9. LIMITES ET CONTINUITÉ

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1 9. LIMITES ET CONTINUITÉ 1 Limites Un exemple non évident. Historiquement, l notion de ite est d'bord pprue en étudint le comportement des suites numériques (on déjà vu u chpitre 7 qu'une suite dénie pr récurrence peut se rpprocher de fçon évidente d'un nombre qu'on ne prvient pourtnt ps forcément à déterminer). Mis en fit, l notion l plus riche est celle de ite de fonction (on verr en 3. 4 comment les suites en sont un cs prticulier); l nécessité d'une dénition rigoureuse pprit dès qu'on exmine un exemple non évident, cr lors l rigueur demnde des preuves, impossibles à fournir vec une imge intuitive ml dénie. Ainsi, l fonction f: x sin x (sinus de x mesuré x en degrés) n'est ps dénie pour ; des essis à l clcultrice près de donnent pr exemple f(1), ; f(, 1), ; f(1 4 ), Ces vleurs semblent se rpprocher d'une vleur ite; une nlyse soignée utilisnt le théorème de l borne supérieure montre d'illeurs qu'il sut de prouver f décroissnte, comme on le verr en Nénmoins, le nombre ite n'pprit ps clirement (il ser clculé en 2. 8), et du fit m^eme que f() n'existe ps, il doit ^etre déterminé de mnière indirecte; on dit que ce nombre (si on prvient à en prouver l'existence) est l ite de f (qund x tend vers ). Le but des prgrphes suivnts est de donner une dénition rigoureuse de cette notion; on v l construire progressivement, en prtnt de cs évidents et en générlisnt; l formultion complète (ce qu'on ppelle l dénition de Cuchy) se trouve en Limite en. Et tout d'bord, on se restreint u cs où x tend vers ; concrètement, cel veut dire qu'on s'intéresse ux vleurs prises pr f qund x devient de plus en plus petit (il fudr sns doute utiliser l tille de x, utrement dit x ); dire que f(x) se rpproche de L, c'est dire que (f(x) L) se rpproche de. Il sut donc d'étudier cette dernière notion; nous dirons lors que f est de ite nulle en, ce que nous noterons f = (ou encore f(x) = ). x 1. 3 Limites évidentes. Le plus évident c'est qu'on doit voir Id R =, cr Id R (x) = x... Prtnt de l'imge des tilles se rpprochnt de, on voit qu'on peut prendre pour première règle que si g(x) < f(x) (c'est-à-dire que g est plus petit que f) et si f =, lors g =. Ainsi, comme on (pour x < 1) les inéglités x n <... < x 3 < x 2 < x, on (pour tout n > ) x n =. On voit qu'on ne s'est intéressé qu'à x ssez petit (ici, à 1 < x < 1), en eet, comme on étudie le comportement de f(x) qund x est très petit, les vleurs de x (et donc de f(x)) extérieures à un voisinge de, c'est-à-dire à un intervlle de l forme ] ; [, n'entrent ps en ligne de compte; on boutit insi, en générlisnt les inéglités précédentes, à l dénition de Cuchy : f pour ite qund x tend vers si f(x) peut ^etre rendue plus petite que toute vleur xée en choisissnt x susmment petit.

2 Limites et continuité p L dénition rigoureuse et son utilistion pour x. L dénition précédente peut ^etre mthémtisée en remplçnt l tille pr des inéglités convenbles; on boutit (l démrche ser eectuée en clsse) à l formule en ε-α : ( ε > )( α > )( x)( x < α f(x) < ε) Il est importnt d'pprendre à lire ce genre de formule; on obtient donc ici : pour tout réel strictement positif ε (si petit soit-il), il existe un réel strictement positif α tel que pour tout x dns l'intervlle ] α, α[, l'imge f(x) est dns l'intervlle ] ε, ε[. Son ppliction sur l'exemple f(x) = x donne : ( ε > )( α)( x)( x < α x < ε), qui est vrie en prennt α = ε 2 (c'est un bon exercice de rédiger complètement l démonstrtion); on remrquer : 1) que α dépend de ε; 2) que les problèmes de domines d'existence ont été escmotés, on les retrouver en Nous venons donc de démontrer rigoureusement que : x =. Il est clir que m^eme x pour des cs très simples, une telle démonstrtion est toujours dicile; en rélité, on ne revient à l dénition de Cuchy que dns des cs exceptionnels, ou pour donner des démonstrtions rigoureuses de résultts générux; sinon, on pplique les formules et les méthodes qu'on verr plus loin Le cs f < g (qund g = ). Avec l dénition rigoureuse qu'on vient de voir, on peut prouver mthémtiquement que si (pour tout x ssez petit) f(x) < g(x) et si g =, lors f = : il sut de prendre pour f le m^eme α que pour g. On obtient insi isément des résultts tels que x sin(1/x) = ; des résultts plus générux seront obtenus en 2. x 1. 6 Interpréttion grphique. L'interpréttion grphique ser précisée en clsse; elle revient essentiellement à montrer que le grphe reste contenu (près de l'origine) dns des rectngles ussi étroits qu'on veut : y.... ε (G f ). α O ε α..... x On voit sur ce grphique que α n' ps besoin d'^etre choisi u mieux, mis seulement tel qu'on soit certin que f reste compris entre ε et ε.

