Cours d analyse, ECS deuxième année. Alain TROESCH

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1 Cours d nlyse, ECS deuxième nnée Alin TROESCH 2 septembre 2012

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3 Tble des mtières 1 Suites numériques : révisions Convergence Limites Quelques propriétés utiles Arithmétique des limites Propriétés des suites réelles Pssge à l limite dns une inéglité Théorème d encdrement Suites monotones Suites djcentes Quelques types clssiques de suite, à bien connître Suites définies pr une récurrence ffine Suites définies pr une récurrence linéire d ordre k (k > 1) Suites définies pr une récurrence du type : n N,u n+1 = f(u n ) Suites définies implicitement Approximtions et estimtions Équivlents Négligebilité (petit-o, vitesse de convergence) Développements limités Séries numériques : révisions Notion de série et de convergence Définitions Propriétés liées à l convergence Types de convergence Séries à termes positifs Comprisons entre séries à termes positifs Comprison entre une série et une intégrle Comprison vec une série de Riemnn Comprison vec une série géométrique Étude de l semi-convergence Intégrles impropres Rppel sur les intégrles définies Définition de l intégrle Propriétés de l intégrle

4 2 Tble des mtières Clcul des intégrles Primitives Notion d intégrle impropre Cs des fonctions définies sur un intervlle semi-ouvert Cs d une fonction continue sur un intervlle ouvert Cs d une fonction continue sur une union d intervlles ouverts Propriétés des intégrles impropres Linérité Reltion de Chsles Positivité Critères de convergence pour les intégrles de fonctions positives Un lemme Critère de comprison pr inéglité Critère de comprison pr o Critère de comprison pr équivlents Cs des fonctions non positives Convergence bsolue Semi-convergence Comprison série/intégrle Techniques de clcul des intégrles impropres Intégrtion pr prties Chngements de vrible Intégrles clssiques Intégrle de Guss Fonction Γ Révisions : fonctions d une vrible réelle Continuité Définitions et rppel des propriétés Continuité sur un intervlle Dérivbilité Définitions Dérivées d ordre supérieur Fonctions de clsse C n Propriétés Dérivbilité sur un intervlle Fonctions convexes Notion de convexité Étude de l dérivbilité des fonctions convexes Crctéristion de l convexité pr les dérivées Formules de Tylor Développement de Tylor Formule de Tylor-Young Formule de Tylor-Lgrnge Formule de Tylor vec reste intégrl Cs des polynômes

5 Tble des mtières 3 5 Fonctions de plusieurs vribles : continuité, clcul différentiel Rppels de topologie Distnces et boules Voisinges, ouverts, fermés Sous-ensembles bornés de R n Droites, segments, plns Grphes Définition et exemples Courbes de niveu Limites et continuité Définitions Critère séquentiel Opértions sur les fonctions continues Continuité et topologie Clcul différentiel (à l ordre 1) Fonctions et dérivées prtielles Fonctions de clsse C Développements limités Formule de Tylor-Young à l ordre Dérivtion d une composition Interpréttion du grdient Formule des ccroissements finis Dérivées d ordre supérieur Dérivées prtielles d ordre n Théorème de Schwrz Hessienne Formules de Tylor Optimistion Recherche d extrem locux sur un ouvert Condition nécessire du premier ordre Condition suffisnte du deuxième ordre Digonlisbilité des endomorphismes symétriques Recherche d extrem globux Existence d un mximum et/ou d un minimum Recherche des extrem globux Quelques cs prticuliers Recherche de l position du grphe pr rpport à l hyperpln tngent Recherche d extrem sous contrinte Notion d extremum sous contrinte Points critiques sous contrinte linéire Description de H Recherche des extrem sous contrinte linéire

6 4 Tble des mtières

7 Anlyse Chpitre 1 Suites numériques : révisions Quelques rppels : Une suite numérique (réelle ou complexe) est une fmille (u n ) n N d éléments de R ou C indexée sur N (prfois sur N, ou sur N \ {0,...,n 0 1}). Il s git donc d une fonction de N dns R ou C. On rppelle que N : X = (x 1,...,x n ) x x2 n est l norme usuelle de Rn, et on note N(X) = X. L distnce de A à B est lors d(a,b) = B A. Si n = 1, on obtient d(,b) = b. De même dns C, ssimilé à R 2, où. désigne lors le module d un nombre complexe On rppelle que dns R n, B(,r) désigne l boule ouverte de centre et de ryon r, c est-à-dire B(,r) = {x R n x < r}. Dns R, l boule ouverte de centre et de ryon r est donc l intervlle ] r,+r[. De même, B(,r) désigne l boule fermée de centre et de ryon r, c est-à-dire B(,r) = {x R n x r}. Dns R, l boule fermée de centre et de ryon r est donc l intervlle [ r,+r]. On rppelle qu un voisinge V de x dns R n est un sous-ensemble V de E tel qu il existe une boule ouverte centrée en x entièrement contenue dns V (en s éloignnt un peu de x, on ne sort ps de V ) Pr exemple, V est un voisinge de x dns R s il existe ε tel que ]x ε, x + ε[ V. Intuitivement cel signifie que x n est ps «u bord» de V. Pr extention, on dit que V est un voisinge de + si V contient un intervlle du type ],+ [. De même, V est un voisinge de si V contient un intervlle du type ],b[. Un ouvert U de R n est un sous-ensemble U de R n qui est voisinge de tous ses points, i.e. x U, ε > 0, B(x,ε) U. Intuitivement : U n ps de «bord». Un sous-ensemble F de E est fermé si son complémentire E F est ouvert. Proposition Toute union quelconque d ouverts est un ouvert; 2. Toute intersection d un nombre fini d ouverts est un ouvert; 3. Toute intersection quelconque de fermés est un fermé ; 4. Toute union d un nombre fini de fermés est un fermé. Exemples Voici deux contre-exemples à bien grder en tête :

