III - Approximation de l optique géométrique - rayon lumineux.

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1 III - Appoimation de l optique géométique - aon lumineu. Un faisceau lumineu de lage section peut ête, à l aide de diaphagmes, amené à un pinceau étoit. n peut mathématiquement idéalise ce pinceau pa une tajectoie oientée de la souce es le détecteu et appelée aon lumineu. Cette idéalisation, de natue géométique, est à la base de l optique géométique, science dont le but essentiel est de détemine la «mache des aons lumineu», c est-à-die le tajet suii pa la lumièe losqu elle taese difféents milieu. 3.1 Diffaction et optique géométique. Losqu on cheche à limite un pinceau paallèle pa un diaphagme de lageu d de plus en plus petite afin d appoche l idée mathématique de aon, on constate que la lumièe à la sotie n est plus paallèle, mais pésente une dispesion angulaie θ donnée pa la fomule appochée : λ θ (15) d θ p p d Figue 3 Cette dispesion n est obseable que si d est petit (pa eemple d < 100λ). Inesement un faisceau de section abitaiement petite n est conceable que dans la limite λ = 0 (limite de l optique géométique). En patique, l optique géométique est alable losque les longueus d onde sont petites pa appot au dimensions des faisceau. 3. Mécanique quantique et optique géométique. Intoduie un diaphagme de lageu d su le tajet d un faisceau de paticules eient à limite l etension de la coodonnée des photons à la aleu = d (figue 3). La théoie quantique pécise qu à toute dispesion de la coodonnée est associée une dispesion p de la composante p de la quantité de mouement donnée appoimatiement pa la fomule de Heisenbeg : h p (16) La dispesion angulaie coespondante est : θ p h 1 p d p n etoue la fomule (15) de la diffaction à condition de pende pou longueu d onde λ la longueu d onde de de Boglie donnée pa (7). Les phénomènes de diffaction ne limitent donc pas seulement la notion de aon lumineu, mais aussi la notion classique de tajectoie, quelle que soit la paticule concenée. L appoimation «géométique» de l optique ondulatoie est de même natue que l appoimation «classique» de la mécanique quantique. Dans le cas des photons, la quantité de mouement p est eliée à l énegie pa la fomule p = E/c (mécanique elatiiste) ; la longueu d onde de de Boglie λ = h/p = hc/e = hc/hν = c/ν n est aute que la longueu d onde de l onde lumineuse. 3.3 Fome des solutions de l équation d onde en milieu homogène. s étant l une quelconque des composantes de E (ou B) dans un epèe othonomé, l équation d onde (3) elatie à cette composante s écit : s s s 1 s + + = 0 (17) t

2 aec s = s(,,, t) de façon généale. Penons comme cas paticulie s fonction de et t seulement : s(, t) ; alos on obtient une équation d onde unidimensionnelle : s 1 s = 0 (18) t qui est éifiée pou toute fonction f(t - ) et g(t+) ainsi que la somme : (,t) f( t ) + g(t ) s = + (19) epession dans laquelle f et g sont deu fonctions a pioi abitaies. La fonction (19) est la solution généale de l équation d onde à une dimension. Si l on change le couple (t, ) en (t+τ, +τ) où τ est un temps abitaie, t- est changé en (t+τ) - (+τ) = t -, donc este inchangé. La fonction f(t-) este inchangé et epésente donc une petubation qui se popage dans la diection positie de aec la itesse. De même g(t+) epésente une petubation qui se popage dans la diection négatie. Dans le cas d une seule onde pogessie f on auait ainsi : nde plane. à 0 t à 0 t +τ f(t 0-0 ) f(t 0-0 ) 0 Figue V τ Considéons maintenant les solutions de l équation d onde (17) epésentant les ondes planes, c est-à-die telles que la solution s soit une fonction de t et de u. aec u ecteu unitaie de la diection de popagation (figue 5). u h H.. M Figue 5. Posons = M et h = u. aec h = H. Alos : h = u + u + u la fonction d onde dépendant de (et, ) pa l intemédiaie de h ; de sote que dans l équation (17) : = u ; = u ; = u h h h L équation d onde s écit alos : = = u u h = u h h s 1 s ( u + u + u ) = 0 h u étant un ecteu unitaie, l équation d onde se éduit à : t

3 s 1 s = 0 (0) h t on est ainsi amené au cas à une dimension (cf : éq.(18)). La solution généale est donc de la fome : (,t) = f(t u.) + g( t + u.) s (1) f et g epésentent des ondes planes ca à un instant donné leus aleus estent constantes su un plan u. = constante, plan (P) pependiculaie au ecteu unitaie u selon la figue ci-dessous : B u H.. M A (P) 3.3. nde sphéique. C Figue 6. Considéons maintenant les solutions de l équation d onde (17) epésentant les ondes sphéiques, c est-à-die telles que la solution s soit une fonction de et t. M Figue 7. Dans le epèe : = M, = M, aec : d où : ( + ) = + () = () = () on obtient alos tous calculs faits (cf : eecice) : 1 (s) s = de sote que l équation d onde s écit :

4 ou, étant indépendant de t : 1 ( s) 1 s = 0 t ( s) 1 ( s) = 0 () t n est amené à une équation difféentielle aant même fome que (18), dont la solution est éidemment du tpe : ou encoe : s ( t ) + g(t ) s = f + (,t) ( t ) g( t + ) f = + (3) Une telles onde est dite sphéique ca à un instant t donné l ensemble des points M pou lesquels s gade une aleu constante est une sphèe centée à l oigine (figue 8). M Figue 8. Les deu tpes de solutions, ondes planes et ondes sphéiques, constituent les solutions les plus simples nde plane pogessie sinusoïdale. Pami toutes les solutions de tpe f(t-u.) on considèe les solutions (à u donné) : u. (,t) s cos t s 0 = Quand est fié s este inchangé si l on change t en t+t, la péiode tempoelle de l onde est : T = π Quand t est fié s este inchangé si l on change h = u. en h+λ, la péiode spatiale de l onde est : π λ = = T (4) λ est la longueu d onde de l onde sinusoïdale, onde dite hamonique ou monochomatique ; est la pulsation, qui ne dépend λ0 c que de la souce. La longueu d onde λ dépend du milieu pa. Dans le ide λ 0 = ct, d où : = = n, d apès (13). λ Soit encoe : λ 0 λ = (5) n aec n = n(). L onde se popage dans la diection de ecteu unitaie u. n appelle ecteu d onde le ecteu : π k = u (6) λ alos :

5 ( k.) s = s0 cos t (7) s 0 désigne l amplitude. En notation complee : j( t k. s = s ) 0 e on éifie que la suface équiphase est, à t donné, le plan d onde (P) Vitesse de phase. En posant Φ = t - k. et en epenant pou Φ(t, ) le aisonnement du 3.3 on éifie que epésente la itesse de phase de l onde. En emplaçant dans (6) λ pa sa aleu tiée de (4), on obtient pou la nome k du ecteu d onde : Vitesse de goupe. k = (8) Dans un milieu dispesif : = () et k() = /(), pa définition on appelle itesse de goupe : d g = (9) dk n démonte la elation suiante dite de Raleigh : et, en généal, coît aec λ. g d = λ dλ