3 Limites et continuité p. 3 2 Clculs de ites Dénition de f = L. x Comme on l' dit en 1. 2, on pose (pr dénition) f = L si et seulement si (f(x) L) =. Cette dénition semble présupposer que L est connu. Mis en rélité, on peut démontrer (c'est lissé en exercice) qu'il n'y u plus qu'un nombre L envisgeble; on pourr donc ppliquer des techniques de clcul de ite, ou m^eme disposer de théorèmes d'existence, sns pouvoir dns certins cs expliciter L Le théorème des gendrmes. Si f est encdrée pr deux fonctions g 1 et g 2 ynt l m^eme ite, on s'ttend à ce qu'il en soit de m^eme de f ; c'est le Théorème des gendrmes : ( x)( x < g 1 (x) f(x) g 2 (x)) et g 1 = g 2 f = g 1 L démonstrtion, un peu technique, repose sur un clcul de α utilisnt des ε bien choisis pour g 1 et g 2 ; c'est un exemple clssique de démonstrtion d'un résultt générl sur les ites. On verr de nombreux cs d'ppliction du théorème des gendrmes, pr exemple l notion de suites djcentes; en générl, c'est l'outil à employer qund une fonction f de forme compliquée peut ^etre pproximée pr des fonctions g plus simples Sommes, produits, quotients. On peut résumer les résultts essentiels en disnt que le clcul des ites est un prolongement du clcul des fonctions, c'est-à-dire que (f + g) = f + g; (fg) = ( f)( g) et que, sous les réserves de 2. 7, et si g est non nulle, (f/g) = ( f)/( g). On évidemment [x ] = ; ces résultts permettent d'obtenir pr composition successives toutes les ites usuelles (polyn^omes, frctions rtionnelles,... ) (en y joutnt le théorème de composition (3. 5) et les résultts de continuité des fonctions clssiques de 4. 1); les véritbles dif- cultés viennent donc du cs où le clcul direct est impossible, c'est ce qu'on ppelle les formes indéterminées Les formes indéterminées. Il y forme indéterminée qund on ne peut clculer l ite cherchée en se servnt uniquement des ites des composnts, prce que justement l nture excte de ces composnts intervient. Ainsi, si f = 2 et g = 3, fg 2 = 18; mis si f = g =, on ne peut prévoir (f/g), comme le montrent les exemples f(x) = g(x) = x; f(x) = x et g(x) = 3x, ou f(x) = x et g(x) = x 2. On dit que l forme / est indéterminée. C'est le seul exemple élémentire (si on ne prend ps en compte les ites innies qui seront vues en 3). Toutefois, en générlisnt un peu, on peut obtenir ussi l forme, liée en fit à.( ), comme on le verr plus loin. Qund on rencontre une forme indéterminée, surtout à une étpe intermédiire du clcul d'une ite, il ne fut ps conclure que le clcul est impossible : on peut souvent obtenir utrement l ite cherchée, et les techniques de clcul des prochins prgrphes pprendront à lever l'indétermintion. Mis bien s^ur, il y ussi des situtions vriment sns solution...

4 Limites et continuité p Qund il n'y ps de ite. Tout d'bord, une fonction telle que x 1/x n' ps de ite en ; en eet, l dénition de f = L montre que f est bornée sur [ α, α] (pr L + ε), or 1/x n'est ps mjorée près de. Ce cs ser toutefois trité en 3 : il s'git d'une ite innie. Mis l'étude d'une fonction telle que sin(1/x) fit ppr^tre une diculté plus grve : cette fonction est bornée (pr 1 et 1), mis elle oscille entre ces deux vleurs u voisinge de, pssnt pr 1 et 1 pour x = 1/(π/2+kπ). Une nlyse soignée montre qu'ucune ite (m^eme générlisée) n'est possible : elle est exposée dns l'exercicetype n 15. Bien qu'il ne puisse en ucun cs s'gir d'une preuve, l'existence (et prfois l vleur excte) d'une ite peut le plus souvent ^etre conjecturée pr une étude expérimentle : il sut de prendre des vleurs de f(x) pour x très petit. On se méer cependnt : ) des fonctions à vritions lentes telles que ln x; b) des erreurs de clcul liées à des diérences de quntités voisines : on verr en clsse l'exemple de f(2x) 2f(x) + f() x Composition des ites : g f qund f =. Si f =, et si g = L, lors (g f) = L (L démonstrtion ser fite en clsse). Une étude ttentive de ce résultt montre toutefois qu'il est nécessire que g() existe (et soit égl à L). Les dicultés logiques insi soulevées rendent nécessires les précisions du prochin prgrphe Problèmes liés ux domines de dénition. Pour permettre u théorème précédent (et à ses nlogues) d'^etre toujours vri, on précise insi l dénition de f = L : ) Si f() existe, il fut que f() = L b) Le domine d'existence de f doit contenir u moins un intervlle de l forme ] ; [ (un voisinge de ); étnt l seule vleur interdite éventuelle (on verr en fit en 3. 1 qu'un intervlle de l forme ], [ sut pour pouvoir prler de ite à droite). Ainsi, x 1 n' ps de sens, et on interdit ussi 1/(tn 2 (1/x) + 1), ce dernier exemple, non déni en une innité de vleurs proches de (l suite des vleurs interdites {2/(2k+1)π} k Z ), pourrit cependnt à l rigueur ^etre trité en prolongent l fonction pr continuité, comme on le verr en Les techniques prtiques de clcul. Avec l dénition de 2. 7, on voit que f(x) = f(), ou que n'pprtient ps à Df, ou que f n' ps de ite. Dns ce dernier cs, on dit que f n'est ps continue en ; il est lors fréquent que f it en fit une ite en (diérente de f()) si on restreint f à R ; on note cette ite Heureusement, toutes les x,x f. fonctions usuelles sont continues : il s'git des fonctions obtenues pr composition des fonctions élémentires (donc données pr une formule), à l'exception de l fonction E(x) (prtie entière de x). Les fonctions non continues les plus courntes sont obtenues pr intervlles; on verr comment les étudier en 4. 2.