8 6 Anlyse Chpitre 1. Suites numériques : révisions 1. Contre-exemple pour une intersection infinie d ouverts : 2. Contre-exemple pour une union infinie de fermés : 1.1 Convergence Limites + n=1 + n=1 [ ] 1 n,1 ] 1n [,1 = [0,1[. =]0,1]. Définition Les propositions suivntes sont équivlentes, et définissent (chcune) l convergence d une suite (u n ) n N d éléments de R (ou C) vers un élément l de R (ou C). (i) ε > 0, N N, n N, u n B(l,ε). (ii) ε > 0, N N, n N, u n l < ε. (iii) pour tout voisinge V de l, il existe N tel que pour tout n N, u n V. Trduction : pour toute mrge d erreur ε qu on peut se donner, à prtir d un certin rng, u n est à peu près égl à l, à cette mrge d erreur près. Attention! «à peu près» ne signifie ps «exctement»! Grdez-vous bien de dire que u n = l à prtir d un certin rng! Dns le cs de suites réelles, on définit ussi l convergence vers les infinis : Définition Une suite (u n ) n N à vleurs dns R tend vers + si et seulement si : A R, N N, n N,u n > A. Une suite (u n ) n N à vleurs dns R tend vers si et seulement si : A R, N N, n N,u n < A. Dns ce contexte, l définition pr voisinges (définition 1.1.1, iii) reste vlble, en utilisnt l notion de voisinge de + ou rppelée u début du chpitre. Théorème Soit (u n ) n N une suite (réelle ou complexe). Si (u n ) n N dmet une limite, lors cette limite est unique. Elle est notée lim n + u n. Fites ttention à ne ps utiliser cette nottion vnt de vous être ssuré de l existence de l limite Quelques propriétés utiles Proposition Si (u n ) n N tend vers l, lors (u n+1 ) n N et (u n 1 ) n N ussi. Proposition Si (u n ) n N converge vers l, et si ϕ est une ppliction strictement croissnte de N dns N, lors (u ϕ(n) ) converge vers l (une telle suite est ppelée suite extrite de (u n ) n N ) Exemple typique : u 2n, u 2n+1... Proposition (hors-progrmme, démonstrtion à refire u besoin) Si(u 2n ) n N et(u 2n+1 ) n N convergent vers une même limite l, lors (u n ) n N converge vers l. De même pour (u 3n ), (u 3n+1 ) et (u 3n+2 ), etc.

9 1.1 Convergence Arithmétique des limites Théorème Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites convergentes. Alors : 1. ( u n ) n N est convergente, et lim u n = n + lim ; n + u n 2. (u n +v n ) n N est convergente, et lim n + (u n +v n ) = lim n + u n + lim n + v n ; 3. (u n v n ) n N est convergente, et lim (u nv n ) = lim u n lim v n ; n + n + n + 4. si lim n + v n 0, lors v n 0 à prtir d un certin rng; insi, u n d un certin rng, est convergente, et lim = n + v n lim u n n + lim v. n n + ( un v n ) est définie à prtir Théorème Les résultts ci-dessus restent vris si l limite de (u n ) n N et/ou de (v n ) n N est infinie, vec les règles rithmétiques suivntes (règles usuelles dns R) : + = + ; + + = + ; (+ ) = (sg()) ; (± ) (± ) = ± ; 1 ± = 0. En revnche, les opértions rithmétiques suivntes ne sont ps définies, et donnent des formes indéterminées (yez des exemples en tête) : ; 0 ; ; 0 0 ; 1 ; 0 0. Théorème ( Soit (v n ) n N une suite de limite nulle, telle que : N N, n N, v n > 0. Alors l suite est bien définie et tend vers +. 1 v n )n N ( Soit (v n ) n N une suite de limite nulle, telle que : N N, n N, v n < 0. Alors l suite est bien définie et tend vers. 1 v n )n N Soit (v n ) n N une suite de limite nulle, prennt une infinité( de vleurs strictement positives et une infinité de vleurs strictement négtives. Alors l suite, si elle existe, n dmet ps de limite. 1 v n )n N Théorème Soit (u n ) n N une suite convergent vers un réel l. Soit f une fonction continue en l. Alors l suite (f(u n )) n N est convergente, et lim n + f(u n) = f(l). Exemple L fonction exponentielle étnt continue sur R, et l fonction logrithme étnt continue sur R +, on obtient l règle rithmétique suivnte : Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites convergent vers des réels l > 0 et l. Alors (u vn n ) n N converge vers l l. Pour les cs d indétermintion, on peut souvent lever l indétermintion en écrivnt l puissnce vec l exponentielle et en utilisnt les croissnces comprées. Exemple Soit (u n ) n N une suite définie pr une récurrence : n 0, u n+1 = f(u n ). Alors, si f est continue sur R et si (u n ) dmet une limite l, en pssnt à l limite dns l reltion de récurrence, on obtient l éqution suivnte vérifiée pr l : l = f(l). Cette éqution permet de déterminer les seules vleurs possibles de l limite.

10 8 Anlyse Chpitre 1. Suites numériques : révisions Remrquez qu ici, puisqu on ne connit ps priori l vleur de l, on est obligé de supposer que f est continue sur tout R (ou sur un intervlle fermé contennt tous les termes de l suite à prtir d un certin rng). Attention! Cet rgument ne donne ps l existence de l limite. Il fut pour cel utiliser un utre rgument, pr exemple en étudint les vritions de (u n ). 1.2 Propriétés des suites réelles Pr commodité, tous les théorèmes sont énoncés pour des propriétés vérifiées pr les suites à prtir du rng 0. Il est bien entendu que, les limites ne dépendnt que des vleurs de l suite pour des indices «grnds», les propriétés n ont besoin d être vérifiées qu à prtir d un certin rng Pssge à l limite dns une inéglité Théorème Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites telles que : n N, u n v n. Alors, si (u n ) n N et (v n ) n N dmettent des limites dns R, lim u n lim v n. n + n + Remrque Avnt de psser à l limite dns une inéglité, il fut voir justifié soigneusement l existence des limites. Remrque Les inéglités strictes ne se conservent ps Théorème d encdrement Théorème (théorème d encdrement, ou «théorème des gendrmes»). Soit (u n ) n N, (v n ) n N et (w n ) n N trois suites réelles telles que : n N, u n v n w n. On suppose que (u n ) n N et (w n ) n N convergent toutes deux vers une même limite finie l. Alors (v n ) n N converge, et lim n + v n = l. Théorème (théorème de minortion) Soit (u n )n N et (v n ) n N deux suites telles que pour tout n 0, u n v n. 1. Si (u n ) n N tend vers +, lors (v n ) n N tend vers Si (v n ) n N tend vers, lors (u n ) n N tend vers. Remrque Les deux théorèmes ci-dessus donnent l existence de l limite de(v n ) n N. Il n est ps utile de l voir justifiée vnt. Attention à l rédction de cet rgument : l existence de l limite doit bien clirement pprître comme conséquence de ce théorème, et le symbole lim ne doit ps être utilisé trop tôt Remrque Méthode de clcul de limites (dite pr mjortion/minortion) : Si on prvient à trouver une mjortion : n 0, u n l v n, où (v n ) n N est une suite de limite nulle, lors (u n ) n N tend vers l. Si on prvient à minorer (u n ) n N pr une suite de limite +, lors (u n ) n N tend vers +. Si on prvient à mjorer (u n ) n N pr une suite de limite lors (u n ) n N tend vers.

