I. Sous-espace affine d un -espace vectoriel

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1 Chp 9 : Géométre e I. Sous-espce e d u -espce vectorel est u ev L trslto de vecteur est : τ v v (, ) ( S( ), ) est u morphsme de groupe T( ) = { trsltos } est u groupe commutt τ F est u sous-espce e de s'l est l'mge pr ue trslto d'u sev F de : F = τ ( F) ( ) Tout sev est u se est u se de : O ote le se de Les élémets de sot ppelés pots de l'espce e O dspose d'ue becto M OM où O est le pot de ssocé à Déto d'u espce e : esemble de pots tel qu'l exste u ev (l drecto de ) : A,, ϕa( ) = A= A, ϕa remplt ces codtos : ϕa( ) = A AC,,, ϕa( C) = ϕa( ) ϕ( C) A, ϕ est doc ue becto qu permet d'deter à (o se xe A comme orge), A A xé, ssocé à. ssocé à b, l exste u uque vecteur v = b = A = O OA ( A, C) A = A = AC = A C est ue becto d'verse : o ote = A vu, = A A vl'uque tq A = v S A est le pot de ssocé à, o peut oter F = τ ( F) = A F où F sev de O ' ps de lc / sur, ce e sot que des ottos F se de. Il exste u uque sev F de tel que F = τ ( F), où. Ce sev F est ppelé drecto de F Preuve : F = τ( F) = τc( G).. Mq F = { A / }, G = { C}. u F : u = A = AC C F = A F, G = G deux se de. sot vde F G est sot u se de drecto F G = CA Preuve : C F G ( M F G CM F et CM CM F G M C ( F G)) ev de dm e. F se de, o dét l dmeso de F comme étt l dmeso de s drecto

2 II. Applctos es ser u espce e ssocé à u ev et e.. de drectos e F. F(, ) est ue pplcto e s'l exste A et L( F, ) tq : M, ( A) ( M) = ( AM), c'est à dre ( M) = ( A) ( AM) O lors, pour tout b, M, ( M) = ( ) ( M) est ppelée prte lére de Preuve : ( ) ( M ) = ( ) ( A) ( A) ( M ) = ( AM ) ( M ) = ( AM A) = ( M ) et g pplctos es de vers et de vers g est ue pp. e de prte lére g A ( ) = { F(, ) pplcto e} A ( ), A.!( u, g A ( ) ) tq g( A) = A et = τ g u A ( ), Ω= { pots xes de }. O : sot Ω=, sot Ωest u se de drecto ker( Id ) A ( ) et ( Id) l( ) u uque pot xe M ds ) A ( ) est ue trslto ss = Id A ( ) est ue homothéte de rpport λ ss = λid ( M = ( Id ( ( ) )) { homothéte s de (de rpport o ul) } { trsltos de } orme u groupe ( pour ) A ( ) est bectve de ds ss Gl( ) GA( ) = { A ( ) bectve } est u groupe Preuve :. ( M) = M = A ( ) ( ( A) ) cotr: o sur w Im, ( A) w Im. A? = ( A) ( ) ( M ) = A ( M ) = ( ) ( ( A) ( ( M )) = ( ) ( M ) III. rcetres et covexté λ A λ λ λ {( A, ), } pots podérés (( A... ),(... ), vec ) Il exste u uque pot G = r{( A, λ ), } tel que λ GA = G est le brcetre du sstème de pots {( A, λ ), } *, r{( A, λ), } = r{( A, λ), } G = r{( A, λ ), }, G = λ A O ote, s λ =, G = λ A λ G = r{( A, λ), }, = λ p G = r{(, µ ), p}, β = µ r{( A, λ)...( A, λ ),(, µ )...( p, µ p)} = r{( G, ),( G, β)} β

3 F (, ) est ue pplcto e ss elle préserve les brcetres Preuve : ( λga) = = λ ( G) ( A) prés. br : Mq ϕ: v ( A) ( A v) l * M = A u, N = A v, D = N u : D = r{( A, ), ( M,), ( N,)}... ϕ( u v) = ϕ( u) ϕ( v) * ; = A v, C = A v; C = r{( A, ),(, )} ( C) = r{( ( A), ),( ( ), )}... F et G deux se de drectos F et G : F est prllèle à G s F G, F et G sot prllèles etre eux s F = G F// G F G= ou F G= F Ue pplcto e préserve le prllélsme : s F est u se de drecto F et A ( ), ( F) est u se de drecto ( F) O se plce désorms e dmeso e U repère cr tése d'ue bse (... ) : (,(... )) de est l doée d'u pot Ω et = e e de R = Ω e e Chgemet de repère : R = ( O,( u... u )) utre repère de. Sot P mtrce de pssge de à Sot M, X = Mt ( OM), X = Mt( ΩM), XΩ = Mt ( OΩ) O : X O = X Ω PX Sot A ( ), A = Mt ( ), = Mt ( ( )), ( ) et ( ( )), o : O O X = Mt OM Y = Mt O M Y = AX ( A... A) sot e posto géérle s ( AA... AA ) orme ue mlle lbre e de dmeso et de drecto.( A... A ) pots e posto géérle. Pour tout M λ =, l exste u uque ( λ... λ ) tel que = { λ ( λ... λ ) sot les coordoées brcetrques de M M r ( A, ),, } Preuve : ( AA... AA ) bse de xstece et ucté coordoées de AM ds ( AA... AA ) (, β, ) ses coordoées brcetrques ds ( AC,, ) P P ( x, ) ses coordoées crtésees ds R = ( Oe,, e) ( M, M, M),,, M :,, lgés x x x = β β β M M M ss ss ( ) A = ( A, e... e) repère de. et ( v... v),! A ( ) tel que, ( e) = v A A A, ( A ) = (... ) pots d e e posto géérle. (... ),! ( ) tel que F est u se de ss l est stble pr brcetre Preuve : AG = λ AA F... r{( A, β),(, ), ( C, β)} F F = A F se λ = = =

