Autour des fonctions vectorielles

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1 NOTES DE COURS Chap GEO01 Auour des foncions vecorielles Cadre de ravail e/ou noaions uilisées Dans ou ce qui sui, I désignera un inervalle non vide e non rédui à un poin de R, e n désignera un enier naurel supérieur ou égal à 2 1 NOTION DE FONCTION VECTORIELLE FONCTION VECTORIELLE Def1 On appelle foncion vecorielle oue applicaion f définie sur I à valeurs dans R n : En pariculier : f : I R n x 1,x 2,,x n une foncion vecorielle à valeurs dans R 2 es une applicaion f où : f : I R 2 x, y où les deux foncions numériques x : I R e x y : I R son appellées les foncions coordonnées y de f Ainsi : I, f x, y l image par f de es un élémen de R 2 une foncion vecorielle à valeurs dans R 3 es une applicaion f où : f : I R 3 x, y, z où les rois foncions numériques x : I R x y : I R y e z : I R z appellées les foncions coordonnées de I, f x, y, z l image par f de es un élémen de R 3 son, f Ainsi : App1 ENSEMBLE DE D UNE FONCTION VECTORIELLE À VALEURS DANS R 2 La foncion vecorielle f : 3ln, es donc une foncion vecorielle à valeurs dans La première foncion coordonnée de la foncion f es l applicaion x : R La deuxième foncione coordonnée de la foncion f es l applicaion y : R La foncion vecorielle f es définie seulemen sur e ainsi : f : R 2 3ln, App2 La foncion vecorielle f π : ln,an, Les foncions coordonnées son les foncions : x : R 2 y : ENSEMBLE DE D UNE FONCTION VECTORIELLE À VALEURS DANS R 3 es une foncion vecorielle à valeurs dans R z : R La foncion vecorielle f es définie seulemen sur Cpge Tsi2 2018/19 Mahémaiques 1 AUTOUR DES FONCTIONS VECTORIELLES Chap GEO01

2 2 LIMITE ET CONTINUITÉ D UNE FONCTION VECTORIELLE LIMITE D UNE FONCTION VECTORIELLE Def2 Soi a I ou une des bornes finie ou non de I e On di que f En pariculier : adme une limie finie en a lorsque TOUTES f : I R n x 1, x 2,, x n ses foncions coordonnées admeen une limie finie en a pour f : I R 2 x, y : pour f : I R 3 x, y, z : Si x x 1 R e y a a y 1 R, on dira que f adme x1, y 1 comme limie lorsque end vers a, e on noera alors : lim f x1, y 1 ou encore f x1, y 1 a a R 2 R 2 Si x x 1 R e y a a y 1 R e z a z 1 R, on dira que f adme x 1, y 1, z 1 comme limie lorsque end vers a, e on noera alors : lim f x1, y 1, z 1 ou encore f x1, y 1, z 1 a a R 3 R 3 Ainsi, dès lors que l une des foncions coordonnées n adme pas de limie finie lorsque end vers a, la foncion vecorielle f n adme pas de limie finie lorsque end vers a LIMITE D UNE FONCTION VECTORIELLE EN UN POINT App3 f : ]0;+ [ R 2 ln,e ln 0 Il es immédia que soi Par conre soi ln 1 e 1 e 0 e donc que f lorsque e donc que f f : ]0;+ [ R 3 sin, ln, cos 1 On a : 2 sin 0 donc sin 0 Par croissance comparée ln 0 cos 1 0 donc cos Donc il vien que f 0 CONTINUITE D UNE FONCTION VECTORIELLE ÉTUDE DE LA CONTINUITÉ D UNE FONCTION VECTORIELLE Def3 Soi a I On di que f es coninue en a lorsque TOUTES ses foncions coordonnées son coninues en a On di que f es coninue sur I lorsque TOUTES ses foncions coordonnées son coninues sur I Me1 MÉTHODE L éude de la coninuié d une foncion vecorielle f se ramène donc à l éude de la coninuié de ses foncions coordonnées qui son des foncions numériques définies sur I à valeurs dans R e on s appuie ainsi sur ous les résulas vus en première année sur ces foncions Cpge Tsi2 2018/19 Mahémaiques 2 AUTOUR DES FONCTIONS VECTORIELLES Chap GEO01

