APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE"

Transcription

1 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Définition. Soit I R un intervlle ouvert et soit f : I R une fonction. () Si f est continue, on dit que f est de clsse C 0. (2) Si f est dérivble et si f est continue sur I, on dit que f est de clsse C. (3) Si f est dérivble et si f est dérivble, on note f ou f (2) s dérivée. Si f (2) est continue, on dit que f est de clsse C 2. (4) Plus générlement, pour tout N, si on peut dériver n fois l fonction f, et si l dérivée n-ième, notée f (n), est continue, lors on dit que f est de clsse C n. (5) Si f est de clsse C n pour tout n N, lors f est infiniment dérivble, on dit que f est de clsse C. Eemple 2. () L fonction f définie sur R pr f() = 2 est C sur R. (2) Soit f l fonction définie sur R pr f() = 4, on pour tout R : f () = 4 3, f () = 2 2, f (3) () = 24, f(4)() 24, f (5) () 0, d où :f (n) () = 0 pour tout R. (3) Plus générlement, pour tout n N, l fonction f : R R définie pr f() = n est de clsse C et nous vons f (k) () = 0 pour tout entier k n +. (4) les fonctions sin, cos, e, cosh, sinh sont de clsse C sur R. (5) L fonction log est de clsse C sur ]0, + [. (6) l fonction f() =. est de clsse C 2 sur R et C sur R. Nous urons besoin du résultt technique suivnt. Lemme 3. Soit I R un intervlle ouvert, soit b I et soit f : I R une fonction de clsse C n+, n N. On considère l fonction g : I R définie en posnt : n (b ) k g() = f(b) f() f (k) () = f(b) f() b f ()! (b )2 f (2) () Dns ces conditions, l fonction g est dérivble sur I et nous vons : g (b )n () = f (n+) (), (b )n f (n) ().

2 2 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE pour tout I. Preuve Puisque f est (n + ) fois dérivble, les fonctions f,, f (n) sont dérivbles. De ce fit g est composée de sommes et de produits de fonctions dérivbles sur I. Pr conséquent, g est dérivble sur I. Pour tout I nous vons : n ( ((b ) g () = f k ) ) () f (k) (b )k () + (f (k) ()) = f () = f () + n k( )(b ) k f (k) () n (b ) k f (k) () (k )! n (b ) k f (k+) () n (b ) k f (k+) (). Dns l première somme, posons p = k, nous vons : n g () = f () + p=0 (b ) p f (p+) () p! n (b ) k f (k+) (). Enfin, dns l deuième somme ppelons p l vrible, c est à dire posons k = p. Nous vons donc : n g () = f (b ) p n () + f (p+) (b ) p () f (p+) () p! p! p=0 = f () + f () = (b )n f (n+) (), ce qui termine l preuve. Nous déduisons le résultt importnt : p= (b )n f (n+) () Théorème 4. (Formule de Tylor-Lgrnge) Soit I R un intervlle ouvert, soit n N, soit f : I R une fonction de clsse C n+. Soient, b I tels que b. Dns ces conditions, il eiste u moins un réel c, strictement compris entre et b, tel que : f(b) = f() + f ()! n = k=0 (b ) + f (2) () (b ) f (n) () f (k) () (b ) k + f (n+) (c) (n + )! (b )n+. (b ) n + f (n+) (c) (b )n+ (n + )! Cette formule est ppelée l formule de Tylor-Lgrnge à l ordre n u point. ()

3 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE 3 Preuve Reprenons l fonction g du lemme 3 : n (b ) k g() = f(b) f() f (k) (), I. Nous vons : g(b) = 0 et g() = f(b) f() f ()(b ) f (2) () Posons : (b )n+ h() := g() g() (b ) n+, I L fonction h est dérivble sur I. De plus : (b ) 2 f (n) () (b ) n. (b )n+ h() = g() g() = 0 et h(b) = g(b) = 0. (b ) n+ Nous pouvons de ce fit ppliquer le théorème de Rolle à l fonction h entre et b : il eiste un réel c strictement compris entre et b tel que : Pr illeurs, nous vons : h (c) = 0. h (c) = g (b c)n (c) g()(n + )( ) (b ) n+ = g (b c)n (c) + (n + )g() (b ) n+ = (b c)n Comme h (c) = 0 nous vons donc c est à dire : f (n+) (b c)n (c) + (n + )g() (b ) n+. (n + ) (b ) n+ g() f n+ (c) = 0, g() (b )n+ f n+ (c) = 0. (n + )! En remplçnt g() pr son epression nous obtenons : f(b) f() f ()! (b )+ f (2) () ce qui termine l preuve. (b ) 2 f (n) () (b ) n f (n+) (c) (n + )! (b )n+ = 0,

4 4 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Corollire 5. Reprenons les hypothèses et les nottions de l formule de Tylor- Lgrnge. Supposons que 0 I. Nous vons : () Pour tout I, il eiste un réel c strictement entre 0 et tel que : f() = f(0) + f (0) + f (2) (0) f (n) (0) n + f (n+) (c ) n+. (2) (n + )! (2) Si il eiste M > 0 tel que f (n+) () M pour tout I, lors nous vons pour tout I : f() (f(0) + f (0) + f (2) (0) f (n) (0) n ) n+ M (n + )! (3) Preuve Pour (2), on pplique l formule de Tylor-Lgrnge en posnt = 0 et b =. Pour (3), on pplique (2), de ce fit, pour tout I, il eiste un réel c strictement entre 0 et tel que : f() (f(0) + f (0) + f (2) (0) f (n) (0) n ) = f (n+) (c ) n+ (n + )!. Comme nous vons pr hypothèse f (n+) (c ) M, on obtient l inéglité (3), ce qui termine l preuve. Eemple 6. () Appliquer l formule de Tylor-Lgrnge à l fonction f() = e, R, u point 0 et à l ordre 4. L fonction f est de clsse C 5 (en fit infiniment dérivble) sur R, de plus : En prticulier : (e ) (k) = e, pour tout R et tout k N. (e ) (k) (0) =, k N, insi, pour tout R, il eiste un réel c strictement entre 0 et tel que : e = ! + 4 4! + ec 5 5!. (2) Appliquer l formule de Tylor-Lgrnge à l fonction f() = sin, R, u point 0, à l ordre 3. L fonction sin est de clsse C 4 sur R (en fit infiniment dérivble) et nous vons pour tout R : sin () = cos, sin (2) = sin, sin (3) = cos, sin (4) = sin.

