DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALE R(r) DE LA FONCTION D ONDE

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1 CHAPITRE V DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALE R() DE LA FONCTION D ONDE Chistian Ducauze et Hevé This - L ELECTRON DANS UN CHAMP A SYMETRIE SPHERIQUE L énegie otentielle d un électon dans un cham à symétie shéique s exime sous la fome : V (x,y,z) = V() De ce fait, l hamiltonien est: Ĥ = + V(), avec un lalacien = + ˆM L équation de Schödinge d un tel système s écit alos : m l+ m l im avec ψ = R()sin θ d ( cos θ ) e ϕ l,m cosθ ψ l + V() ψl = E ψl,m,m,m Les fonctions f() ainsi que commutent avec ˆP et les oéateus de moments cinétiques, en aticulie les oéateus de quantité de mouvement et de sin Le lalacien commute avec ˆP, avec les oéateus de moment d imulsion et de moment de sin, mais as avec f() et Donc Ĥ commute avec les oéateus de aité, de moment cinétique et de moment de sin En conséquence, il existe un ensemble de fonctions oes communes à H,P,M ˆ ˆ ˆ,M ˆ,Sˆ et S ˆ su lesquelles on eut constuie un ensemble othonomé de vecteus z z de base ou l esace de Hilbet La base comlète est constituée de vecteus V = E, l,m,ms, m s étant le nombe quantique de sin, ce qui équivaut, dans la eésentation de Schödinge, à un ensemble de fonctions de la fome ψ α etψ β l,m l,m

2 Remaque : Tout ceci este vai tant que l on ne fait as inteveni l énegie d inteaction sinobite, c est-à-die si Ĥ est bien, comme on l a eximé écédemment : Ĥ = + V() Cette aoximation est valable uisque, ou la aie D du sodium à ν = cm, ν = 7cm on a,, ce qui veut die que l énegie d inteaction sin-obite est lus de mille (7/) fois lus faible que l énegie de tansition ente deux obitales Pou détemine la atie adiale de la fonction d onde, on va cheche à ésoude l équation de Schödinge, comme dans le tableau XII

3 [ TABLEAU XII] DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALE DE ψ m l+ m l im ψ = R()sin θ d ( cos θ ) e ϕ l,m cosθ - Dans un cham à symétie shéique : V(x,y,z ) = V( ) - Et, en unités atomiques : Ĥψ = ψ + V() ψ = E ψ avec = + ˆM - On a donc à ésoude l équation : ψ ( ) V( ) E ψ + ll + ψ + ψ = ψ l,m l,m l,m l,m l,m La atie angulaie s élimine et l on obtient donc : ll ( + ) R R + R+ V( )R= ER a ( ) R + R + E V() ( + )R= uis, en multiliant : [ ] ll () Pou intége l équation (), on va echeche tout d abod une solution aticulièe : si ( V( ) ), () devient ainsi : E R + ER= R + ER= R= Ce ± et focément : E O si,r ca RRd= 4 π E Il s ensuit que : R= C e + En osant E = (n ) n, on a donc : R C e n = et c est a cette valeu qu on emlace R dans l équation(), C étant une fonction de On emloie ou fini la méthode de vaiation de la constante C( ) et il vient : C ( )C + V() + ( + ) C= n ll n () 3

4 - CAS DE L ATOME D HYDROGENE Dans ce cas aticulie d une fonction d onde mono-électonique, uisqu on se oose de décie le mouvement de l électon unique de l atome d hydogène dans un cham de symétie shéique, l énegie otentielle s écit : V() =, on emlace alos V () a sa valeu dans l équation () du tableau XII ou obteni l équation (3) 4

5 [ TABLEAU XIII] CAS DE L ATOME D HYDROGENE : V() = Dans ce cas, l équation () écédente s écit : C ( )C + ( + ) C= n ll n (3) α C et, si α est l ode de ce zéo, C = L( ) où L( ) = a + a + a + Dans l équation (3), on annule alos le teme de degé le lus bas (en α ) l + ll+ = = l = Il en ésulte : α( α ) ( ) α C L( ) En emlaçant C a cette valeu dans l équation (3), on obtient : L + ( l+ )L + (n l )L= (4) n n Puis ayant emlacé dans (4) L a L= a =, il faut que chaque teme de l équation soit nul,ce qui donne,en identifiant à zéo le teme de degé : a + = ( n + l + ) a n( + )( + l + ) R à ati d un ang ( + ), tous les coefficients de la séie doivent ête nuls et l on doit donc avoi alos : n+ l+ = nentie / n l + et, en définitive : R() = l n, l L ()e n 5

6 Comme le monte le tableau XIII, on aboutit à une exession de R() qui est de la fome : n, n R() = l L ()e l, où n est un entie /n l + L( ) a = et les équations de = écuence a+ = f(a ) emettent de calcule tous les coefficients à une constante ( n + l + ) multilicative ès, losque n et l sont fixés On touve: a+ = a n( + )( + l + ) constante multilicative sea fixée en nomalisant R(), comme vu écédemment, soit : RRd= 4π 3 et la En conclusion, la théoie de Schödinge conduit aux mêmes ésultats que ceux touvés a Boh-Sommefeld : le mouvement de l électon soumis à un cham de foces centales eut ête décit au moyen d une fonction d onde n m im n,,m = l L n, ()e sin f,m(cos )e ϕ l l l ou ψ θ θ ψ n, l,m,m = ψn, l,m α ouψn, l,m β et la fome de la fonction ψ n, l,m déend de tois nombes s quantiques alos que l énegie ne déend que de n Ce ésultat dû à la fome aticulièe de V() = Même si le sens ofond des quantifications nous échae les quantifications ne sont intoduites que ou ende comte des faits exéimentaux, des sectes obsevés, le modèle de la mécanique quantique emet d intoduie ces quantifications en les attachant à quelques gands incies de la hysique, comme la consevation de l énegie et la consevation des moments cinétiques (ou un mouvement dans un cham de foces centales) 6