Cours de DEUG Méthodes mathématiques pour les sciences de la vie I. Avner Bar-Hen

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1 Cours de DEUG Méthodes mthémtiques pour les sciences de l vie I Avner Br-Hen Université Aix-Mrseille III 3

2 Tble des mtières Tble des mtières i Fonctions, limites, continuité Fonction, représenttion grphique Composition, fonction réciproque Grphe, courbe représenttive Définition de l notion de limite Limite infinie en Limite à l infini Continuité Appliction à l définition de x α Opértions sur les limites Exercices Dérivées des fonctions d une vrible 3 Définition Opértions sur les dérivées Théorème des ccroissements finis Convexité, concvité Dérivées des fonctions réciproques Fonctions trigonométriques inverses f(x) = rcsin(x) f(x) = rccos(x) f(x) = rctn(x) Exercices Polynômes 5 Définition Opértions sur les polynômes Somme Produit Premières propriétés Division Euclidienne Cs prticulier : division d un polynôme P (x) pr x Rcine(s) d un polynôme

3 ii TABLE DES MATIÈRES 5 Frctions rtionnelles Exercices Formule de Tylor-Développements limités 37 L formule de Tylor Cs m = Cs m = Cs générl Développements limités : définition, premières propriétés Unicité du développement limité Troncture d un développement limité Opértions sur les développements limités Somme Produit Composition Primitive d un développement limité Exemples d utilistion des développements limités Formes indéterminées Étude d une forme indéterminée Étude d une brnche infinie (recherche d symptote) Exercices L intégrle 53 Définition de b f(x)dx Premières propriétés Linérité de l intégrle Reltion de Chsles Inéglités : Primitives et intégrles Intégrles indéfinies L formule d intégrtion pr prties L formule du chngement de vrible Quelques pplictions de l intégrle Clcul d ires Longueur d un rc de courbe Centre de grvité d une tige rectiligne Extension de l notion d intégrle définie Exercices Fonction de plusieurs vribles 69 Introduction Représenttion grphique Limite Continuité Fonctions composées

4 TABLE DES MATIÈRES iii. Fonction de fonction Fonction composée Autre cs Dérivées prtielles Dérivées prtielles secondes Exercices A Intégrles multiples 8 Intégrle double Notion d intégrle double Clcul d une intégrle double Propriétés Cs prticuliers Clcul de volumes et de surfces Chngement de vribles Intégrle triple Notion d intégrle triple Clcul d une intégrle triple Chngement de vribles Générlistion Rppels de mécnique Exercices Solutions B Formulire 99 Trigonométrie Fonctions élémentires Fonctions trigonométriques Logrithme népérien Exponentielle Puissnce Fonctions Dérivées Formule de Tylor Développements usuels u voisinge de Primitives et Intégrles Règles de clcul Primitives élémentires Procédés d intégrtion Intégrles définies générlisée Fonctions de plusieurs vribles Dérivées prtielles L lphbet grec

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6 Chpitre Fonctions, limites, continuité Fonction, représenttion grphique On considère des fonctions à vleurs dns R, et définies sur une prtie de R. Se donner une telle fonction f, c est se donner une prtie E de R et un procédé ssocint à chque x E un réel y (noté f(x)) bien déterminé. E est l ensemble de définition de f. Dns tous les cs utiles, E est un intervlle, ou une réunion d intervlles. Exemples : E = [, b] (, b R, < b) E =], b] E = [, + [ E = [, c[ ]c, b] vec < c < b Nottion : f : E R Très souvent, l fonction est définie pr une formule donnnt f(x), et le domine de définition est implicite : c est l ensemble des x R pour lesquels l formule un sens et fournit un réel f(x). Exemple : f(x) = x, le domine de définition est E = [, +]. Composition, fonction réciproque Soient f : E R, et g : F R deux fonctions ; l composée g f est définie pr l formule (g f)(x) = g(f(x)). Son domine de définition est l ensemble H = {x R; x E et f(x) F }. On toujours H E mis il peut rriver que H soit distinct de E. On dit que g est une fonction réciproque de f si on

7 Fonction, représenttion grphique. F = {f(x); x E} c est-à-dire que le domine de définition de g est l imge de E pr f ;. g(f(x)) = x pour tout x E Ces deux conditions montrent que g est déterminée pr f : il y donc u plus une fonction réciproque d une fonction f donnée. Pour que l fonction f : E R dmette une fonction réciproque, il fut et il suffit que l condition suivnte soit vérifiée : si x, x sont deux points distincts de E, lors f(x ) f(x ). (On dit que f est injective). Si g est l fonction réciproque de f, on, pour x, y réels, l équivlence logique : { x E et y = f(x) { y F et x = g(y) (E, F domines de définition de f, g respectivement). On voit d illeurs insi que f est lors l réciproque de g. On dit souvent fonction inverse de f u lieu de fonction réciproque de f et on note g = f. Attention : il fut bien distinguer f de l fonction x f(x), notée f. Exemple : f(x) = x vec E = [, + [. f dmet pour fonction réciproque l fonction g(x) = x, définie sur [, + [. (en dmettnt que tout réel positif possède une rcine crrée positive).. Grphe, courbe représenttive Soit f : E R une fonction, (E R) ; le grphe de f est l prtie G de R définie pr G = {(x, f(x)); x E}. On confond en générl G vec l courbe représenttive T f de f dns le pln (P ) rpporté à un repère orthonormé (o, e, e ) ; T f est définie pr l reltion : T f = {M; x E, OM = x e + f(x) e } On dit ussi que T f est l courbe d éqution y = f(x) dns le repère Oxy. L intérêt de T f est que son trcé permet de visuliser, et donc de rendre intuitives de nombreuses propriétés de f. Exemple : f(x) = x + b, où, b sont deux réels donnés ; (on dit que f est ffine). Le grphe T f de f est une droite D : si on ppelle u le vecteur (, ) et M o le point de coordonnées de (O, b), on : M o M x = x u (où M x = (x, f(x))). Ce qui signifie que T f est l droite pssnt pr M o et de vecteur directeur u.

8 . FONCTIONS, LIMITES, CONTINUITÉ 3 Remrque : si (x, y ) et (x, y ) sont deux points distincts de D, on vérifie fcilement que le rpport y y x x est égl à, et qu il est donc indépendnt du choix des deux points sur D. On dit que est l pente de D. L pente de D vut ussi tn(θ), où θ est une mesure de l ngle que D fit vec l xe Ox. Exemple : Soit f : E R une fonction dmettnt pour réciproque, g : F R. On psse du grphe T f à celui T g de g, pr l trnsformtion : (x, y) (y, x) du pln : cette trnsformtion est l symétrie utour de l droite y = x Exercices :. Soit G R : quelle condition doit être vérifiée pr G pour que G soit le grphe d une fonction f? l fonction f est elle lors unique?. Donner un trcé du grphe des fonction y = x +, y = x +, y = sin(x), y = sin(x) 3. Trcer des courbes d équtions y = x, y = + x + x Définition de l notion de limite Considérons une fonction f : X R, (X R) et soit R. Pour pouvoir prler de l limite de f(x), lorsque x tend vers, il fut supposer que tout intervlle ouvert de centre rencontre X ; utrement dit : η >, x X tel que x < η Cette condition est toujours stisfite si X, mis il peut ussi rriver que X. Exemples : X =]α, β], (α < < β) X =]α, [ ], β], (α < < β) X = [, β], ( < β) X =], β], ( < β) Définition. Soit l R ; on dit que f(x) tend vers l qund x tend vers, si : Pour tout ɛ >, il existe un nombre η > tel que { x X et x < η = f(x) l < ɛ En d utres termes, pour tout intervlle ouvert de centre l donné, f(x) tombe dns cet intervlle dès que x est ssez petit, (x X). On noter : l = lim x f(x)