5 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE 5 Ainsi, pour tout R, il eiste un réel c strictement compris entre 0 et tel que : sin = sin 0 + (cos 0) + ( sin 0) 2 = 3 3! + sin c 4 4!. + ( cos 0)3 3! + sin c 4 4! (3) Appliquer l formule de Tylor-Lgrnge à l fonction f() = tn, ] π/2, π/2[ u point 0, à l ordre 3. L fonction tn est de clsse C 4 sur ] π/2, π/2[ et nous vons pour tout ] π/2, π/2[, tn = + tn 2,. Ce qui nous donne : tn (2) = 2 tn + 2 tn 3 tn (3) = 2( + tn 2 ) + 6 tn 2 ( + tn 2 ) = tn tn 4 tn (4) = 6 tn + 40 tn tn 5. Ainsi, pour tout ] π/2, π/2[, 0, il eiste un réel c entre 0 et tel que : tn = (6 tn c + 40 tn 3 c + 24 tn 5 c ) 4 4!. Nous llons voir qu il eiste une utre mnière d pproimer une fonction dérivble pr une fonction polynomile. Théorème 7. Soit I R un intervlle ouvert, soit I et soit f : I R une fonction de clsse C n, n N. Dns ces conditions, il eiste une fonction ρ : I R continue telle que : nd f() = f()+f ()( )+ f (2) () lim ρ() = 0, (4) ( ) f (n) () ( ) n +( ) n ρ(). (5) L formule (5) s ppelle le développement limité de f à l ordre n u point. Preuve Nous ferons une démonstrtion pr récurrence sur n N. Première étpe : Lorsque n =, on pose : ρ() = f() f() f (). Comme f est de clsse C, on bien lim ρ() = f () f () = 0. De plus : f() = f() + f ()( ) + ( )ρ(). De ce fit, les conditions (4) et (5) sont stisfites pour n =.

6 6 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Deuième étpe : Soit n N. Montrons que si l propriété est vrie à l ordre n lors elle est vrie à l ordre n +. Soit f : I R une fonction de clsse C n+. Posons g = f, l fonction g est de clsse C n et de ce fit, l hypothèse de récurrence nous dit qu il eiste une fonction continue ρ : I R telle que : lim ρ(t) = 0 t (H) g(t) = g() + g ()(t ) + g(2) () (t ) g(n) () (t ) n + (t ) n ρ(t), t I. Comme g(t) = f (t), on donc : f (t) = f () + f (2) ()(t ) + f (3) () (t ) f (n+) () (t ) n + (t ) n ρ(t), pour tout t I. Soit I, en intégrnt chque terme de cette dernière églité entre et on obtient : f (t) dt = f () dt + f (2) f (3) () ()(t ) dt + (t ) 2 dt c est à dire : + + f (n+) () (t ) n dt + f() f() = f ()( ) + f (2) ( )2 () ( + ( ) n+ ( ) n+ + f (3) ( )3 () 3! ) (t ) n ρ(t) dt. (t ) n ρ(t) dt, + + f (n+) ( )n+ () (n + )! Posons : Nous vons donc : S() = ( ) n+ (t ) n ρ(t) dt. f() = f() + f ()( ) + + f (n+) ( )n+ () + ( ) n+ S(). (n + )! Pr conséquent, il suffit de montrer que lim S() = 0, c est à dire : ε > 0, η > 0, I, ( < η et ) S() < ε. Soit ε > 0, comme lim t ρ(t) = 0, il eiste η > 0 tel que pour tout t I : ( < η et ) ρ(t) < ε.

7 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE 7 Ainsi, pour tout I tel que et < η on : S() = n+ (t ) n ρ(t) dt n+ t n ρ(t) dt n+ t n ε dt ε n+ t n dt ε n + ε cr un clcul montre que si > nous vons : t n dt = = (t ) n dt (t )n+ n + et si < nous vons : t n dt = ( ) n dns les deu cs nous vons donc : t n dt Ce qui termine l preuve. = ( )n+ n + (t ) n n ( )n+ dt = ( ) n + n+ = n + Eemple 8. () Donner le développement limité de sin à l ordr 5 en 0. L fonction sin est de clsse C 5 (et même plus!) et nous vons : sin () = cos, sin (2) = sin, sin (3) = cos, sin (4) = sin, sin (5) = cos. Le théorème précédent nous dit qu il eiste une fonction continue ε() sur R telle que lim 0 ε() = 0 et : sin = sin(0) + cos(0) + ( sin(0)) 2 2 = 3 3! + 5 5! + 5 ε(). + ( cos(0))3 3! + sin(0)4 4! + cos(0)5 5! + 5 ε()

8 8 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE (2) Clculer lim 0 cos 2. Un clcul rpide donne le développement limité suivnt pour l fonction cos en 0 : Ainsi : cos = ε(). cos lim 0 2 = lim( ε() 0 2 = lim( ε()) = 2, cr lim 0 ε() = 0. (3) Donner le développement limité de cosh en 0 à l ordre 4. L fonction cosh est de clsse C 4 sur R (et même C!) et nous vons : cosh = sinh, cosh (2) = cosh, cosh (3) = sinh, cosh (4) = cosh. Ainsi cosh = ! + 4 ε(), où ε() est une fonction continue sur R telle que lim 0 ε() = 0. (4) Donner le développement limité de l fonction f() = log(+) en 0 à l ordre 4. L fonction f est de clsse C 4 sur ], + [ et nous vons : f () = +, f (2) () = ( + ) 2, f (3) () = ce qui donne : log( + ) = ε(), 2 ( + ) 3, f (4) () = 6 ( + ) 4 où ε() est une fonction continue sur ], + [ telle que lim 0 ε() = 0. Opértions sur les développements limités Soient f, g : I R deu fonctions de clsse C n. On suppose que 0 I. On considère le développement limité de f et g en 0 à l ordre n : f() = P () + n ε () g() = Q() + n ε 2 () où P et Q sont deu fonctions polynomiles de degré n.

