Étude du dipôle électrostatique

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1 Lycée Clemenceau PCSI (O.Ganie) Étude du dipôle électostatique Olivie GRANIER

2 I Définition et appoximation dipolaie On appelle «dipôle électostatique» un ensemble igide de deux chages ponctuelles + q et q (donc globalement neute), distantes de a. Un tel modèle pemet d étudie : N( q) O P ( + q) a u * Les molécules polaies (pa exemple : HCl, H O) O( δ ) H ( + δ ) Cl( δ ) H ( + δ ) H ( + δ ) Olivie GRANIER

3 * La polaisation des atomes dans un champ électique extéieu (phénomène de solvatation des ions) N( q) O P ( + q) a u M On calcule le potentiel puis le champ électique ( E gad(v )) céé pa le dipôle en un point M de l espace. Symétie de évolution autou de l axe (O) : on choisit M(,) dans le plan des deux chages. Appoximation dipolaie : >> a (on se place «loin» des chages, c est-à-die à des distances bien supéieues à quelques nm). Olivie GRANIER

4 II Calcul du potentiel dans le cade de l appoximation dipolaie Le potentiel au point M est (pincipe de supeposition) : N N( q) O u P ( + q) a P M V ( M ) V ( M ) 4πε q q P 4πε N 4πε q P N ( avec : P PM et N NM >> a) Olivie GRANIER

5 Calcul des distances P et N : D apès la elation de Chasles : En élevant au caé : PM M OM OP a u PM + a. a u P + a a cos N N( q) O u P ( + q) a P On calcule ensuite / P : P + a a cos P ( ) / + a a cos Olivie GRANIER

6 On appelle le développement limité (à l ode ) de : / ( + x) x ( x << ) M On pose x a / (x << ), alos : N N( q) O u P ( + q) a P P a a + cos Un DL au e ode en x donne : P a + cos / Olivie GRANIER

7 De la même manièe (il suffit de emplace pa π et donc cos pa - cos) : N a cos N N( q) O u P ( + q) P M Pa conséquent : P N D où le potentiel : V ( M ) a 4πε cos (aq) cos Olivie GRANIER

8 On définit le vecteu moment dipolaie du dipôle électostatique (vecteu diigé de la chage négative ves la chage positive) : p (aq) u Alos (décoissance du potentiel en / ) : M N( q) O u V ( M ) P ( + q) p qnp V ( M ) p 4πε En notant : cos u / p. u ( u. 4πε u cos ) Olivie GRANIER

9 Retou su la définition du moment dipolaie : Le vecteu moment dipolaie est une caactéistique du dipôle électostatique. p s expime en C.m dans le SI. On définit plutôt le Debye, mieux adapté : 3 D 3,33. C. m Exemple : la molécule d eau a un moment dipolaie. En déduie O les chages + δ et δ potées espectivement pa les atomes d hydogène et pa l atome d oxygène. Données : α ( OH, OH ) 4 ; l OH, 96 p H, 85 nm D Olivie GRANIER

10 Le moment dipolaie total de la molécule est : p OH O( δ ) α H ( + δ ) H ( + δ ) On en déduit : ph O p' δ OH p H O α l cos e 3 p Avec : H O p OH p OH + p' OH Pa conséquent : ( e p H O,6. p' OH lδ α lδ cos 9 C) Olivie GRANIER

11 III Calcul du champ dans le cade de l appoximation dipolaie E gad V La elation intinsèque pemet de calcule le champ (en coodonnées polaies) : M E (, ) V N( q) O u P ( + q) a E (, ) V Olivie GRANIER

12 E E M E Pa conséquent : E p cos 4πε 3 E 4πε psin 3 N( q) O u P ( + q) a E 4πε p 3 ( cos u + sin u ) Olivie GRANIER

13 IV Topogaphie du champ d un dipôle Sufaces équipotentielles : L équation de la suface équipotentielle (Σ ) au potentiel V est : p Pou M ( Σ ) : V ( M ) cos V 4πε Soit l équation en coodonnées polaies : Acos ( A cste) L allue des lignes équipotentielles est indiquée su la figue suivante ; l axe pependiculaie à (O) et passant pa O est l équipotentielle éo. Pa otation autou de (O), ces lignes engendent les sufaces équipotentielles. Olivie GRANIER

