Groupes, sous-groupes

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1 Chaptre 1 Groupes sous-groupes Il faut sans doute attrbuer à Cayley en 1854 la défnton abstrate d un groupe telle que nous la connassons aujourd hu. Auparavant de nombreux groupes partculers avaent déjà fat l objet d études approfondes en vue de la résoluton de problèmes spécfques le plus célèbre d entre eux étant le problème de la résolubtté par radcaux des équatons polynomales. Parm les précurseurs de la théore ctons Lagrange (1770) Ruffn (1799) Galos (1829) Cauchy (1844) Cayley ( ) C. Jordan Traté des substtutons (1870) Klen Erlanger Program (1872). 1.1 Groupes Défnton 1.1 On appelle groupe tout couple (G ) formé d un ensemble G appelé ensemble sous-jacent et d une applcaton : G G G (g h) g h dte lo de composton nterne qu satsfat aux condtons suvantes : 1. La lo est assocatve : (g h) k = g (h k) pour tout (g h k) dans G G G. 2. La lo admet un élément neutre e G : e g = g = g e pour tout g dans G. 3. Tout élément de G admet un nverse pour la lo : pour tout g dans G l exste h dans G tel que g h = e = h g.

2 2 CHAPITRE 1. GROUPES SOUS-GROUPES Défnton 1.2 Le groupe (G ) est dt commutatf (ou abélen) s g h = h g pour tout couple (g h) dans G G. L ordre du groupe noté G est le cardnal de l ensemble sous-jacent G. S l ensemble G content un nombre fn n N d éléments on dt que le groupe (G ) est d ordre n ; snon l est dt d ordre nfn. L ensemble G content un élément neutre et n est donc jamas vde. S la lo du groupe découle sans ambguïté du contexte on note le groupe G au leu de (G ). Il exste deux notatons classques pour la lo de groupe l une addtve l autre multplcatve. La notaton addtve sous-entend toujours que la lo est commutatve. Désormas sauf menton contrare nous utlserons la notaton multplcatve. L applcaton est appelée la multplcaton ou encore la lo de composton. Pour (g h) G G l élément g h est appelé produt de g par h et on le note gh. Ce produt n est pas supposé être commutatf. Dans cette notaton par juxtaposton l élément neutre e est parfos noté 1 ou 1 G. L assocatvté de la multplcaton entraîne qu un produt de n éléments (n 3) est ndépendant de la poston des parenthèses et que l on peut écrre sans rsque de confuson des expressons telles que g 1 g 2 g n. On vérfe faclement que l élément e G est le seul élément neutre de G et que l nverse d un élément est unque. Dans la notaton multplcatve l nverse de g est noté g 1 (jamas 1 g ). Pour l nverse d un produt on a : (gh) 1 = h 1 g 1. Dans le cas d un groupe commutatf et seulement dans ce cas la lo de composton est parfos notée à l ade du symbole +. Dans ce cas l élément neutre est noté 0 ou 0 G et l nverse de g G est noté g. Règles de calcul dans un groupe : soent g h et k des éléments d un groupe G : 1. (Smplfcaton) S gk = hk alors g = h. En effet pusque k admet un nverse k 1 et que la lo de groupe est une applcaton nécessarement g =(gk)k 1 = (hk)k 1 = h. De même kg = kh entraîne g = h. 2. (Translaton à gauche) Dans G l équaton gx = h possède une unque soluton x = g 1 h. Il en résulte que pour tout g G l applcaton x gx est une bjecton de G dans G. L équaton xg = h possède également une unque soluton hg 1 qu lorsque le groupe est non commutatf peut-être dfférente de la soluton g 1 h. C est à cause de cette ambguïté que les notatons 1 g et h g sont à proscrre. Pour décrre un groupe fn dont l ordre est pett l est possble de donner sa table de multplcaton (ou table de Cayley). Pour un groupe (G ) d ordre 4 dont les éléments sont {e g 1 g 2 g 3 } l s agt de compléter la table suvante en nscrvant lgne g et colonne g j le produt g g j {e g 1 g 2 g 3 } :

