APPLICATIONS AFFINES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

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1 APPLICATIONS AFFINES Ste thstice de Adm Troré Lée Tehnqe Bmko I Appltons lnéres: Atvté : Sot V l ensemle des veters d pln P et φ: V V ϕ ( ) k ( k IR*) ) montrer qe ( ; v ) ε V : ϕ ( v) ϕ( ) ϕ( v) ; ) montrer qe λ εr ; ε V : ϕ ( λ) λ ϕ( ) ) Sot ( ; v ) ε V ; ϕ ( v) k( v) k kv ϕ( ) ϕ( v) ; ) Sot λ ε R ; et ε V ; ϕ ( λ) k( λ ) λ ( k ) λ ϕ( ) Les ondtons ) et ) étnt vérfées on dt qe φ est ne pplton lnére Défnton : Sot V l ensemle des veters d pln P On ppelle pplton lnére de V dns V, tote pplton φ de V dns V telle qe : ε V, v ε V ; ϕ ( v) ϕ( ) ϕ( v) ε V, λ εr ; ϕ ( λ) λ ϕ( ) Désgnons pr U l ensemle des veters de l drote (D) et pr W l ensemle des veters de l espe ffne (E) On défnt de fçon nloge ne pplton lnére de U dns U ; de W dns W Proprétés : Sot φ ne pplton lnére respetvement de V dns V, de U dns U, de W dns W P : ( ; v ) ε V ; (α ; β) ε R ; ϕ ( α β v) α ϕ( ) β ϕ( v) P : ε V ; ϕ( ) ϕ( ) P : ϕ ( ) ; II Appltons ffnes: ) Atvté : Sot O n pont d pln P et f l pplton de P dns P défne pr f : P P Ʌ tel qe : O O ontrer qe s G est le rentre d sstème pondéré {(A ;α ) ; (A ;α ) ; ; (A n ;α n ) } lors G f (G) est le rentre d sstème de ponts pondérés {(f(a );α ) ; (f(a );α ) ; ; (f(a n );α n ) } Cors Appltons Affnes Pge sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe

2 Spposons G rentre d sstème (A ;α ) à n G rentre d sstème (A ;α ) à n α n n α n n α ( GO GA OA ) α ( OA OG ) en mltplnt pr G A n n α ( OA OG ) α ( OA OG ) G f (G) est rentre d sstème ( f (A ) ;α ) à n On dt qe f «onserve» le rentre Ans l pplton pontelle f q onserve le rentre est ppelée ne pplton ffne de P dns P ) Défnton : On ppelle pplton ffne de E dns E, tote pplton q donne por mge d rentre de tot sstème de ponts pondérés de E, le rentre des ponts mges de e sstème ) Théorème : Une pplton pontelle est ne pplton ffne s et selement s, f onserve le rentre de tot sstème de de ponts pondérés ( f est ffne ) ( f onserve le rentre de tot sstème de de ponts pondérés) Remrqe : Les mges pr ne pplton ffne de de ponts éqpollents sont de ponts éqpollents On dt q ne pplton ffne «onserve» l éqpollene 4) Applton lnére ssoée : ) Défnton : sot f ne pplton ffne L pplton lnére φ q à tot veter de représentnt ( ; N) ssoé le veter ϕ ( ) f ( ) f ( N) est ppelée pplton lnére ssoée à l pplton ffne f f N N ϕ N N ϕ ( ) f ( ) f ( N) f est lors ppelée pplton pontelle ssoée à ϕ Cors Appltons Affnes Pge sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe

3 ) Remrqe : sot f ne pplton ffne de E dns E Sot (K ; K ) n ople de ponts homologes est-à-dre ( f (K) K ) On ppelle pplton vetorelle ssoée à f reltvement pont K (reltvement ople de ponts homologes (K ; K )) l pplton lnére notée : φ k : W W K K ϕ ( ) ) Détermnton d ne pplton ffne : ) Détermnton nltqe : Atvté : Sot le pln P mn d n repère (O ; I ; J) A ( ; ) ; B ( ; ) ; C ( ; ) tros ponts non lgnés de P d mges respetves A (6 ; 6) ; B ( ; ) ; C ( ; ) pr ne pplton ffne f Sot ( ; ) n pont de P d mge ( ; ) pr f Eprmer et en fonton de et Sot φ l pplton lnére ssoée à l pplton ffne f k f A A B B C C AB AC A ϕ A B A C A AB AC A A B 4 A C 6 A 6 ϕ( AB ) A B ϕ ( AC ) A C ϕ( OI) ϕ ( OJ ) OI OJ ϕ ( OI) ϕ( OJ ) 4OI OJ pr ( ) ϕ ( OI) OI OJ On en dédt qe ϕ ( OJ ) OI OJ [( ) OI ( ) OJ ] ( 6) OI ( 6 ϕ ( A ) A ϕ ) OJ ( ) ϕ ( OI) ( ) ϕ( OJ ) ( 6) OI ( 6) OJ [( ) ( ) ] OI [ ( ) ( ) ] OJ ( 6) OI ( 6) OJ est l epresson nltqe de f Cors Appltons Affnes Pge sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe

4 Cors Appltons Affnes Pge 4 sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe Remrqe : Sot f : D D ne pplton () ( ) ( f est ffne) ( ve, réels) Sot f : P P ne pplton ( f est ffne) réels,,,,, L mtre de l pplton lnére ϕ ssoée est ϕ Sot f : E E ne pplton z z ( f est ffne) réels d d z z d z d z ",,, " " " " L mtre de l pplton lnére ϕ ssoée est " ϕ Une pplton ffne est jetve s ϕ dét ) Détermnton pr ne pplton lnére ssoée et n ople de ponts : Une pplton ffne f est entèrement détermnée pr l donnée de l pplton lnére ssoée φ et d n ople de ponts Eemple : sot P rpporté repère (O ; I ; J) et φ: V V ) ( ϕ Sot f l pplton ffne de P dns P d pplton lnére ssoée φ q pont K( ;) ssoe K ( ; ) Donnez l epresson nltqe de f

5 -- -- Sot ( ; ) ( ; ) f ( ) K ϕ ( K ) K 6) Imge d ne drote, d n pln pr ne pplton ffne : )- Imge d ne drote : Théorème : L mge d ne drote (AB) pr ne pplton ffne f est : - l drote pssnt pr f (A) et f (B) s et selement s f (A) f (B) - l ensemle { f ( A) } s et selement s f ( A) f ( B) )- Imge d n pln : Théorème : L mge d n pln (ABC) pr ne pplton ffne f est : - le pln pssnt pr f (A), f (B) et f (C) s et selement s les tros ponts f (A), f (B) et f (C) sont non lgnés - l drote pssnt pr f (A), f (B) et f (C) s et selement s f (A), f (B) et f (C) sont lgnés non tos onfonds - Le sngleton { f ( A) } s et selement s f ( A); f ( B) et f ( C) sont onfonds )- Conservton d prllélsme : Théorème : S ne pplton ffne f (de E dns E o de P dns P) trnsforme ne drote (D) en ne drote (D ), lors elle trnsforme tote drote prllèle à (D) en ne drote prllèle à (D ) S ne pplton ffne f de E dns E trnsforme n pln (P) en n pln (P ), lors elle trnsforme tot pln prllèle à (P) en n pln prllèle à (P ) On dt qe les ppltons ffnes onservent le prllélsme Remrqe : En générl ne pplton ffne ne onserve ps l orthogonlté, les dstnes, le rpport des dstnes 7) Ensemle des ponts nvrnts pr ne pplton ffne : - On dt q n pont est nvrnt pr ne pplton ffne f ss f ( ) - On dt q n ensemle E est glolement nvrnt pr f ss f ( E) E est-à-dre por tot de E, f ( ) E - E est dt nvrnt pont pr pont s por tot pont de E, f ) ( Cors Appltons Affnes Pge sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe

6 III Trnsformtons Affnes : ) Défnton : On ppelle trnsformton ffne tote pplton ffne jetve ) Etde de qelqes trnsformtons ffnes : - Trnsltons : ) Défnton : On ppelle trnslton de veter l pplton notée : t de F dns F ( F désgnnt P o E ) q à tot pont de F ssoe de F tel qe: t : F F t () t () ) Ponts nvrnts pr ne trnslton: - S lors tot pont est nvrnt ; - S lors ps de ponts nvrnts ) Proprété vetorelle d ne trnslton : t ( A) A A B AB t ( B) B Remrqes : L jeton réproqe de t est t o t t v ( v) t t d) Epresson nltqe d ne trnslton : Sot P mn d n repère ( O ; j ) ; et n veter Donner l epresson nltqe de l trnslton de veter En dédre l epresson nltqe de l pplton lnére ssoée et s mtre Sot ( ; ) et ( ; ) son mge pr t est l ep resson nltqe de t L pplton lnére ssoée por epresson nltqe et s mtre est mtre nté Cors Appltons Affnes Pge 6 sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe

7 - Les Homothétes : ) Défnton : Sot Ω n pont de F et k ε R* (F désgnnt P o E) On ppelle homothéte de entre Ω et de rpport k l pplton notée : h Ω de F dns F q à tot pont ssoe le pont ( ; k ) h Ω : F F ( ; k ) h k ( ) Ω k Ω ( Ω ; ) Remrqes : h ( Ω,) est l dentté ; h ( Ω, ) est l smétre de entre Ω ) Ponts nvrnts pr ne homothéte: S k, lors tot pont est nvrnt ; S k ε R* { }, lors Ω est le sel pont est nvrnt ) Proprété vetorelle: h( A) A h( B) B Remrqes : L réproqe de h( Ω ; k ) est d) Composée de de homothétes : - Homothétes de même entre Ω : h o h h ( Ω, k ) ( Ω, k ) ( Ω, kk ) A B k AB h( Ω ; k ) h ( Ω ; ) k - Homothétes de entres dfférents : Sot h ( A, k ) et h ( A, ) de homothétes de entres respetfs A ; A k h h h h N N N N N N D près l proprété vetorelle on : N k N k N N N k - S k k, lors N N, d où h o h est ne trnslton Cherhons don le veter de trnslton de h o h Posons h ( A ) A h o h (A ) h ( A ) A D où A A est le veter de trnslton - S k k, lors N k k N, d où h o h est ne homothéte de rpport k k k N Cors Appltons Affnes Pge 7 sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe

8 Cherhons le entre Ω de h o h h ( ) k A h ( ) k A A ; A A A A k A A A A k A d où érre qe h o h () A k ( A A k A ) omme le entre Ω est nvrnt on : A k A A k k A Ω A Ω k A Ω k ΩA k k Ω Ω A ( k ) AΩ k ( k) ΩA ( k ) ΩA k ( k ) ΩA D où le entre Ω est le rentre des ponts pondérés [ ( k ) ] et [ A, k ( k ) ] A, e) Epresson nltqe d ne homothéte : Sot P mn d n repère ( O ; j ) ; Ω ( ; ) n pont de P et k n réel non nl Donner l epresson nltqe de h( Ω, k ) En dédre l epresson nltqe de l pplton lnére ssoée ps s mtre Sot ( ; ) et ( ; ) son mge pr h ( Ω, k ) h k ( ) Ω k Ω k ( k( ( Ω, ) ) k ( k) est l ep resson nltqe ) k ( k) k ( k) k de h L pplton lnére ssoée por epresson nltqe k k et s mtre - Grope des homothétes Trnsltons : est k k ( Ω, k ) Soent h ( O, k ) l homothéte de entre O et de rpport k ; t l trnslton de veter S, lors t h ho t h S k, lors t h ho t t o ; o ; S et k, lors to h est l homothéte de entre Ω et de rpport k tel qe : OΩ k r t ( O) O OO S et k, lors ho t est l homothéte de entre Ω et de rpport k tel qe : k OΩ k Cors Appltons Affnes Pge 8 sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe

9 -4 Smétre entrle : ) Défnton : Sot O( o ; o ) n pont d pln On ppelle smétre de entre O, l pplton S o : P P ( ; ) ( ; ) ve O mle de [ ] S o () O est mle de [ ] O ) Epresson nltqe d ne smétre entrle S o () D où ( ) O ( ) Epresson nltqe de S ) Ensemle des ponts nvrnts Le entre O de l smétre entrle S O est le sel pont nvrnt d) Eemple Sot f l pplton ffne défne pr son epresson nltqe Solton 4 - ontrer qe f est jetve - Détermner les éléments rtérstqes de f - Qelle est l ntre de f? - f est jetve r dét ϕ - l ensemle des ponts est le pont A( ; ) - f est l smétre entrle de entre le pont A Remrqes: Une smétre entrle de entre O est ne homothéte de entre O et de rpport S h( O, ) ; Une smétre entrle de entre O est ss ne rotton de entre O et d ngle π (on l ppelle dem-tor) Cors Appltons Affnes Pge 9 sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe

10 SBo S A t AB - Smétres les : ) Atvté : Sot (D) : et (D ) : Donner l epresson nltqe de l smétre S pr rpport à (D) prllèlement à (D ) Qe pet-on dre de So S? I (D) (D ) Sot ( ; ) et ( ; ) tel qe S() Sot I mle de [ ] et veter dreter de (D ) S() ( ) ( ) ( ) So S d On dt qe S est nvoltve ) Défnton : Une pplton ffne f telle qe Tote nvolton est ne smétre I ( D) olnére à est l ep resson nltqe f o f Id est dte nvoltve n de S Cors Appltons Affnes Pge sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe

11 - 6 Smétre orthogonle : ) Défnton : Sot (D) ne drote d pln, on ppelle smétre orthogonle d e (D) o réfleon d e (D) l pplton S : P P D telle qe (D) est l médtre d segment [ ] ( ) ( D) S D est l médtre d segment [ ] ) Eere Constrre les mges de l drote ( ) et l ngle orenté (S,SN) pr l smétre orthogonle d e (D) S ( ) et // L ngle ( S, S N ) ( S, SN) D ) Epresson nltqe Soent ne drote (D): et ( ; ) n veter dreter de (D) ( ; ) le smétrqe de (;) pr S D l smétre orthogonle d e (D) S D ( ) Le mle I de [ ] ( D) Cors Appltons Affnes Pge sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe

12 Cors Appltons Affnes Pge sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe Eemple : Dns le pln mn d n repère orthonormé détermner l epresson nltqe de l smétre orthogonle D S d e l drote (D) : 4 Solton ère méthode : On st qe ( ) ; () Le mle I de [ ] pprtent à (D) est éqvlente à () 8 4 En résolvnt le sstème formé pr () et () on () () 8 ) (4 ) (6 D S de nltqe resson l est ep 4) ( 6) ( d) Ensemle des ponts nvrnts L ensemle des ponts nvrnt pr ne smétre orthogonle D S est l e (D)

13 e) Remrqes : Composée de smétres orthogonles d es prllèles (D) et ( ) sont prllèles S o S D t AB Composée de smétres orthogonles d es orthogon (D) et ( ) sont perpendlres S o S S D O - 7 Rotton : ) Défnton Étnt donnés n pont O d pln et n ngle orenté ( αˆ ) On ppelle rotton de entre O et d ngle ( αˆ ) l pplton : S O lors O r : P P telle qe S O lors O O et ( O,O ) ( αˆ ) Cors Appltons Affnes Pge sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe

14 r N N O O ) Remrqes - L rotton d ngle nl de entre O est l dentté - L rotton d ngle plt de entre O est l smétre de entre O ) Ensemle des ponts nvrnts S l ngle est non nl, le sel pont nvrnt est le entre d) Epresson nltqe Consdérons le pln mn dn repère orthonormé ( O ; ; j ) sot l rotton r( O; α ) de entre O et dngle α, les ponts ( ; ) et ( ; ) d pln, â et ˆ des mesres des ngles de veters On : α ( )kπ O os O os O os( α ) O (osα os snα sn) ; O sn O sn O sn( α ) O (snα os snosα) ( O os)osα ( O sn)snα osα snα ( O os) snα ( O sn)osα snα osα (osα) (snα) j (snα) (osα) est l epresson nltqe de l rotton r ( O; α ) de entre O et d ngle α dns le repère orthonormé ( O ; ; j ) Cors Appltons Affnes Pge 4 sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe

15 e) Formle d hngement de repère Sot ( ; ) dns le repère ( O ; ; j ) et ( ; ) dns le repère ( O ; ; j ) On : osα snα j j snα osα j ; O j et O X (osα snα j) Y ( snα osα j) D où j X (osα snα j) Y ( snα osα j) X osα Y snα X snα Y osα f) Composton de rottons : Sot f r ( O; α ) or( O;α ) S O O lors f est ne rotton de entre O et d ngle α α, f R( O; α α ) S O O et α α kπ ( k Z) lors f est ne trnslton de veter o f ( ) et f t S O O et α α kπ ( k Z) lors f est ne rotton de entre le pont nvrnt pr f et d ngle α α f R( I; α α ) où I f (I ) IV- Projetons ffnes : ) Atvté : Sot (D) ; et (D ) : ) Donner l epresson nltqe de l projeton p sr (D) prllèlement à (D ) ) Qe pet-on dre de po p? ) Sot ( ; ) et ( ; ) tel qe p() et n veter dreter de (D ) (Fgre ) N D (D ) (D) N Fg P p() Fg Cors Appltons Affnes Pge sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe

16 Cors Appltons Affnes Pge 6 sr 6 Adm Troré Professer Lée Tehnqe ) ( ) ( à olnére D p p de nltqe resson l est q ep ) ( ) ( ) p p p o ) Défnton : Sot P n pln et (D) ne drote sénte à P (Fgre ) On ppelle projeton sr le pln P prllèlement à l drote (D) l pplton p de E dns E q, à tot pont de E ssoe le pont Ʌ nterseton d pln P et de l drote prllèle à (D) pssnt pr