9 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE 9 Le développement limité de f + g en 0 à l ordre n est : Pr eemple nous svons que : (f + g)() = P () + Q() + n ε(). sin = 3 3! + 4 ε () et cos = ! + 4 ε 2 (). Pr conséquent, le développement limité de l fonction sin + cos en 0 à l ordre 4 est : sin + cos = ! + 4 4! + 4 ε(). Pour tout λ R, le développement limité de λf en 0 à l ordre n est : λf() = λp () + n ε(). Pr eemple le développement limité de λ sin en 0 à l ordre 4 est : où on posé ε() = λε (). λ sin = λ( 3 3! + 4 ε ()) = λ λ 3 3! + 4 ε(), Le développement limité de (fg)() en 0 à l ordre n est : (fg)() = T n (P ()Q()) + n ε(), où T n (P ()Q()) est l somme des puissnces de P ()Q() de degré n. Cherchons pr eemple le développement limité de sin cos en 0 à l ordre 4. Nous vons : sin cos = ( 3 3! + 4 ε ())( ! + 4 ε 2 ()) = ! + 4 ε()) = ε()) Supposons que l composée f g eiste et que g(0) = 0. Dns ces conditions le développement limité de f g en 0 à l ordre n est : (f g)() = T n (P (Q(X))) + n ε().

10 0 APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Eemple 9. () Nous vons sin 0 = 0, de ce fit le développement limité de cos(sin ) en 0 à l ordre 4 est : cos(sin ) = sin2 2 = + sin4 4! + sin 4 ε 3 () 3 ( 3! + 4 ε ()) 2 3 ( 3! + 4 ε ()) ( 3 2 4! 3! + 4 ε ()) 4 ε 3 () = 2 ( ! ) + 4! ε() = ! ε() (2) Donner le développement limité de l fonction h() = en 0 à l ordre 5. 2 Posons g() = 2 et f(t) = Nous vons donc h() = (f g)(). t. Cherchons le développement limité de f en 0 à l ordre 3, nous vons : f (t) = ce qui nous donne : De ce fit : ( t) 2, f (2) (t) = 2 ( t) 3, f (3) (t) = f(t) = + t + t 2 + t 3 + t 3 ε (t). h() = f( 2 ) = ε(). 3! ( t) 4,

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications.

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications. LEÇON N 67 : Formules de Tylor. Applictions. Pré-requis : Théorème de Rolle, théorème des Accroissements Finis ; Intégrtion pr prties ; Nottions de Lndu. 67. Résultts globux 67.. Formule de Tylor-Lgrnge

Plus en détail

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Définition 1 Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues à vleurs dns C, définies sur un intervlle [, b[ de R. On considère l intégrle impropre g(x) = que

Plus en détail

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles Développements limités I Générlités I.A Définitions usuelles.......................... I.B Formules de Tylor.......................... I.C Développements limités usuels.................... 4 I.D Eemples

Plus en détail

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers Chpitre 5 Intégrtion Nous llons construire l intégrle pr un procédé de pssge à l limite. D bord on définit l intégrle des fonctions en escliers, ensuite on psse à l limite pour intégrer des fonctions plus

Plus en détail

Rappels et compléments sur l intégrale de Riemann

Rappels et compléments sur l intégrale de Riemann Chpitre Rppels et compléments sur l intégrle de Riemnn Commençons pr un rppel. Théorème.. (Théorème fondmentl du clcul intégrl) Soit f :[, b]! R une fonction continue. Pour tout x 2 [, b], posons F (x)

Plus en détail

Primitives et Calcul d une intégrale

Primitives et Calcul d une intégrale Primitives et Clcul d une intégrle I) Primitive ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I, toute fonction F dérivle sur I dont l dérivée F est égle à

Plus en détail

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1 ntégrtion Licence de mthémtiques, 4 e semestre Université Ai-Mrseille J-Y. Briend Fscicule de résultts ntégrbilité, intégrle Définition.. Soit = [,b] un intervlle compct. Une subdivision pointée P de est

Plus en détail

Comparaison des fonctions au voisinage d un point

Comparaison des fonctions au voisinage d un point DOCUMENT 29 Comprison des fonctions u voisinge d un point Pour tout 0 R on pose : V 0 = {] 0 η, 0 + η[ η > 0} si 0 R; V 0 = {], + [ R} si 0 = + et V 0 = {], [ R} si 0 =. Un élément de V 0 est ppelé un

Plus en détail

Intégration des fonctions continues par morceaux

Intégration des fonctions continues par morceaux Chpitre 4 Intégrtion des fonctions continues pr morceu 4.1 Introduction Dns cette section, on fie < deu réels, on note I = [, ] et on considère f : I R une ppliction continue. On suppose en outre que f

Plus en détail

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

PRIMITIVES ET INTÉGRALES Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot PRIMITIVES ET INTÉGRALES Les fonctions de ce chpitre sont des fonctions d une vrible réelle à vleurs réelles ou complexes. Primitives. Définition Définition. Primitive

Plus en détail

Le Calcul de Primitives

Le Calcul de Primitives Le Clcul de Primitives MPSI Prytnée Ntionl Militire Pscl Delhye 25 octobre 27 ϕ(x) f(u) du = f(ϕ(t) )ϕ (t) }{{}}{{} u du Résultts préliminires Définition : Primitives Soit deux fonctions f et F définies

Plus en détail

INTÉGRATION. Table des matières

INTÉGRATION. Table des matières INTÉGRATION Tble des mtières. Primitives et intégrles indéfinis. Régles d intégrtion 3 3. Intégrtion de fonctions rtionnelles 5 3.. Première étpe : contrôle du degré 6 3.. Deuxième étpe : fctoristion de

Plus en détail

Chapitre 1 Suites de fonctions

Chapitre 1 Suites de fonctions Université de Bourgogne Déprtement de Mthémtiques Licence de Mthémtiques Résumé du cours Compléments d Anlyse Chpitre Suites de fonctions. Suites de nombres, suites de fonctions Dns tout ce chpitre, l