9 4 Définition de l notion de limite Remrques :. f(x) dmet u plus une limite, qund x tend vers : si on pouvit trouver deux limites distinctes l et l, on pourrit trouver deux intervlles ouverts disjoints I et I de centres l et l respectivement ; comme l = lim x f(x), f(x) pprtient à I pour x ssez petit. De même, f(x) I, dès que x est ssez petit. Comme f(x) ne peut pprtenir à l fois à I et I, on boutit à une contrdiction.. Si X, et si l limite de f(x) pour x existe, lors lim x f(x) = f(). En effet, d près l définition f() doit pprtenir à tout intervlle ouvert de centre l = lim x f(x) : ce qui entrîne l = f() Ainsi, lorsque X, il peut être nturel de considérer l limite en de l restriction de f à X \ {} (X privé du point ) ; on l note l = limx f(x) (si elle existe). x Plus générlement, si B est une prtie de X, on définit l limite lim x f(x) comme étnt x B l limite lim x g(x), où g est l fonction de domine de définition B, et qui est égle à f sur B. En termes plus directs : l = lim x f(x) si et seulement si : x B pour tout ɛ >, il existe u moins un η >, tel que { x < η x B = f(x) l < ɛ Cs prticuliers : B = X \ {}, on obtient l définition de l = limx x f(x) ; B = X ], + [, on obtient l notion de limite à droite en : limx x> notée f( + ) (lorsqu elle existe) ; B = X ], [, on obtient l limite à guche : limx x< f(x) = f( ). Exemples : si x <. f(x) = si x = si x > en =, f( + ), f() et f( ) existent et sont deux à deux distincts. f(x) ; elle est. f(x) = cos ( π x) ; f(x) mis f n dmet ps de limite à droite en = : ( ) ( ) f =, f =,... 4 en générl f ( k) =, pour k entier positif, et ( ) f () =, f =,... 3 en générl f ( k+) =, k N. Ainsi le point M x = (x, f(x)) oscille indéfiniment entre les droites horizontles y = et y = + lorsque x tend vers zéro, x > ; ce point n dmet ps de position limite lorsque x tend vers, x >.

10 . FONCTIONS, LIMITES, CONTINUITÉ 5 3. Supposons : X =]α, β[, α < < β. Alors l = lim x f(x) si et seulement si f( + ) et f( ) existent et vlent f() ; l vut nécessirement f(). De même l = limx x f(x) si et seulement si f(+ ) et f( ) existent et sont égux ; on de plus l = f( + ) = f( ). Limite infinie en Définition. Soient f : X R, R ; on suppose que pour tout ɛ >, X ] ɛ, + ɛ[. On dit que l lim x f(x) = + si pour tout A R, il existe un η > (dépendnt de A) tel que : x < η et x X = f(x) A Autrement dit, f(x) dépsse toute vleur donnée dès que x est ssez petit. On définit de même l notion de limite en et l on note : lim x f(x) = Exemples :. f(x) =, X =], [ ], + [, on : x lim f(x) = + x. f(x) = ln(x) (logrithme népérien de x), X =], + [ : lim f(x) = x On sit que f est strictement croissnte sur ], + [ et que f(xy) = f(x) + f(y) pour x, y ], + [. En prticulier ln() = ln() et donc ln() =. Fixons A R et cherchons n tel que ln ( ) ( < A ; comme ln ) ( n = n ln ) n et comme ln ( ) < ln() =, il suffit de prendre n > A ; fixnt un tel entier ln( ) n, on lors : < x < = ln(x) < A n On insi vérifié que lim x ln(x) =. Limite à l infini Soit f : X R ; on suppose que X contient des réels rbitrirement grnds (quel que soit R, il existe x X, ve x ) ; si l R, on dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers + si : ɛ >, A tel que x X et x A f(x) l ɛ On définit ussi les expressions lim x + f(x) = +, lim x + f(x) = ; pr exemple lim x + f(x) = signifie α R, A R tel que x X et x A f(x) α

11 6 Continuité Exemples :. lim x + x = + ; lim x + x =. lim x + ln(x) = + ; soit α R ; comme ln( n ) = n ln() et comme ln() >, on voit qu il existe n N tel que ln( n ) α. D où x n ln(x) α 3. Soit > ; posons f(n) = n, pour n N, n. Alors lim n + n = + On peut en effet écrire : = ( + u) ; d où d près l formule du binôme : n + nu nu ; donc si α R, n α dès que n α. u Supposons mintennt que < <, posons v n = ( ) ( = ) n. n Comme >, ce qui précède montre que lim n + v n = + ; il s ensuit que n = v n tend vers lorsque n tend vers +. 3 Continuité Définition.3 Soit f : X R, X R et soit X ; on dit que f est continue u point si lim x f(x) = f() ; cel revient à dire que pour tout ɛ > donné, on peut trouver un nombre η > tel que : x X et x η f(x) f() < ɛ On dit que f est continue si elle est continue en tout point de X Interpréttion grphique : f est continue en X si le point M x = (x, f(x)) de T f tend vers M lorsque x tend vers. Intuitivement, si f : I R est continue sur l intervlle I de R, le point M x vrie de fçon continue vec x, et le grphe T f se présente comme un trcé continu qu on peut obtenir sns fire de suts (donc sns lever le stylo). Remrquons qu une fonction f : I R telle que, f(x) f(x ) x x pour tout x, x X est une fonction continue. Exemple : f(x) = x, x R est continue sur R (évidemment f(x) f(x ) x x ). De même f(x) = x, x R est continue sur R (on x x x x pour x, x R) Les fonction continues possèdent l propriété fondmentle suivnte : Théorème. (Théorème des vleurs intermédiires) Soient f : [, b] R une fonction continue sur l intervlle [, b] et γ un réel compris entre f() et f(b) : il existe lors u moins un nombre c [, b] tel que f(c) = γ. Ainsi toute vleur comprise entre f() et f(b) est tteinte (u moins une fois). Interpréttion grphique : on ne peut joindre les points M = (, f()) et M b = (b, f(b)) qui sont situés de prt et d utre de l droite horizontle y = γ, pr un trcé continu sns couper cette horizontle u moins une fois.

