+ + = + (Identité 1) x ax x

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Flore Barbeau
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1 1. Définition LA COMPLÉTION DU CARRÉ L complétion du crré est un procédé lgébrique qui consiste à trnsformer un polynôme de second degré écrit dns l forme stndrd dns l forme cnonique + b + c, où 0, ( h) k + +. L figure suivnte illustre les trnsformtions d'une forme à l'utre. Forme cnonique Développement Forme stndrd Crré prfit Trinôme crré prfit Simplifiction ( + ) = ( ) = Forme cnonique Complétion du crré Forme stndrd On constte qu'il suffit de quelques opértions élémentires pour trnsformer une forme cnonique en une forme stndrd. Pour psser de l forme stndrd à l forme cnonique il fudr trouver le terme 9 qu'il fut jouter à + 6 pour obtenir le trinôme crré prfit On le trouver en utilisnt l'identité suivnte : L'epression ( ) ( ) + + = + (Identité 1) + 6 correspondnt à l prtie + de l'identité 1 (à guche de l'églité), le terme mnqunt pour obtenir un trinôme crré prfit est donc ( ). Ainsi, pour trouver ce dernier il s'git d identifier le coefficient de c'est-à-dire = 6, le diviser pr ( = 6 ) et d élever le tout u crré ( ) = ( 6 ) = 9 : pour obtenir l vleur mnqunte. + 6 ( 6 ) = + = ( + ) ( + ) Série_lg_Compl_crre MAT1 Été 01 Clude Blis Pge 1

2 Eemple 1 : Trouvez ce qui doit être jouter à l'epression 8 pour obtenir un trinôme crré prfit. Solution : On prend le coefficient de, c'est-à-dire l vleur 8, on le divise pr pour obtenir et on élève u crré ce dernier pour trouver l vleur mnqunte c'est-à-dire ( 8 ) = ( ) = 16. Donc, on doit jouter 16 à pour voir un trinôme crré prfit. On vérifie lors l'identité : = ( ). REMARQUE : l vleur mnqunte que l on dditionne pour obtenir un trinôme crré prfit est toujours positive. EXERCICE 1 Pour chcune des églités ci-dessous, trouvez à guche de l'églité le terme mnqunt pour obtenir un trinôme crré prfit et utilisez l'identité 1 pour réécrire à droite de l'églité le trinôme sous l forme d un crré prfit ( ) ) + + = b) 6 + = c) = d) t + 1t + = u + u + = f) z z + = + h De l forme stndrd à l forme cnonique (le cs = 1) On illustre à l ide d un eemple comment l technique de complétion du crré permet de psser de l forme stndrd à l forme cnonique. Eemple : Trnsformez dns s forme cnonique Étpe = On doit trouver l vleur à jouter à 6 pour obtenir un trinôme crré prfit. ( 6 ) = 9 Avec le coefficient de on trouve l vleur recherchée. Étpe = Donc, on joute 9 pour que les trois premiers termes forment un trinôme crré prfit et on retrnche 9 pour ne ps modifier l vleur de l'epression Étpe = ( ) Finlement, on écrit le trinôme sous l forme d'une puissnce et on simplifie les deu derniers termes. Eemple : Trnsformez dns s forme cnonique On prend le coefficient de c'est-à-dire l vleur 10, on le divise pr pour obtenir 5 et on élève u crré ce dernier résultt pour obtenir l vleur nécessire c'est-à-dire 5. Donc, on doit jouter 5 à + 10 pour voir un crré prfit et on retrnche 5 pour conserver l vleur de l'epression = = + ( 5) 9 Série_lg_Compl_crre MAT1 Été 01 Clude Blis Pge

3 EXERCICE Pour chque epression ci-dessous, donnez s forme cnonique si u déprt elle est écrite dns l forme stndrd ou écrivez-là dns l forme stndrd si elle donnée dns l forme cnonique. ) d) b) c) ( ) f) ( ) g) j) h) + + k) i) ( + 1 ) + α + β. De l forme stndrd à l forme cnonique (le cs générl 0 ) Le coefficient du monôme de plus hut degré est ppelé le «coefficient dominnt». Nous vons vu jusqu à présent le cs où le coefficient dominnt est égl à 1. Voyons à nouveu à l ide d un eemple comment l technique de complétion du crré permet de psser de l forme stndrd à l forme cnonique dns le cs générl. Eemple : On veut trnsformer le polynôme + 1 sous forme cnonique. Étpe = On fctorise fin d obtenir un coefficient dominnt égl à 1 entre les crochets. Étpe = On pplique lors l technique vue précédemment à l epression entre crochets : l complétion d un crré. Étpe Étpe ( ) = + 6 ( ) = + 5 On obtient une forme cnonique dns les crochets. En distribunt le fcteur, on obtient l forme cnonique. EXERCICE Trnsformez chcun des polynômes du second degré dns l forme cnonique. ) b) c) d) t 6t + f) u + u 15 g) + b + c où 0. Quelques pplictions mthémtiques de l complétion du crré..1 : Fctoristion d'un polynôme du second degré. Rppel 1 : b b b = ( )( + ) (Identité ) Une différence de crré se fctorise. Rppel : une somme de crrés ne se fctorise ps dns les nombres réels. Dns les deu eemples qui suivent, nous voyons qu une forme cnonique s écrit soit sous l forme d une différence de crrés ou sous l forme d une somme de crrés. Série_lg_Compl_crre MAT1 Été 01 Clude Blis Pge

