétation graphique : calcul d aire. 1) Aire d une fonction positive. T ale STI

Intégration. Intégrale d une fonction. II - Interprétation graphique : calcul d aire. 1) Aire d une fonction positive. T ale STI Intégrtion T le STI I - Intégrle d une fonction Définition Soit F une primitive de l fonction f sur [; ], lors, on note Exemple : Clcul de Clcul de 4 (3x ) dx = = [F(x)] = F() F() xdx : Une primitive de

Plus en détail

COMPARAISON DE FONCTIONS

COMPARAISON DE FONCTIONS Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot COMPARAISON DE FONCTIONS 1 Notion de voisinge Définition 1.1 Voisinge Soit R = R {± }. On ppelle voisinge de une prtie de R contennt un intervlle de l forme :

Plus en détail

gfaubert septembre 2010 1

gfaubert septembre 2010 1 Notes de cours Pour l e secondire Compiltion et/ou crétion Guyline Fuert Septemre 00 gfuert septemre 00 Géométrie------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence de Mathématiques, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence de Mathématiques, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence de Mthémtiques, première nnée Lurent Michel Automne 2011 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

DEUG MIAS 1 Année 2002-2003 Premier et deuxième semestres Feuilles de Cours

DEUG MIAS 1 Année 2002-2003 Premier et deuxième semestres Feuilles de Cours Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 1 DEUG MIAS 1 Année 2002-2003 Premier et deuxième semestres Feuilles de Cours Toutes les fiches de cours distribuées ux étudints pendnt l nnée

Plus en détail

Chapitre 6 : Fonctions Logarithme Népérien

Chapitre 6 : Fonctions Logarithme Népérien Lycée Pul Sbtier, Cstelnudry Clsse de T`le STG Chpitre 6 : Fonctions Logrithme Népérien D. Zncnro et C. Aupérin 008-009 Téléchrger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modifiction

Plus en détail

Calcul int egral. 15 d ecembre 2008

Calcul int egral. 15 d ecembre 2008 Clcul intégrl. 15 décembre 2008 2 Tble des mtières I Intégrles multiples 5 1 Rppels sur l intégrle définie des fonctions d une vrible. 7 1.1 Motivtions................................ 7 1.1.1 Cs des fonctions

Plus en détail

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3 Reltions binires Mrc SAGE 8 octobre 007 Tble des mtières Amuse gueule Combintoire dns les quotients 3 Problème d extrém 3 4 Un théorème de point xe 3 5 Sur l conjugisons dns R 3 6 Sur les corps totlement

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 2011 ACADEMIE DE BESANÇON

OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 2011 ACADEMIE DE BESANÇON OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 2011 ACADEMIE DE BESANÇON Durée : 4 heures Les clcultrices sont utorisées. Le sujet comprend qutre exercices indépendnts qui peuvent être trités dns l'ordre que

Plus en détail

EPUUniversité de Tours

EPUUniversité de Tours DI 3ème nnée EPUUniversité de Tours Déprtement Informtique 007-008 ANALYSE NUMERIQUE Chpitre 3 Intégrtion numérique résumé du cours 1 Introduction Il s git d une mniére générle de déterminer, le mieux

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin

Plus en détail

COURS DE MATHÉMATIQUES

COURS DE MATHÉMATIQUES COURS DE MATHÉMATIQUES Terminle S Vlère BONNET vlere.bonnet@gmil.com) 9 mi Lycée PONTUS DE TYARD rue des Gillrdons 7 CHALON SUR SAÔNE Tél. : ) 85 46 85 4 Fx : ) 85 46 85 59 FRANCE ii LYCÉE PONTUS DE TYARD

Plus en détail

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Cours de Mthémtiques TS Lycée Henri IV Tble des mtières I Les nombres complexes 7 Rcines n ième d un nombre complexe non nul 7. Définition.................................................... 7.2 Représenttion

Plus en détail

Analyse 1 L1-mathématiques

Analyse 1 L1-mathématiques Anlyse L-mthémtiques Renud Leplideur Année 3-4 UBO Tble des mtières Inéglités et clculs 3. Nombres..................................... 3.. Les ensembles N, Z, Q et R...................... 3.. Les intervlles