3 CONTINUITÉ D UNE FONCTION VECTORIELLE STRUCTURE VECTORIELLE DE C I,R n Ex1 EXEMPLE La foncion vecorielle f : R R 2 es e, coninue sur R puisque les deux foncions coordonnées le son La foncion vecorielle f : ] 1;1[ R 3 cos,, 3 es coninue en ou poin de ] 1;0[ e de ]0;1[, mais n es pas coninue en 0 puisque sa foncion coordonnée ne l es pas Pr1 L ensemble C I,R n des foncions coninues sur I à valeurs dans R n es un R espace vecoriel 3 DÉRIVABILITÉ ET CLASSE D UNE FONCTION VECTORIELLE DÉRIVABILITÉ D UNE FONCTION VECTORIELLE Def4 Soi a I e On di que f f : I R n x 1, x 2,, x n es dérivable en a lorsque TOUTES ses foncions coordonnées son dérivables en a En noan pour ou I, f x1,, x n, on noera alors f a x 1 a, x 2 a,, x n a la dérivée de f en a En pariculier : pour f : I R 2 x, y : pour f : I R 3 x, y, z : Si x : x e y : y son dérivables en a, on dira que f es dérivable en a e dans ce cas : f a x a, y a Si x : x e y : y e z : z son dérivables en a, on dira que f es dérivable en a e dans ce cas : f a x a, y a, z a On dira alors que f dérivables sur I es dérivable en ou poin de I ou plus simplemen sur I lorsque TOUTES ses foncions coordonnées son Noes personnelles Encar n o 1 App4 DÉRIVÉE D UNE FONCTION VECTORIELLE Déerminer la dérivée en 0 de la foncion vecorielle f où : f : [ 1;1] R 3 ln 1+e,an,arccos Cpge Tsi2 2018/19 Mahémaiques 3 AUTOUR DES FONCTIONS VECTORIELLES Chap GEO01

4 ÉTUDE DE LA DÉRIVABILITÉ D UNE FONCTION VECTORIELLE TRANSFERT DE LA NOTION DE LA LIMITE À GAUCHE ET À DROITE Me2 MÉTHODE L éude de la dérivabilié d une foncion vecorielle f se ramène donc à l éude de la dérivabilié de ses foncions coordonnées qui son des foncions numériques définies sur I à valeurs dans R e on pourra s appuyer ainsi sur ous les résulas vus en première année sur ces foncions Rem1 REMARQUE On peu pour les foncions vecorielles, définir les noions de limie à gauche e à droie, coninuié à gauche e à droie, dérivabilié à gauche e à droie, à l aide de ces mêmes conceps sur les foncions numériques CLASSE D UNE FONCTION VECTORIELLE Def5 Soi k N {+ } On dira que la foncion vecorielle f : I R n TOUTES ses foncions coordonnées son de classe C k sur I x 1, x 2,, x n Lorsque f es de classe C k sur I avec k N, on défini alors la dérivée k e de f par: I, es de classe C k sur I lorsque f k x k 1, xk 2,, xk n En pariculier pour ou k N : Si la foncion vecorielle f : I R 2 x, y es de classe C k sur I, il vien que : I, f k x k, y k Si la foncion vecorielle f : I R 2 x, y, z es de classe C k sur I, il vien que : I, f k x k, y k, z k STRUCTURE VECTORIELLE DE C k I,R n Pr2 L ensemble C k I,R n des foncions de classe C k définies sur I e à valeurs dans R n es un R espace vecoriel OPÉRATIONS DANS C k I,R n Pr3 Soien f : I R n e g : I R n deux foncions vecorielles dérivables sur I Alors : f + g f + g e λ R, λ f λ Si ϕ : I R es dérivable sur I, alors la foncion f ϕ f : I R n es dérivable sur I e : ϕf ϕ f +ϕ f Cpge Tsi2 2018/19 Mahémaiques 4 AUTOUR DES FONCTIONS VECTORIELLES Chap GEO01

