3.1 REDUCTION D UN SYSTEME DE FORCES COPLANAIRES

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1 3.1 EDUCTIN D UN SYSTEME DE FCES CPLANAIES éuire un sstème e frces nné, c est truver le sstème le plus simple qui sit, puvnt remplcer l ensemble initil sns mifier ses effets etérieurs sur le crps uquel il est ppliqué. L pértin qui permet e truver ce sstème plus simple et «sttiquement équivlent» ppelé «trseur résultnt», se nmme l «réuctin». En générl, le sstème que l n it réuire est cnstitué e frces nt les lignes ctin snt quelcnques ns le pln et e cuples (u mments) situés ns le même pln. Sit nc le sstème cnstitué e frces, F2,..., Fi,..., Fn ppliquées u pints A1, A2,..., Ai,..., An un crps, et e mments (u cuples) M i. Sit un pint quelcnque ns le pln es frces. M i Fi Ai A1 An Fn n peut tujurs remplcer cque frce Fi nnée pr une même frce Fi en ccmpgnée un cuple e mment Mi et insi btenir un sstème e n frces Fi et e n mments Mi cncurnts u pint. Qunt u cuples e éprt M i, ils restent incngés! M1 A1 A1 Fi M i M1 Mi Mn Fn Ces frces peuvent, à leur tur, être remplcées pr leur résultnte : = Fi Sttique ppliquée DEH 04 pge 17

2 et les mments pr un mment résultnt : M = (Mi M i) vec i = 1,..., n. M Tut sstème e frces cplnires peut être réuit, e cette mnière, à une résultnte et un mment résultnt M ppliqués en un pint rbitrire, ppelés «éléments e réuctin u trseur résultnt en». n purr lrs énncer le principe suivnt : «n mettr que eu sstèmes e frces snt équivlents s ils nt le même trseur résultnt en un pint quelcnque». Lrsque, cmme c est suvent le cs, l résultnte est ifférente e zér, le trseur résultnt peut à sn tur être rmené à une frce unique gissnt à une istnce éterminée u pint e mnière à créer, pr rpprt à ce pint, un mment égl u mment résultnt M. Cette istnce entre le pint et l ligne ctin e est nnée pr : = M /. Cette ernière cnclusin signifie nc que le mment e l frce résultnte pr rpprt à est égl à l smme es mments es frces u sstème initil pr rpprt u même pint. Ceci cnstitue une etensin u térème e VAIGNN u frces nn cncurntes! Lrsque l résultnte est nulle, le trseur résultnt se réuit u mment résultnt M, c està-ire à un cuple e mment M (l seule crctéristique un cuple étnt sn mment). n peut nc cnclure que tut sstème e frces cplnires peut être finlement réuit sit à une frce résultnte, sit à un mment (u cuple) résultnt. Sttique ppliquée DEH 04 pge 18

3 Seule eceptin : le cs ù et M snt nuls, ce qui est tujurs pssible, le sstème n eerce lrs ucune ctin sur le crps. En résumé, un sstème e frces cplnires peut : - se rmener à une résultnte unique ; - se réuire à un cuple ; - être équivlent à zér. En prtique, pur clculer l résultnte et le mment résultnt M u pint, n écmpse tutes les frces Fi en leurs cmpsntes rectngulires suivnt eu es et. n peut lrs itinner lgébriquement ces cmpsntes et btenir et qui snt les cmpsntes rectngulires suivnt les mêmes es e : = Fi et = Fi vec i = 1,..., n L grneur e l résultnte = et s irectin snt lrs furnies pr : = = 2 2 et tgθ n clcule ensuite les mments es cmpsntes es frces Fi pr rpprt u pint. L smme e tus ces mments, vec les cuples e éprt, ser égle u mment résultnt M : M = M (Fi) M (Fi) M i vec i = 1,..., n Si le sstème prpsé it être réuit à une résultnte unique, n peut truver un pint e pssge P e l ligne ctin e l résultnte éclée, à l ie une es eu prcéures iniquées ci-essus : - fire glisser sur s ligne ctin e mnière à mener sn pint pplictin P sur l e es ; - écmpser en ses 2 cmpsntes rectngulires et ; - écrire l epressin u mment e pr rpprt à : M =. P nt n peut tirer l vleur e P, bscisse u pint e pssge e! P P M u bien : Sttique ppliquée DEH 04 pge 19

4 - fire glisser sur s ligne ctin e mnière à mener sn pint pplictin P sur l e es ; - écmpser en ses 2 cmpsntes rectngulires et ; - écrire l epressin u mment e pr rpprt à : M =. P nt n peut tirer l vleur e P, rnnée u pint e pssge e! M P P CAS PATICULIE D UN SYSTEME DE FCES PAALLELES Cnsiérns un sstème e frces verticles pr eemple, et réuisns ce sstème à une résultnte et un cuple u pint : 1 2 F2 F3 3 = Fi = = 0 ; = Fi = - - F2 F3 M = M(Fi) = F22 F33 L résultnte n nt ps e cmpsnte seln l e, est nc verticle elle ussi. Le sstème, M peut lrs être réuit à une seule frce, éclée une quntité furnie pr l équtin : = M /, le signe e se éuisnt u signe e M et u sens e. M Sttique ppliquée DEH 04 pge 20

5 CAS PATICULIE D UNE FCE EPATIE Une telle frce vrie e mnière cntinue le lng une ligne. Elle est éfinie pr sn intensité en fnctin une bscisse mesurée le lng e cette ligne, c est-à-ire pr une équtin q(). Elle est nnée en N/m u en kn/m. Si l frce est cnstnte le lng e s ligne pplictin, n l ppelle crge unifrme u unifrmément réprtie q. q() q N/m Dns ce cs, les équtins e réuctin s écrivent : = 0, cr il n ps e cmpsnte seln cet e ; = lim - = lim = = M = lim -. = lim = = q() = q ( ) q() = q ( ) cs une crge unifrme : q = q.l l l / 2 = 0 et = M = l l q = q.l q = q.l 2 / 2 ù l n tire : = M / = l / 2. L résultnte unique est nc une frce verticle vers le ut, située à mi-lngueur e l crge réprtie. Sttique ppliquée DEH 04 pge 21

6 cs une crge tringulire : q 0 q() = q 0. / 2 = 0 = q() = (q 0 - q 0. / ) = q 0. / 2 M = q() = (q 0 - q 0. / ) = q 0. 2 / 6 ù l n tire : = M / = / 3 L résultnte unique est nc une frce rizntle irigée vers l guce et située u tiers e l lngueur e l frce réprtie, cmpté à prtir e sn intensité mimum q 0. / 3 cs une crge trpézïle : Ce cs se résut pr simple superpsitin es eu cs précéents. qq 10 q 2 = Q 1 L Q 2 (q 1 - q 2 ) q 2 Q=Q 1 Q 2 = = Q1. L 2 Q2.L Q 3 Sttique ppliquée DEH 04 pge 22