12 . FONCTIONS, LIMITES, CONTINUITÉ 7 Appliction : il existe un nombre unique x tel que ln(x ) = : comme lim x + ln(x) = + et ln() = il existe b > tel que ln(b) >. En ppliqunt le théorème des vleurs intermédiires vec =, b > et γ = (qui est bien compris entre = ln() et ln(b)), on voit qu il existe u moins un x tel que ln(x ) =. Comme ln(x) est une fonction strictement croissnte de x, il ne peut y voir plus d une solution x de l éqution ln(x) =. (Cette solution est le nombre noté hbituellement e ). L propriété des vleurs intermédiires permet de définir des fonctions réciproques : Théorème. Soit f : I R une fonction continue strictement croissnte : lors, J = f(i) l ensemble des vleurs de f est un intervlle, et f dmet une fonction réciproque g : J R, continue et strictement croissnte sur J. Rppels : f croissnte sur I signifie : si x, y I : x y f(x) f(y) f strictement croissnte sur I signifie : quel que soit x, y I : x < y f(x) < f(y) Le fit que J soit un intervlle découle fcilement du théorème des vleurs intermédiires ; l fonction g ssocie à chque x J l unique nombre t I tel que f(t) = x ; on f(g(x)) = x, pour x J et g(f(x)) = x, pour x I. Exemple : l fonction logrithme népérien, ln : ], + [ R est continue et strictement croissnte ; l fonction réciproque de ln est l fonction exp : R ], + [ (noter que l intervlle imge de ], + [ pr ln est égl à R puisque lim x ln(x) = et lim x + ln(x) = + ) ; l fonction exp est continue et strictement croissnte ; on lim x exp(x) =, lim x + exp(x) = +. De plus : x, y R, exp (x + y) = exp(x) exp(y) exp() =, exp() = e On noter exp(x) = e x (e est défini pr ln(e) = ). 3. Appliction à l définition de x α Pour x >, α R, on pose : x α = exp(α ln(x)) On lors, pour x, y > et α, β R, les reltions : ln(x α ) = α ln(x) x α+β = x α x β (x α ) β = x αβ x α y α = (xy) α f(x) = x α est strictement croissnte pour α >, strictement décroissnte pour α < et pour α =, f est égle à l constnte.

13 8 Opértions sur les limites 4 Opértions sur les limites Théorème.3 Soient f, g : X R, R {, + }, l = lim x f(x), l = lim x g(x) vec l et l finis. Alors : lim x lim x (f(x) + g(x)) = l + l lim x (f(x)g(x)) = l l ( ) f(x) = l (si l ) g(x) l Ces reltions sont ssez intuitives ; voici une preuve de l première reltion en supposnt fini ; soit ɛ > ; comme l = lim x f(x) et l = lim x g(x) on peut trouver deux nombres positifs, η et η tels que : { x X et x < η f(x) l < ɛ / x X et x < η fg(x) l < ɛ / Notons η le plus petit des deux nombres η et η ; pour x X et x < η, on ur : (f(x)+g(x)) (l +l ) = (f(x) l )+(g(x) l ) f(x) l + g(x) l ɛ / + ɛ / = ɛ on donc vérifié que lim x (f(x) + g(x)) = l + l Corollire. si f, g : X R sont deux fonctions continues sur X lors, les fonctions f(x) + g(x), f(x)g(x) sont continues sur X. Si g ne s nnule ps sur X, f(x) / g(x) est continue sur X. Exemple : f(x) = x est continue sur R. Plus générlement, si n est un entier positif x x n est continue sur R. On en déduit qu un polynôme f(x) = + x + + n x n est continu sur R. Dns le cs où les limites l ou l sont infinies, on peut conclure dns certins cs, en utilisnt les règles : (+ ) + (+ ) = + ; + + l = + pour l R ; (+ ) = + pour > ; + = ; etc. Il reste des cs où on ne peut ps conclure sns informtions supplémentires sur l llure de f(x) et g(x) qund x ; on dit lors qu il s git de formes indéterminées : pr exemple : (+ ) (+ ) ; (+ ) ; / ; + + ; etc.

14 . FONCTIONS, LIMITES, CONTINUITÉ 9 Exemple : Soit f(x) = + x+ + nx n b +b x+ +b px une frction rtionnelle (quotient de deux polynômes), n et b p étnt supposés non nuls ; étudions f(x) pour x tendnt vers +. On p écrit : ( ) f(x) = xn + x n + + x n n n + n + + x p b = x n p x x n + b x p + + b x b p b p + + b x p on sit que lim n + xn = lim f(x) = n + + si n si n = si n On en déduit déjà que le fcteur de x n p dns le dernier membre tend vers n / bp. D où l conclusion suivnte, en supposnt n et b p de même signe : + si n > p n/bp si n = p si n < p Théorème.4 Si f, g, h : X R sont trois fonctions telles que g f h sur X. Si lim x g(x) = lim x h(x) = l lors f dmet une limite en et lim x f(x) = l. Théorème.5 (Composition des limites) Soient f : X R, g : Y R deux fonctions (X, Y R), et R {, + }. On suppose que lim x f(x) = l (l fini ou non), et que lim x l g(x) = l. L composée g f est définie sur X = {x X; f(x) Y }. Si on peut fire tendre x vers, vec x X (i.e. X contient des points rbitrirement voisins de ), on lors : lim g(f(x)) = l x Intuitivement, qund x tend vers, f(x) tend vers l et g(f(x)) tend vers l puisque g(u) tend vers l lorsque u tend vers l. Corollire. L composée de deux fonctions continues est continue. Exemples :. sin(x), ln( + sin(x)) sont continues sur R. Soit α R ; x x α est continue sur ], + [. Si α >, on : lim x x α =, lim x + x α = +. Si α <, lim x x α = +, lim x + x α =. 3. lim x sin(x ) x (On écrit sin(3x) x = 3 = ; lim x sin(3x) ( sin(3x) 3x sin(3x) = 3 ; lim x = 3 ) (. sin(5x ) 5 ( ; sin(3x) = 3 sin(3x) sin(5x) 5 3x x 5x sin(5x) )

15 Exercices 5 Exercices. Vri ou Fux? () Une fonction n dmet de limite en un point que si elle est définie en ; (b) l composée de deux fonctions continues sur R est continue sur R ; (c) l imge d un intervlle pr une fonction croissnte est un intervlle ; (d) l imge d un intervlle pr une fonction continue est un intervlle ; (e) toute fonction périodique et croissnte est continue.. clculer 3. Montrer que si <, lim n + n (n 3) (n )( n) = lim { n} n + 4. Montrer que pour >, n lim n + n = + (écrire n = ( + u) n et minorer ( + u) n pr un des termes du développement de ( + u) n ). Montrer que n lim n + n = + 5. Clculer 6. Clculer { lim x (x ) } x ( ) lim x sin x + x 7. Montrer que l éqution cos x = x dmet u moins une solution dns l intervlle [, π / ] 8. Montrer qu un polynôme de degré impir dmet u moins une rcine réelle. 9. Soit f une fonction numérique définie et continue sur l intervlle [, ] de R, telle que : f() = f() Montrer que, pour tout entier nturel non nul n, il existe un point x de [, ] tel que : ( f x + ) = f(x ) n (considérer l fonction g(x) = f ( x + n) f(x) sur [, / n ] et exprimer f() f() en fonction de g).