5 4 QUELQUES COMPLÉMENTS PAR ANTICIPATION SUR R 2 ET R 3 Def6 Soien u x, y R 2 e v x, y R 2 u On défini le produi scalaire noé v de u e v par : u v x x + y y PRODUIT SCALAIRE DE DEUX ÉLÉMENTS DE R 2 OU R 3 Soien u x, y, z R 3 e v x, y, z R 3 u On défini le produi scalaire noé v de u e v par : u v x x + y y + z z Le produi scalaire ainsi défini sur R 2 e R 3 appelé produi scalaire canonique, possède les propriées suivanes : u v Caracère symérique : v u u λ u u Caracère linéaire à droie : λ R, v + w λ v + w u Caracère posiif : u 0 u u Caracère défini : u 0 es le veceur nul On défini alors la norme du veceur u de R 2 ou R 3 noée u par : u u u Pr4 f Soien, g C 1 I,R 2 C 1 I,R 2 f La foncion g : I R f g classe C 1 sur I e on a : DÉRIVATION D UN PRODUIT SCALAIRE f f g f g + g es de Si de plus la foncion f se s annule pas sur I, la foncion f : I R es de classe C 1 sur I e on a : f f f f f Élémens de preuve: On suppose que : I, définiion : I, f g x 1 x 2 + y 1 y 2 e f x1, y 1 e g x 2, y 2 Par f Par opéraions sur les foncions dérivables, il vien que : f I, g x1 x 2 + y 1 y 2 x y 2 1 x 1 x 2 + x 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 y 2 f f g + g I, f x x2 2x 1 x 1 +2y 1 y 1 2 x y 1 2 f f f Def7 Soien u x, y R 2 e u x, y R 2 u On défini le déerminan noé de, v de u e v par : u de, v x y x y Le déerminan de, de deux veceurs ainsi défini possède les propriéés suivanes : u v Caracère anisymérique : de, v de, u Caracère bilinéaire : pour ou λ R DÉTERMINANT DE DEUX ÉLÉMENTS DE R 2 u u u de,λv + w λde, v + de, w de λ u + v, u v w λde, w + de, w Pr5 f Soien, g C 1 I,R 2 C 1 I,R 2 f La foncion de, g : I R f de, g de classe C 1 sur I e on a : DÉRIVÉE D UN DÉTERMINANT f f de, g de f, g + de, g Élémens de preuve: On suppose que : I, f x1, y 1 e g x2, y 2 Par définiion : f I, de, g x 1 y 2 x 2 y 1 Par opéraions sur les foncions dérivables, il vien que : f I, de, g x1 x 2 y 1 y 2 es x 1 y 2 + x 1 y 2 x 2 y 1 x 2 y 1 f de, f g +de, g Cpge Tsi2 2018/19 Mahémaiques 5 AUTOUR DES FONCTIONS VECTORIELLES Chap GEO01

6 Rem2 REMARQUE EXTENSION AUX FONCTIONS VECTORIELLES À VALEURS DANS R 3 La formule donnan la dérivée d un produi scalaire de deux foncions vecorielles ou la norme d une foncion vecorielle es encore valable pour les foncions définies sur I à valeurs dans R 3 En ce qui concerne le déerminan, ce résula es à adaper avec la définiion du déerminan de rois veceurs de l espace que l on ranspose ici aux élémens de R 3 pour consruire le déerminan de rois foncions vecorielles à valeurs dans R 3 Noes personnelles Encar n o 2 App5 DÉRIVATION D UN PRODUIT SCALAIRE Soien f : R R 2 e g : R R 2 cos,sin sin,cos f Expliciez la dérivée de la foncion g Def8 Soien u x, y, z R 3 e v x, y, z R 3 PRODUIT VECTORIEL DANS R 3 On défini le produi vecoriel noé u v de u e v par : y y u v z z, x x z z, x x y y R 3 Pr6 f Soien, g C 1 I,R 3 C 1 I,R 3 La foncion f g : I R 3 C 1 sur I e on a : DÉRIVÉE D UN PRODUIT VECTORIEL f g f g f g + f g es de classe Le produi vecoriel de deux veceurs ainsi défini possède les propriéés suivanes : Caracère anisymérique : u v v u Caracère bilinéaire : pour ou λ R u λ v + w λ u v + u w λ u + v w λ u w + v w Cpge Tsi2 2018/19 Mahémaiques 6 AUTOUR DES FONCTIONS VECTORIELLES Chap GEO01

