Etude de fonctions définies par une intégrale

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1 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés Eude de foncions définies par une inégrale Eercice [ 53 ] [correcion] Soi f : d a) Monrer que f es définie sur R +. b) A l aide du changemen de variable u = /, calculer f(). c) Monrer que f es coninue e décroissane. d) Déerminer lim f. Eercice [ 53 ] [correcion] Soi g() = e d + 3 a) Calculer g() en réalisan le changemen de variable = /u. b) Eudier les variaions de g sur son domaine de définiion. c) Eudier la limie de g en. Eercice 3 [ 533 ] [correcion] Soi f : cos + d a) Monrer que f es définie, coninue sur R +. Eudier les variaions de f. b) Déerminer les limies de f en + e. c) Déerminer un équivalen de f en + e. Eercice 4 [ 534 ] [correcion] a) Jusifier que l inégrale suivane es définie pour ou > + d b) Jusifier la coninuié de f sur son domaine de définiion. c) Calculer f() + f( + ) pour >. d) Donner un équivalen de f() quand + e la limie de f en. Eercice 5 [ 535 ] [correcion] Soi f : [, [ R définie par e (+ ) + d a) Monrer que f es dérivable sur [, [ e eprimer f (). b) Calculer f() e lim f. c) On noe g l applicaion définie par g() = f( ). Monrer ( ) g() + e d = π 4 d) Conclure Eercice 6 [ 536 ] [correcion] Soi f la foncion donnée par π e d = sin ()d a) Monrer que f es définie e posiive sur ], [. b) Monrer que f es de classe C e préciser sa monoonie. c) Former une relaion enre f( + ) e f() pour ou >. d) On pose pour >, ϕ() = f()f( ) Monrer que >, ϕ( + ) = ϕ() Calculer ϕ(n) pour n N. e) Déerminer un équivalen à f en +. Eercice 7 [ 537 ] [correcion] Soi f : e + d a) Monrer que f es définie e coninue sur R +. b) Monrer que f es dérivable sur R + e soluion de l équaion différenielle π y y = Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

2 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés Eercice 8 [ 538 ] [correcion] Soi F : e + d Monrer que F es soluion sur R + de limie nulle en de l équaion différenielle y + y = Eercice 9 [ 54 ] [correcion] On considère les foncions f e g définies sur R + par : e sin d e g() = + + d a) Monrer que f e g son de classe C sur R + e qu elles vérifien l équaion différenielle y + y = b) Monrer que f e g son coninues en c) En déduire que sin d = π Eercice [ 54 ] [correcion] a) Jusifier la convergence de l inégrale b) Pour ou, on pose I = F () = sin d e sin Déerminer la limie de F en. c) Jusifier que F es dérivable sur ], [ e calculer F d) En admean la coninuié de F en déerminer la valeur de I. d Eercice [ 543 ] [correcion] Pour R + e, on pose f(, ) = e sinc où sinc (lire sinus cardinal) es la foncion sin prolongée par coninuié en. Pour n N, on pose u n () = (n+)π nπ f(, )d a) Monrer que u n () = ( ) n π g n(, u) du avec g n (, u) qu on epliciera. b) Monrer que la série de foncions de erme général u n converge uniformémen sur R +. c) On pose U() = u n (). Jusifier que U es coninue e eplicier U sous la n= forme d une inégrale convergene. d) Monrer que U es de classe C sur ], [ e calculer U (). e) Eplicier U() pour > puis la valeur de U() = sin Eercice [ 49 ] [correcion] On considère la foncion suivane I définie par : D, I() = d (sin ) d a) Déerminer le domaine de définiion D. b) Monrer que I es de classe C sur D. c) Calculer I(), I(), I(), I(3), I(4). d) Trouver une relaion simple enre I( + ) e I(). e) Soi n N. Que vau I(n)I(n )? f) Déerminer des équivalens simples de I au erémiés de D. Eercice 3 [ 878 ] [correcion] a) Pour quels de R l inégrale (sin ) d eise--elle? Dans ce cas, soi f() sa valeur. b) Monrer que f es de classe C sur son inervalle de définiion. c) Que dire de la foncion ( + )f()f( + )? Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