11 1.2 Propriétés des suites réelles 9 ( 1) n Exemple lim n + nlnn = 0 ; 2. lim n + nb n = + si > 1 ; 3. lim n n! = 0 ; lim sin 1 n + n = 0 ; lim n + nb n = 0 si < 1 ; Dns les exemples 2 et 3 pprît une méthode très importnte de comprison vec une suite géométrique : supposons que dmette une limite l, finie ou infinie. ( un+1 u n )n N Si l < 1, on peut mjorer à prtir d un certin rng ( u n ) n N pr une suite géométrique de rison r telle que r < 1, donc (u n ) n N tend vers 0. Si l > 1, on peut minorer à prtir d un certin rng (u n ) n N pr une suite géométrique de rison r > 1, donc (u n ) n N tend vers +. Ce petit risonnement est à connître imprétivement, et à refire rigoureusement à chque fois qu on veut l utiliser (suf si on veut l utiliser plusieurs fois dns une même copie, dns lequel cs on le fit bien une première fois, et les fois suivntes, on rppelle qu on l déjà justifié correctement) Ce risonnement ser très importnt notmment dns l étude de l convergence de certines séries Suites monotones Théorème Soit (u n ) n N une suite réelle. 1. Si (u n ) n N est croissnte et mjorée, lors (u n ) n N converge dns R. 2. Si (u n ) n N est décroissnte et minorée, lors (u n ) n N converge dns R. 3. Si (u n ) n N est croissnte et non mjorée, lors (u n ) n N tend vers Si (u n ) n N est décroissnte et non minorée, lors (u n ) n N converge vers En prticulier, toute suite monotone dmet une limite (finie ou infinie). Remrque Ce théorème est prticulièrement utile pour étblir l convergence de suites définies pr une récurrence de type u n+1 = f(u n ); l vleur de l limite est ensuite obtenue en résolvnt l = f(l) Suites djcentes Définition Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles. On dit qu elles sont djcentes si et seulement si : 1. l une est croissnte et l utre décroissnte ; 2. (v n u n ) n N tend vers 0. Lemme Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites djcentes (vec (u n ) n N croissnte et (v n ) n N décroissnte). Alors, pour tout n N, u n v n. Théorème (théorème des suites djcentes) Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles djcentes. Alors (u n ) n N et (v n ) n N convergent, et lim u n = lim v n. n + n + Corollire (théorème des intervlles emboîtés) Soit (I n ) n N une suite d intervlles fermés bornés telle que pour tout n N, I n+1 I n, et telle que l longueur des intervlles I n tend vers 0. Alors n NI n est un singleton.

12 10 Anlyse Chpitre 1. Suites numériques : révisions 1.3 Quelques types clssiques de suite, à bien connître Certins types de suite donnent lieu à des méthodes d étude clssiques, qu il fut svoir mettre en prtique. Nous rppelons ici les résultts et méthodes les plus cournts concernnt un certin nombre de suites fréquemment rencontrées Suites définies pr une récurrence ffine Suites géométriques : n N, u n+1 = u n Une récurrence immédite mène : n N, u n = u 0 n. Limites : lim u n = 0 si < 1 ; lim u n = + si > 1 ; n + n + (u n ) n N n ps de limite si 1 et u 0 0. lim u n = u 0 si = 1 ; n + Sommes : Si 1, Si = 1, n u k = u 0 1 n+1 ; en prticulier, 1 n u k = (n+1)u 0. k=0 k=0 Si < 1, lim Si 1, lim Si 1, n + k=0 n + k=0 n k=0 k = 1 n+1 1 n k = 1 + 1, ce qu on note : k=0 n + k = +, ce qu on note : k = +. n k n dmet ps de limite. k=0 k= Suites rithmétiques : n N, u n+1 = u n +b Une récurrence immédite mène : n N, u n = u 0 +bn. k = 1 1. Limites : lim n + u n = + si b > 0 ; lim u n = si b < 0 ; n + lim u n = u 0 si b = 0 ; n + Sommes : Si b 1, n k=0 u k = (n+1)u 0 +b n(n+1) Suites rithmético-géométriques : n N, u n+1 = u n +b, 1. En cherchnt une suite géométrique (v n ) n N telle que : n N, v n = u n α, on trouve une explicittion de (u n ) n N : ( n N, u n = n u 0 b ) + b 1 1. Ce résultt n est ps à connître : il fut svoir le retrouver ; on peut se souvenir, pr exemple, que le réel α correspond u point fixe de l reltion, et vérifier lors que (v n ) est une suite géométrique, qu on peut donc fcilement expliciter.

13 1.3 Quelques types clssiques de suite, à bien connître Suites définies pr une récurrence linéire d ordre k (k > 1) Soit k > 1. Soit (u n ) n N une suite (réelle ou complexe) définie pr l donnée de k termes initiux u 0,...,u k 1 et pr l reltion de récurrence : n N, u n+k = k 1 u n+k u n u n. On définit le polynôme crctéristique P de cette reltion de récurrence pr : x R, P(x) = x k k 1 x k 1 1 x 0. Théorème (cs de rcines simples) Si P dmet exctement k rcines distinctes 2 à 2 (réelles ou complexes) r 1,...,r k, lors il existe des complexes λ 1,...,λ k tels que : k n N, u n = λ 1 r1 n + +λ krk n = λ i ri k. Les complexes λ 1,...,λ k sont déterminés pr les conditions initiles, pr l résolution d un système de k équtions à k inconnes. Si les termes initiux sont réels, lors bien sûr, l suite entière est réelle. Dns ce cs, si toutes les rcines sont réelles, les coefficients λ i sont réels ussi. En revnche, même dns le cs d une suite réelle, on peut voir des rcines complexes. Dns ce cs, les coefficients λ i seront complexes ussi, et conjugués pour les rcines conjuguées. i=1 Théorème (cs de rcines multiples, pour k = 2) On suppose que k = 2, et que le polynôme du second degré P dmet une rcine double r 0. Alors il existe des complexes λ et µ tels que : n N, u n = (λ+µn)r n. Les complexes λ et µ sont déterminés ps les conditions initiles Suites définies pr une récurrence du type : n N,u n+1 = f(u n ) Définition On dit qu un intervlle I est stble pr f si f est définie sur I et f(i) I. Remrque Pour que (u n ) n N soit bien définie, il suffit qu il existe un intervlle I stble pr f et un rng n 0 tel que u n0 I. En effet, lors, pr une récurrence immédite, pour tout n n 0, u n I, et comme f est définie sur I, u n+1 est défini. Si f est définie sur R, il suffit de prendre I = R, qui est bien sûr stble ps f! Si f est monotone (u moins sur un intervlle stble), on dispose de méthodes efficces pour l étude de l monotonie (une inéglité entre u 0 et u 1 se propge ux rngs suivnts, éventuellement vec une lternnce des inéglités en cs de décroissnce) : Théorème Soit I un intervlle stble pr f, tel que u 0 I. Alors si f est croissnte sur I, (u n ) n N est monotone. Théorème Soit I un intervlle stble pr f, tel que u 0 I. Alors si f est décroissnte, (u 2n ) n N et (u 2n+1 ) n N sont monotones de sens de vrition opposé.

