Solution - TD Feuille 2 - Automates finis et expressions rationnelles

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Christophe Paul
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1 Solution - TD Feuille 2 - Automtes finis et expressions rtionnelles Informtique Théorique 2 - Unité JINPW Licence 3 - Université Bordeux Solution de l exercice : Pour tout l exercice, on note A = {, }. Expression régulière : A ()A. Automte : Expression régulière : + (( + ) ). Automte : 2 3. Automte : Automte :

Pour tout l exercice, on note A = {, }. Expression régulière : A ()A.

2 ,,,, 5. Expression régulière : ( ). Automte : Expression régulière : ( + ) n ( + ). Automte : 2 3 n 7. Le lngge L des mots contennt utnt de que de n est ps ps régulier. On v le prouver en utilisnt une technique de pompge (c est ussi ce type de technique qui est utilisée dns l preuve du lemme de l étoile) : On procède pr l surde. Imginons qu il existe un utomte A = (Q, q I, F, δ) pour L, on ppelle N son nomre d étts. Considérons mintennt le mot w = N+ N+, pr définition de L, w est ccepté pr notre utomte. Il existe donc une séquence d étts qui correspond à un execution de l utomte pour le mot w et qui est cceptnte, c est-à-dire une séquence q,..., q 2N+2 Q telle que : q = q I l étt intil. Pour tout i {, N} : (q i, ) q i+ δ. Pour tout i {N +, 2N + } : (q i, ) q i+ δ. q 2N+2 F l ensemle des étts finux. Or on sit pr hypothèse qu il existe exctement N étts dns Q, donc il existe u moins deux indices i < i 2 {, N} (ensemle de tille N + ) tels que q i = q i2 Il en découle que l séquence d étts q,..., q i, q i2 +,..., q 2N+2 est cceptnte pour le mot N+ (i 2 i ) N+ L. Donc A ccepte un mot qui n est ps dns L, c est une contrdiction puisque A est censé être un utomte qui reconnît L. Solution de l exercice 2 : Nous llons construire l utomte qui reconnit l ensemle des représenttions inires des entiers positifs divisiles pr 3. En lisnt les mot de l guche vers l droite. Imginons que l utomte it déjà lu le mot w. Notons e w l entier représenté pr w. Lorsque l utomte lit un nouvelle lettre, le mot lu devient lors : { w. si l lettre lue est ; w. si l lettre lue est. 2

Imginons qu il existe un utomte A = (Q, q I, F, δ) pour L, on ppelle N son nomre d étts. Considérons mintennt le mot w = N+ N+, pr définition de L, w est ccepté pr notre utomte.

3 Les entiers représentés pr ces deux mots sont lors égux à : { ew. = 2e w + ; e w. = 2e w +. On cherche à determiner l divisiilité pr 3 de e w, pour cel, on écrit e x sous l forme, 3.k, 3.k + et 3.k + 2. Lorsque l on lit un lettre, l forme de l entier représenté pr le mot chnge et son évolution est décrite pr le tleu suivnt : e w e w. e w. 3.k + 2.(3.k + ) + = 3k 2.(3.k + ) + = 3k + 3.k + 2.(3.k + ) + = 3k (3.k + ) + = 3k + 3.k (3.k + 2) + = 3k + 2.(3.k + 2) + = 3k + 2 Si l on code chque forme pr un étt, on otient lors l utomte suivnt : 3k + 3k + 3k + 2 Figure Lecture de guche à droite des entiers en se 2 Comme le mot de déprt est le mot vide ɛ, il code l entier qui est de l forme 3.k +. L étt initil de l utomte est donc l étt 3.k +. Comme l utomte doit reconnîtres les entiers divisiles pr 3, il doit donc ccepter les mots w dont l entier e w est de l forme 3.k +. L utomte donc un seul étt términl qui est l étt 3.k +. Nous llons construire l utomte qui reconnit l ensemle des représenttions inires des entiers positifs divisiles pr 3. En lisnt les mot de l droite vers l guche. Imginons que l utomte it déjà lu le mot w. Notons e w l entier représenté pr w. Lorsque l utomte lit un nouvelle lettre, le mot lu devient lors : {.w si l lettre lue est ;.w si l lettre lue est. Les entiers représentés pr ces deux mots sont lors égux à : { e.w = e w + ; e.w = e w + 2 w. Nous nous interessons à l divisiilité pr 3 de e w, e.w et e.w. Pour mener à ien cette étude, il fut étudier celle de 2 w. On peut vérifier que 2 w = 3k + si et seulement si w est pir et 2 w = 3k + 2 si et seulement si w est impir. On otient le tleu récpitultif suivnt : 3

(3.k + ) + = 3k + 3.k + 2 2.(3.k + 2) + = 3k + 2.(3.k + 2) + = 3k + 2 Si l on code chque forme pr un étt, on otient lors l utomte suivnt : 3k + 3k + 3k + 2 Figure Lecture de guche à droite des

4 w.w.w e w = 3.k + e.w = (3.k + ) + = 3k e.w = (3.k + ) + (3k + ) = 3k + w pir.w impir.w impir e w = 3.k + e.w = (3.k + ) + = 3k e.w = (3.k + ) + (3k + 2) = 3k + 2 w impir.w pir.w pir e w = 3.k + e.w = (3.k + ) + = 3k + e.w = (3.k + ) + (3k + ) = 3k + 2 w pir.w impir.w impir e w = 3.k + e.w = (3.k + ) + = 3k + e.w = (3.k + ) + (3k + 2) = 3k + w impir.w pir.w pir e w = 3.k + 2 e.w = (3.k + 2) + = 3k + 2 e.w = (3.k + 2) + (3k + ) = 3k + w pir.w impir.w impir e w = 3.k + 2 e.w = (3.k + 2) + = 3k + 2 e.w = (3.k + 2) + (3k + 2) = 3k + w impir.w pir.w pir Si l on code chque forme pr un étt, on otient lors l utomte suivnt : e w = 3k + w pir e w = 3k + w impir e w = 3k + w pir e w = 3k + w impir e w = 3k + 2 w pir e w = 3k + 2 w impir Figure 2 Lecture de droite à guche des entiers en se 2 Solution de l exercice 3 :. On : L L 2 = {,,,,, }. L L 2 = {}. L L 2 = {,,,,,,,,,,, }. L \ L 2 = {,, }. (L 2 ) 2 = L 2 L 2 = {,,,,,,,, }. 4

w impir.w impir e w = 3.k + 2 e.w = (3.k + 2) + = 3k + 2 e.w = (3.k + 2) + (3k + 2) = 3k + w impir.w pir.

5 L 2 = ( + + ). ( + ) \ L = ɛ ( + ) 4 ( + ) 5

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