3 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés 3 Eercice 4 [ 87 ] [correcion] Pour R, on pose a) Définiion de f. b) Coninuié e dérivabilié de f. c) Ecrire f() comme somme de série. Eercice 5 [ 875 ] [correcion] Soi Ω = {z C/Rez > }. Si z Ω, on pose f(z) = sin() e d z + d a) Monrer que f es définie e coninue sur Ω. b) Donner un équivalen de f() quand end vers. c) Donner un équivalen de f(z) quand Rez. Eercice 6 [ 88 ] [correcion] Monrer que, pour ou réel posiif, Eercice 7 [ 88 ] [correcion] On pose, pour >, arcan(/) ln + d = d e + d Monrer que f es de classe C sur ], [ e rouver des équivalens simples de f en e en. Eercice 8 [ 3 ] [correcion] On considère ϕ : e i + d a) Monrer la définie e la coninuié de ϕ sur R. b) Monrer que ϕ es de classe C sur R e monrer que c) Monrer que pour >, ϕ e i () = i + d ϕ ue iu () = i + u du e déerminer un équivalen de ϕ () quand +. d) La foncion ϕ es-elle dérivable en? Eercice 9 [ 333 ] [correcion] Soi f : π π cos( sin θ) dθ a) Monrer que f es définie e de classe C sur R. b) Déerminer une équaion différenielle linéaire d ordre don f es soluion. c) Monrer que f es développable en série enière sur R. d) Eploier l équaion différenielle précédene pour former ce développemen. Eercice [ 334 ] [correcion] Pour >, on pose a) Monrer que f es définie e coninue. b) Déerminer les limies de f en + e. Eercice [ 36 ] [correcion] a) Déerminer le domaine de définiion de d + cos b) Donner un équivalen de f en e en. d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

4 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés 4 Eercice [ 3658 ] [correcion] On pose F () = e + d a) Monrer que F () es bien définie pour ou. b) Monrer que F es de classe C sur [, [. c) Calculer F (n) () pour ou n N. Eercice 3 [ 376 ] [correcion] a) Déerminer l ensemble de définiion de b) Donner la limie de f en =. d ( )( ) Eercice 6 [ 3887 ] [correcion] a) Monrer la coninuié de l applicaion définie sur ], [ par g() = b) Préciser ses limies en e. Eercice 7 [ 3889 ] [correcion] Soi g : sin() + d e + d Monrons que g es soluion sur R + de l équaion différenielle y + y = Eercice 4 [ 3736 ] [correcion] On pose f(α) = d α ( + ) a) Eudier l ensemble de définiion de f. b) Donner un équivalen de f en. c) Monrer que le graphe de f adme une symérie d ae = /. d) Monrer que f es coninue sur son ensemble de définiion. e) Calculer la borne inférieure de f. Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA Eercice 5 [ 556 ] [correcion] Pour >, on pose F () = ln + d a) Monrer que F es de classe C sur ], [. b) Calculer F () e en déduire l epression de G() = F () + F (/) c) Soi θ R. Calculer ln + + ch(θ) + d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

5 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 5 Correcions Eercice : [énoncé] a) Posons g(, ) = Pour ou R +, la foncion g(, ) es définie, coninue sur R + e g(, ) / 3 donc f() eise. b) u /u es un C difféomorphisme enre R + e R +. On peu réaliser le changemen de variable = /u qui donne d + 3 = udu + u 3 Donc puis f() = [ d + = 3 arcan ] = 4π f() = π 3 3 c) g(, ) es coninue sur R +, g(, ) es coninue par morceau sur [, [ avec g(, ) + 3 = ϕ() e ϕ inégrable sur [, [ donc f es coninue. Si y alors [, [, g(y, ) g(, ) donc f(y) f(). Ainsi f es décroissane. Rq : On peu aussi monrer f de classe C mais cela alourdi la démonsraion d) f end vers en car d du f() = =u + u 3 Eercice : [énoncé] a) + es inégrable sur R + donc g() eise. 3 u /u es une bijecion C enre R + e R +. On peu réaliser le changemen de variable = /u qui donne d + 3 = udu + u 3 Donc puis g() = [ d + = 3 arcan ] = 4π g() = π 3 3 b) La foncion g es paire. Pour, on a pour ou, e e donc g es décroissane sur R +. c) Pour >, donc lim g() =. g() e d = Eercice 3 : [énoncé] a) Inroduisons g(, ) = cos + définie sur R+ [, π/]. La foncion g es coninue e e coninue par morceau en. Pour [a, b] R +, on a (, ) [a, b] [, π/], g(, ) + a = ϕ() La foncion ϕ es inégrable sur [, π/]. Par dominaion sur ou segmen, on peu affirmer que f es coninue sur R +. Aussi, pour <, on a [, π/], g(, ) g(, ) En inégran, on obien f( ) f(). La foncion f es donc décroissane. On aurai pu aussi éablir que f es de classe C e éudier le signe de sa dérivée. b) Quand, f() + d Quand + c) f() π/4 cos + d + π/4 [ln( + )]π/4 = ln + π/ cos d f() cos d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