16 . FONCTIONS, LIMITES, CONTINUITÉ. Trouver, à l ide de l représenttion grphique des fonctions sin(x) et sin(3x), le nombre de solutions de l éqution sin(x) = sin(3x) sur l intervlle [, π / ]. Résoudre l éqution : ( ) ln x 7 /8 ln ( x ) =. Montrer que pour α <, l fonction f α = x α est une bijection de ], + [ sur ], + [, et clculer l fonction réciproque de f α 3. Résoudre l éqution e sin x =. Résoudre l inéqution e sin x <.

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18 Chpitre Dérivées des fonctions d une vrible Définition Soit f : X R une fonction dont le domine de définition X est un intervlle de R (ou plus générlement un intervlle privé de quelques points) et soit un point de X ; on dit f(x) f() que f est dérivble u point si l limite lim x existe et est finie ; cette limite x est lors l dérivée de f en, et on écrit : Remrques : f () = lim x f(x) f() x. Posons f(x) = mx + p (m, p réels fixés) ; si R, on pour tout x R, x : f(x) f() = m ; d où on déduit que f est dérivble en et f () = m. Rppelons x que le grphe de f est une droite (D) et remrquons que si M = (x, y ) et M = (x, y ) sont deux points distincts de (D) on : m = y y x x. On dit que m est l pente de (D).. Si f est dérivble u point, elle est continue en ce point. Interpréttion géométrique : considérons une fonction f : X R dérivble en X, et soit T f le grphe de f ; pour x X, x, p x = f(x) f() est l pente de l x droite D x pssnt pr M = (, f()) et M x = (x, f(x)) : f () est l limite des pentes p x pour x tendnt vers. On voit lors que l droite (D) de pente f () et pssnt pr M est l position limite des droites (D x ). On dit que (D) est l tngente à T f u point M. L éqution de D est : y = f() + f ()(x ) (.) pour (x, y) sur D et x, y f() x Exemples : vut l pente de D ; d où y f() x = f () et l éqution... f(x) = sin(x) Pour x, R, on f(x) f() = sin ( ) ( x cos x+ ). 3

19 4 Opértions sur les dérivées sin(u) Comme lim u =, on, pr le théorème de composition des limites : ( u lim x sin ( )) x x =. Pr conséquent : f(x) f() limx = cos(). x f est donc dérivble et f (x) = cos(x). On montre de même que cos(x) est dérivble sur R, et que (cos(x)) = sin(x) 3. f(x) = ln(x) : f est dérivble sur ], + [ et f (x) = x. Nottion différentielle : si f est dérivble u point x X, f f(x+h) f(x) (x) = lim h h d où, si on note x = h (ccroissement de l vrible entre x et x + h) et f = f(x + h) f(x) (ccroissement correspondnt de f) : f f (x) = lim x ; symboliquement x on écrit : f (x) = df dx Intuitivement dx est un ccroissement infinitésiml de l vrible x, df = f(x + dx) f(x) est l ccroissement correspondnt de f. Opértions sur les dérivées Théorème. Soient f, g : X R deux fonctions dérivbles u point X ; lors les fonctions f(x) + g(x), f(x)g(x) (et f(x) / g(x) si g() ) sont dérivbles u point, et on les formules : (f + g) () = f () + g () (fg) () = f ()g() + f()g () ( f() / g() ) = f ()g() f()g () g() si g() Cs prticulier : si u : X R est dérivble, v(x) = (u(x)) est dérivble de dérivée u(x)u (x) ; plus générlement, si n est un entier strictement positif, w(x) = (u(x)) n est dérivble et w (x) = n(u(x)) n u (x). Cette formule se démontre pr récurrence pour n. On peut d illeurs montrer qu elle est encore vrie pour n entier négtif si u(x) ne s nnule ps. Exemples :. Tout polynôme f(x) = + x + + n x n est dérivble sur R et f (x) = + x + + n n x n.. f(x) = tn(x) est dérivble (sur son domine de définition) et on : f (x) = cos (x) = + tn (x), pour x π + kπ (pour tout k Z)

20 . DÉRIVÉES DES FONCTIONS D UNE VARIABLE 5 Théorème. Soient f : X R, g : Y R deux fonctions et X ; on suppose que g f est (u voisinge de ) définie sur un intervlle contennt le point, que f est dérivble en et que g est dérivble u point f(). Alors g(f(x)) est dérivble en et : (g f) () = g (f())f () Démonstrtion : (en supposnt f strictement croissnte sur X) ; pour h et ssez petit, on : ( ) ( ) g(f( + h)) g(f()) g(f( + h)) g(f()) f( + h) f() = h f( + h) f() h lorsque h tend vers, l première prenthèse du second membre tend vers g (f()) : c est une conséquence de l définition de l dérivée de g u point f() et du théorème de composition des limites. Pr conséquent, le premier membre dmet une limite pour h et cette limite est g (f())f (). Exemples :. f(x) = sin(x) : f (x) = cos(x). f(x) = ln( x ), (x ) : f (x) = pour tout x x 3. si u : X R est une fonction dérivble, lors ln( u(x) ) est dérivble en tout point x X tel que u(x) et : d ln( u(x) ) dx = u (x) u(x) (si u(x) ) Ainsi : d ln( sin(x) ) dx = cos(x) sin(x) = cot(x) pour x modulo π. 3 Théorème des ccroissements finis Théorème.3 Soit f : [, b] R une fonction dérivble sur l intervlle [, b], < b : il existe lors u moins un point c dns l intervlle ], b[ tel que : f(b) f() = (b )f (c) Interpréttion grphique : on ur f(b) f() = f (c) : utrement dit, l pente de l (b ) corde AB joignnt A = (, f()) à B = (b, f(b)) est égle à l pente de l tngente à l courbe y = f(x) u point M c = (c, f(c)). Le théorème ffirme donc l existence d un point M sur l courbe représenttive T f de f, tel que l tngente en M à T f est prllèle à l corde AB.

21 6 Théorème des ccroissements finis Justifiction intuitive : on suppose que T f n est ps entièrement situé sous l corde AB ; considérons une droite : (D p ) d éqution y = mx + p, de pente m = f(b) f(), b le prmètre p étnt vrible. Pour p suffismment grnd, (D p ) est situé u dessus de T f ; en diminunt p, on obtient une vleur p R, telle que (D p ) est u dessus de T f, et rencontre T f en un point (x, y ) ; l disposition reltive de T f et (D p ) implique f (x ) = m notons f : I R une fonction dérivble sur l inter- Conséquences fondmentles : vlle I, lors :. si f (x) = sur I, f est constnte sur l intervlle I ;. si f (x) sur I, f est croissnte sur l intervlle I ; 3. si f (x) > sur I, f est strictement croissnte sur l intervlle I. Montrons pr exemple l conséquence 3 : si, b I, < b, il existe c ], b[ tel que f(b) f() = (b )f (c) ; d où, puisque f (x) >, f(b) f() > et f() < f(b). On des énoncés nlogues si f (x) sur I, ou si f (x) < sur I. Quelles réciproques peut-on énoncer? Corollire. Soient f : I R une fonction définie sur l intervlle I de R, F et G deux primitives de f sur I (c est-à-dire que F et G sont dérivbles et telles que F (x) = G (x) = f(x) pour tout x I). Alors F (x) G(x) est constnte sur I : F (x) = G(x) + C, pour x I et C R. En prticulier si F (x ) = G(x ) pour un point x I, lors F (x) = G(x) pour tout x I. Attention : toutes les propriétés énoncées ici s ppliquent à des intervlles I ; ces propriétés peuvent tomber en défut si I n est ps un intervlle, pr exemple :. f(x) = tn(x), x X = ] π, + [ ] π π, + [ 3π Alors f (x) = > mis f cos (x) n est ps croissnte sur X.. f(x) =, X =], [ ], + [ ; les primitives de f sont des fonctions de l x forme : { / x + C F (x) = si x < / x + C si x > où C et C sont deux réels quelconque ; on voit que deux primitives quelconques de f sur X ne diffèrent ps en générl d une constnte. Appliction à l définition de ln(x) : l fonction logrithme népérien est l unique fonction dérivble F : ], + [ R telle que :. F (x) = x pour x > ;. F () =. On note F (x) = ln(x). (on peut ussi utiliser l nottion Log(x).