Plus en détail

Etude de suites récurrentes

Etude de suites récurrentes [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Enoncés Etude de suites récurrentes Exercice [ 0304 ] [Correction] u 0 = R et n N, + = u n ) Justifier que l suite ( ) est bien définie et n N, [ ; ] b)

Plus en détail

Comparaison de fonctions, développements limités

Comparaison de fonctions, développements limités I Comprison de fonctions Définitions Comprison de fonctions, développements limités Négligeble Définition Soient f et g deu fonctions définies sur un même ensemble D et à vleurs dns R. Soit R tel que f

Plus en détail

Intégration numérique

Intégration numérique Chpitre 5 Intégrtion numérique 5.1 Introduction Dns ce chpitre, on s interesse u clcul numérique d intégrles. Plus précisément, on considère une fonction f continue et une fonction w continue et positive

Plus en détail

f 1 f = f n f 1(t). f (t) = f n(t) le vecteur tangent au point f(t). Pour une courbe dérivable on a par définition de la dérivée f(t + h) f(t) h o(h)

f 1 f = f n f 1(t). f (t) = f n(t) le vecteur tangent au point f(t). Pour une courbe dérivable on a par définition de la dérivée f(t + h) f(t) h o(h) Chpitre 2 Courbes dns R n 2.1 Courbes dérivbles Définition. Soit I R un intervlle. Une courbe (ou un chemin) est une ppliction continue f : I R n. Une courbe est donnée pr un n-tuplet de fonctions continues

Plus en détail

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2.

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2. MT9 P Médin - Corrigé Eercice. α et β sont deu prmètres réels tels que α >. On définit f) = α + + β. Ecrire le développement limité de f, à l ordre, en.. Utiliser l question précédente pour étudier l brnche

Plus en détail

LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications.

LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications. LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervlle ; définition et propriétés de l intégrle, inéglité de l moyenne. Applictions. Pré-requis : Si f est une fonction numérique dérivble sur

Plus en détail

Théorème de la bijection : exemples de rédaction

Théorème de la bijection : exemples de rédaction ECE-B 5-6 Théorème de l bijection : eemples de rédction Le but de cette fiche est de fire un point sur le théorème de l bijection. Après un retour sur l énoncé et s démonstrtion, on illustrer l utilistion

Plus en détail

Définition Propriétés de d intégrale Intégrale fonction de sa borne supérieure Méthodes d intégration. Calcul Intégral

Définition Propriétés de d intégrale Intégrale fonction de sa borne supérieure Méthodes d intégration. Calcul Intégral Clcul Intégrl christophe.profet@univ-evry.fr http://www.mths.univ-evry.fr/pges_perso/cprofet/ Amphi n 1 Jnvier 214 Objectifs du cours 1 donner une définition de l intégrle f (x)dx qui permet de comprendre

Plus en détail

CALCUL INTEGRAL. Ph DEPRESLE. 29 juin Intégrale d une fonction continue et positive sur un segment 2

CALCUL INTEGRAL. Ph DEPRESLE. 29 juin Intégrale d une fonction continue et positive sur un segment 2 CALCUL INTEGRAL Ph DEPRESLE 9 juin 5 Tble des mtières Intégrle d une fonction continue et positive sur un segment Primitives d une fonction sur un intervlle. Primitives, définition...................................

Plus en détail

7. Applications du théorème des

7. Applications du théorème des 67 7. Applictions du théorème des résidus. Évlution d intégrles réelles impropres Une ppliction importnte de l théorie des résidus est l évlution de certins types d intégrles définies et d intégrles impropres

Plus en détail

FONCTIONS DE REFERENCE

FONCTIONS DE REFERENCE FONCTIONS DE REFERENCE 1.Logrithme Définition: On ppelle fonction logrithme népérien l primitive de l fonction 1/ définie sur l intervlle ]0 ;+ [ qui s nnule en 1. ln 1 dt t Cette fonction est définie,

Plus en détail

Intégrales et primitives

Intégrales et primitives Chpitre 3 Intégrles et primitives 3.1 Définitions Soit f(x une fonction continue définie sur l intervlle [, ]. L intégrle de f sur l intervlle [, ] est un nomre réel noté qui est défini de l fçon suivnte

Plus en détail

Variables aléatoires à densité

Variables aléatoires à densité Vribles létoires à densité Rppels : Une vrible létoire réelle (VAR) est une ppliction X : Ω R où (Ω,A,P) est un espce probbilisé. Lorsque X(Ω) est un ensemble discret on dit que X est une VAR discrète.

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

L1MI - Mathématiques: Analyse

L1MI - Mathématiques: Analyse Université de Metz (UFR MIM) Année universitire - Déprtement de Mthémtiques Dérivtion et Dérivée Exercice Clculer l dérivée des fonctions suivntes (x) = x + ln(x + x + ), LMI - Mthémtiques: Anlyse b(x)

Plus en détail

CHAPITRE 7. Rappel sur l intégrale simple.

CHAPITRE 7. Rappel sur l intégrale simple. CHPITRE 7 Rppel sur l intégrle simple. Les prochins chpitres triteront de l intégrtion. Dns un premier temps, nous rppellerons ce qu est l intégrle simple (l intégrtion pour les fonctions d une seule vrible

Plus en détail

Intégrale de Riemann cours et exercices de Licence, L1, PC, S2

Intégrale de Riemann cours et exercices de Licence, L1, PC, S2 Intégrle de Riemnn cours et exercices de Licence, L1, PC, S2 H. Le Ferrnd Jnury 29, 2010 Contents 1 Des premières méthodes 2 2 Sommes de Drboux 2 3 Fonction intégrble u sens de Riemnn 3 3.1 Qu est-ce qu

Plus en détail

W - METHODES DE CALCUL APPROCHE DES INTEGRALES

W - METHODES DE CALCUL APPROCHE DES INTEGRALES W - METHODES DE CALCUL APPROCHE DES INTEGRALES Le bt de ces méthodes et de clcler ne vler pprochée d ne intégrle b ft)dt où f est ne fonction contine sffismment réglière sr [, b]. L idée de bse est de

Plus en détail

Chapitre 6 Suites et séries de fonctions

Chapitre 6 Suites et séries de fonctions Chpitre 6 Suites et séries de fonctions Semine 1 : Etude des prgrphes 1 et 2. Fire les exercices d pprentissge 6.1 6.10. Semine 2 : Etude du prgrphe 3. Fire les exercices d pprofondissement 6.11 6.24.