5 Limites et continuité p. 5 L dénition de 2. 7 pour conséquence que si f() n'existe ps, et si g est un prolongement de f vec g = L, lors f(x) = L. (On dit lors que g prolonge f x pr continuité). C'est insi qu'on clcule le plus souvent les ites indéterminées de l forme /; en eet si f(x) = N(x)/D(x), et si (pour nticiper sur les situtions de 3. 1) N() = D() =, on peut fctoriser (x ) dns N et D (comme dns le cs des polyn^omes), on obtient insi une fonction simpliée, qui peut ^etre dénie en, et qui ur lors pour vleur l ite cherchée. Les indétermintions de ites contennt des rdicux se rmènent souvent à ce cs en utilisnt les quntités conjuguées; on en verr des exemples en exercice. Les situtions plus délictes (qund l fctoristion ne se fit ps) sont souvent liées ux techniques d'pproximtion des prochins chpitres (les développements ités, pr exemple); on retiendr seulement ici l ite sin x x x = 1 (qu'on justier en clsse en montrnt géométriquement l'encdrement sin x < x < tn x) et les conséquences qu'on peut en tirer. En dénitive, ucun de ces cs prtiques n'oblige donc à revenir à l dénition de Cuchy; on peut donc se demnder quelle en est l véritble utilité. Outre qu'elle ur, nous l'espérons, commencé à ccoutumer le lecteur ux véritbles exigences des mthémticiens modernes, et ussi u style dns lequel d'utres dénitions, plus complexes, seront introduites en Spé, elle s'impose en fit, comme on l' dit, dns l'étude de cs vriment générux (qund l fonction étudiée n'est connue qu'indirectement, pr exemple), et pour démontrer des résultts d'inexistence. 3 Générlistions Limites en, ites à droite et à guche. Dire que x se rpproche de, c'est dire que (x ) se rpproche de ; on prend donc pour dénition de f(x) le nombre f(x + ); les résultts de bse x X de 2. 2 et 2. 3 se trduisent sns diculté (c'est lissé en exercice); une trduction de l dénition (de Cuchy) mène à l formule : f(x) = L ( ε > )( α > )( x)( x < α f(x) L < ε) x L'étude de x fite en 1. 4 vit négligé le problème du domine; vec l dénition excte de 2. 7, on ne peut ps vriment écrire x; on dit qu'il s'git là d'une ite x à droite, prce que l fonction n'est dénie qu'à droite de (c'est-à-dire pour x > ); on générlise l dénition en notnt : (qu'on brège souvent pr x > x < α pr < x < α. x,x> f(x) = L (ite à droite de f en ) f(x)) et en remplçnt dns l formule précédente On peut (exercice) considérer l fonction g dénie pr intervlles pr g(x) = f(x) si x >, et g(x) = L sinon; on montrer que g est continue en si et seulement si f L pour ite à droite en. On dénit de m^eme l ite à guche de f en, correspondnt à x < (et notée ussi f(x)); c'est ussi (pr chngement de vrible) l ite à droite de f( x) x < en. Remrque : Les brévitions f et f sont déconseillées (principlement + prce qu'elles ne respectent ps le théorème de composition des ites de 3. 5)