22 . DÉRIVÉES DES FONCTIONS D UNE VARIABLE 7 L unicité de F découle du corollire. ; nous dmettrons l existence de F (voir le chpitre sur l intégrle). Puisque F (x) >, ln(x) est strictement croissnte sur ], + [. On ussi l propriété fondmentle :, b >, ln(b) = ln() + ln(b) (.) Pour étblir cette reltion, on remrque que pour ], + [ fixé, les fonctions f(x) = ln(x) et g(x) = ln() + ln(x) ont l même dérivée sur ], + [ : f (x) = g (x) = x. Comme de plus f() = g() = ln(), on f(x) = g(x). L éqution. correspond à x = b. 3. Convexité, concvité Définition. On dit que l fonction f : I R (I intervlle) est convexe si, pour tout, b I, < b, l courbe y = f(x), ( x b) est située u dessous de l corde AB, où A = (, f()), B = (b, f(b)). Formultion nlytique de l convexité : soient, b I, < b et x ], b[ ; on peut écrire x sous forme de brycentre de et b ffectés de poids convenbles : x = t + ( t)b vec < t < Un clcul fcile montre qu il fut prendre t = b x. On montre que l huteur h telle que b (x, h) soit sur l corde AB vérifie : h = tf() + ( t)f(b) Dire que (x, f(x )) est u-dessous de l corde AB revient donc à dire que : f(t + ( t)b) tf() + ( t)f(b) (.3) Dire que f : I R (I intervlle) est convexe, c est dire que l inéglité.3 est vérifiée pour tout couple de points de I et tout t [, ] Exercice : vérifier à l ide de cette propriété que les fonctions f(x) = x, g(x) = x sont convexes sur R. Définition. On dit que f : I R (I intervlle) est concve si, pour tout, b I, < b, l courbe y = f(x), ( x b) est située u dessus de l corde AB, où A = (, f()), B = (b, f(b)). f est concve sur I si et seulement si l fonction x f(x) est convexe sur I. On peut crctériser très simplement l convexité de f à l ide de l dérivée seconde de f (lorsqu elle existe) : Théorème.4 Si f est deux fois dérivble sur l intervlle I, f est convexe si et seulement si f (x) est positive sur I

23 8 Théorème des ccroissements finis De même, f ser concve sur I si et seulement si f (x) sur I. Preuve : supposons f convexe, notons M x = (x, f(x)) et fixons, b I, < b. Si h est positif, tel que + h < b, l pente de l corde M M +h est inférieure (ou égle) à celle de l corde M M b puisque M +h est situé sous l corde M M b. Donc : f(+h) f() h f(b) f(), et en fisnt tendre h vers, on obtient f () f(b) f(). b b De même, l pente de M b h M b est supérieure ou égle à celle de M M b ; d où f(b h) f(b) f(b) f() b, (h > ) et en fisnt tendre h vers, on obtient f (b) f(b) f() b. Finlement, f () f (b) : comme et b sont rbitrires dns I tels que < b cel signifie que f est croissnte sur I et pr conséquent f (x) sur I. Réciproque : supposons f (x) pour tout x I ; prenons, b, x I tels que < x < b. D près le théorème des ccroissements finis, il existe c ], x [ et d ]x, b[ tels que : h pente(m M x ) = f (c), pente(m x M b ) = f (d) D près l hypothèse, f est croissnte sur I et pr conséquent, f (c) f (d). On obtient donc : pente(m M x ) pente(m x M b ) Cette inéglité signifie que M x est situé sous l corde M M b. Ce qui montre que f est convexe. Exemples :. f(x) = ln(x) est concve sur ], + [. f(x) = x, g(x) = x 4 sont convexes sur R 3. f(x) = sin(x) est convexe sur [ π, ], concve sur [, π] convexe sur [π, π], etc. Position pr rpport à l tngente : si f : I R est deux fois dérivble sur I, et convexe sur I, l courbe représenttive de f est située u dessus de chcune de ses tngentes :, x I, f(x) f() + f ()(x ) L preuve de ce résultt est directe en posnt F (x) = f(x) f() f ()(x ). On F (x) = f (x) et F (x) = f (x) f () et donc F () =. On ussi F () =. Le tbleu de vrition montre donc que F (x). Exemple : on sin(x) x pour x [, π], d près l concvité de sin(x) sur [, π]. D utre prt, comme cette fonction est convexe sur [ π, ], sin(x) x sur [ π, ]. Cette exemple conduit à l notion de point d inflexion. Définition.3 Soit f : I R, une fonction deux fois dérivble sur l intervlle I, on dit que l courbe y = f(x) présente un point d inflexion en (x, f(x )) (x I) si f (x ) = et si f chnge de signe en x.

24 . DÉRIVÉES DES FONCTIONS D UNE VARIABLE 9 4 Dérivées des fonctions réciproques Théorème.5 Soient f : I R une fonction strictement monotone et continue sur l intervlle I, et g : J R l fonction réciproque de f. Si f est dérivble u point I et si f (), g est lors dérivble u point b = f() et on : g (b) = f () = f (g(b)) Admettons l dérivbilité de g en b ; on : f(g(x)) = x pour tout x J. En dérivnt les deux membres pr rpport à x, on obtient pour x = b : f (g(b))g (b) =. D où l reltion. Exemples :. f(x) = e x est l fonction réciproque de ln(x) : elle est donc dérivble et : f (x) = ln (e x ) = / e x = e x On voit d illeurs que f (x) = exp(x) et que f est donc convexe sur R. On en déduit l dérivée de f α = x α (x >, α R) ; on obtient, puisque f α (x) = e α ln(x) : f α(x) = α x eα ln(x) = αe (α ) ln(x) = αx α D où f (x) = α(α )x α et on voit que : si α : f α est convexe, croissnte ; si < α : f α est concve, croissnte ; si α : f α est convexe, décroissnte ; 5 Fonctions trigonométriques inverses 5. f(x) = rcsin(x) [ On ppelle rcsin(x) l fonction réciproque de l restriction de sin(x) à l intervlle π, ] [ π ; sin(x) définit une bijection croissnte de π, ] π sur [, +] et rcsin(x) est l bijection réciproque de [, +] sur [ π, ] π. Si et b sont deux réels, on l équivlence : { { b π = rcsin(b) b = sin()