6 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 6 donc On sai : f() π/, cos Quand, donc f(). f() d = donc Or e donc d + d π/ + f() d + π/ = ln ln + d + f() ln d = C = o(ln ) d + Eercice 4 : [énoncé] a) La foncion + es définie e coninue par morceau sur ], ]. Quand +, + = avec < donc + es inégrable sur ], ]. b) Posons g(, ) = + sur ], [ ], ]. g(, ) es coninue par morceau sur ], ], g(, ) es coninue sur ], [. Soi [a, b] R +, (, ) [a, b] ], ], g(, ) a + a = ϕ a () avec ϕ a inégrable sur ], ]. Par dominaion sur ou segmen de ], [, on peu affirmer que f es coninue sur ], [. c) Pour > f() + f( + ) = d = d) Quand +, f( + ) f() donc f( + ) = o(/) puis f() /. Eercice 5 : [énoncé] a) Inroduisons la foncion u : (, ) [, [ [, ] e (+ ) + Pour chaque [, [, la foncion u(, ) es coninue par morceau sur [, π/]. La foncion f es donc bien définie. La foncion u adme une dérivée parielle u : (, ) ) e (+ Celle-ci es coninue en, coninue par morceau en e vérifie (, ) [, [ [, ], u (, ) La foncion ϕ : es inégrable sur [, ]. Par dominaion, on peu alors affirmer que f es de classe C e b) On a Pour, f () = u (, ) d = f() = f() donc lim f =. c) g es de classe C par composiion e g () = f ( ) = d + = π 4 e d = e e (+) d e (+ ) d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

7 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 7 On a alors ( ( ) g() + e d) = car e d = L évaluaion en perme de conclure. d) Pour, e d donc e d = e (+ ) d + e e d = e u du π π g() 4 Eercice 6 : [énoncé] a) La foncion (sin ) es définie, coninue e posiive sur ], π/]. Quand +, (sin ) avec > donc (sin ) es inégrable sur ], π/]. Ainsi f es définie e posiive sur ], [ b) La foncion g (, ) = ln(sin )(sin ) es définie, coninue en e coninue par morceau en. Soi [a, b] ], [. Sur [a, b] ], π/] g (, ) ln(sin )(sin )a = ϕ() avec ϕ es inégrable sur ], π/] car pour α el que a < α <, α ϕ() a+α ln() Par dominaion sur ou segmen, f es de classe C sur ], [ e f () = Ainsi la foncion f es décroissane. c) En inégran par paries f(+) = ln(sin )(sin ) d [ ] (sin ) (sin ) ( cos + π/ )d = f() cos + + f(+) e donc d) On a e donc par récurrence f( + ) = + + f() ϕ( + ) = ( + )f( + ) f( ) ϕ() e) ϕ es coninue e quand, Or quand, donc quand, ϕ() = f()f() = π/ n N, ϕ(n) = π/ ϕ() = ϕ( + ) ϕ() = π/ f() f() = π/ ϕ( + ) ( + )f( + ) + Rq : En fai on peu monrer que ϕ es une foncion consane. Eercice 7 : [énoncé] a) g : (, ) e + es définie coninue en e coninue par morceau en sur R + [, [ avec g(, ) + = ϕ() e ϕ inégrable sur [, [. Par dominaion, on peu affirmer que f es définie e coninue sur R +. b) g eise e es coninue en e coninue par morceau en sur R+ [, [. Pour [a, b] R + on a g (, ) = + e e a = ψ() avec ψ inégrable sur R +. Par dominaion sur ou segmen de R +, on peu affirmer que f es de classe C sur ], [ avec f e () = + d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