3 1.1. GROUPES 3 g 1 g 1 g 2 g 2 g 3 g 3 Comme la translaton à gauche et à drote sont des bjectons tous les éléments de G apparassent sur chaque lgne et sur chaque colonne exactement une fos (un sudoku avec un seul carré...). Cela garantt auss l exstence d un nverse pour chaque élément. Il reste donc tros chox pour fxer l nverse de g 1. Regardons le cas où g 1 est son propre nverse : g 1 g 1 e g 2 g 2 g 3 g 3 Comme tous les éléments apparassent exactement une fos dans chaque lgne l reste les possbltés g 1 g 2 = g 2 ou g 1 g 2 = g 3. Pusque g 1 g 2 = g 2 entraîne g 1 = e on en dédut que g 1 g 2 = g 3. En argumentant de manère semblable sur les colonnes nous obtenons : g 1 g 1 e g 3 g 2 g 2 g 2 g 3 g 3 g 3 g 2 Il reste deux possbltés pour remplr la table qu comme on le verra plus tard correspondent à deux groupes structurellement dfférentes : G 41 : g 1 g 1 e g 3 g 2 g 2 g 2 g 3 e g 1 g 3 g 3 g 2 g 1 e et G 42 : g 1 g 1 e g 3 g 2 g 2 g 2 g 3 g 1 e g 3 g 3 g 2 e g 1. Les autres chox possbles pour le produt g 1 g 1 sont g 2 et g 3 qu condusent également aux deux structures de groupes c-dessus (dans le sens qu après réarrangement et ajustement du nom des éléments nous obtenons les mêmes tables de multplcaton). Cette approche est déjà très complexe pour les groupes avec un pett nombre d éléments et une table de multplcaton comme celle que nous avons obtenue ne défnt pas encore un groupe pusque l assocatvté de la lo de composton reste à vérfer et peut fare défaut à ce stade.

4 4 CHAPITRE 1. GROUPES SOUS-GROUPES EXEMPLES. Voc quelques exemples de groupes. 1. «Le» groupe trval G = {e} (un groupe possède au mons un élément). 2. Les groupes addtfs (et donc commutatfs) d anneaux (Z +) (Q +) (R +) et (C +) (Z[X] +) et les groupes multplcatfs de corps (Q ) (R ) et (C ) (également commutatfs malgré la notaton multplcatve). La défnton d un anneau et celle d un corps sont rappelées dans l annexe A. 3. Pour n N non nul et a Z notons a le reste de la dvson de a par n dans Z et Z/nZ l ensemble des restes {a a Z}. OnaZ/nZ = {0 1...n 1}. L ensemble Z/nZ est un groupe pour l addton défne par a + b = a + b. Ic a + b est le reste de la dvson de a + b par n. Le groupe Z/nZ est fn. Il est possble de défnr une multplcaton sur Z/nZ par a b = ab.sn = p est un nombre premer alors Z/pZ est un corps. Dans ce cas les éléments non nuls (Z/pZ) =(Z/pZ) \{0} forment un groupe multplcatf ((Z/pZ) ) d ordre p 1. Les groupes (Z/4Z +) et ((Z/5Z) ) sont tous les deux d ordre 4. Après réarrangement des éléments les deux groupes ont une table de multplcaton correspondant à G 42. Ces deux groupes possède donc la même «structure de groupe». 4. Groupe de transformatons groupe symétrque (cf. chaptre 5) : étant donné un ensemble X on note S(X) l ensemble des bjectons de X vers lu-même. L ensemble S(X) est un groupe pour la composton des applcatons. Il n est pas commutatf lorsque X a plus de deux éléments. Pour x X et fg S(X) on a f g(x) =f(g(x)) (d abord g pus f). Pour X = {1 2...n} le groupe symétrque S(X) est d ordre n!. Dans ce cas on note S n au leu de S({1 2...n}). Le groupe S 3 est un groupe non abélen d ordre 6 (chaptre 5) alors que le groupe (Z/6Z +) est abélen. Il s agt donc de deux structures de groupes dfférentes. 5. S V est un espace vectorel sur un corps K alors (V+) est un groupe addtf. L ensemble des éléments de S(V ) qu sont des applcatons lnéares forment le groupe (général) lnéare noté GL(V ). Pour n N et V = K n le groupe de matrces correspondant est noté GL(n K). 6. Pour un corps fn K à q éléments (on sat que q dot être la pussance d un nombre premer p cf. proposton 13.5 ) et n N le groupe GL(n K) est noté GL(n q). C est un groupe fn à n 1 =0 (qn q ) éléments (proposton 14.10). Par exemple GL(2 2) est un groupe fn dont les 6 éléments sont ( ) ( ) ( (attenton l faut calculer modulo deux). ) ( ) ( ) ( ).