14 12 Anlyse Chpitre 1. Suites numériques : révisions Ces deux théorèmes sont hors-progrmme. Il fut impértivement esquisser l rgument sur une copie, lors de l première utilistion. Dns des cs plus générux, l étude du signe de x f(x) x peut être utile, puisque u n+1 u n = f(u n ) u n Suites définies implicitement Il s git de suites définies pr une reltion du type f n (u n ) = 0, où (f n ) n N est une suite de fonctions. Le fit que (u n ) n N soit bien définie (existence et unicité des termes u n ) provient souvent d une étude de l monotonie stricte de f n, pr l utilistion du théorème de l bijection (éventuellement sur une restriction de f n ) L monotonie de (u n ) n N s obtient souvent pr l étude du signe de f n (u n+1 ) ou de f n+1 (u n ). En effet, l comprison entre f n (u n+1 ) et f n (u n ) = 0 et l monotonie de f n (déjà étudiée dns le premier rgument) permettent lors de comprer u n et u n+1. Voir les TD pour des exemples. 1.4 Approximtions et estimtions Équivlents Nous nous restreignons u cs prticulier (le plus fréquent) de suites ne s nnulnt ps à prtir d un certin rng. Définition Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites telles que (v n ) n N ne s nnule ( ps à prtir d un certin rng N. Alors (u n ) n N et (v n ) n N sont équivlentes si et seulement si un v n )n N tend vers 1. Remrque Dns ce cs, (u n ) n N ne s nnule ps non plus à prtir d un certin rng. 2. L équivlence est une reltion d équivlence : reflexive, symétrique, trnsitive. Proposition Si u n v n, et si (u n ) n N converge vers l (fini ou infini), lors (v n ) n N + converge, et s limite est l. 2. L réciproque est fusse en générle. Si lim u n = lim v n, on n ps forcément n + n + u n v n. C est vri cependnt si l 0, l et l +. + Proposition Si u n + u n et v n + v n, lors u n v n + u nv n, et, si v n ne s nnule ps à prtir d un certin rng, u n v n u n + v n. Exemple Équivlents clssiques, à connître sur le bout des doigts : 1. Si (u n ) n N tend vers 0, sin(u n ) + u n ; 2. Si (u n ) n N tend vers 0, ln(1+u n ) + u n ; 3. Si (u n ) n N tend vers 0, e un 1 + u n ;

15 1.4 Approximtions et estimtions Si (u n ) n N tend vers 0, cos(u n ) 1 + u2 n 2 ; 5. Si (u n ) n N tend vers 0, (1+u n ) 1 + u n ( 0); 6. Si (u n ) n N tend vers +, ln(u n ) + ln(u n +1) 7. Si (u n ) n N tend vers +, u n + (u n +1) 8. Si (u n ) n N tend vers une limite finie et non nulle l, lors u n + u n+1. ATTENTION!!! 1. NE PAS SOMMER DES ÉQUIVALENTS : si vous vez envie de fire une somme d équivlents, reprenez l définition, ou utilisez les o définis dns le prgrphe suivnt. C est plus prudent, et cel vous évite de fire de grosses bêtises. 2. NE JAMAIS APPLIQUER UNE FONCTION À UN ÉQUIVALENT. Cependnt, vous pouvez élever un équivlent à une puissnce constnte, mis un mot de justifiction est bienvenu. 3. Erreurs fréquentes : 2u n n est ps équivlent à u n (il fut tenir compte des constntes multiplictives dns un équivlent, contrirement ux petit-o) siv n = o(u n ) (voir plus loin pour l négligebilité), on ne peut ps écrireu n v n u n. Cette + erreur très fréquente provient d une confusion provoquée pr le fit qu on dit souvent que «dns un équivlent, on peut négliger les négligebles», enn oublint de préciser que ceci n est vlble qu dditivement, et non multiplictivement. Ainsi, dns les hypothèses ci-dessus, on peut écrire u n +v n u n + Intérêt des équivlents : 1. Comprer une suite à une suite de référence simple dont on connît bien le comportement en +. Cel donne une estimtion du comportement à l infini (et notmment de l vitesse de convergence) de l suite initile. 2. Clculer des limites (cf TD) Négligebilité (petit-o, vitesse de convergence) Définition Soit (v n () n N une suite strictement positive. On dit que (u n ) n N est négligeble devnt (v n ) n N si l suite un v n tend vers 0. )n N On note u n = o(v n ) ( «u n est un petit-o de v n») Définition (hors-progrmme, mis prfois bien utile) Soit ( (v n ) n N une suite strictement positive. On dit que (u n ) n N est dominée pr (v n ) n N si l suite un v n est bornée. )n N On note u n = O(v n ) ( «u n est un grnd-o de v n») Dns l suite, (u n ) n N, (v n ) n N, (w n ) n N et (x n ) n N désignent qutre suites réelles. Proposition u n = o(1) si et seulement si (u n ) n N tend vers u n = O(1) si et seulement si (u n ) n N est bornée. 3. Si (v n ) n N est bornée et si u n = o(v n ), lors lim n + u n = 0.