14 IV Topogaphie du champ d un dipôle Sufaces équipotentielles : L équation de la suface équipotentielle (Σ ) au potentiel V est : p Pou M ( Σ ) : V ( M ) cos V 4πε Soit l équation en coodonnées polaies : Acos ( A cste) L allue des lignes équipotentielles est indiquée su la figue suivante ; l axe pependiculaie à (O) et passant pa O est l équipotentielle éo. Pa otation autou de (O), ces lignes engendent les sufaces équipotentielles. Olivie GRANIER

15 Deux chages ponctuelles (+ q et q) (Dipôle électostatique) - q + q Olivie GRANIER

16 Lignes de champs : E E M Ligne de champs E Su la ligne de champ passant pa M : d d u E E u d E d E + d u + E u d E N( q) O u P ( + q) a Soit : d E d E Olivie GRANIER

17 En emplaçant les coodonnées du champ pa leus expessions : On sépae les vaiables : Soit : d (ln ) d d cos sin d d(ln(sin )) cos d sin d(sin ) sin On note pou π /, alos, en intégant, on obtient l équation en coodonnées polaies des lignes de champs ( est un paamète) : ln ln(sin ) soit sin Olivie GRANIER

18 Deux chages ponctuelles (+ q et q) (Dipôle électostatique) - q + q Animations Rousseau Olivie GRANIER

19 V Action d un champ électique extéieu su un dipôle On considèe un dipôle électostatique plongé dans un champ électique E qui peut ête supposé unifome à l échelle du dipôle. Quel est l effet de ce champ su le dipôle? Système étudié : le dipôle (igide) Réféentiel d étude : celui du laboatoie (supposé galiléen) qe N( q) P ( + q) O E qe Le dipôle est soumis aux deux foces qe et qe de ésultante nulle. Le dipôle est globalement soumis à un «couple de foces», dont le moment pa appot à O vaut : Olivie GRANIER

20 qe N( q) P ( + q) O E qe Sous l effet d un champ électique, le dipôle se met à toune afin de s aligne selon le sens du champ (p et E dans le même sens, position d équilibe stable). Soit : M O M O OP qe + ON ( qe) ( OP ON) qe qnp E M O p E Olivie GRANIER

21 Étude énegétique : Soit V le potentiel dont déive le champ E ; l énegie potentielle du dipôle (igide) dans ce champ est : E p E p qv ( P) + ( q) V ( N) [ ( P) V ( N) ] q V qe On appelle que (E est un champ de gadient) : Pa conséquent, avec dv V(P) V(N) : Et donc : E p q( E. NP) Soit N( q) P ( + q) O E E. d dv d OP ON NP E p p.e qe E p est minimale (position d équilibe stable) quand p et E ont même sens. Olivie GRANIER

22 Application (solvatation des ions) : +δ +δ δ δ +δ δ + δ δ +δ +δ δ + +δ Ion positif (Na + pa exemple) Molécule polaie H O Lignes de champs Olivie GRANIER

23 VI Quadipôle électostatique Execice n 5 (modèle de la molécule de CO ) : Soit un ensemble de tois chages alignées : q en O, - q en A(+ a,) et - q en B(- a,). Calcule le potentiel V puis le champ E en un point M de l'espace situé à la distance de O, en supposant >> a. M On appelle le développement limité (à l ode, pou x << ) de : u B( q) O( q) A( q) / ( + x ) x + x 3 8 Olivie GRANIER

24 M V ( M ) q 4πε a 3 ( 3cos ) u B( q) O( q) A( q) E E (, ) (, ) V V Topogaphie : voi diapositive suivante Olivie GRANIER

25 Tois chages ponctuelles (+ q, q et - q) (Quadipôle électostatique) - q + q - q Olivie GRANIER