25 Fonctions trigonométriques inverses Plus concrètement, si x, θ = rcsin(x) est l unique θ [ π, π ] tel que sin θ = x. Donc : Dérivée rcsin est dérivble sur ], +[ et on : rcsin(x) = Convexité, prité rcsin() = ( ) rcsin = π 4 ( ) rcsin = π 6 ( ) 3 rcsin = π 3 cos(rcsin(x)) = sin (rcsin(x)) = x rcsin(x) est impire, convexe sur [, ], concve sur [, ] ; l origine des xes est un point d inflexion de y = rcsin(x). 5. f(x) = rccos(x) On note rccos(x) l fonction réciproque de f(x) = cos(x), x π rccos : [, +] [, π] Si x, θ = rccos(x) est l unique θ [, π] tel que cos(θ) = x. On : Exemples : rccos( ) = π rccos() ( = π ) rccos Dérivée = π 4 cos(rccos(x)) = x si x rccos(cos(x)) = x si x π rccos est dérivble sur ], +[ et on : rccos(x) = x Exercice : Montrer que rccos(x) + rcsin(x) = π pour x

26 . DÉRIVÉES DES FONCTIONS D UNE VARIABLE 5.3 f(x) = rctn(x) On note rctn(x) l fonction réciproque de f(x) = tn(x), x < π ] rctn : R π, π [ c est donc une bijection strictement croissnte de R sur ] π, [ π. Si x R, θ = rctn(x) est l unique θ R tel que θ < π et tn(θ) = x. On : tn(rctn(x)) = x x R rctn(tn(x)) = x si θ < π Exemples : rctn() = rctn() = π 4 rctn ( tn ( 3π 4 )) = π 4 Propriétés : rctn est continue, strictement croissnte, impire ; de plus : lim x + rctn(x) = π lim x rctn(x) = π rctn est dérivble, et rctn (x) = + x

27 Exercices 6 Exercices. Vri ou Fux? () Toute fonction continue sur un intervlle I est dérivble sur I ; (b) toute fonction dérivble sur un intervlle I est continue sur I. (c) L dérivée du produit de deux fonctions dérivbles est le produit de leurs dérivées. (d) si f et g sont deux fonctions dérivbles sur R lors (f g) = (f g)g (e) Si f (x) M, lors. Étudier l dérivbilité en des fonctions : { x si x () f(x) = si x < { x sin (b) f(x) = si x x si x = 3. Clculer les dérivées successives des fonctions : () f(x) = x 3 + (x = est-il un extremum?) (b) f(x) = cos(x) ; (c) f(x) = +x x ; (d) sin(x) x cos(x) ; (e) x ln(x) ; (f) e x cos(x). f(b) f() M(b ) (.4) 4. () Étudier l vrition de l fonction numérique f définie pr l formule : x cos(4x) cos 4 (x) Déterminer les points d inflexion du grphe de f (b) Montrer que f(x) peut se mettre sous l forme d un polynôme en tn(x). Résoudre directement l éqution : tn 4 (x) 6 tn (x) + = Retrouver le résultt obtenu à l ide de l première question. 5. En utilisnt l inéglité.4 de l exercice, montrer que : () pour tout nombre réel x non nul : sin(x) x

28 . DÉRIVÉES DES FONCTIONS D UNE VARIABLE 3 (b) Pour tout nombre réel x pprtennt à l intervlle [, ] : + x e x + ex (c) pour x et x nombres réels tels que < x x : x x x ln x x x x x (d) pour tout couple (x, y) de nombres réels pprtennt à l intervlle ] π, π [ : tn(x) tn(y) x y 6. Utiliser l inéglité.4 de l exercice pour obtenir une mjortion des nombres réels : A = 33 3 B = ln(5) ln(498) 7. Deux oiseux sont perchés chcun sur un pylône de téléphérique (différent l un de l utre) ; ils s envolent en même temps et vont se poser u même instnt sur l utre pylône. Formuler mthémtiquement l hypothèse qui permet d ffirmer qu il existe un instnt où ils sont à l même ltitude. 8. Soient et b deux nombres réels tels que < b <. Comprer les dérivées des trois fonctions suivntes : ( ) b x rctn sin(x) b + cos(x) ( ) b x rctn b tn x ( ) b + cos(x) x rccos + b cos(x) Déterminer l ensemble des points de R pour lesquels ces trois fonctions coïncident. 9. Formule de Leibniz Soient f et g deux fonctions n fois dérivbles sur un intervlle I. Montrer que le produit fg est n fois dérivble sur I et montrer que : (fg) (n) = C n f (n) g + C n f (n ) g + + C n p f (n p) g (p) + + C n nfg (n) où Cp n = n! sont les coefficients binomiux p!(n p)!. Utiliser l formule de Leibniz pour clculer les dérivées successives des fonctions : () f(x) = (x 4 + ) sin(x) (b) f(x) = e x cos(x)

29 4 Exercices. En dérivnt de deux mnières l fonction : clculer : () C n + C n + 3C n nc n n x ( + x) n (b) C n + C n + 3 C3 n + + n Cn n. () Montrer que, pour tout couple de réels positifs et b tels que b <, on l reltion : ( ) + b rctn() + rctn(b) = rctn b (b) Montrer que pour tout entier n positif, on : ( ) ( ) rctn rctn n n + ( ) = rctn n (c) Soit n un entier positif. Déduire de ce qui précède une forme simple pour l somme : n ( ) S n = rctn k 3. Montrer que l fonction ln( + e x ) est une fonction convexe. k=

30 Chpitre 3 Polynômes Définition Définition 3. On ppelle polynôme à coefficients réels de degré n, toute fonction de l forme : { R R f : x P (x) = n i= ix i vec i R, n Si n = on dit que le polynôme est unitire. Si P (x) = n x n on dit que P (x) est un monôme de degré n. L ensemble des polynômes dont le degré égl à est constitué des polynômes constnts. L ensemble des polynômes dont le degré est égl à est constitué de l ensemble des droites. Opértions sur les polynômes. Somme Soient f(x) = n i= ix i et g(x) = m j= b jx j deux polynômes à coefficients réels, l somme f + g est un polynôme de degré t = sup(n, m) défini pr : f(x) + g(x) = t ( l + b l )x l l= (vec l convention de considérer comme nuls les coefficients d indice supérieur u degré). Le degré de f + g est donc inférieur ou égl u mximum des degrés de chcun des polynômes. On églité si les termes de plus hut degré ne s nnulent ps. Exemple : L somme de f(x) = 3x + 4 et de g(x) = x + x + 5 est le polynôme de degré : (3 )x + ( + )x + (4 + 5) = x + x + 9 5