16 14 Anlyse Chpitre 1. Suites numériques : révisions Proposition Si v n > 0 à prtir d un certin rng, u n + v n si et seulement si u n = v n +o(v n ). Si vous voulez sommer des équivlents, utilisez cette écriture vec des petit-o, cr les petit-o (de même nture) se somment, contrirement ux équivlents. Proposition Si u n = o(v n ) et v n = o(w n ), lors u n = o(w n ). 2. Si u n = o(v n ) et v n + w n, lors u n = o(w n ). 3. Si u n = o(w n ) et v n = o(w n ), lors u n +v n = o(w n ). 4. Si u n = o(w n ) et v n = o(x n ), lors u n v n = o(w n x n ). 5. Si u n = o(w n ) et v n + x n ), lors u n v n = o(w n x n ). 6. En prticulier, w n o(x n ) = o(w n x n ) (Les petit-o sont multiplictifs : on peut rentrer ou sortir un fcteur multiplictif). Intérêt des o et O : Ils permettent de comprer l vitesse de convergence de deux suites vers leurs limites (en étudint u n l). On compre insi souvent l différence u n l à une suite de référence de limite nulle, ou u n à une suite de référence de limite Développements limités Les équivlents et les petit-o peuvent souvent s obtenir à l ide de développements limités, qui sont des pproximtions polynomiles u voisinge d un point des fonctions. Rppel sur le clcul des développements limités : Les développements limités s dditionnent, se multiplient et se composent comme des polynômes. On peut insi obtenir l pluprt des développements limités souhités à prtir du développement limité des fonctions usuelles. Attention à vérifier que le terme pr lequel vous composez l bonne limite. Pr exemple, si u n tend vers 1, vous ne pouvez ps utilier le DL u voisinge de 0 de l exponentielle pour obtenir un DL de e un. En revnche, e un = ee un 1, et comme u n 1 0, vous pouvez mintennt composer les DL. Des petites stuces de ce type sont possibles dns l pluprt des DL clssiques, pr exemple en mettnt l constnte en fcteur, ou en utilisnt des formules de trigonométrie. Attention à l ordre de votre développement limité lors des dditions, multiplictions et compositions : On dditionne seulement des développements limités de même ordre. L ordre de l somme est l ordre commun des deux membres. En multiplint un DL à l ordrenet un DL à l ordrem, on n obtient ps un DL à l ordren+m. Même si on obtient «des» termes d ordre llnt jusqu à n+m, on n obtient ps nécessirement insi tous «les» termes. Pr exemple un terme d ordre n+m pourr être obtenu en multiplint les termes d ordre n et d ordre m (c est le seul qui ser compté), mis ussi en multiplint un terme d ordre n+1 et un terme d ordre m 1 (celui-ci ser oublié), ou de beucoup d utres fçons. Pour être certin d obtenir tous les termes du DL d un produit à l ordre p, il fut ller jusqu à ce même ordre p pour chcun des termes du produit (ou u moins jusqu à l ordre p v, où v est l vlution du DL de l utre membre, c est-à-dire le degré miniml dns le DL)

17 1.4 Approximtions et estimtions 15 De même pour l composition : le fit d obtenir «des» termes de degré nm en composnt un DL d ordre m pr un DL d ordre n ne permet ps d ffirmer qu on tous les termes du DL d ordre nm. DL clssiques u voisinge de 0, à connître pr coeur et sns hésittion : (1+x) α, 1 1+x, 1, exp, ln, cos, sin (voir le cours de première nnée pour les formules) 1 x Il est utile de connître pr coeur le DL explicite de (1 + x) α pour α = 1 2 et α = 1 2, jusqu à l ordre 2, voire l ordre 3, fin d ccélérer certins clculs : 1+x = 1+ x 2 x2 8 + x3 16 +o(x3 ) 1 = 1 x 1+x 2 + 3x2 8 5x3 16 +o(x3 ). Le développement de l tngente est hors-progrmme, et doit théoriquement être retrouvé en quotientnt les DL du sinus et du cosinus. En cs de mnque de temps, il peut tout de même être utile de connître les premiers termes : u voisinge de 0, tnx = x+ x3 3 +o(x3 ). Enfin, le développement de l Arctn est hors-progrmme, et s obtient en «intégrnt» le DL de 1 1+x. Aucun résultt d intégrtion n étnt donné u progrmme pour les DL, il fut le justifier 2 1 en revennt à l formule de Tylor-Young : le DL de 1+x (obtenu pr composition) fournit les 2 dérivées successives en 0 de x 1 1+x donc ussi les dérivées successives (vec un déclge de 2 l ordre) de x Arctnx. En utilisnt de nouveu l formule de Tylor-Young pour l rctngente cette fois, on obtient, près voir explicité un peu les clculs : u voisinge de 0, Arctnx = x x3 3 + x5 x2p+1 + +( 1)p 5 2p+1 +o(x2p+2 ). Suf en cs flgrnt de mnque de temps, esquissez cet rgument. Fites u minimum référence à l formule de Tylor-Young.

18 16 Anlyse Chpitre 1. Suites numériques : révisions

19 Anlyse Chpitre 2 Séries numériques : révisions 2.1 Notion de série et de convergence Définitions Définition Une série (à termes dns R ou C) est l donnée d une suite (u n ) n N ppelée terme générl de l série. Le point de vue diffère de celui dopté pour les suites dns l mesure où on s intéresse à l somme des termes de (u n ) n N. Ainsi, on note u n ou n Nu n l série de terme générl (u n ) n N. Soit u n une série. Soit n N. L n-ième somme prtielle S n de u n est : S n = n u k. Cel définit l suite des sommes prtielles (S n ) n N. On dit que l série de terme générl (u n ) n N converge si l suite (S n ) n N dmet une limite finie. On note lors + n=0 u n = lim n + S n. Cette quntité est ppelée somme de l série de terme générl (u n ) n N. Une série non convergente est dite divergente. En prticulier, si (S n ) n N tend vers +, l série + un diverge vers +, et on écrit u n = +. n=0 Toute série divergente ne diverge ps vers + ou! Soit n N u n une série convergente, et soit n N. Le n-ième reste de l série est : r n = + k=n+1 u k = + k=0 u k S n. L nture de l série u n est le fit d être convergente ou divergente. Attention à ne ps confondre suite (u n ) n N et série de terme générl (u n ) n N. Remrque Ces définitions s étendent bien sûr à des séries N étnt un entier positif quelconque. n N k=0 u n, de terme générl(u n ) n N,