Plus en détail

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL. CHAPITRE : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.. Fonction népérien (logrithme d une fonction composée). Théorème Si u est une fonction strictement positive et dérivble sur un intervlle I ouvert,

Plus en détail

Limite d une fonction à l infini

Limite d une fonction à l infini CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES Limite d une fonction à l infini et s courbe repré-. Limite finie d une fonction à l infini Soit f une fonction définie sur un intervlle [ ; + [ senttive. L

Plus en détail

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales simples

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales simples Cours de remise à niveu Mths 2ème nnée Intégrles simples C. Mugis-Rbusseu GMM Bureu 116 cthy.mugis@ins-toulouse.fr C. Mugis-Rbusseu (INSA) 1 / 47 Pln 1 Définitions 2 Propriétés des fonctions intégrbles

Plus en détail

Chapitre 6. Calcul intégral. OJ = j. Aire(rectangle OIKJ)= 1 u.a. 1 u.a. D = {M(x ; y) P tels que a x b et 0 y f(x)}

Chapitre 6. Calcul intégral. OJ = j. Aire(rectangle OIKJ)= 1 u.a. 1 u.a. D = {M(x ; y) P tels que a x b et 0 y f(x)} Chpitre 6 Clcul intégrl Intégrle et ire. Intégrle d une fonction continue positive sur un intervlle [ ; ] Définition : L unité d ire Soit P un pln muni d un repère orthogonl (O ; ı, j ). Soient I, J, et

Plus en détail

Intégrabilité d une fonction à valeurs réelles ou complexes

Intégrabilité d une fonction à valeurs réelles ou complexes Cours de Mthémtiques ntégrtion sur un intervlle quelconque Prtie : Fonctions intégrbles à vleurs complexes Fonctions intégrbles à vleurs complexes Dns ce prgrphe, est un intervlle de R, et K désigne R

Plus en détail

PARTIE II : Un exemple pour se familiariser avec la conjecture et cette drôle de fonction. . (On ne cherchera pas à exprimer F plus simplement.

PARTIE II : Un exemple pour se familiariser avec la conjecture et cette drôle de fonction. . (On ne cherchera pas à exprimer F plus simplement. Eercice. Découverte des fonctions définies pr une intégrle et premiers ps vers le téorème fondmentl du clcul intégrl. PARTE : Découverte de l fonction «ire sous l courbe» et conjecture sur s dérivée et

Plus en détail

Intégrale de Riemann et Intégrale de Lebesgue INTEGRALE DE RIEMANN

Intégrale de Riemann et Intégrale de Lebesgue INTEGRALE DE RIEMANN Intégrle de Riemnn et Intégrle de Lebesgue Jen Gounon http://dm.ens.fr/culturemth Définitions INTEGRALE DE RIEMANN Dns tout le chpître, b et f est une fonction réelle bornée sur [,b] = I Définition. Un

Plus en détail

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2 TS, Correction Bc Blnc n o Exercice Nouvelle-Clédonie, mrs extrit) points Restitution Orgnisée de Connissnces On utiliser le résultt suivnt : les solutions de l éqution différentielle E ) y = y où R sont

Plus en détail

(b). Calculons les dérivées partielles de f. Nous obtenons f x (x, y) = 2x(1 + x2 + y 2 ) 4x(x 2 + y 2 ) (1 + x 2 + y 2 ) 3 4x 2

(b). Calculons les dérivées partielles de f. Nous obtenons f x (x, y) = 2x(1 + x2 + y 2 ) 4x(x 2 + y 2 ) (1 + x 2 + y 2 ) 3 4x 2 CORRECTION DU MODÈLE D EXAMEN 2 Exercice 1 (). L fonction f est un quotient de deux fonctions polynomiles et le dénominteur ne s nnulle ps sur R 2, donc f est de clsse C et en prticulier de clsse C 2.

Plus en détail

Calcul de primitives. Chapitre Calcul pratique de primitives Primitives usuelles à connaître par coeur

Calcul de primitives. Chapitre Calcul pratique de primitives Primitives usuelles à connaître par coeur Chpitre 21 Clcul de primitives 21.1 Clcul prtique de primitives On note f(x une primitive de l fonction f sur l intervlle I. Cette nottion désigne une fonction, à ne ps confondre vec une intégrle définie

Plus en détail

Intégrales dépendant d un paramètre

Intégrales dépendant d un paramètre Intégrles dépendnt d un prmètre Très souvent, l solution d une éqution différentielle boutit u clcul d une primitive : F() = f (, t) dt. Dns de nombreu cs, il n y ps de forme eplicite pour cette primitive

Plus en détail

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre Résumé de cours sur les intégrles dépendnt d un prmètre On v considérer une fonction à deux vribles ' puis on étudier l existence, l continuité, dérivbilité,...de l fonction F dé nie pr x! F (x) = F est

Plus en détail

EILCO : Analyse Numérique Chapitre 2 : Quadrature H. Sadok

EILCO : Analyse Numérique Chapitre 2 : Quadrature H. Sadok Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss EILCO : Anlyse Numérique Chpitre : Qudrture H. Sdok Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites

Plus en détail

Intégration Primitives

Intégration Primitives Intégrtion Primitives Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2015/2016 Tble des mtières 1 Rppels et compléments 3 1.1 Rppels de dérivtion.......................................... 3 1.1.1 Dérivtion en un point......................................

Plus en détail

2 - INTERPOLATION SPLINE

2 - INTERPOLATION SPLINE 2 - INTERPOLATION SPLINE J-P Croisille Université Pul Verline-Metz Semestre S7, mster de mthémtiques M1, nnée 2008/2009 1- INTRODUCTION Fonctions splines: Fonctions interpolntes pticulièrement dptées.

Plus en détail

Espaces préhilbertiens réels

Espaces préhilbertiens réels 9 Espces préhilbertiens réels Pln de cours I Générlités................................................. 1 A Produit sclire........................................... 1 B Norme euclidienne........................................