8 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 8 Enfin, f() f () = e d = u= e u du = π Eercice 8 : [énoncé] Considérons f : (, ) e + définie sur ], [ [, [ Pour ou ], [, f(, ) es coninue par morceau sur [, [ e inégrable car f(, ) + Pour [, [, la foncion f(, ) es de classe C sur ], [ e f e (, y) = + e f e (, ) = + Pour ou ], [, la foncions f (, ) es coninue par morceau e inégrable. La foncion f es coninue en, coninue par morceau en. Soi [a, b] ], [. Sur[a, [ [, [, on a f (, ) e a avec ϕ : e a coninue par morceau e inégrable sur [, [. Par dominaion sur ou compac, la foncion F es de classe C sur R + e F () + F () = Enfin F car f() Eercice 9 : [énoncé] a) Posons Les foncions e + d + e + d = e + d f(, ) = e + e d = f, f e f eisen e son coninues sur R + R. e d = Pour chaque, les foncions f(, ) e f (, ) son inégrables. Soi [a, b] ], [. Sur [a, b] [, [, on a f (, ) e a + e a = ϕ() La foncion ϕ es inégrable sur [, [. Par dominaion sur ou segmen, on peu affirmer que la foncion f es définie e de classe avec f e () = + d On a alors Posons Les foncions g, g f() + f () = g(, ) = sin + e d = e g eisen e son coninues sur R + R. La foncion g(, ) d es bien définie sur R + (inégrale convergene via inégraion par paries) La foncion g (, ) es inégrable e sur [a, b] [, [ g (, ) (a + ) 3 = ψ() La foncion ψ es inégrable sur [, [. Par dominaion sur ou segmen, on peu affirmer que g es de classe C e Par une inégraion par paries [ g () = sin ] ( + ) b) Pour R +, g () = + donc f es définie e coninue sur R +. g() g() = sin ( + ) 3 d cos ( + ) d = f(, ) + sin d = ( + ) ( cos ( + ) d = g() sin ) ( + ) d + sin ( + ) d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

9 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 9 mais sin ( + ) d e sin ( + ) d donc g es coninue en. c) D une par D aure par e en prenan donc g () f() g () d = ln( + ) ln ( + ) d e d = sin ( + ) 3 d sin ( + ) d sin d ( + ) g() = g () Ainsi f g ce qui perme via résoluion de l équaion différenielle de conclure On en dédui g() = f() i.e. Eercice : [énoncé] a) Par découpage Par inégraion par paries π sin sin d = d = π f = g sin sin d = π sin d + d π [ cos ] cos π π d Or [ cos ] cos π π d adme une limie quand car le erme inégrale converge. Cela perme de conclure à la convergence de b) Posons I = sin d f(, ) = e sin définie sur ], [ ], [. Pour ou >, la foncion f(, ) es coninue par morceau sur ], [ e inégrable car f(, ) + e f(, ) De plus, puisque sin pour ou >, on a F () c) f adme une dérivée parielle e d = f (, ) = e sin() Celle-ci es coninue en e coninue par morceau en. Soi [a, b] ], [. On a (, ) [a, b] ], [, f (, ) e a = ϕ() La foncion ϕ es inégrable sur ], [. Par dominaion sur ou segmen, on obien F de classe C sur ], [ e En eploian on obien F () = e sin() d ( ) e sin() d = Im e e i d F () = + Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

10 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions d) On en dédui e puisque lim F () =, Par coninuié en, F () = arcan + C e sur ], [ F () = π arcan I = π Eercice : [énoncé] a) On réalise le changemen de variable = u + nπ : Ici u n () = ( ) n π e (u+nπ) g n (, u) = e (u+nπ) sin u u + nπ sin u u + nπ du b) Pour ou R + e ou u [, π], g n (, u) e g n+ (, u) g n (, u) donc u n () = ( ) n u n () avec ( u n () ) n décroissane. De plus donc u n () n e u n () π du nπ = n pour n N. Par applicaion du crière spécial, la série u n () converge n k=n+ u k () u n+() n + ce qui donne la convergence uniforme de la série de foncions n u n. c) La foncion g n es coninue en, coninue par morceau en u e [, [ [, π], g n (, u) sincu Par dominaion, les foncions u n son coninues. Comme somme d une série uniformémen convergene de foncions coninues sur R +, la foncion U es coninue sur R +. De plus, par sommaion d inégrales coniguës sin U() = e d avec cee inégrale qui es définie quand > e connue convergene quand =. d) Posons h(, ) = e sin définie sur ], [ ], [. Pour ou >, la foncion h(, ) es coninue par morceau sur ], [ e inégrable car h adme une dérivée parielle f(, ) + e f(, ) h (, ) = e sin() Celle-ci es coninue en e coninue par morceau en. Soi [a, b] ], [. On a (, ) [a, b] ], [, h (, ) e a = ϕ() La foncion ϕ es inégrable sur ], [. Par dominaion sur ou segmen, on obien U de classe C sur ], [ e En eploian on obien e) En inégran Or donc C = π/. Par coninuié en, U () = e sin() d ( ) e sin() d = Im e e i d U () = + U() = C arcan sur ], [ U() U() = e d = sin d = π Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