6 Limites et continuité p. 6 En dehors de fonctions dénies pr intervlles (pr exemple x /x), et des cs de fonctions dénies d'un seul c^oté de (ln, Arccos,... ), les exemples nturels de ites distinctes à droite et à guche sont rres, toutefois un cs clssique est e 1/x (en ) Limites innies. Les dénitions précédentes interdisent de prler de l ite en de 1/x. L générlistion 1/x = + n'est ps une conséquence nturelle de ce qu'on déjà x + vu : il fudrit u moins disposer d'un système de nombres nouveux. Il est possible de le construire, en prtnt des formules de 3. 3, et en utilisnt des principes nlogues à ceux qui ont mené à l construction des nombres complexes u chpitre 4, mis ces nouveux nombres ne respectent ps les règles de clcul usuelles (pr exemple, on n' plus forcément = ); l construction rigoureuse de l'ensemble insi obtenu (l droite numérique chevée, notée R ou [, + ]) est hors-progrmme, et il est recommndé, en cs de doute, de n'utiliser le symbole + que comme une brévition (de l phrse... tend vers plus l'inni... ). On pose pr dénition (l trduction intuitive ser fite en cours) : f(x) = + ( A)( α > )( < x < α f(x) > A) x f(x) = f(x) = + x x Il est lors fcile de démontrer que 1/x = +... L notion de ite innie est liée + à celle de fonction mjorée : il est clir que si f est mjorée pr M u voisinge de, on ne peut ps voir f = + ; mis l réciproque n'est ps vrie : on étudier l'exemple de (1/x) sin(1/x) (mis dns ce dernier cs, on peut montrer que f n'dmet lors ucune ite) Clculs vec l'inni. Pr nlogie vec les clculs de 2. 3, il est tentnt d'écrire des églités telles pr exemple que (f + g) = f + g = + 3 = + ; pour pouvoir le fire, il fut donc prolonger les opértions usuelles à R, mis cel n'est mlheureusement ps toujours possible, puisqu'on veut (comme l'exemple ci-dessus le rppelle) pouvoir voir + + = +, ce qui interdit le clcul de + (+ )... On peut cependnt retenir que (pour tout réel ) on A) Règles de clcul + + = + + = + ; + = = (+ ) = ; ( ) = + Si >,.(+ ) = + (et.( ) = ) Si <,.(+ ) = (et.( ) = + ) + = = (et, sous toutes réserves, si non nul, / = +, ce qui ser commenté en clsse) Les règles du type e = ; ln = ; Arctg+ = π/2... sont vivement déconseillées

7 Limites et continuité p. 7 Les utres clculs envisgebles ne sont ps dénis (on dit qu'il s'git de formes indéterminées) : B) Formes indéterminées (+ ) (+ ); (+ ) + ( ).(+ );.( ) /, et bien s^ur / Pr dénition, f g = e g ln f ; on en déduit les "formes indéterminées" supplémentires: 1 + ; 1 ; ; (+ ) Remrques : 1) Il reste préférble de svoir rédiger ces règles sous forme de risonnements (des exemples de rédctions correctes seront vus en clsse). 2) Comme expliqué en 2. 4, les formes indéterminées signient qu'on ne peut ps trouver l ite en restnt sous cette forme, mis il n'y ps là forcément d'impossibilité bsolue; il fut tenter de lever l'indétermintion. Les moyens d'y prvenir sont très vriés; on en verr quelques exemples en Limites en + et en ; le cs des suites. Puisque 1/x = +, en dmettnt le principe de composition des ites + (voir 3. 5), on obtient pr chngement de vrible l dénition : f(x) = X + f(1/x). x + Une nlyse soignée montre son équivlence vec l dénition de Cuchy : f(x) = L ( ε > )( A)(x > A f(x) L < ε) x + On peut de m^eme dénir f(x) en posnt X = x, on obtient : x f(x) = L ( ε > )( A)(x < A f(x) L < ε) En prtique, on utilise les m^emes techniques de clcul qu'u voisinge de, mis : 1) l notion de continuité n' plus de sens, puisque f(+ ) ne veut rien dire... 2) on rencontre beucoup plus souvent des formes indéterminées, d'où l nécessité d'une méthode systémtique; elle ser vue en 3. 7, et précisée u chpitre 1. On générlise ces dénitions u cs des suites, en ne grdnt que les vleurs de x entières; on obtient : u n = L ( ε > )( N)(n > N u n L < ε) n + (on dit lors que l suite u converge, et on note simplement u = L, cr n ne peut voir d'utre comportement intéressnt que de tendre vers l'inni) Il est enn possible d'voir à l'inni des ites elles-m^emes innies; pr nlogie vec ce qui précède, l dénition de f(x) = + est : + ( B)( A)(x > A f(x) > B) Cette dernière dénition pour trduction intuitive : pour x ssez grnd, f(x) devient ussi grnd que l'on veut; on s'entr^ner à trduire de m^eme toutes les dénitions qui précédent.