4 Eemple 5 : Fctorisez dns les nombres réels le polynôme + = = ( + 1) = ( + 1) ( ) = (( + 1) ( ) ) (( + 1) + ( ) ) = ( + 1 ) ( + 1+ ) +. On joute le terme mnqunt nécessire pour obtenir un crré prfit On écrit le polynôme sous l forme cnonique On obtient une différence de crrés. Fctoristion à l ide de l identité (). On obtient le résultt près voir enlevé un niveu de prenthèses. Eemple 6 : Fctorisez dns les nombres réels le polynôme = = = ( ) = ( 1) Fctoristion du coefficient dominnt. On complète le crré. On écrit le polynôme sous l forme cnonique. On obtient lors une somme de crrés. On ne peut donc ps fctoriser dns les nombres réels. EXERCICE.1 Fctorisez, si possible, les polynômes suivnts : ) b) c) d) z 5z 6 f) t + 9t 10 EXERCICE. Donnez une condition suffisnte sur les coefficients, b et c du polynôme polynôme se fctorise dns les nombres réels.. : Résolution d une éqution qudrtique. b c + + (où 0 ) qui ssure que le Eemple 6 : Résolvez l'éqution = 0 pr l méthode de complétion du crré et en fctorisnt. Solution : = On écrit l éqution à résoudre + = 0 On multiplie pr 1/ chque membre de l éqution fin que le coefficient dominnt soit égl à 1. ( + + 1) 1 = 0 On effectue l complétion du crré. ( + 1) 5 = 0 On obtient l forme cnonique. Série_lg_Compl_crre MAT1 Été 01 Clude Blis Pge

5 ( ) ( ) = 0 On fit pprître une différence de crrés. ( )( ) = 0 On fctorise. = 1+ 5 ou = 1 5 On eplicite les deu solutions réelles de l éqution. REMARQUE 1: Dns le cs où une éqution n' ps de solution réelle, on urit eu à l'étpe 5 une somme de crrés dont le deuième terme est supérieur à 0. REMARQUE : Dns le cs où une éqution n' qu'une seule solution, on urit obtenu à l'étpe une éqution de l forme ( + ) = 0 ce qui donne = comme unique solution. EXERCICE. Résolvez les équtions suivntes pr l méthode de l complétion du crré. ) = 0 b) = 0 c) 6z 5z = 6 d) = u 1u 11 0 = f) t = 0 18t EXERCICE. Avec l méthode de l complétion du crré décrite ci-dessus, déterminez l formule qudrtique qui permet de résoudre l'éqution qudrtique + b + c où 0. Réponses u eercices Eercice 1 ) ; d) 6 ; ( + ) b) 9 ; ( 6) ( ) t + 9 ; ( ) Eercice ) ( + ) + 11 b) d) ( ) + 11 g) ( 5 ) + 7 h) ( ) j) ( + 1 ) + 71 k) 6 6 ( ) Eercice ) ( + 1) + 1 b) + 5 d) ( ) g) b b c + Eercice.1 ou c) 5 ; ( + ) u + f) 1 ; ( + ) 19 c) ( ) 1 f) ( z 1) Série_lg_Compl_crre MAT1 Été 01 Clude Blis Pge i) + 7 α α β + ou ( α β α + ) ( 9) + c) ( + 1) ( t + 1) + 5 f) ( u ) b c b + +

6 ) Indécomposble b) ( + 19)( ) c) Indécomposble d) Indécomposble (z )(z + ) f) Eercice. Il suffit que b c 0. 1 ( 9 101)( 9 101) t + t + + Eercice. ) = ± b) = c) z = ou z = d) Aucune sol. dns les réels u = ± 5 f) t = 9 ± 101 Eercice. Étpe 1 : L complétion de crré. Nous prtons de l éqution 1 : + b + c = 0. b c b c + b + c = = = 0 b b b c = 0 b b c + + = 0 b b c + = 0 (Éqution ) Étpe : notons d bord que dns l éqution, l epression b + est toujours positive. De même, le dénominteur du deuième terme ( ) est toujours supérieur à 0. On vu dns les eercices précédents que l eistence ou non de solution est intimement liée à l nture du membre de guche de l éqution : s git-il d une somme ou d une différence de crrés? On étudie lors les cs possibles pour le numérteur du deuième terme, soit b c : Cs 1 : b c > 0. Alors on peut écrire l éqution : b b c 0 b b c + = 0 + = Et on voit pprître une différence de crrés. En fctorisnt, on obtient : b b c b b c b b c b b c + + = 0 + = 0 b b c = + ou b b c =. On deu solutions réelles distinctes. Cs : b c = 0. L éqution se réduit lors à : Cs : b c < 0. b b + = 0 =. On une solution réelle. L éqution se réduit à une somme de crrés (non nuls) qui égle 0. Cel est impossible à résoudre dns les nombres réels. Donc il n y ucune solution réelle dns ce cs. Série_lg_Compl_crre MAT1 Été 01 Clude Blis Pge 6

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