4 ( A, ), [ A, ] {( t) A tt, [,]} { r{( A, ),(, ),(, ) \{(,)}} = = β β C est covexe s ( A, ) C, [ A, ] C U se est covexe Toute prte C est covexe ss elle est stble pr brcetres à coecets posts Preuve : rec : S =,, =. So, brcetre prtel S ( C ) J est ue mlle de prtes covexes, C est covexe J Il exste ue uque plus pette prte covexe cotet A : c'est l'eveloppe covexe de A ( C ) L'eveloppe covexe de A est l'esemble des brcetres à coecets posts de pots de A Preuve : Γ= { br coe pts de A}. C evp cvxe AC. stble pr br Γ C, Asso br Γ cvxe p A ( ) tel que p p= p p est u proecteur vectorel de sur F = Im p prllèlemet à G = ker p L'esemble des pots xes de p est F se de drecto F, pour tout A, Ap( A) p est l proecto sur F prllèlemet à G A,! F = C F tq A G: = p( A) = C u où CA= u v vec u F et v s A ( ) tel que s s = Id s est ue smétre vectorelle pr rpport à F = ker( s Id), prllèlemet à G = ker( s Id ). As( A) A, A sa ( ) déterme u uque pot s( A) F = { pts xes de s} se de dr F A C C cvxe IV. Géométre e eucldee ser désorms u ev euclde, de produt sclre.. et de orme ssocée. ( A, ), o dét d( A, ) = A. d est ue dstce sur F et G deux se de drectos F et G. F et G sot orthogoux s F et G sot orthogoux F se de drecto F Le proecteur orthogol sur F est le proecteur sur F prllèlemet à F M, M ' = p( M) M ' F et MM ' F L smétre orthogole p/r F est l smétre p/r F prllèlemet à F M M ' M, M ' = s( M ) F et MM ' F Ue rélexo e est ue smétre orthogole pr rpport à u hperpl e 4

5 A ( A, ), l exste ue uque rélexo e telle que s( A) = ( F = Vect( A) ) A ( A ( ) est ue sométre ss ( ) ) est ue sométre s elle préserve l dstce : ( A, ), d( ( A), ( )) = d( A, ) Isom ( ) = Is( ) = { sométre de } est u sous groupe de GA( ) Isom( ) est ue sométre drecte s SO( ) ( préserve l'oretto), ue sométre drecte so Isom ( ) = { sométres drectes de } Déplcemet : sométre drecte. Atdéplcemet : sométre drecte Ue sométre préserve : brcetre, lgemet, prllélsme, dstce, orthogolté et gle (o oreté) dm = Isom ( ) est l'esemble des rottos et des trslto du pl S Isom( ) est drecte, = t s vec s sm p/r D = A u et w Vect( u) Les rélexos egedret les sométres dm = Isom ( ) = t r où r rotto d'xe D = A u et v Vect( u) v U tel est ppelé vssge d'xe D d' gle θ et de vecteur v Les rottos d'gle π sot ppelées retouremets w * Ue smltude de rpport est ue pplcto A ( tq, k ) : ( A, ) d( ( A), ( )) = kd( A, ) ( ) = ϕ ϕ ( ) * est ue smltude drecte s elle préserve l'oretto ss det( ) > ss = kϕ, k, ϕ SO( ) * * est ue smltude d e ss càd k où k, Ue smltude coserve : brcetre, lgemet, prllélsme, orthogolté, et gle (o oreté) lle multple les dstce pr k, les res pr k dm = Smltudes drectes : de l orme : M ( z) M '( z ') où z ' = z b (, b) * Smltudes drectes : : z z b sa ( ) = A' Soe t A, A, ', ', A et A' '! Sm ( ) tq s ( ) = ' za b = z Preuve : z b = z A' ' det = z z uque sol., so z = b= z prtque, s S = ( A) ( A' '), Ω C C A ( SAA') ( S ') A' (thm gles scrts) ' 5