5 1.2. SOUS-GROUPES 5 7. Les groupes défns par des courbes ellptques (annexe C) sont très utlsés en cryptographe. 1.2 Sous-groupes Défnton 1.3 On appelle sous-groupe d un groupe G tout sous-ensemble H de G sur lequel la multplcaton de G ndut une structure de groupe c est-à-dre tel que les proprétés suvantes soent vérfées : 1. e H 2. h 1 h 2 H pour tout (h 1 h 2 ) H H et 3. h 1 H pour tout h H. Un sous-groupe H de G est dt dstngué dans G et on note H Gsghg 1 H pour tout g G et tout h H. Un sous-groupe d un groupe abélen est toujours dstngué. EXEMPLES. 1. Pour tout groupe G les sous-groupes {e} et G sont toujours des sous-groupes dstngués de G. 2. Soent K un corps et n N. L ensemble SL(n K) des matrces de détemnant 1 dans GL(n K) est un sous-groupe dstngué de GL(n K). 3. Pour n dans Z l ensemble nz = {n k k Z} des multples de n est un sous-groupe de (Z +). Lemme 1.4 Sot G un groupe. Une parte H de G est un sous-groupe de G s et seulement s les condtons suvantes sont satsfates : 1. L ensemble H n est pas vde ; 2. h 1 h 1 2 H pour tout (h 1 h 2 ) H H. DÉMONSTRATION. SH est un sous-groupe de G alors les deux condtons découlent drectement de la défnton d un sous-groupe. Supposons les deux condtons du lemme vérfées. D après la 1 re condton H est non vde et donc l exste un élément h dans H. En applquant la 2 e condton au couple (h h) nous obtenons e = hh 1 H. Pour tout h dans H la 2 e condton applquée au couple (e h) montre que eh 1 = h 1 appartent à H. Nous en dédusons que l nverse de tout élément de H est dans H. Pour tout h 1 et tout h 2 dans H la 2 e condton applquée au couple (h 1 h 1 2 ) H H montre que le produt h 1h 2 = h 1 (h 1 2 ) 1 appartent à H. D où le résultat.