8 Limites et continuité p Le théorème de composition des ites : cs générl. L'énoncé générl de ce théorème est : si f(x) pour ite L qund x tend vers A et que g(x) pour ite L qund X tend vers L, lors (g f)(x) pour ite L qund x tend vers A. A, L et L peuvent ^etre nis ou innis; mis il fut que les domines de f, g et (g f) respectent les règles données en 2. 7 : Df doit contenir un voisinge de A; si f(a) existe, lors f(a) = L; etc... ; si A est +, f(x) doit ^etre déni pour x ssez grnd... ; sinon, on pourrit voir des situtions pthologiques, du type de + 1/x sin x. Il n'est d'illeurs essentiellement ps possible de générliser encore le théorème de composition u cs de ites à guche, pr exemple; en eet, une fonction telle que sin x/x pour ite en +, mis s'pproche de en chngent de signe (une innité de fois), cel rend dicile l'étude d'une ite telle que e x/ sin x, et explique + l'interdiction de l nottion f = +. L'utilistion prtique de ce théorème (insi que s démonstrtion) se fit pr chngement de vrible : on pose X = f(x) et on dit que f(x) = L signie que X tend vers L, et donc que g(x) = g(f(x)) pour ite L Interpréttions grphiques. Les interpréttions grphiques (qu'on vu u chpitre 5 pour les fonctions élémentires) doivent ^etre bien connues; on les obtient en interprétnt grphiquement les dénitions de Cuchy. Les cs les plus intéressnts correspondent ux ites innies et ux ites à l'inni : symptotes verticles (c'est-à-dire prllèles à l'xe Oy, d'éqution [X = ]) si f est innie; symptotes horizontles (c'est-à-dire prllèles à l'xe Ox, d'éqution [Y = b]) si f = b; comportement oblique si f = (ce dernier cs doit ^etre précisé; le pln d'étude exct été vu u chpitre précédent, des techniques de clcul plus élborées seront vues u chpitre 11) Clculs prtiques : fonctions usuelles. Les dicultés rencontrées dns un clcul de ite de fonction usuelle (combinison de fonctions clssiques) ne peuvent venir que d'un problème de domine de dénition ou d'une recherche de ite à l'inni, comme on le verr en 4. Les ites des fonctions clssiques ux bornes étnt connues, on voit isément que tnt que des formes indéterminées contennt l'inni n'interviennent ps, on ne peut rencontrer que les deux types A/ et /. Le premier cs est élémentire : l ite est forcément innie; il sut de déterminer le signe de l fonction (u voisinge du point considéré). Mis on vu que le type / n'est ps simple; qund les recettes de 2. 8 ne susent plus, le prochin chpitre montrer qu'on est souvent mené à utiliser les dérivées des fonctions considérées, et qu'il peut m^eme y voir des cs où seuls des outils plus puissnts (les développements ités) donnent l réponse. Les ites contennt l'inni sont plus vriées. On toujours l solution de chngements de vrible de l forme X = 1/x pour tenter de se rmener en, mis c'est générlement à ne tenter qu'en dernier ressort; il vut mieux essyer d'bord de déterminer quels sont les plus grnds innis intervennts; et tenter de les fctoriser. Des exemples typiques seront donnés en clsse, un cs prticulier bien connu est l règle des termes de plus hut degré pour les polyn^omes et les frctions rtionnelles; on se rppeller qu'elle n'est vlble qu'à l'inni!

9 Limites et continuité p Comment montrer l'existence d'une ite qu'on ne sit ps clculer. Tout d'bord, on (de mnière presque évidente) le théorème suivnt, mis il n'est pplicble que si l'on sit déjà que les ites existent : f < g (u voisinge de ) f g (principe de prolongement des inéglités); on remrquer que l'inéglité stricte s'est ppuvrie en pssnt ux ites! Rppelons d'utre prt que si f < g (u voisinge de ), et si f = +, lors g = + (principe de minortion); cette fois, il s'git bien d'un moyen de montrer que l ite existe, nlogue u théorème des gendrmes. Mis certines situtions plus délictes ne permettent que d'étblir l'existence d'une ite, comme on l' dit u début; on verr insi u chpitre 12 comment étudier les ites de suites non dénies pr des formules explicites, mis il convient déjà de remrquer l'importnt théorème suivnt (uquel il été fit llusion u chpitre 7) : Convergence des suites monotones. Si u = (u n ) est une suite croissnte, elle converge si elle est mjorée, et lors u = sup(u n ); elle diverge (vers + ) si elle n'est ps mjorée. L démonstrtion de ce théorème est hors-progrmme, mis elle n'est ps en fit très dicile, en revennt ux dénitions de Cuchy. Le m^eme principe s'pplique d'illeurs ux fonctions, vec quelques modictions : si f est, pr exemple, décroissnte sur ], b[, et si f est bornée sur ], b[, lors f(x) = sup ],b[ f et f(x) = inf ],b[ f. Ici encore, l démonstrtion n'est b x > x < ps très dicile, et on verr en clsse son interpréttion grphique. Plus encore que pour les suites, ces résultt semblent mnquer d'intér^et prtique, mis on verr à l n du chpitre 13 leurs pplictions à des fonctions dénies de mnière si indirecte qu'on ne surit nullement clculer leurs ites ux bornes, et qu'on est déjà heureux de pouvoir prouver leur existence! 4 Continuité Dénitions. On dit qu'une fonction est continue en (vec R) si : 1) elle est dénie en ; 2) f(x) existe (et vut donc f()); pr bus de lngge, on dit encore que x f est continue en un point où elle n'est dénie qu'à droite, pr exemple (c'est-àdire pour x ) si l ite à droite de f existe et vut f(). Dns ce dernier cs, on prle plus rigoureusement de continuité à droite de f en ; et plus générlement on dit qu'une fonction est continue à droite en si l ite à droite vut f(), m^eme si f existe ussi à guche. On dit qu'une fonction est continue sur un ensemble I (le plus souvent I est un intervlle) si elle est continue (et donc dénie) en tout point de I ; et on dit simplement qu'une fonction est continue si elle est continue en tout point de son domine d'existence. Comme on l' déjà dit, l mjorité des fonctions usuelles sont continues : on démontre d'bord (en combinnt les résultts sur les clculs de ites de 2. 3) que les polyn^omes et les frctions rtionnelles sont continues; ln est continue (cr dérivble, comme on le verr plus trd), exp ussi (comme réciproque de fonction continue,