20 18 Anlyse Chpitre 2. Séries numériques : révisions Exemple Séries géométriques (résultt à svoir pr cœur) Soit C. L série n converge si et seulement si < 1 ; dns ce cs, Exemple Série de Riemnn de prmètre 1. L série n 1 1 n + n=0 n = 1 1. est divergente. Remrque L convergence de l série u n équivut à l convergence de l suite(s n ) n N. L convergence de l suite (u n ) n N équivut à l convergence de l série (u n+1 u n ). C est un moyen prtique de démontrer l convergence de certines suites, en utilisnt les techniques spécifiques et performntes des séries Propriétés liées à l convergence Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites. Proposition Si (u n ) n N et (v n ) n N ne diffèrent que d un nombre fini de termes, lors un et v n sont de même nture. Théorème Si u n converge, lors (u n ) n N tend vers 0. De mnière équivlente, si(u n ) n N ne tend ps vers 0, lors u n diverge. Définition Si (u n ) n N ne tend ps vers 0, on dit que u n diverge grossièrement. Remrque L réciproque est fusse. Pr exemple 1 n diverge lors que son terme générl tend vers 0. Ainsi, toute série divergente n est ps forcément grossièrement divergente. Proposition Soit λ et µ deux complexes. 1. Si u n et v n convergent, lors (λu n +µv n ) converge, et : + n=0 (λu n +µv n ) = λ + n=0 + u n +µ v n. n=0 2. Si u n converge et v n diverge, lors (u n +v n ) diverge. 3. Si u n et v n divergent, on ne peut rien conclure sur u n +v n Types de convergence Soit u n une série. Types de convergence On dit que u n converge bsolument si l série u n est convergente. Théorème Toute série réelle ou complexe bsolument convergente est convergente. Si u n est convergente sns être bsolument convergente, on dit que l série est semi-convergente. Types de divergence

21 2.2 Séries à termes positifs 19 Si (u n ) n N ne tend ps vers 0, on dit que u n diverge grossièrement. Comme dit plus hut, une série peut être divergente sns être grossièrement divergente. Comme nous llons le voir, on dispose de moyens efficces pour déterminer l convergence des séries à termes positifs. Ainsi, l démrche générle à suivre pour l étude des séries est : 1. Clculer si cel ne présente ps une difficulté excessive l limite de (u n ) n N pour étudier l éventuelle divergence grossière. 2. Étudier l convergence de u n, c est-à-dire l convergence bsolue de u n. 3. Si u n diverge, essyer d obtenir l convergence (ou l divergence) pr d utres méthodes, plus spécifiques ux séries à termes quelconques (pr exemple pr l méthode des séries lternées). 2.2 Séries à termes positifs Dns tout ce prgrphe, suf indiction contrire, on considère des séries u n, où pour tout n N, u n 0. On peut trnscrire fcilement tout ce qui suit : u cs où : N N, n N, u n 0 ((u n ) n N est positive à prtir d un certin rng). u cs d une série à termes tous négtifs Comprisons entre séries à termes positifs Proposition Soit u n une série à termes positifs. Alors soit u n converge, soit elle diverge vers +. Théorème (Théorème de comprison des séries à termes positifs, TCSTP) Soit u n et v n deux séries à termes positifs telles qu il existe N N tel que pour tout n N, 0 u n v n. Alors : 1. si v n converge, u n converge ussi; 2. si u n diverge, v n diverge ussi. De plus, si l divergence est grossière pour u n, elle l est ussi pour v n. Corollire Soit u n une série à termes quelconque, et v n une série à termes positifs. On suppose que u n = O(v n ). Alors si v n converge, l série u n converge bsolument. Le cs où u n = o(v n ) est un cs prticulier de ce théorème. Théorème (Théorème de comprison de séries à termes positifs équivlents) Soit u n et v n deux séries à termes positifs. Si u n v n, lors les séries u n et v n sont + de même nture. Remrque Contre-exemple dns le cs de séries à termes quelconques : ( 1) n n converge et ( 1) n n+( 1) n ( 1)n ( 1) n diverge. Pourtnt :. n + n+( 1) n

22 20 Anlyse Chpitre 2. Séries numériques : révisions Comprison entre une série et une intégrle Théorème (Théorème de comprison entre série et intégrle) Soit R + et soit f : [,+ [ R une fonction continue décroissnte et positive. Alors converge si et seulement si x x Théorème (Nture des séries de Riemnn) Soit α R. L série 1 converge si et seulement si α > 1. nα n 1 Cette série est ppelée série de Riemnn de prmètre α. f(t) dt dmet une limite finie lorsque x tend vers +. n f(n) Exemple Un utre exemple de comprison : séries de Bertrnd de prmètres 1 et β. Soit β R. Alors l série 1 nln β converge si et seulement si β > 1. n Comprison vec une série de Riemnn Théorème (Règle de Riemnn, ou règle «n α u n», HP, méthode à connître) Soit u n une série à termes positifs. 1. S il existe α > 1 tel que l suite (n α u n ) n N est bornée (pr exemple si elle dmet une limite nulle), lors u n converge. 2. Si (nu n ) n N est minorée à prtir d un certin rng pr un réel k > 0 (pr exemple si (nu n ) dmet une limite infinie), lors u n diverge. Comme l méthode est à reproduire à chque fois, je développe vec toutes les précisions nécessires un exemple ci-dessous. Exemple Soit (α,β) R 2, et 1 n α ln β l série de Bertrnd de prmètre (α,β). On n 1 suppose que α > 1. On note pour tout n 2, u n = n α ln β n. Comme α > 1, on peut trouver un réel α tel que 1 < α < α. Alors : n 2, n α u n = 1 n α α ln β n. D près les croissnces comprées, l suite (n α u n ) n 2 tend vers0. Ainsi, pr définition des petit-o, ( ) 1 u n = o. n α De plus, n 2u n est à termes positifs. Donc, d près le corollire du TCSTP, on en déduit que u n converge, puisque 1 est une série de Riemnn de prmètre n α α > 1, donc convergente. De même que si α < 1, l série u n diverge. En effet, soit α tel que α < α < 1. On de même 1 que plus hut, du fit des croissnces comprées, n = o(u n). Ainsi, si u n convergeit, il en serit de même de 1 n, d où une contrdiction. Il en résulte que u n diverge.