Plus en détail

LE RESEAU RECIPROQUE solution

LE RESEAU RECIPROQUE solution LE RESEU RECIPROQUE solution L pge 85 de votre poly de physique est conscrée à l définition du réseu réciproque, un concept initilement introduit pr J.W. Gibbs (189-190). Ce concept, plutôt bstrit, est

Plus en détail

ANALYSE APPROFONDIES II MT242

ANALYSE APPROFONDIES II MT242 ALGÈBRE ET ANALYSE APPROFONDIES II MT242 Année 1998-1999 Chpitre 0. Introduction générle Dns cette introduction nous llons commenter les principles notions contenues dns le cours du second semestre, leurs

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

CALCULATRICE AUTORISEE

CALCULATRICE AUTORISEE Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages

Plus en détail

Chapitre 9: Primitives et intégrales

Chapitre 9: Primitives et intégrales PRIMITIVES ET INTEGRALES 7 Chpitre 9: Primitives et intégrles Prérequis: Limites, dérivées Requis pour: Emen de mturité 9. «À quoi ç sert?» Un peu d histoire Isc Newton (64-77) Les clculs d ire de figures

Plus en détail

Fonctions affines ; Equations et inéquations

Fonctions affines ; Equations et inéquations Fonctions ffines ; Equtions et inéqutions I. Fonctions ffines.. Définition Définition d une fonction ffine : on ppelle fonction ffine toute fonction définie sur pr f ( ) où et sont des réels tels que.

Plus en détail

Kit de survie - Bac ES

Kit de survie - Bac ES Kit de survie - c E Etude du signe d une eression - igne de + b ( 0) On détermine l vleur de qui nnule + b, uis on lique l règle : "signe de rès le 0". +b b/ + signe de ( ) signe de - igne de + b + c (

Plus en détail

LE PUITS DOUBLE L EXEMPLE STANDARD DE LA MOLECULE D AMMONIAC I. EXERCICE PRELIMINAIRE: EFFET TUNNEL

LE PUITS DOUBLE L EXEMPLE STANDARD DE LA MOLECULE D AMMONIAC I. EXERCICE PRELIMINAIRE: EFFET TUNNEL Préceptort de Mécnique Quntique 1 ère nnée Florent Krzkl, PCT, Bureu F.3-14 LE PUITS DOUBLE L EXEMPLE STANDARD DE LA MOLECULE D AMMONIAC I. EXERCICE PRELIMINAIRE: EFFET TUNNEL I-1/ Soit une brrière de

Plus en détail

Variables aléatoires à densité

Variables aléatoires à densité Vribles létoires à densité Rppels : Une vrible létoire réelle (VAR) est une ppliction X : Ω R où (Ω,A,P) est un espce probbilisé. Lorsque X(Ω) est un ensemble discret on dit que X est une VAR discrète.

Plus en détail

Table des matières Dénombrer et sommer Événements et Probabilités

Table des matières Dénombrer et sommer Événements et Probabilités Tble des mtières 1 Dénombrer et sommer 5 1.1 Rppels ensemblistes............................. 5 1.1.1 Opértions ensemblistes....................... 5 1.1.2 Bijections............................... 7 1.2

Plus en détail

Partie 1 - Calcul d une probabilité

Partie 1 - Calcul d une probabilité Essec mths 3 voie E 2014 1 Option économique Mthémtiques Essec 2014 (mths 3) vendredi 8 mi 2014 Ce problème est constitué de trois prties. Les résultts de l prtie 1 sont utilisés dns les prties 2 et 3.

Plus en détail

Chapitre 1. Dénombrer et sommer. 1.1 Rappels ensemblistes. 1.1.1 Opérations ensemblistes

Chapitre 1. Dénombrer et sommer. 1.1 Rappels ensemblistes. 1.1.1 Opérations ensemblistes Chpitre 1 Dénombrer et sommer Compter des objets et fire des dditions, voilà bien les deux ctivités les plus élémentires à l bse des mthémtiques. Et pourtnt à y regrder de plus près, ce n est ps si fcile.