10 Limites et continuité p. 1 comme on le verr en 4. 6), sin est continue (on le verr en exercice, en n'utilisnt sin x que x ); les utres fonctions usuelles s'en déduisent en ppliqunt le théorème de composition des ites, et le résultt de De fit, il est ssez dicile de donner des exemples nturels (c'est-à-dire non fbriqués) de fonctions non continues (pourtnt, on démontre que les fonctions continues sont un cs tout à fit prticulier, et il y m^eme des fonctions nulle prt continues); les exemples les plus évidents sont les fonctions dénies pr intervlle, pr exemple l fonction signe (x), qui vut 1 si x est positif, 1 si x est négtif et si x est nul (c'est x /x si x ) Prolongements, rccords. De fçon plus générle, on est souvent mené à prolonger une fonction f non dénie en ; il est nturel, si f est continue, de souhiter que le prolongement le soit ussi, ce qui impose l vleur en égle à f(x). On dit que l nouvelle x,x fonction prolonge f (en ) pr continuité. Un exemple typique est f(x) = e 1/x2, prolongée en pr. Clculer l ite d'une fonction, c'est souvent déterminer l vleur d'un prolongement continue de cette fonction (c'est le sens des techniques de simpliction vues en 2. 8); inversement, on est mené à construire des fonctions continues pr rccord, en justnt des coecients pour que les ites à droite et à guche des morceux coïncident; on verr des exemples en exercice Le théorème des vleurs intermédiires. L crctéristique l plus intuitive des fonctions continues (sur un intervlle) est d'voir un grphe qui soit lui ussi continu, c'est-à-dire en un seul morceu (le terme mthémtique est : connexe). L trduction rigoureuse de cette propriété est qu'on ne peut ps suter d'une vleur de f à une utre, utrement dit que si f prend deux vleurs y 1 et y 2, f prend ussi toutes les vleurs de l'intervlle [y 1 ; y 2 ]. L formultion excte s'ppelle le Théorème des vleurs intermédiires : Si f est continue sur l'intervlle [; b], pour tout y de l'intervlle [f(); f(b)], il existe (u moins) un x entre et b tel que f(x) = y. L démonstrtion de ce théorème est (curieusement) ssez dicile; le plus simple, pour montrer l'existence de x, est de le construire, ce qui mène à l méthode de dichotomie : on coupe l'intervlle [; b] en moitiés [ n ; b n ] de plus en plus petites, telles que les vleurs des extrémités (f( n ) et f(b n )) encdrent y, et ces moitiés s'embo^tent utour de x (les suites ( n ) et (b n ) sont djcentes, come on le reverr u chpitre 11); l continuité permet lors de prouver que f(x) = y. L technique excte ser précisée en clsse, elle donne nissnce à un progrmme (d'illeurs très simple, et isément implémentble sur clculette) de résolution universelle de toute éqution à une inconnue. Les pplictions prtiques du théorème nécessitent en générl qu'on it prouvé l'unicité de x, ce qui suppose le plus souvent qu'on se ite à un intervlle où f est monotone. Ce n'est ps toujours possible (mis c'est bien s^ur le cs pour toutes les fonctions usuelles); cette opértion de découpge en intervlles s'ppelle (pour les recherches prtiques de solutions d'équtions) l séprtion des rcines.

11 Limites et continuité p Études de continuité. Le pln générl d'étude vu u chpitre 5 prévoit l'étude de l continuité de l fonction exminée. En générl, elle est simplement réglée pr l phrse rituelle : f est continue en tnt que combinison de fonctions élémentires (continues); on devr prfois utiliser un théorème générl : f est dérivble, f est une primitive de fonction continue, etc... Toutefois, il rrive (le plus souvent prce que f est dénie pr intervlles) qu'on soit obligé d'étudier l continuité en certins points, en se livrnt lors à un clcul de ite; on verr en exercice, pr exemple, le cs de l fonction xe(1/x), prolongée en pr f() = Imge d'un intervlle. Le théorème des vleurs intermédiires montre que l'imge de l'intervlle [; b] pr une fonction continue contient l'intervlle [f(); f(b)]; mis de fçon plus générle, l'imge de tout intervlle (fermé ou non, borné ou non) pr une fonction continue (sur cet intervlle) est un intervlle. L démonstrtion (nullement évidente) repose sur le théorème de l borne supérieure et sur une méthode de dichotomie; elle ser esquissée en clsse (l démonstrtion complète nécessite une étude fstidieuse de tous les cs possibles); un exemple de démonstrtion rigoureuse d'un résultt de ce genre est montré dns l'exercice-type n 16. Toutes les congurtions ou presque sont possibles, l seule restriction étnt que le type d'intervlle (ouvert, semi ouvert, ou fermé) est conservé; insi, on peut voir f(]; b[) = R (exemple : tn x); f(r ) = ]; b] (exemple : e x ), etc. Une conséquence importnte de ce résultt est le principe du mximum : Toute fonction continue sur un intervlle fermé : 1) est mjorée (et minorée) 2) tteint ses bornes (utrement dit, si M est l borne supérieure de f sur [; b], il existe x (ps forcément unique) entre et b tel que f(x) = M). Une ppliction essentielle de ce principe est le lemme de Rolle du prochin chpitre Bijections continues. Une ppliction simple du théorème des vleurs intermédiires montre d'bord que si f est continue et bijective sur [; b], elle y est nécessirement monotone (sinon, en chngent de sens de vrition, elle repsserit une deuxième fois pr les m^emes vleurs); on démontrer en clsse que sur un intervlle (quelconque) où f est dénie (prtout), deux des trois conditions suivntes entr^nent l troisième : 1) f est continue 2) f est monotone 3) f est bijective (de [; b] vers [f(); f(b)]) Ainsi, si f est continue et monotone sur [; b], f 1 existe (sur [f(), f(b)]), et une nouvelle utilistion du résultt précédent montre lors que f 1 est ussi continue (et monotone). C'est ce résultt qui nous permis, u chpitre 5, d'rmer l'existence des fonctions Arc sin, Arc cos et Arc tg.