Plus en détail

5. Intégration complexe

5. Intégration complexe 49 5. Intégrtion complexe 1. Intégrles définies d une fonction complexe d une vrible réelle Les intégrles sont extrêmement importntes dns l étude des fonctions d une vrible complexe. Nous étblirons l équivlence

Plus en détail

Définition d'une intégrale. Calcul intégral

Définition d'une intégrale. Calcul intégral Définition d'une intégrle Clcul intégrl. Introduction... p2 4. Primitives d'une fonction continue sur un intervlle... 2. Intégrle d'une fonction continue positive sur [;]... p5 p 5. Recherche de primitives...

Plus en détail

Feuille d exercices 2 : Analyse Intégrale

Feuille d exercices 2 : Analyse Intégrale Université Denis Diderot Pris 7 (3-4) TD Mths, Agro www.mth.jussieu.fr/ merle Mthieu Merle : merle@mth.univ-pris-diderot.fr Feuille d eercices : Anlyse Intégrle Eercice Trouver une primitive de f : rccos()

Plus en détail

La formule de Simpson avec reste intégral Jean-François Burnol, septembre 2016

La formule de Simpson avec reste intégral Jean-François Burnol, septembre 2016 L formule de Simpson vec reste intégrl Jen-Frnçois Burnol, septembre 1 On cherche à pprocher l intégrle b f (t)dt pr une combinison linéire λf () + µf ( + b ) + νf (b) On v tout d bord prendre = et b =

Plus en détail

Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique feuille de TD 3

Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique feuille de TD 3 Licence de Mthémtiques Fondmentles Clcul Scientifique feuille de TD 3 Intégrtion numérique Soit f : [, b] R une fonction continue On cherche à clculer numériquement l intégrle f(x) dx Pour cel, on subdivise

Plus en détail

Chapitre 19 Intégration sur un segment

Chapitre 19 Intégration sur un segment Chpitre 19 ntégrtion sur un segment Dns tout ce chpitre, suf mention contrire,, b désignent deux réels tels que < b et un intervlle de R contennt u moins deux points. - Construction de l'intégrle.1 - Continuité

Plus en détail

Calcul différentiel et intégral 2 (M-1.1)

Calcul différentiel et intégral 2 (M-1.1) Clcul différentiel et intégrl (M-.) Cdre : dns l suite on considère une fonction numérique f définie sur un intervlle I et un réel I I. Dérivée d'une fonction Définition du nomre dérivé : l fonction f

Plus en détail

R.O.C. Nombres complexes. Pondichéry Enseignement spécifique. Exercice 4 Enoncé Restitution organisée de connaissances

R.O.C. Nombres complexes. Pondichéry Enseignement spécifique. Exercice 4 Enoncé Restitution organisée de connaissances Nombres complexes R.O.C. Pondichéry 22. Enseignement spécifique. Exercice 4 Prtie A Restitution orgnisée de connissnces Soit z uombre complexe. On rppelle que z est le conjugué de z et que z est le module

Plus en détail

Cuisson d un soufflé

Cuisson d un soufflé Mines-PC-1999 A-Equilibre de l ensemble Cuisson d un soufflé 2- Le système { plque et ir} est u contct vec une source de chleur (les prois du four) à tempérture constnte T e. Il s git donc d une trnsformtion

Plus en détail

Techniques Mathématiques de Base UCBL L1 PCSI UE TMB. Programme du cours. Partie I : Algèbre linéaire et géométrie cartesienne

Techniques Mathématiques de Base UCBL L1 PCSI UE TMB. Programme du cours. Partie I : Algèbre linéaire et géométrie cartesienne UCBL L PCSI UE Techniques Mthémtiques de Bse Alessndr Frbetti Institut Cmille Jordn, Déprtement de Mthémtiques http://mth.univ-lyon.fr/ frbetti// Progrmme du cours Prtie I : Algèbre linéire et géométrie

Plus en détail

dans un EVMPS Moindres carrés

dans un EVMPS Moindres carrés Meilleure pproximtion dns un EVMPS Moindres crrés Meilleure pproximtion Définition. Soit V un EVMPS, W un sous-espce quelconque de V, et u un vecteur quelconque de V. On ppelle meilleure pproximtion de

Plus en détail

Calculs de base (Rappels)

Calculs de base (Rappels) Chpitre I Clculs de bse (Rppels) I.1 Diviseurs et multiples I.1.1 Définitions On : 12=3 4. On dit que 3 et 4 sont des diviseurs de 12, ou que 12 est un multiple de 3 et de 4. DÉFINITION I.1.1 Soit et b

Plus en détail

Cours de Mathématiques 2

Cours de Mathématiques 2 Cours de Mthémtiques 2 première prtie : Anlyse 2 DEUG MIAS 1 e nnée, 2 e semestre. Mximilin F. Hsler Déprtement Scientifique Interfcultire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fx : 0596 72 73 62 e-mil :

Plus en détail

Exemple. Les fonctions affines (non nulles) sont les fonctions polynômes de degré 1 ou 0 (fonctions constantes).

Exemple. Les fonctions affines (non nulles) sont les fonctions polynômes de degré 1 ou 0 (fonctions constantes). S Fonctions polynômes et secon egré I Fonctions polynômes Définition Une fonction f est une fonction polynôme (ou plus simplement un polynôme) si : () Elle est éfinie sur R () Elle met une écriture e l

Plus en détail

Chapitre 6 - Fonctions numériques - Généralités

Chapitre 6 - Fonctions numériques - Généralités PS hpitre 6 - Fonctions numériques - Générlités Fonctions d une vrile réelle à vleurs réelles. Définitions Une fonction à vleurs réelles est une ppliction de ou une prtie A de dns. On note f : A ; f ().

Plus en détail

Primitives Calcul intégral

Primitives Calcul intégral Primitives Clcul intégrl Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2009/200 Tble des mtières Primitives 2. Définition, premières propriétés..................................... 2.2 Primitives des fonctions usuelles....................................

Plus en détail

1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées.