11 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions Eercice : [énoncé] a) Pour, I() es définie comme inégrale d une foncion coninue sur un segmen. Pour <, I() es une inégrale généralisée en + avec (sin ) Cee dernière converge si, e seulemen si, <. Ainsi D = ], [. b) Posons f : (, ) (sin ) = ep( ln(sin )). Pour ou k N, k f k (, ) = (ln(sin )) k (sin ). k f. es coninue sur D ], π/] e pour ou a >, k k f (, ) ln(sin ) k (sin ) a pour ou a. k Par dominaion sur ou compac, on peu affirmer que I es de classe C sur D. c) On défini la foncion I qu on appellera J pour évier une confusion avec le i de Maple J:=->in(sin()ˆ, =..Pi/); Puis on calcule les valeurs demandées seq(j(k), k=..4); d) Par inégraion par paries I( + ) = + + I(). e) Regardons les premiers ermes seq(j(n)*j(n-), n=..); On présume I n I n = π n ce que l on éabli par récurrence. f) Puisque I() = + + I( + ), quand +, I() + I() = + Pour obenir un équivalen de I() quand, commençons par éudier I(n). La foncion I es décroissane e posiive donc I(n + ) I(n) I(n ) puis e enfin π (n + ) I(n) π n I(n) π n Puisque I(n + ) I(n) e I monoone, on a I() I() π Eercice 3 : [énoncé] a) Posons u(, ) = (sin ) définie sur R ], π/]. I( ) e on en dédui Pour ou R, u(, ) es coninue par morceau sur ], π/]. On a u(, ) + donc u(, ) es inégrable sur ], π/] si, e seulemen si, >. De plus, la foncion u(, ) es posiive e donc la convergence de l inégrale équivau à l inégrabilié de la foncion. En conclusion, l inégrale eise si, e seulemen si, >. b) u adme une dérivée parielle u (, ) = ln(sin )(sin ) Celle-ci es coninue en e coninue par morceau en. Pour [a, b] ], [, on a (, ) [a, b] ], π/], u (, ) ln(sin ) (sin )a = ϕ() La foncion ϕ es inégrable car ϕ() ln a = o ( α ) avec α ], a[ + Par dominaion sur ou segmen, on obien f de classe C avec c) Posons f () = Une inégraion par paries avec donne On en dédui ln(sin )(sin ) d ϕ() = ( + )f()f( + ) u () = sin e v() = (sin ) ( (sin ) d = ( ) (sin ) d ϕ( + ) = ϕ() Monrons que cee foncion es en fai consane. Soi a ], [. Pour ou n N, ϕ(a + n) = ϕ(a). (sin ) d ) Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

12 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions En posan p = a, la décroissance de f donne Or e donc ϕ(a) = ϕ(a + n) (a + n + )f(p + n)f(p + n + ) (p + n + )f(p + n)f(p + n + ) = ϕ(p + n) = ϕ() (a + n + )f(p + n)f(p + n + ) = a + n + ϕ() p + n + ϕ() n De façon semblable, ϕ(a) peu êre minorée par une suie de limie ϕ(). On peu donc affirmer que ϕ es consane. Eercice 4 : [énoncé] a) Pour R, sin() e es coninue par morceau sur ], [, ( ) sin() e = sin() O() e = e o donc f() es bien définie pour ou R. b) Posons g(, ) = sin() e. g adme une dérivée parielle g avec g (, ) = e cos() g g (, ) es coninue sur R, (, ) es coninue par morceau sur ], [. Enfin g (, ) e = ϕ() avec ϕ inégrable sur ], [. Par dominaion, on peu affirmer que f es de classe C, a foriori coninue e dérivable. c) La décomposiion e = e n perme d écrire f() = n= n= sin()e n d Par la majoraion sin(u) u, on obien sin()e n e n d = n La série [,[ sin()e n d converge, on peu inégrer erme à erme f() = n= sin()e n d On calcule l inégrale sommée en considéran la parie imaginaire de On obien à erme f() = e i e n d n= n + Eercice 5 : [énoncé] a) Pour a >, on noe Ω a = {z C/Re(z) a}. z z + es coninue par morceau sur ], ], z + es coninue sur Ω e pour z Ω a, z + a + = ϕ() avec ϕ inégrable sur ], ] car ϕ() a quand +. Par dominaion, on peu affirmer que f es définie e coninue sur Ω a. Ceci valan pour ou a >, on peu encore affirmer que f es définie e coninue sur Ω. b) On observe f() + f( + ) = d = + e par coninuié donc c) Par inégraion par paries f( + ) f() f() + (z + )f(z) = + z+ ( + ) d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