12 Limites et continuité p. 12 Exercices 1 Dénitions générles. 1 ( ) Démontrer rigoureusement que x 1 1/x = 1 en utilisnt l dénition de Cuchy (utrement dit, on déterminer pour chque ε > un α convenble). 2 ( ) Si f est une bijection continue telle que f() =, que pensez-vous du risonnement suivnt : f 1 (x) =, en eet il fut pour chque ε > déterminer x un α tel que x < α f 1 (x) < ε, et il sut de prendre α = f(ε). T 15 Déterminer les solutions de l'éqution sin(1/x) = et de sin(1/x) = 1; utilisnt lors l dénition de Cuchy de sin(1/x) = l, montrer qu'en prennt x ε < 1/2, on boutirit à une contrdiction pour des x convenblement choisis prmi ces solutions; en déduire que l fonction x sin(1/x) n' ps de ite en. 2 Clculs de ites. 3 ( ) Déterminer les ites suivntes : x x> (1/x x 1/x)/x 3/2 ; x 1 x m 1 x n 1 x m + m ; x x n + n 4 ( ) Déterminer les ites suivntes : x 3 sin(1/x) + x 2 cos x ; x x x 2 + x 7/2 x + x1/ ; x sin(1/x) x 5 ( ) Déterminer (sns utiliser l dérivée) x 1/n 1/n x x 6 ( ) Justier l règle de l'hopitl pour les polyn^omes : si P () = Q() =, lors P (x)/q(x) = P (x)/q (x). (Commencer pr triter le cs où est x x rcine simple, puis risonner pr récurrence) 3 Continuité. 7 ( ) Théorème du point xe : Montrer que si f est une ppliction continue de [; 1] dns [; 1], il existe (u moins) un x tel que f(x) = x T 16 Soit f une ppliction continue de [, + [ dns R, telle que f() = 1 et que f =. Montrer que l'éqution f(x) = 1/2 dmet (u moins) une solution. + 8 ( ) Montrer que si f est continue croissnte et que A et sup(a) sont contenus dns D f, on f(sup(a)) = sup f(a). Pourquoi ne sut-il ps que f soit croissnte?

13 9. LIMITES ET CONTINUITÉ Pln 1 Limites p Un exemple non évident. 1.2 Limite en. 1.3 Limites évidentes. 1.4 L dénition rigoureuse et son utilistion pour x. 1.5 Le cs f < g (qund g = ). 1.6 Interpréttion grphique. 2 Clculs de ites p Dénition de f = L. 2.2 Le théorème des gendrmes. 2.3 Sommes, produits, quotients. 2.4 Les formes indéterminées. 2.5 Qund il n'y ps de ite. 2.6 Composition des ites : g f qund f =. 2.7 Problèmes liés ux domines de dénition. 2.8 Les techniques prtiques de clcul. 3 Générlistions p Limites en, ites à droite et à guche. 3.2 Limites innies. 3.3 Clculs vec l'inni. 3.4 Limites en + et en ; le cs des suites. 3.5 Le théorème de composition des ites : cs générl. 3.6 Interpréttions grphiques. 3.7 Clculs prtiques : fonctions usuelles. 3.8 Comment montrer l'existence d'une ite qu'on ne sit ps clculer. 4 Continuité p Dénitions. 4.2 Prolongements, rccords. 4.3 Le théorème des vleurs intermédiires. 4.4 Études de continuité. 4.5 Imge d'un intervlle. 4.6 Bijections continues. Exercices p. 12

14 9. LIMITES ET CONTINUITÉ (Formulire) 1 Dénitions de Cuchy. Limites nies en Dénition b > tel que (] b, [ ], + b[) D f. On dit que f est dénie u voisinge de si il existe un réel Dénition On dit que f dmet L pour ite en (ou que f(x) tend vers L qund x tend vers ) si f est dénie u voisinge de et si ce qu'on note ( ε > )( α > )( x D f )( x < α f(x) L < ε) f = L ou x f(x) = L. Remrque : les règles logique de négtion des qunticteurs donnent donc : f n'dmet ps L pour ite en équivut à ( ε > )( α > )( x D f )( x < α et f(x) L ε) Limites à droite et à guche Dénition f dmet L pour ite en à droite si f est dénie sur un intervlle de l forme ], + b[ et si ce qu'on note + De m^eme ( ε > )( α > )( x D f )( x < α f(x) L < ε), f = L, ou x > f(x) = L. Dénition f dmet L pour ite en à guche si f est dénie sur un intervlle de l forme ] b, [ et si ce qu'on note ( ε > )( α > )( x D f )( x < α f(x) L < ε), f = L, ou x < Limites innies, ites à l'inni. Dénition et si De m^eme f(x) = L. f dmet + pour ite en si f est dénie u voisinge de ( A > )( α > )( x D f )( x < α f(x) > A) Dénition f dmet + pour ite en à droite si f est dénie sur un intervlle de l forme ], + b[ et si ( A > )( α > )( x D f )( x < α f(x) > A)