7 5 DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS DE FONCTIONS VECTORIELLES Cadre de ravail e/ou noaions uilisées Dans ou ce paragraphe, e sauf menion conraire, n désigne un enier naurel égal à 2 ou à 3, e f une foncion vecorielle définie sur I à valeurs dans R n avec : f : I R n x, y ou x, y,z NOTION DE NÉGLIGEABILITÉ MONTRER LE CARACTÈRE NÉGLIGEABLE Def9 Soi 0 I e ϕ : I R ϕ On di que la foncion vecorielle f au voisinage de 0 e on noe f f o 0 ϕ es négligeable devan ϕ o ϕ lorsque TOUTES 0 les foncions coordonnées de f son négligeables devan ϕ au voisinage de 0 Cela revien à dire que : x o ϕ 0 y o ϕ 0 Me3 MÉTHODE Pour f : I R 2, pour monrer que f o ϕ, on doi 0 monrer que : x x o ϕ c es à dire par exemple que 0 ϕ 0 0 y o 0 ϕ c es à dire par exemple que y ϕ 0 0 Noes personnelles Encar n o 3 App6 FONCTION VECTORIELLE NÉGLIGEABLE Monrer que f o ϕ où f : R 0 R 2 sin 3,an 2 e 1 e ϕ : R R 2 DÉVELOPPEMENT LIMITÉ D UNE FONCTION VECTORIELLE Def 10 Soi 0 R el que f soi définie au voisinage de 0 On di que f adme un développemen limié d ordre p N au voisinage de 0 lorsqu il exise b0,, b p } R n R n {{ R n } el qu au p+ 1 fois voisinage de 0 on ai : f b 0 + b b p b p 0 + o 0 p 0 R n R n R n R R n R R n R Parie régulière du développemen limié de R }{{ n } f Rese du développemen limié Cpge Tsi2 2018/19 Mahémaiques 7 AUTOUR DES FONCTIONS VECTORIELLES Chap GEO01

8 Th1 THÉORÈME f adme un développemen limié d ordre p au voisinage de 0 EXISTENCE D UN DÉVELOPPEMENT LIMITÉ POUR UNE FONCTION VECTORIELLE TOUTES ses foncions coordoonnées admeen un DL p 0 En noan f P + o 0 0 p ce développemen limié e P P x,p y sa parie régulière pour f : I R 2, on a au voisinage de 0 : xp x + o 0 p 0 y P y + o 0 p 0 P P x,p y,p z sa parie régulière f : I R 3, on a au voisinage de 0 : xp x + o 0 p 0 y P y + o 0 p 0 z P z + o 0 p 0 OBTENTION D UN DÉVELOPPEMENT LIMITÉ POUR UNE FONCTION VECTORIELLE Me4 MÉTHODE La recherche du développemen limié d une foncion vecorielle au poin 0 revien à rechercher un développemen limié au poin 0 de chacune de ses foncions coordonnées DÉVELOPPEMENT LIMITÉ D UNE FONCTION VECTORIELLE App7 Soi f : R R 2 arcan2,e 2 Les foncions coordonnées de f son les foncions x : e y : arcan Les développemens limiés en 0 des foncions arcan e e son : e x + o 3 0 Ainsi, on obien que : y + o 3 0 Par conséquen : f + o 0 3, + o o o o 3 0 Développemen limié à l ordre 3 de la foncion vecorielle f en 0 FORMULE DE TAYLOR-YOUNG POUR LES FONCTIONS VECTORIELLES Th2 THÉORÈME Si f es une foncion vecorielle de classe C p sur I avec p N e si 0 I, alors f adme un développemen limié d ordre p au voisinage de 0 donné par : f f f f f p p 0 k k0 k! f k 0 + o 0 0 p 2 3! p! f n 0 + o 0 0 p UTILISATION DE LA FORMULE DE TAYLOR-YOUNG Rem3 REMARQUE Comme dans le cadre des développemens limiés pour les foncions numériques, cee formule n es uilisable que si l on a une informaion sur la classe de la foncion vecorielle sur laquelle on ravaille e que l on a calculé les dérivées successives de cee dernière! Cpge Tsi2 2018/19 Mahémaiques 8 AUTOUR DES FONCTIONS VECTORIELLES Chap GEO01

9 DÉVELOPPEMENT LIMITÉ À L AIDE DE LA FORMULE DE TAYLOR-YOUNG Ex2 EXEMPLE Soi f : R R 2 e y : cos son au moins de classe C 3 e,cos es de classe C 3 sur R sur R Ainsi, la foncion vecorielle f De puis, pour ou R : x e 2 e y cos x 2e 2 y sin x 4e 2 y cos x 3 8e 2 y 3 sin Donc un développemen limié à l ordre 3 en 0 de la foncion vecorielle f es : f f 0+ 0 f f f 3 0+ o 0 3 2! 3! 0 x0, y0 + x 0, y x 0, y x 3 0, y o ,1+ 2, , ,0+ o 3 0 Cpge Tsi2 2018/19 Mahémaiques 9 AUTOUR DES FONCTIONS VECTORIELLES Chap GEO01