31 6 Opértions sur les polynômes. Produit Soient f(x) = n i= ix i et g(x) = m j= b jx j deux polynômes à coefficients réels, le produit fg est un polynôme de degré s = n + m défini pr : ( s l ) f(x)g(x) = k b l k x l l= (vec l convention de considérer comme nuls les coefficients d indice supérieur u degré). Le degré du polynôme fg est l somme des degrés de f et g et de coefficient n b m. k= Exemple : de degré 4 : Le produit de f(x) = 3x + 4 et de g(x) = x + x + 5 est le polynôme (3x + 4) ( x + x + 5) = 3x 4 + 6x 3 + 5x 4x + 8x + = 3x 4 + 6x 3 + x + 8x +.3 Premières propriétés Théorème 3. Soit f(x) le polynôme n i= ix i, ce polynôme est l fonction nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Ce théorème signifie qu une fonction polynôme s identifie à l suite de ses coefficients. Corollire 3. Deux fonctions polynômiles f et g égles ont mêmes coefficients. Pour démontrer ce corollire, il suffit de considérer f g et d ppliquer le théorème précédent. Corollire 3. Le produit de deux polynômes non nuls est un polynôme non nul. Démonstrtion : sinon, tous les coefficients du produit serient nuls ; si f est de degré n, de coefficient dominnt n et g de degré m, de coefficient dominnt b m, fg est de degré m + n vec coefficient dominnt n b m. On peut églement trduire ceci en disnt que si le produit de deux polynômes est nul c est que l un d eux est le polynôme nul. Une conséquence prtique est que si l on l églit e fg = fh entre polynômes vec f, lors g = h.

32 3. POLYNÔMES 7 3 Division Euclidienne Théorème 3. Étnt donné un polynôme A(x) et un polynôme non nul B(x), il existe un couple unique (Q(x); R(X)) de polynômes tels que A(x) = B(x)Q(x) + R(x) x R vec degré(r)< degré(b). On dit que l on effectué l division euclidienne du polynôme A(x) pr B(x) ; Q(x) est le quotient, R(x) le reste. Si le reste est nul, on dit que B(x) divise A(x). Nous llons montrer ce théorème sur un exemple. Exemple : divisons le polynôme A(x) pr le polynôme B(x) vec : A(x) = x 4 3x 3 + 5x + 7x B(x) = x + x Au prélble, on ur ordonné les deux polynômes suivnt les puissnces décroissntes de x. On dispose les polynômes de l fçon suivnte : x 4 3x 3 + 5x + 7x x + x Divisons le premier terme du dividende pr le premier terme du diviseur : x 4 : x = x Inscrivons le résultt sous le diviseur (c est le premier terme du quotient). Nous obtenons : x 4 3x 3 + 5x + 7x x + x x Multiplions le terme obtenu pr le diviseur : et soustryons le résultt du dividende : x (x + x ) = x 4 + x 3 4x x 4 3x 3 + 5x + 7x x + x x 4 x 3 + 4x x 5x 3 + 9x + 7x Recommençons le processus en divisnt le premier terme du polynôme résiduel pr le premier terme du diviseur. Nous obtenons insi le deuxième terme du diviseur. Celui-ci est lors multiplié pr le diviseur et le résultt soustrit du polynôme résiduel : 5x 3 : x = 5x 5x(x + x ) = 5x 3 5x + x

33 8 Rcine(s) d un polynôme x 4 3x 3 + 5x + 7x x + x x 4 x 3 + 4x x 5x 5x 3 + 9x + 7x 5x 3 + 5x x 4x 3x On recommence ces étpes jusqu à ce que le degré du polynôme résiduel soit strictement inférieur u degré du diviseur (le polynôme résiduel est lors le reste de l division). Ce qui donne l division complète : x 4 3x 3 + 5x + 7x x + x x 4 x 3 + 4x x 5x + 4 5x 3 + 9x + 7x 5x 3 + 5x x 4x 3x 4x 4x + 8 7x + 6 Le quotient est donc : Q(x) = x 5x + 4 et le reste : R(x) = 7x Cs prticulier : division d un polynôme P (x) pr x Puisque le degré du reste est strictement inférieur u degré du diviseur, le reste est un réel. Théorème 3.3 Le reste de l division du polynôme non nul P (x) pr x vut P () Autrement dit, le reste de l division du polynôme P (x) pr x est l vleur obtenue en remplçnt x pr dns le polynôme. 4 Rcine(s) d un polynôme Définition 3. On dit que R est rcine du polynôme P (x) si P () = En utilisnt le théorème 3.3, on voit que cette définition implique : Théorème 3.4 Le polynôme P (x) dmet pour rcine si et seulement si il est divisible pr x. Corollire 3.3 Si le polynôme P (x) possède t rcines distinctes,,..., t lors P (x) est divisible pr (x )(x )... (x t ) Si est rcine, on peut écrire P (x) = (x )P (x) ; puisque est rcine de P (x), il est rcine de P (x), etc...

34 3. POLYNÔMES 9 Corollire 3.4 Un polynôme de degré n possède u plus n rcines distinctes. Soient,,..., t les rcines distinctes de P (x) on P (x) = (x )(x )... (x t ). En comprnt les degrés des deux membres, on voit que le degré de Q(x) est. Ce corollire implique que deux polynômes de degré n égux pour n+ vleurs distinctes sont égux. C est une générlistion du fit qu une droite (polynôme de degré ) est déterminée de mnière unique à l ide de deux points. Définition 3.3 On dit que deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement si leurs seuls diviseurs communs sont les constntes non nulles. Cette définition implique, entre utres, que deux polynômes premiers n ont ucune rcine en commun. On dmettr le théorème suivnt qui concerne l fctoristion des polynômes : Théorème 3.5 Soit un polynôme à coefficients réels de degré n : P (x) = n i x i vec i R i= P (x) peut s écrire de mnière unique sous l forme : P (x) = n (x x ) h (x x ) h (x x l ) h l (x +p x+q ) k (x +p x+q ) k (x +p m x+q m ) km où x, x,..., x l sont les rcines réelles de P (x), deux à deux distinctes, de multiplicité, h, h,..., h l, et où les trinômes de type (x + px + q) k, deux à deux distincts, ont deux rcines complexes conjuguées, de multiplicité k. On h + h + + h l + (k + k + + k m ) = n. Ce théorème signifie que tout polynôme à coefficients réels se fctorise en un produit de fcteurs du premier degré et de trinômes du second degré à discriminnt négtif. 5 Frctions rtionnelles Les frctions rtionnelles sont ux polynômes ce que les frctions sont ux entiers : un quotient. Définition 3.4 L fonction f(x) est une frction rtionnelle si il existe deux polynômes P (x) et Q(x) premiers entre eux tels que : x R f(x) = P (x) Q(x) Comme pour toute frction, le hut (le polynôme P (x)) s ppelle le numérteur et le bs (le polynôme Q(x)) le dénominteur. Le degré d une frction rtionnelle est égl à l différence du degré du numérteur et de celui du dénominteur.