15 Limites et continuité : formulire p. 2 Dénition et si f dmet pour ite en si f est dénie u voisinge de ( A > )( α > )( x D f )( x < α f(x) < A) Les dénitions nlogues sont lissées u lecteur; on de m^eme Dénition f dmet L pour ite en + si f est dénie u voisinge de + (c'est-à-dire si D f contient un intervlle de l forme ]c, + [) et si ( ε > )( A > )( x D f )(x > A f(x) L < ε) et enn (pr exemple) Dénition f pour ite + en + si f est dénie u voisinge de + et si ( B > )( A > )( x D f )(x > A f(x) > B). si Dénition L suite (u n ) converge (vers L R) si u n = L, c'est-à-dire ( ε > )( N)( n)(n > N u n L < ε). Sinon, on dit que l suite (u n ) diverge; c'est en prticulier le cs si u n = +, c'est-à-dire si ( A > )( N)( n)(n > N u n > A). 2 Clcul de ites. Encdrements Théorème des gendrmes. Si (u voisinge de ) on f 1 g f 2 (c'est-à-dire s'il existe b > tel que pour tout x (] b, [ ], + b[), on it f 1 (x) g(x) f 2 (x)) et si f 1 = f 2 = L, on g = L. Théorème de minortion. Avec les m^emes hypothèses, et si f 1 = +, on g = + Principe de prolongement des inéglités. Si, u voisinge de, on f 1 < f 2, et si f 1 = L 1 et f 2 = L 2, lors L 1 L 2 Clculs lgébriques Il est peut-être plus prudent de ne considérer les formules qui suivent (et qui correspondent ux règles de clcul dns R) que comme des ides-mémoire; des exemples de rédctions correctes sont données plus loin. + + = + + = + ; + = = (+ ) = ; ( ) = + Si >,.(+ ) = + (et.( ) = ) Si <,.(+ ) = (et.( ) = + ) + = = (et, sous toutes réserves, si non nul, / = + ) On de plus le

16 Limites et continuité : formulire p. 3 Théorème de composition des ites. g(f(x)) = c (o-, b et c sont nis ou innis). x Si f(x) = b et g(x) = c, lors x x b Les formes suivntes sont indéterminées, c'est-à-dire que les opértions corspondntes ne sont ps dénies dns R : (+ ) (+ ), (+ ) + ( );.(+ ),.( ); /, et bien sûr /. Pr dénition, f g = e g ln f ; on en déduit les formes indéterminées supplémentires : 1 + ; 1 ; ; (+ ) Des règles rigoureuses sont en rélité de l forme : >,. + = + Si b f = >, et si b g = +, lors b fg = f(x)g(x) = + x b, / = + Si b f =, et si b g =, lors b f/g = f(x)/g(x) = + ; ceci ne sut ps à déterminer l ite de f/g, dont il fut x b étudier le signe. Et on mentionner l'pprition d'une forme indéterminée pr une phrse telle que : f = g = + ; l ite de f/g est donc de l forme indéterminée + +, et ne peut ^etre obtenue sous cette forme; levons l'indétermintion... 3 Continuité. Dénition On dit que f est continue en ( D f ) si f(x) = f(). x F est continue si elle est continue en tout point de son domine de dénition. Dénition f est continue à droite en si f(x) = f(); f est continue à guche en si x < f(x) = f(). Les fonctions construites à prtir de fonctions continues pr opértions lgébriques et composition sont continues; c'est ussi le cs des bijections réciproques de bijections continues, et des primitives de fonctions continues (voir chpitre 12), ce qui permet, de proche en proche, de montrer que toutes les fonctions usuelles sont continues. Théorème des vleurs intermédiires. Si f est continue sur l'intervlle [, b], et si y est compris entre f() et f(b), il existe un x (u moins) de l'intervlle [, b] tel que f(x) = y. Principe du mximum. Si f est continue sur l'intervlle [, b], le nombre M = f(x) existe, et il existe un x (u moins) de l'intervlle [, b] tel que f(x) = M. sup x [,b] Imge d'un intervlle. Si f est continue sur l'intervlle I, l'imge pr f de I (f(i) = {y / x I, f(x) = y}) est un utre intervlle, du m^eme type (ouvert, semiouvert ou fermé) que I. Crctéristion des bijections continues. Si f est une ppliction d'un intervlle [, b] ( < b) sur B = Im(f), deux quelconques des trois conditions suivntes impliquent l troisième : 1) f est continue. 2) f est monotone stricte. 3) f est bijective (de [, b] vers B). x >