1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées. Agrégtion de Mthémtiques 2012-2013 CMI Université d Aix-Mrseille Résumé du cours d Intégrtion 1. Intégrle de Riemnn des fonctions réglées. Fonctions réglées. f : [, b] C est dite réglée si et seulement

Plus en détail

Calcul Intégral - Equations Différentielles M211-1

Calcul Intégral - Equations Différentielles M211-1 /46 Clcul Intégrl - Equtions Différentielles M11-1 Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.mth.univ-toulouse.fr/ fournie/ /46 Introduction Tble des mtières 1 Introduction Préliminires, Rppels

Plus en détail

Cours de Terminale S /Intégration. E. Dostal

Cours de Terminale S /Intégration. E. Dostal Cours de Terminle S /Intégrtion E. Dostl Février 26 Tble des mtières 9 Intégrtion 2 9. Intégrles............................................. 2 9.. Aire sous une courbe...................................

Plus en détail

LOIS DE PROBABILITE CONTINUES

LOIS DE PROBABILITE CONTINUES LOIS DE PROBABILITE CONTINUES I) LOI A DENSITE SUR UN INTERVALLE ( fire fiche '' vérifier les cquis'' ) 1) Introduction Qund l univers est un intervlle Jusqu à présent, chque expérience létoire conduisit

Plus en détail

TD n 6 : Fourier - Correction

TD n 6 : Fourier - Correction D n : Fourier- Correction - Pge sur D n : Fourier - Correction Séries de Fourier Coefficient de Fourier On considère une fonction f continue pr morceux et -périodique. c n f f t e in n Z n f [] f t cos

Plus en détail

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Soit R. Dns tout ce chpitre, on dir qu une fonction f de domine de définition D f est définie u voisinge de s il existe un réel

Plus en détail

Mathématiques Différentielle - Intégrale

Mathématiques Différentielle - Intégrale Mthémtiques Différentielle - Intégrle F. Richrd 1 1 Institut PPRIME - UPR 3346 CNRS Déprtement Fluides, Thermique, Combustion Frnce Institut des Risques Industriels Assurntiels et Finnciers IRIAF F. Richrd

Plus en détail

CALCUL INTEGRAL ET SERIES

CALCUL INTEGRAL ET SERIES Université Blise Pscl, U.F.R. Sciences et Technologies, Déprtement de Mthémtiques et Informtique Licence de mthémtique, deuxième nnée, S3, U.E. 2MM3, nnée 26-27 CALCUL INTEGRAL ET SERIES Notes de cours

Plus en détail

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S Clmths.fr - Les Roc en Terminle S CONTENTS ROC - exigibles... 2 Roc 1 Théorème de comprison pour les suites... 2 Roc 2 Limite de qn lorsque q > 1... 2 Roc 3 Unicité de l fonction exponentielle... 3 Roc

Plus en détail

Nombres rationnels. 1 Définition de Q. On définit, sur l ensemble Z Z, la relation binaire R de la façon suivante : (a, b)r(a, b ) ab = ba

Nombres rationnels. 1 Définition de Q. On définit, sur l ensemble Z Z, la relation binaire R de la façon suivante : (a, b)r(a, b ) ab = ba Nomres rtionnels Définition de Q On définit, sur l ensemle Z Z, l reltion inire R de l fçon suivnte : (, )R(, ) = Propriété. R est une reltion d équivlence. Démonstrtion : Réflexivité : Elle découle de

Plus en détail

Chapitre 10 - Séries de Fourier - Cours. 1. Fonctions dénies par morceaux

Chapitre 10 - Séries de Fourier - Cours. 1. Fonctions dénies par morceaux Chpitre 1 - Séries de Fourier - Cours Lcée Blise Pscl - SI - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Chpitre 1 Séries de Fourier Nottion : Dns tout le chpitre, on e un réel > et on note ω =. 1. Fonctions

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ET EQUATION DIFFERENTIELLE. 1 + x n

FONCTION EXPONENTIELLE ET EQUATION DIFFERENTIELLE. 1 + x n FONCTION EXPONENTIELLE ET EQUATION DIFFERENTIELLE. I LA FONCTION EXPONENTIELLE Définition Il eiste une fonction f, dérivble sur IR, solution de l'éqution différentielle Y '= Y et telle que f(0) = que l'on

Plus en détail

( ). Dans tout ce paragraphe, f et g sont des fonctions continues et positives sur un intervalle a;b. C f

( ). Dans tout ce paragraphe, f et g sont des fonctions continues et positives sur un intervalle a;b. C f Chpitre 6 : Clcul intégrl I Intégrle d une fonction continue positive 1 Unité d'ire Le pln est muni d un repère orthogonl O;i!,! j!!" "!!! " " En posnt OI = i et OJ = j, l ire du rectngle OIKJ définit

Plus en détail

Espaces vectoriels munis d un produit scalaire EVMPS

Espaces vectoriels munis d un produit scalaire EVMPS Espces vectoriels munis d un produit sclire EVMPS Produits sclires générlisés Définition. Dns l espce vectoriel V un produit sclire est une fonction ssocint à chque pire ordonnée ( x, y) de vecteurs de

Plus en détail

Exercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis

Exercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis Eercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis Enoncés Eercice Démonstration du théorème des accroissements finis Soit f : [a, b] R, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ En appliquant le

Plus en détail

Calcul des variations

Calcul des variations Chpitre 2 Clcul des vritions 2.1 Préliminire : Multiplicteurs de Lgrnge Pour comprendre l intérêt des multiplicteurs de Lgrnge, considérons une fonction f : f : U R (, ) f(, ) U est un ouvert de R 2. f

Plus en détail

Formules de Taylor. Applications.