35 3 Frctions rtionnelles Exemples : l fonction f définie pour tout x pr : f(x) = x 4x + 5 x + 3 Le degré de l frction rtionnelle f(x) est égl à - =. L fonction g définie pour tout x pr : g(x) = x 4x + 5 x + Le degré de l frction rtionnelle g(x) est égl à - =. L fonction h définie pour tout x pr : h(x) = x x x On note que l somme de deux frctions rtionnelles donne une utre frction rtionnelle. En effet : h(x) = x x x = x(x ) (x + 3)(x ) 4(x + 3) (x )(x + 3) = x + x + (x + 3)(x ) Le degré de h est égl à. De l même fçon que tous les entiers sont des frctions, tous les polynômes sont des frctions rtionnelles. A l instr de ce qui se fit pour les frctions, les frctions rtionnelles peuvent être dditionnées, multipliées et même divisées. A chque fois, le résultt est une utre frction rtionnelle. Rppelons qu on ne peut ps toujours diviser un polynôme pr un utre. (Une prticulrité que l on retrouve ussi chez les entiers!) Théorème 3.6 Soit une frction rtionnelle f(x) = P (x) Q(x) supérieur ou égl u degré n de Q(x). Alors, pour tout x tel que Q(x), on peut écrire : f(x) = P (x) Q(x) = E(x) + R(x) Q(x) où le degré m de P (x) est où E(x) est un polynôme de degré m n, dit prtie entière de f(x), et qui est le quotient de l division de P (x) pr Q(x) ; où R(x) est un polynôme de degré strictement inférieur u degré de Q(x), et qui est le reste de l division de P (x) pr Q(x) ; et où R(x) est une frction rtionnelle Q(x) Ce théorème est l équivlent, pour les frctions rtionnelles du théorème 3.

36 3. POLYNÔMES 3 Exemples :. Soit l frction rtionnelle f(x) = x4 +3x+. En notnt que n est ps rcine du (x ) numérteur, on déduit que les polynômes sont premiers entre eux. Pour x, on : 5x 4 +3x + x x + 5x 4 + x 3 5x 5x + x + 5 x 3 5x + 3x + x 3 + x x 5x 7x + 5x + 3x 5 3x 3 et donc : f(x) = 5x 3x 3 + x (x ). Soit l frction rtionnelle f(x) = 5x(x +). Le dénominteur n ynt ps de rcine 3x +x+3 réelle, les polynômes sont premiers entre eux. On, pour tout x R : x 3 +x 3x + x + 3 x 3 / 3 x x / 3 x / 9 / 3 x / 3 x + 4 / 9 x + / 3 4/ 9 x + / 3 et donc : f(x) = 3 x x + 3 3x + x + 3 Théorème 3.7 Soit une frction rtionnelle, g(x) = R(x), où le degré de R(x) est strictement inférieur u degré de Q(x). En utilisnt le théorème 3.5 on peut écrire Q(x) : Q(x) = λ(x x ) h (x x ) h (x x l ) h l (x +p x+q ) k (x +p x+q ) k (x +p m x+q m ) km Alors pour tout x {x, x,..., x l }, l frction rtionnelle s écrit de mnière unique sous l forme : g(x) = R(x) Q(x) A = (x x ) + A h (x x ) + A 3 h (x x ) + + A h h (x x ) B + (x x ) + B h (x x ) + B 3 h (x x ) + + B h h (x x ) + L L + + (x x l ) h l (x x l ) + L 3 h l (x x l ) + + L h l h l (x x l ) + M x + M (x + p x + q ) k + M x + M (x + p x + q ) k + M 3 x + M 3 (x + p x + q ) k + + M k x + M k (x + p x + q )

37 3 Frctions rtionnelles N x + N + (x + p x + q ) + N x + N k (x + p x + q ) + N 3 x + N 3 k (x + p x + q ) + + N k x + N k k (x + p x + q ) + T x + T + (x + p m x + q m ) + T x + T km (x + p m x + q m ) + + T k m x + T k m km (x + p m x + q m ) où A,..., A h, B,..., B h, L,..., L hl, M,..., M k, M,..., M k, N,..., N k, N,..., N k, T,..., T km, T,..., T k m sont des nombres réels. Ce théorème, que l on dmettr, permet l décomposition des frctions rtionnelles en éléments simples. Exemples :. Soit l frction rtionnelle f(x) = 5x4 +3x+.On montré (exemple du théorème 3.6) (x ) que cette frction rtionnelle pouvit s écrire : f(x) = 5x + x x 3. (x ) Le théorème 3.7 permet d écrire : 3x 3 (x ) = A (x ) + B (x ) L détermintion des constntes A et B (unicité de l décomposition) peut se fire, pr exemple, en écrivnt : 3x 3 (x ) = A B(x ) Bx + (A B) + = (x ) (x ) (x ) L églité doit voir lieu pour tout x, ce qui impose : B = 3 et A B = 3 = A = et donc : 5x 4 + 3x + = 5x + x (x ) (x ) + 3 (x ) x. Soit l frction rtionnelle f(x) = x (x )(x +). Les polynômes sont évidemment premiers entre eux et le degré du numérteur est strictement inférieur u degré du dénominteur (degré 7), l prtie entière est nulle et pour tout x différent de ou, on : x (x )(x + ) = A x + B x + C (x ) + Dx + E (x + ) + F x + G x + En multiplint les deux membres de l églité pr x et en fisnt tendre x vers zéro, on obtient A =. En multiplint ensuite pr x et en fisnt tendre x vers on obtient C = 4. En réduisnt u même dénominteur et en dditionnnt les frctions du membre de droite, on obtient : = A(x )(x +) +Bx(x )(x +) +Cx (x +) +(Dx+E)x (x )+(F x+g)x (x )(x +)

38 3. POLYNÔMES 33 L églité des numérteurs pour tout x différent de zéro et de un implique successivement : B =, F = 3 = G, D = = E. Finlement : 4 f(x) = x x + 4 (x ) + x + (x + ) x + x + x {, }

39 34 Exercices 6 Exercices. Vri ou Fux? () les fonctions suivntes sont des polynômes : i. x ii. x 4 iii. e x iv. x Z (b) les seuls polynômes inversibles sont les constntes non nulles. (c) le produit de deux frctions rtionnelles est une frction rtionnelle. (d) l somme de deux polynômes de degré m est un polynôme de degré m.. Clculer l division de P (x) pr Q(x) pour les cs suivnts : () P (x) = x 4 + x 3 6x + x + 6, Q(x) = x 3 7x + 5 ; (b) P (x) = x 4 + x 3 3x 4x, Q(x) = x 3 + x x ; (c) P (x) = x 4 + 7x 3 + 9x + 3x +, Q(x) = x 4 + 7x 3 + 8x + x + 3. Trouvez les rcines de P (x) (ttention il peut y voir des rcines multiples) : () P (x) = x 6 6x 4 4x 3 + 9x + x + 4 (b) P (x) = x 5 x 3 x 5x 4 4. Décomposer en éléments simples les frctions rtionnelles suivntes : F (x) = (x + ) x 4 + F (x) = x 3 + x 3 (x + x + )(x + ) F 3 (x) = = (x 3) (x + 4) F 4 (x) = x + x (x )(x + ) F 5 (x) = x5 + 3x (x + x + ) 3 F 6 (x) = (3x7 5x 4 + 4x x + (x + x + ) 994 x F 7 (x) = (x + )(x + ) 3 5. Soit n un entier nturel non nul. Trouver l dérivée n-ième des frctions rtionnelles suivntes : F (x) = x (x )(x )(x 3)

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