13 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 3 Or avec z+ ( + ) d z+ d z+ = ep((z + ) ln = ep ((Re(z) + ) ln ) = Re(z)+ car les eponenielles imaginaires son de module. On a alors z+ ( + ) d Re(z)+ d = Re(z) + Re(z) Ainsi puis Eercice 6 : [énoncé] Eudions la foncion donnée par (z + )f(z) Re(z) f(z) z z arcan(/) + Noons u(, ) = arcan(/) + définie sur R + ], [ u(, ) es coninue par morceau sur], [ pour chaque R + u(, ) es coninue sur R + pour chaque ], [ e u(, ) π/ + = ϕ() avec ϕ foncion inégrable sur ], [. On en dédui que la foncion f es définie e coninue sur R +. u(, ) es dérivable sur R + pour chaque ], [ e u (, ) = ( + )( + ) u (, ) es coninue sur R+ pour chaque ], [ u (, ) es coninue par morceau sur ], [ pour chaque R+ e u (, ) = ( + ) car +. Soi [a, b] ], [ (, ) [a, b] ], [, u (, ) = a ( + ) = ψ() avec ψ foncion inégrable. Par dominaion sur ou segmen, on obien f de classe C sur ], [ avec f () = ( + )( + ) d Pour, on peu décomposer la fracion raionnelle définissan l inégrande e on obien alors ( + )( + ) = ( )( + ) ( )( + ) f () = [ ( )] + ln + = ln ( ) Cee idenié se prolonge en = par un argumen de coninuié. On a alors ln ln ( d = lim ) ε ε ( d = lim f() f(ε) ) ε Or f() = e par coninuié on parvien à ln ( d = f() ) Eercice 7 : [énoncé] La foncion f es bien définie sur ], [ e Posons définie sur ], [ [, [. π u(, ) = e + e + d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

14 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 4 u adme deu dérivées parielles u (, ) = + e e u (, ) = + e Pour chaque >, les foncions u e u son inégrables e pour ou [a, b] ], [, on a la dominaion u (, ) e a = ϕ() avec ϕ inégrable. On en dédui que la foncion e + d es définie e de classe C sur ], [. Il en es de même pour f par opéraions sur de elles foncions. Quand, e + d donc f() π puis π f() + e d = Eudions mainenan f() quand +. Par le changemen de variable u =, e u + u du = u e u + u du u avec Par inégraion par paries, Pour ], ], ϕ : u e u u [ ] ln( + u )ϕ(u) ln( + u ) ln(u ) + ln( + u ) ln( + u )ϕ (u) du es inégrable sur ], [ car ϕ peu êre prolongée par coninuié en e On en dédui ϕ (u) Eercice 8 : [énoncé] a) Posons f : R R R définie par u e u u ln + O() ln + f(, ) = La foncion f es définie e coninue sur R. Pour ou (, ) R, on a ei + f(, ) + = ψ() avec ψ inégrable sur [, [. On en dédui que ϕ es définie e coninue sur R. b) Par inégraion par paries ϕ() = i + e i i ( + ) d La foncion e i ( + ) d es de classe C sur R en veru de la dominaion ( ) e i ( + ) = ( + ) + On en dédui que ϕ es de classe C sur R avec ϕ () = i i Or par inégraion par paries e i ( + ) d + e i ( + ) d e la foncion u ( ln(u ) + ln( + u ) ) ϕ (u) e i ] [ ( + ) = ei e i + + i + d Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

15 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 5 donc ϕ () = e i + d + Enfin, une dernière inégraion par paries donne ϕ () = [ + ei e i ( + ) d = ] + i + ei d ( + ) ei d e la relaion voulue... c) Par le changemen de variable u =, on obien l epression proposée. On peu décomposer ϕ () = i D une par, par inégraion par paries avec e D aure par avec e Au final ue iu + u du + ue iu + u du ue iu [ ] ue iu + u du = u + u ( + u ) eiu du [ ue iu + u ] u ( + u ) eiu du = ei + ei + u ( + u ) du = + + ue iu + u du = u + u du + u(e iu ) + u du [ ] u + u du = ln( + u ) u(e iu ) + u du e iu u ln + du < ϕ () = i ln + o(ln ) + O() i ln + d) En veru de ce qui précède Im(ϕ ()) ln + On en dédui que la foncion réelle Imϕ n es pas dérivable en, il en es a foriori de même de ϕ. Eercice 9 : [énoncé] a) Posons u : R [, π] R la foncion définie par u(, θ) = cos( sin θ) La foncion u adme des dérivées parielles u (, θ) = sin θ sin( sin θ) e u (, θ) = sin θ cos( sin θ) Pour chaque R, θ u(, θ) e θ u (, θ) son coninues par morceau sur [, π] donc inégrable. De plus u es coninue en e coninue par morceau en θe R, θ [, π], u (, θ) = ϕ(θ) L applicaion ϕ éan inégrable sur [, π], on peu affirmer par dominaion sur ou segmen que la foncion f es de classe C avec f () = π b) On remarque e donc π sin θ cos( sin θ) dθ e f () = π f () = π π (f () + f()) = π π (cos θ ) cos( sin θ) dθ π Par inégraion par paries, on obien cos θ. ( cos θ cos( sin θ)) dθ (f () + f()) = f () sin θ cos( sin θ) dθ On en dédui que f es soluion de l équaion différenielle linéaire d ordre y () + y () + y() = Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