Formules de Taylor. Applications. CAPES 27 Décembre 27 Oral Analyse Formules de Taylor. Applications. Remarques Le niveau naturel de cette leçon est celui du Deug. Pré-requis. Continuité, dérivabilité, inégalité des accroissements finis,

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITÉ

LIMITES ET CONTINUITÉ LIMITES ET CONTINUITÉ Cours Terminle S Limite d une onction à l inini ) Limite inie en l inini Déinition : Soit une onction déinie sur un intervlle de l orme ] A ; + [ On dit que l onction dmet pour limite

Plus en détail

Développements limités

Développements limités c Christophe Bertault - MPSI Développements limités y e Ordre 3 Ordre Nous cherchons dans ce chapitre à approimer les fonctions par des fonctions polynomiales au voisinage d un point, généralement 0. Nous

Plus en détail

Atelier 7 : Calcul Intégral

Atelier 7 : Calcul Intégral Atelier 7 : Clcul Intégrl Wlid ZGHAL 11 jnvier 6 1 Intégrle indéfinie Définition 1.1 Une fonction F est ppelée primitive d une fonction f si F (x) = f(x). Exemple 1 F (x) = x + sec(x) + 1 est une primitive

Plus en détail

Exemple d'introduction 1. Découverte des fonctions définies par une intégrale et premiers pas vers le théorème fondamental du calcul intégral.

Exemple d'introduction 1. Découverte des fonctions définies par une intégrale et premiers pas vers le théorème fondamental du calcul intégral. Eemple d'introduction 1. Découverte des fonctions définies pr une intégrle et premiers ps vers le théorème fondmentl du clcul intégrl. PARTIE I : Découverte de l fonction «ire sous l coure» et conjecture

Plus en détail

Limites et continuité

Limites et continuité TD3 Limites et continuité Limites de fonctions Eercice Déterminer les limites suivantes (si elles eistent) : a) lim + ( ln(+ + )) e 3 + + 7 b) lim + e + e c) lim d) lim + + 3 + 7 3 [ ] e) lim + (e + e

Plus en détail

UNIVERSITE PAUL SABATIER 2008/2009. f(c + ε) f(c) = lim

UNIVERSITE PAUL SABATIER 2008/2009. f(c + ε) f(c) = lim UNIVERSITE PAUL SABATIER 2008/2009 YjY L - PCP - DERIVATION (COURS-EXERCICES). YjY. Dérivation, premières propriétés. Définition : Soient I =]a,b[ un intervalle ouvert, c I et f : I R ; on dira que f est

Plus en détail

Révisions d analyse. I Limites et équivalents. Plan de cours. A Limites

Révisions d analyse. I Limites et équivalents. Plan de cours. A Limites C Révisions d nlyse «Est rigoureuse toute démonstrtion, qui, chez tout lecteur suffismment instruit et prépré, suscite un étt d évidence qui entrîne l dhésion.» René Thom (93-) Pln de cours I Limites et

Plus en détail

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré Chpitre 1 Équtions et Inéqutions du nd degré A) Les Polynômes 1) Définitions On ppelle monôme une expression de l forme

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 Université de Rennes1 Année 5/6 1 Courbes prmétrées Outils Mthémtiques 4 Intégrtion résumé éfinition 1.1 Une courbe plne est un ensemble de couples (f(t), g(t)) où f et g sont des fonctions continues sur

Plus en détail

Intégration des fonctions numériques

Intégration des fonctions numériques ntégrtion des fonctions numériques Sommire ntégrtion des fonctions numériques Sommire ntégrle des fonctions en escliers.................... Fonctions en escliers............................ ntégrle des

Plus en détail

( ) non vides et disjoints tels que D= A1 A2. Soit f la fonction définie par : 1. sont non vides.

( ) non vides et disjoints tels que D= A1 A2. Soit f la fonction définie par : 1. sont non vides. Prties connexes de R et fonctions continues PARTIES CONNEXES DE R ET FONCTIONS CONTINUES Prties connexes de R crctéristion Prtie connexe de R On dit qu'une prtie D de est connexe si D n'dmet ps de prtition

Plus en détail

Dérivation. Accroissements finis

Dérivation. Accroissements finis 19 Cours - Dérivtion. Accroissements finis.nb 1/5 Dérivtion. Accroissements finis nombre dérivé, fonction dérivée, f ' HL, f ', dérivée n ième, f HnL, fonction de clsse C n (C 0, C ), formule de Leibniz,

Plus en détail

Série n 6 : Interpolation et méthodes des moindres carrés

Série n 6 : Interpolation et méthodes des moindres carrés Université Clude Bernrd, Lyon I 43, boulevrd du 11 novembre 1918 696 Villeurbnne Cedex Licence Sciences & Technologies Spécilité Mthémtiques UE : Clcul Scientifique 009-010 Série n 6 : Interpoltion et

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

LIMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako IMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MthsTICE de Adm Troré ycée Technique Bmko I Notion de ite: Activité : Soit une onction de représenttion rphique ci-dessous : b C b Nous pouvons remrquer

Plus en détail

Espaces vectoriels normés ; espaces de Banach

Espaces vectoriels normés ; espaces de Banach Chpitre 7 Espces vectoriels normés ; espces de Bnch Un espce vectoriel normé complet est ppelé un espce de Bnch On note K pour R ou C 71 Exemples d espces vectoriels normés 711 Normes sur K n Sur K n,

Plus en détail

Nous admettrons et utiliserons souvent le théorème suivant:

Nous admettrons et utiliserons souvent le théorème suivant: < 20 Intégrtion: fonction réelle d une vrile réelle. Définition 2.5. (Intégrilité u sens de Riemnn) Une fonction réelle f: [, ] R est dite intégrle sur [,], si ǫ > 0, f 1, f 2 : [, ] R fonctions en escliers

Plus en détail

Résumés de cours : Terminale S.

Résumés de cours : Terminale S. Résumés de cours : Terminle S. Mths-Terminle S. Mr Mmouni : myismil@ltern.org source disponible sur: c http://www.chez.com/myismil Smedi 08 Avril 2006. Tble des mtières Nombres complexes. 3. Prtie réelle

Plus en détail

Calculs de primitives et d intégrales

Calculs de primitives et d intégrales Clculs de primitives et d intégrles Dns ce chpitre, on borde exclusivement les clculs de primitives ou d intégrles comme le prévoit le progrmme officiel L théorie de l intégrtion est repoussée u deuxième

Plus en détail

Chapitre IV Equation d Euler-Lagrange

Chapitre IV Equation d Euler-Lagrange 26 hpitre IV Eqution d Euler-Lgrnge On s intéresse dns cette prtie ux problèmes de l forme suivnte : Sur l ensemble des fonctions y 1 ([,b]) (muni de l norme 1 ) telles que y() = A et y(b) = B, trouver

Plus en détail