23 2.2 Séries à termes positifs Comprison vec une série géométrique Théorème (Règle de d Alembert, hors-progrmme, méthode à retenir) Soit ( ) u u n une série à termes quelconques. On suppose que n+1 u n est définie à prtir d un certin rng, et dmet une limite l. Alors : 1. Si 0 l < 1, lors u n converge bsolument. 2. Si l > 1, lors u n diverge grossièrement. 3. Si l = 1, on ne peut ps conclure pr cette méthode. L méthode étnt plus importnte que le résultt, j expose ici un exemple ussi complètement que possible. Exemple Soit z C. Alors z n converge bsolument. n! En effet, soit pour tout n N, u n = zn. Alors, pour tout n N : n! u n+1 u n = z n+1 (n+1)! n! z n = z n+1. Ainsi, lim u n+1 n + u n = 0. Pr définition des limites (en prennt ε = 1 2 ) : N N, n N, u n+1 u n 1 2, donc u n u n. Soit (v n ) n N l suite définie pr : v N = u N, et n N, v n+1 = 1 2 v n. Alors, (v n ) n N est une série géométrique de rison 1 2, donc pr récurrence sur n N que u n v n : n N v n converge. De plus, on montre Initilistion : v N = u N, donc u N v N. Hérédité : Soit n N tel que u n v n. Alors u n u n 1 2 v n = v n+1. D près le principe de récurrence, pour tout n N, u n v n. Ainsi, d près le TCSTP, l série un converge, donc u n converge bsolument. Théorème Pour tout z C, + n=0 z n n! = ez. C est d illeurs souvent comme cel que l on définit l exponentielle. Théorème (Formule du binôme négtif, à connître) Pour tout z C tel que z < 1, et tout p N, 1 + (1 z) p = n=0 De plus, cette série est lors bsolument convergente ( n+p 1 n ) z n.

24 22 Anlyse Chpitre 2. Séries numériques : révisions Cette identité est bien sûr ussi vri pour p Z puisqu il ne s git lors de rien d utre que de l formule du binôme de Newton dns ce cs. Remrquez que cette formule ne dit rien d utre que le fit qu on peut dériver l série géométrique termes à termes. Attention, c est priori l seule série de fonctions que vous puissiez dériver termes à termes, l justifiction en étnt cette formule. 2.3 Étude de l semi-convergence Aucun résultt théorique n est à connître concernnt l étude de l semi-convergence. Je donne tout de même le résultt suivnt, à ne ps utiliser tel quel (mis l méthode est à svoir mettre en ppliction). Théorème (Théorème spécil de convergence des séries lternées, TSCSA, HP) Soit ( n ) n N une suite décroissnte de limite nulle. Alors ( 1) n n converge. Je développe entièrement un exemple ci-dessus, pour illustrer l méthode (à connître). Exemple Montrons que l série n 1 ( 1) n n converge. Soit pour tout n N, n = 1 n. Alors ( n) n N est décroissnte de limite nulle. Notons (S n ) n N les sommes prtielles de l série ( 1) n n. Montrons que les suites (S 2n ) n N et (S 2n+1 ) n N sont djcentes. n N, S 2n+2 S 2n = ( 1) 2n+2 2n+2 +( 1) 2n+1 2n+1 = 2n+2 2n+1 0, cr ( n ) n N est décroissnte ; donc (S 2n ) n N est décroissnte. n N, S 2n+3 S 2n+1 = ( 1) 2n+3 2n+3 +( 1) 2n+2 2n+2 = 2n+2 2n+3 0, cr ( n ) n N est décroissnte ; donc (S 2n+1 ) n N est croissnte. n N, S 2n+1 S 2n = ( 1) 2n+1 2n+1 = 2n+1, insi, lim n + S 2n+1 S 2n = 0. Les suites (S 2n ) n N et (S 2n+1 ) n N sont donc djcentes, donc convergent vers une même limite l. Ainsi, étnt donné ε > 0, pr définition de l limite des suites, N 1, n N 1, S 2n l < ε et N 2, n N 2, S 2n+1 l < ε. Pr conséquent, n 2mx(N 1,N 2 ), S n l < ε, ce qui montre l convergence de (S n ) n N. Ainsi ( 1) n n converge.

25 Anlyse Chpitre 3 Intégrles impropres Soit et b deux réels tels que < b. Rppel : Si f est continue sur [,b], lors f est intégrble sur [,b], et on peut donc donner un sens à f(t) dt. De même si f est seulement continue pr morceux sur [,b]. But : Donner un sens, lorsque cel est possible, à f(t) dt lorsque f n est définie (et continue) que sur], b[, et b pouvnt éventuellement être infinis. On prle d intégrle impropre (ou intégrle générlisée) 3.1 Rppel sur les intégrles définies Définition de l intégrle On rppelle qu une fonction f dmet une intégrle si quelque soit l mnière d pprocher de plus en plus finement f pr des fonctions en esclier, on obtient une même vleur limite de l ire des rectngles définis pr ces fonctions en escliers. On définit lors l intégrle de f comme étnt cette vleur limite. Il fut retenir l idée de cette construction pr pproximtions, mis les détils techniques peuvent être oubliés. Le résultt essentiel d existence des intégrles est le suivnt : Théorème Tout fonction continue (ou u moins continue pr morceux) sur un intervlle [, b] est intégrble. On rppelle qu une fonction est continue pr morceux si elle est continue, suf en un nombre fini de points, et qu en ces points, elle dmet une limite à guche et une limite à droite finies (cette hypothèse sur les limites à guche et à droite est souvent oubliée...) De l construction de l intégrle découle un résultt importnt qui est à connître ; il est, dns certins cs, le seul moyen bordble pour clculer l limite de certines suites :

26 24 Anlyse Chpitre 3. Intégrles impropres Théorème (Sommes de Riemnn) Soit f une fonction intégrble sur [,b]. Alors : n 1 b f(x) dx = lim f n + n k=0 ( +k b ) b = lim n n + n On utilise souvent ce théorème sur l intervlle [0,1] : cel s écrit lors : 1 0 n 1 1 f(x) dx = lim f n + n k=0 ( ) k 1 = lim n n + n n f k=1 n f k=1 ( ) k. n ( +k b ). n Propriétés de l intégrle Les propriétés à retenir de l intégrle sont les suivntes : Proposition (Propriétés de l intégrle) Additivité pr rpport ux bornes reltion de Chsles : Soit f une fonction intégrble sur [,b] et c ],b[. Alors f est intégrble sur [,c] et sur [c,b], et : f(x) dx = c f(x) dx+ c f(x) dx. Linérité : L ensemble Int([,b]) des fonctions intégrbles sur [,b] est un espce vectoriel. De plus, [,b] : Int([,b]) R est une forme linéire sur l espce vectoriel Int([,b]). Autrement dit, pour toutes fonctions intégrbles f et g, et tout réel λ, on : (f(x)+λg(x)) dx = f(x)+λ g(x) dx. Positivité, ou croissnce, de l intégrle : Soit f et g deux fonctions intégrbles sur [,b] telles que pour tout x [,b], f(x) g(x). Alors : f(x) dx En prticulier, si f est intégrble sur [,b] et positive, Stricte positivité de l intégrle : g(x) dx. f(x) dx 0. Soit f une fonction continue sur [, b], positive et non identiquement nulle. Alors En contrposnt et en utilisnt l positivité (c est le plus souvent insi qu on l utilise) : Si f est une fonction continue et positive, telle que f(t) dt > 0. f(t) dt = 0, lors f est identiquement nulle sur [,b]. Mjortion, ou inéglité tringulire Soit f une fonction intégrble sur [,b]. Alors f est intégrble sur [,b], et : f(x) dx f(x) dx.