16 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 6 c) Pour ou R, on peu écrire π π n= ( ) n (n)! (sin θ)n n dθ Puisque la série n (n)! es convergene, un argumen de convergence normale perme une inégraion erme à erme e donc n= a n n avec a n = ( )n (n)!π π (sin θ) n dθ d) Nous pourrions calculer l inégrale définissan a n car c es une inégrale de Wallis, mais puisqu on nous demande d eploier l équaion différenielle... Pour ou R, par dérivaion d une série enière f () = n= (n + )a n+ n+ e f () = n= L équaion f () + f () + donne alors n= ( (n + ) a n+ + a n ) n+ = (n + )(n + )a n+ n Par unicié des coefficiens d un développemen en série enière de rayon de convergence >, on obien Sachan a =, on conclu (n + ) a n+ + a n = a n = ( )n n (n!) Eercice : [énoncé] a) Par le changemen de variable = u (bijecion de classe C ) on obien Posons g : ], [ ], [ R définie par g(, u) = du + u u + u u La foncion g es coninue sur ], [ ], [ e g(, u) u = ϕ(u) avec ϕ inégrable sur ], [. On en dédui que f es définie e coninue sur ], [. b) Quand + g(, u) = Par la dominaion précédene De même, on obien f() + + u u u f() + du u = [arcsin u] = π du = Eercice : [énoncé] a) Puisque cos quand + on peu affirmer, par équivalence de foncions posiives, que l inégrale diverge en. On peu alors conclure que f es définie sur ], [ (car l inégrale sur un segmen d une foncion coninue converge) mais ne peu pas êre définie sur un domaine plus grand. b) Posons sin g() = d Cee fois-ci sin quand + e donc la foncion g es définie e coninue en. Puisque d f() + g() = = ln on peu conclure f() ln quand + Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

17 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 7 Aussi + cos() d = ln + cos() Comme la nouvelle inégrale converge en (cela s obien par une inégraion par paries) on conclu f() ln quand Eercice : [énoncé] a) Posons f : [, [ [, [ R définie par f(, ) = e + Pour chaque [, [, la foncion f(, ) es coninue par morceau sur [, [ e inégrable car f(, ) On en dédui la convergence de l inégrale impropre définissan F (). b) Pour chaque [, [, la foncion f(, ) es indéfinimen dérivable e n f n (, ) = ( )n n! ( + ) n+ n e La foncion n f (, ) es coninue, la foncion n f n (, ) es coninue par n morceau e (, ) [, [ [, [, n f (, ) n n!n e = ϕ n () avec ϕ n : [, [ R coninue par morceau e inégrable. Par dominaion, on peu alors affirmer que F es de classe C sur [, [ e c) En pariculier n N, [, [, F (n) () = ( ) n n! F (n) () = ( ) n (n!) d n e d Eercice 3 : [énoncé] a) Pour que la racine carrée soi définie pour ], [, il es nécessaire que [, ]. Pour ], [, l inégrale définissan f converge par les argumens d inégrabilié suivan ( )( ) + e Pour = ±, l inégrale définissan f diverge car ( )( ) ( )( ) + C e L ensemble de définiion de f es donc ], [. b) Sur [, [, la foncion f es croissane e adme donc une limie en. Par l absurde, si celle-ci es finie égale à l R alors a [, [, a d ( )( ) l Par inégraion sur un segmen, la foncion de déerminée par le premier membre es coninue en =, on en dédui a d ( ) l Or ceci es absurde car par non inégrabilié d une foncion posiive a d ( ) a Eercice 4 : [énoncé] a) La foncion / α ( + ) es définie e coninue par morceau sur ], [ avec α ( + ) + α e α ( + ) α+ Cee foncion es donc inégrable si, e seulemen si, α ], [. La foncion inégrée éan de surcroî posiive, l inégrale définissan f(α) converge si, e seulemen si, α ], [. b) On a f(α) d α+ = d α ( + ) d α+ ( + ) Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