6 6 CHAPITRE 1. GROUPES SOUS-GROUPES Lemme 1.5 Soent I un ensemble et H ( I) des sous-groupes d un groupe G. L ntersecton I H est un sous-groupe de G. Pour I = on convent que I H = G. S pour tout le sous-groupe H est dstngué dans G alors I H est un sous-groupe dstngué dans G. DÉMONSTRATION. Un élément g de G appartent à I H s et seulement s g appartent à tous les H. Pusque e appartent à tous les sous-groupes H l ensemble I H est non vde. S g appartent à tous les sous-groupes H alors g 1 appartent auss à tous les sous-groupes H et donc à leur ntersecton I H. Pour g 1 et g 2 dans I H nous en dédusons que les éléments g 1 et g2 1 appartennent à tous les sous-groupes H et donc g 1 g2 1 auss. Il en résulte que g 1 g2 1 appartent à I H pour tout g 1 et tout g 2 dans I H et d après le lemme précédent l ensemble non vde I H est un sous-groupe de G. Soent g G et h I H. S les sous-groupes H sont tous dstngués alors comme h appartent à tous les H l élément ghg 1 appartent auss à tous les H et donc à I H. Le sous-groupe I H est donc dstngué dans G. En partculer pour un sous-ensemble X de G l ntersecton H de tous les sousgroupes de G qu contennent X est un sous-groupe de G. Comme le sous-groupe H de G est contenu dans tous les sous-groupes de G qu contennent X c est le plus pett sous-groupe de G qu content X. Proposton et défnton 1.6 Etant donné un groupe G et un sous-ensemble X de G l exste un plus pett sous-groupe de G contenant X (.e. contenu dans tous les sous-groupes de G qu contennent X) qu on appelle le sous-groupe de G engendré par X et que l on note X G ou smplement X. Pour un sous-ensemble fn {g 1 g 2...g n } de G on note {g 1 g 2...g n } smplement g 1 g 2...g n. Un groupe G est appelé groupe cyclque ou monogène s l exste un élément g dans G tel que g est égal à G. On appelle ordre d un élément g de G l ordre du sous-groupe g engendré par g. REMARQUE. Dans la lttérature françase un groupe cyclque est un groupe monogène fn alors que la défnton c-dessus n mplque pas qu un groupe cyclque sot fn. Nous suvons c la nomenclature anglase. EXEMPLES. 1. Le groupe (Z/4Z +) est un groupe cyclque d ordre 4 car l est engendré par a = 1 (mas l n est pas engendré par l élément 2 qu lu engendre un sous-groupe d ordre deux). Par une dénomnaton adéquate des éléments {e g 1 g 2 g 3 } de Z/4Z par exemple 0 e 1 g 2 2 g 1 et 3 g 3 la table de multplcaton du groupe (Z/4Z +) est G 42. Cec montre que la table de multplcaton G 42 est ben la table de multplcaton d un groupe et vérfe donc la règle d assocatvté queston restée en suspens à la fn de la page 3. Notons qu un groupe dont la table de multplcaton est G 41 n est pas cyclque

7 1.2. SOUS-GROUPES 7 car tous les éléments sont d ordre un ou deux. Les deux tables G 41 et G 42 correspondent donc à deux structures de groupes dfférentes. 2. Dans le groupe GL(2 2) d ordre 6 (cf. exemple 6 page 4) l y a tros éléments d ordre 2 deux éléments d ordre 3 et un unque élément d ordre 1 qu est l dentté. Ce groupe n est donc pas cyclque. 3. Consdérons les tros éléments suvants du groupe GL(2 2) : m 1 = ( ) ( 1 1 m 2 = 0 1 ) et m 3 = ( Comme m 2 = e les groupes m contennent exactement les deux éléments m et e = m 2. Comme m 2m 1 (m 2 ) 1 = m 3 n appartent pas à m 1 le sousgroupe m 1 GL(2 2) n est pas dstngué. ). Un groupe engendré par X = {x j j J} content également l nverse des générateurs x. En notaton multplcatve X content l ensemble de tous les mots de longueur fne en les x X et leurs nverses x 1. Un exemple de mot est x 2 x 1 3 x 2x 3 x 1 1. Cependant des «mots» dstncts peuvent représenter les mêmes éléments de G. Dans l exemple précédent on a X = {m 1 m 2 m 3 } GL(2 2) avec m 2 m 1 (m 2 ) 1 = m 3 m 1 m 1 = m 