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................

Plus en détail

2. Formules d addition.

2. Formules d addition. IX. Trigonométrie 1. Rppels 1.1 Définitions : Dns le cercle trigonométrique C ( O, 1 ), si nous fixons un point P correspondnt à un ngle d mplitude nous vons défini : = bscisse du point P sin = ordonnée

Plus en détail

Stage olympique de Cachan Géométrie

Stage olympique de Cachan Géométrie Stge olympique de chn Géométrie Exercices du vendredi 20 février 2015 1 Quelques définitions et résultts utiles éfinition (Nottions) Soit un tringle non plt. On utiliser usuellement les nottions suivntes

Plus en détail

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique.

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique. C39211 Ecole Normle Supérieure de Cchn 61 venue du président Wilson 94230 CACHAN Concours d dmission en 3 ème nnée Informtique Session 2009 INFORMATIQUE 1 Durée : 5 heures «Aucun document n est utorisé»

Plus en détail

UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE UFR DE GESTION

UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE UFR DE GESTION UNIVERSITE PRIS PNTHEON SORBONNE UFR DE GESTION MTHEMTIQUES PPLIQUEES L ECONOMIE ET L GESTION LICENCE nnée Cours de Thierry LFY TRVUX DIRIGES semestre 7-8 Thème n : Rppels Eercice Déterminez l ensemble

Plus en détail

Cours d Analyse Mathématique II

Cours d Analyse Mathématique II Année 22-23 Cours d Anlyse Mthémtique II F. Bstin Prise de notes rédigée pr Alice Slmon. Avec l prticiption de : Nicols Ghye (schéms) Sndy Assent (relecture) Préfce Avertissement Ce texte résulte d une

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I..

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. TS-cours-chp2-1 - LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. Limite d une suite 1 / tend vers l infini Définition ( rppel ) Dire que l suite tend vers + signifie que, pour tout nombre A, l intervlle [A ; +

Plus en détail

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications.

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications. LEÇON N 67 : Formules de Tylor. Applictions. Pré-requis : Théorème de Rolle, théorème des Accroissements Finis ; Intégrtion pr prties ; Nottions de Lndu. 67. Résultts globux 67.. Formule de Tylor-Lgrnge

Plus en détail

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers Chpitre 5 Intégrtion Nous llons construire l intégrle pr un procédé de pssge à l limite. D bord on définit l intégrle des fonctions en escliers, ensuite on psse à l limite pour intégrer des fonctions plus

Plus en détail

8. Primitives d'une fonction et intégrales

8. Primitives d'une fonction et intégrales 8. Primitives d'une fonction et intégrles I- Usge du tleu des dérivées Compléter les tleu et en précisnt le numéro des lignes utilisées. Tleu N f () f ' () -... Fonction f f () + érivée f ' f ' ()......

Plus en détail

Primitives et Calcul d une intégrale

Primitives et Calcul d une intégrale Primitives et Clcul d une intégrle I) Primitive ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I, toute fonction F dérivle sur I dont l dérivée F est égle à

Plus en détail

Chapitre 13 : intégration sur un intervalle quelconque : théorie

Chapitre 13 : intégration sur un intervalle quelconque : théorie Mth Spé MP Chpitre 13 : intégrtion sur un intervlle quelconque : théorie 19/1/2012 1 Cs des onctions à vleurs dns R + Déinition : onction continue pr morceux sur un intervlle : Une onction : K où (K =

Plus en détail

Limite d une fonction à l infini

Limite d une fonction à l infini CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES Limite d une fonction à l infini et s courbe repré-. Limite finie d une fonction à l infini Soit f une fonction définie sur un intervlle [ ; + [ senttive. L

Plus en détail

Résumé du cours d analyse de Sup et Spé

Résumé du cours d analyse de Sup et Spé Résumé du cours d nlyse de Sup et Spé 1 Topologie 1.1 Normes, normes équivlentes Une norme sur le K-espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x) 0 (positivité) x E, (N(x) = 0 x

Plus en détail