18 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 8 Or d α+ ( + ) d ( + ) = C e pour α / On a donc f(α) = d α ( + ) d = C ( + ) d α+ + O() = α + O() α c) Par le changemen de variable C bijecif = /, on obien f(α) = f( α) d où la symérie affirmée. d) Posons u(α, ) = α ( + ) Pour chaque ], [, la foncion α u(α, ) es coninue e pour chaque α ], [ la foncion u(α, ) es coninue par morceau. Enfin pour α [a, b] ], [ (avec a > ), on a e Ainsi u(, α) u(, α) a ( + ) b ( + ) si [, [ si ], ] u(, α) ϕ a,b () pour ], [ en posan ϕ a () = u(a, ) + u(b, ) qui es inégrable. Par dominaion sur ou segmen, on peu affirmer que f es coninue sur ], [. e) Par le changemen de variable = /, on peu écrire e alors d α ( + ) = f(α) = d α ( + ) α + α ( + ) d On vérifie que pour, la foncion α α + α es décroissane sur ], /] puis croissane sur [/, [. La foncion f a donc la même monoonie e son minimum es donc d f(/) = = π ( + ) via le changemen de variable u =. Eercice 5 : [énoncé] a) Posons f(, ) = ln +. f es définie e coninue sur ], [ ], ]. Pour >, f(, ) ln donc f(, ) puis f(, ) es + inégrable sur ], ]. Ainsi F es définie sur ], [. f adme une dérivée parielle f Soi [a, b] ], [. Pour [a, b], + coninue avec f f (, ) ln a = ϕ() (, ) = ln (+). avec ϕ inégrable sur ], ]. Par dominaion sur ou segmen, on peu affirmer que F es de classe C e b) Par inégraion par paries, F () = F () = ln ( + ) d [ ( ln + )] ( + ) d où la primiive de + es choisie de sore de s annuler en pour que l inégraion par paries présene deu convergences. Ainsi F d ln( + ) ln () = = ( + ) Par opéraions puis G () = Or G() = F () avec ln( + ) ln F () = ln( + /) + ln G() = G() (ln ) ln + d = k= ( ) k k ln() d = ln Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

19 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions 9 Or k ln() d = (k+) donc par convergence de la série des inégrales des valeurs absolues, F () = ( ) n n. Sachan n = π π 6, on obien F () = n= n= puis G() = (ln ) π 6 c) Par décomposiion en élémens simples Le erme enre croche end vers quand e le erme inégrale aussi car cos() ( + ) d d = Ainsi g() Donc ( + )( + chθ + ) = chθ + chθ ( + chθ) + chθ + ln + + ch(θ) + d = chθ (F () G(eθ )) = θ 4(ch(θ) ) Eercice 6 : [énoncé] a) Par le changemen de variable = u, g() = sin + d = sin(u) + u du L applicaion f : (, u) sin(u) +u es définie e coninue sur ], [ [, ] e f(, u) = ϕ(u) avec ϕ inégrable sur [, ]. Par dominaion, on peu conclure que g es définie e coninue sur ], [. b) Puisque u [, ], sin(u) + u + on peu affirmer, oujours par dominaion, que g() + du = La même echnique ne s applique par pour l éude en. On va alors ransformer l écriure de l inégrale. Par inégraion par paries [ g() = cos() ] cos() + ( + ) d Eercice 7 : [énoncé] Considérons f : (, ) e + définie sur ], [ [, [ Pour [, [, la foncion f(, ) es fois dérivable sur ], [ f adme une dérivée parielle f e (, ) = + Pour ou ], [, f(, ) es coninue par morceau e inégrable sur [, [ car f(, ) De plus ], [, f (, ) es coninue par morceau. [, [, f (, ) es coninue. Enfin, pour [a, b] [, [. On a (, ) [a, b] [, [, f (, ) e a avec ϕ : e a coninue par morceau e inégrable sur [, [. Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd

20 [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Correcions Par dominaion sur ou segmen, la foncion g es de classe C sur R + e g () + g() = e + d + e + d = e d = On peu aussi consaer le résula plus direcemen en procédan au changemens de variable u = + puis v = u ce qui ramène l epression éudiée à une primiive g() = e e v v dv e on peu alors vérifier la saisfacion de l équaion différenielle. Diffusion auorisée à ire enièremen graui uniquemen - dd