2 m 2 = m 3 m 3 = e et m 1 2 = m 2. Proposton 1.7 Soent G un groupe et X G un sous-ensemble de G. Le sousgroupe X de G engendré par X est l ensemble de tous les mots de longueur fne en les x X et leurs nverses x 1. DÉMONSTRATION. Notons M(X) le sous-ensemble de G des mots de longueur fne en les x X et leurs nverses x 1. Le mot vde est l élément neutre et l appartent à M(X). Pour z = z ɛ 1 1 zɛ 2 2 zɛn n et y = y ω 1 1 yω 2 2 yωm m avec y X z X ɛ = ±1 et ω = ±1 onazy 1 = z ɛ 1 1 zɛ 2 2 zɛn n ym ωm y ω 2 2 y ω 1 1 M(X) car c est ben un mot en les x X et leurs nverses x 1 et donc un élément de M(X). Donc l ensemble M(X) est un sous-groupe de G. Tout sous-groupe de G qu content X content tous les mots de longueur fne en les x X et leurs nverses x 1 et donc M(X) X. Comme X est le plus pett sous-groupe qu content X nécessarement M(X) = X. Corollare 1.8 Soent G un groupe et g G un élément d ordre fn n N. Alors n est le plus pett enter strctement postf ayant la proprété g n = e et on a g = {g g 2...g n = e}. Pour k Z on a g k = e s et seulement s n dvse k. DÉMONSTRATION. S g = e nous obtenons le résultat avec n = 1. Supposons mantenant g e. Le groupe g consste en les mots en g et g 1 et donc ne content que des éléments de la forme g avec Z. Comme le groupe possède un nombre fn

8 8 CHAPITRE 1. GROUPES SOUS-GROUPES d éléments l dot exster 0 <<javec g = g j. Dans ce cas g j = g j 1 g = e et nous obtenons g 1 = g j 1 avec 0 j 1. Le groupe g ne content donc que des éléments de la forme g avec N. Sot m le plus pett enter strctement postf qu vérfe g m = e. Alors les éléments g g 2...g m sont tous dstncts. En effet g j = g pour 1 <j<mentraîne g j = e ce qu contredt la mnmalté de m. Pusque g est d ordre nonam n. Pour un enter postf k nous obtenons par dvson eucldenne k = q m + r avec 0 r<met donc g k =(g m ) q g r = g r. Comme g 0 = e = g m l en résulte que g est contenu dans {g g 2...g m } et donc m = n. Pour k Z la dvson eucldenne précédente montre que g k = e s et seulement s n dvse k. Dans la sute de ce paragraphe nous utlsons la notaton addtve dans laquelle la noton de mot est mons naturelle. Dans le groupe engendré par n (Z +) un exemple de mot est n + n +( n)+n +( n)+n =2n. Le sous-groupe n content donc tous les éléments {kn k Z} et on note ce sous-groupe nz. Proposton 1.9 Sot H un sous-groupe de (Z +). Alors l exste un unque n N tel que H = nz. DÉMONSTRATION. SH = {0} alors H =0Z. Snon H content un élément non nul et son opposé et donc content un enter postf non nul. Comme toute parte non vde de N possède un plus pett élément l exste un plus pett enter postf non nul n dans H. Il en résulte que nz est contenu dans H et nous voulons montrer que H nz. Sot m H nous devons montrer que m nz. Par dvson eucldenne dans Z nous obtenons m = kn + r avec k et r dans Z et 0 r<n. Comme r = m kn len résulte que r appartent à H. Pusque 0 r<n la mnmalté de n mplque r =0. Donc m = kn nz et le résultat s ensut. 1.3 Groupes dédraux On défnt souvent des groupes comme sous-groupes qu préservent une proprété (ou une fgure). Ans les sométres du plan affne sont les transformatons du plan qu conservent les dstances celles-c forment un sous-groupe du groupe affne. En se restregnant aux sométres qu préservent un polygone réguler on obtent des sousgroupes du groupe des sométres du plan affne. Ce sont ces sous-groupes auxquels nous nous ntéressons dans ce paragraphe. Défnton 1.10 Sot n N avec n 3. Dans le plan complexe C dentfé à R 2 consdérons le polygone réguler connexe P n à n sommets formé par les affxes des racnes n es de l unté ω k = e 2kπ/n (k {0 1...n 1}). Le groupe dédral D n pour n 3 est le sous-groupe des sométres du plan affne qu lassent P n nvarant.