27 3.1 Rppel sur les intégrles définies Clcul des intégrles Primitives Le clcul des intégrles est bsé essentiellement sur l notion de primitive, du fit du résultt fondmentl suivnt : Théorème Soit I un intervlle et f : I R une fonction continue sur R. Alors f dmet une primitive sur I. De plus, soit x 0 I et y 0 R. L unique primitive F de f telle que F(x 0 ) = y 0 est : x x I, F(x) = y 0 + f(t) dt. x 0 On en déduit : Théorème (Théorème fondmentl du clcul des intégrles) Soit f intégrble et continue sur [,b]. Soit F une primitive de f. Alors : f(t) dt = F(b) F(). Ce théorème est à l bse des deux grndes techniques (outre le clcul directe à l ide d une primitive) permettnt de clculer des intégrles : Théorème (Intégrtion pr prties) Soit f,g deux fonctions de clsse C 1 sur [,b]. Alors : [ ] b f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx. Théorème (Chngement de vribles) Soit f une fonction continue sur [α, β], et u une fonction de clsse C 1 de [,b] vers [α,β]. Alors f est intégrble entre u() et u(b), et : u(b) u() f(x) dx = On dit qu on fit le chngement de vrible x = u(t). f(u(t))u (t) dt. Le théorème fondmentl du clcul des intégrles permet églement l étude de fonctions définies à l ide d intégrles, l dépendnce s effectunt u niveu des bornes, vi le théorème suivnt : Théorème (Dérivtion d intégrles dépendnt de leurs bornes) Soit I et J deux intervlle Soit u et v deux fonctions de clsse C 1 de I dns J, et soit f une fonction continue sur J. Soit G l fonction définie pr : x I, G(x) = v(x) Alors G est de clsse C 1 sur I, et : x I, G (x) = v (x)f(v(x)) u (x)f(u(x)). u(x) f(t) dt. Ce théorème permet pr exemple de montrer que l intégrle d une fonction T-périodique sur un intervlle de longueur T ne dépend ps de cet intervlle. Le théorème fondmentl du clcul des intégrles montre l importnce de l notion de primitive pour le clcul des intégrles, l cpcité à clculer une intégrle étnt fortement liée à l cpcité de trouver une primitive. Il est donc indispensble de reconnître rpidement les fonctions que l on

28 26 Anlyse Chpitre 3. Intégrles impropres sit primitiver directement. Une telle hbitude est ussi indispensble pour exploiter correctement l méthode de l intégrtion pr prties. Je rppelle donc ici les primitives clssiques. Ce tbleu est à connître prfitement. f(x) F(x) I f F 0 0 R R x R x p, p N x p+1 R u u p u p+1 p+1 p+1 x p+1 x p, p Z \{ 1} p+1 R + ou R x p x p+1, p R\{ 1} R + p+1 1 ln x R + x u R ln u u e x e x R u e u e u sinx cosx R u sinu cosu cosx sinx R u cosu sinu 1 1+x 2 Arctnx R 3.2 Notion d intégrle impropre u 1+u 2 Arctnu Nous cherchons mintennt à définir l notion d intégrle pour une fonction qui ne serit ps continue (ni même définie) sur tout l intervlle d intégrtion Cs des fonctions définies sur un intervlle semi-ouvert Définition Soit f une fonction continue sur un intervlle [,b[, où soit b est un réel tel que b >, soit b = On dit que l intégrle de f sur [,b[ est convergente si l fonction F définie sur [,b[ pr : x [,b[, F(x) = x f(t) dt dmet une limite finie lorsque x tend vers b. Dns ce cs, on note f(t) dt = lim x b F(x) = lim x b x f(t) dt. 2. On dit que l intégrle de f sur [,b[ est divergente si F n dmet ps de limite finie en b. On note églement f(t) dt l objet bstrit «intégrle impropre», mis on ne peut ps ssocier de vleur à cette nottion. On dit que l intégrle f(t) dt diverge. 3. Dns le cs prticulier où F tend vers + en b, on s utoriser à écrire : f(t) dt = Dns tous les cs (convergence ou divergence), on ppelle générlisée). f(t) dt intégrle impropre (ou

29 3.2 Notion d intégrle impropre On dit que b est un point d impropriété de l intégrle générlisée f(t) dt dmet une impropriété en b. On définirit de l même fçon une intégrle impropre f(t)dt, ou que l intégrle f(t) dt d une fonction continue sur l intervlle semi-ouvert], b], dmettnt donc une impropriété en, insi que les notions de convergence et de divergence ssociées. Proposition Soit b +, et soit f une fonction continue sur [, b[, dmettnt une limite finie en b. Notons f le prolongement pr continuité de f sur [,b]. Alors l intégrle convergente, et On dit dns ce cs que l intégrle f(t) dt = f(t) dt. f(t) dt est fussement impropre en l borne b. f(t) dt est Remrque Attention à ne ps prler d intégrle fussement impropre en une borne infini : cel n ps de sens, l fonction ne pouvnt ps être prolongée pr continuité en + ou. D illeurs, l proposition entre en défut dns ce cs, puisque l existence d une limite finie en + n ssure ps l convergence de l intégrle en +. Au contrire, puisque l existence d une limite finie non nulle ssure l divergence (pr comprison à une intégrle de Riemnn, on obtient f(x) = o(1) = o(x 0 ), voir plus loin pour l étude des intégrles de Riemnn et l étude des critères de comprison). Exemples sint t + sin t dt est divergente. dt est convergente. 0 e t dt = 1. Théorème (Propriétés de convergence des intégrles de Riemnn) 1. Intégrles de Riemnn en + : + dt L intégrle converge si et seulement si α > 1. tα 1 2. Intégrles de Riemnn en : 1 dt 1 L intégrle ( t) α = dt converge si et seulement si α > 1. t α 3. Intégrles de Riemnn en + R ( < b) dt L intégrle converge si et seulement si α < 1 (t ) α 4. Intégrles de Riemnn en b R ( < b) dt L intégrle converge si et seulement si α < 1 (b t) α

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