Chapitre VII : Les polynômes

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1 Chpitre VII : Les polnômes Au terme de ce chpitre, tu sers cple de : Svoir Définir monôme, polnôme et degré d un polnôme Définir inôme et trinôme Enoncer les crctéristiques d un polnôme complet, d un polnôme réduit, et d un polnôme ordonné Définir l vleur numérique d un polnôme Enoncer l formule de (+)², (-)², (-).(+) Décrire l méthode de division d un polnôme pr un polnôme du tpe(-) (Horner) Svoir- fire Identifier l vrile, le coefficient et l prtie littérle d un monôme Déterminer le degré d un monôme, d un polnôme Clculer l vleur numérique d un polnôme Ordonner un polnôme à une ou plusieurs vriles Additionner, soustrire et multiplier deu polnômes Fctoriser des epressions lgériques pr mise en évidence, en utilisnt les identités remrqules Diviser un polnôme pr (-) et conclure en écrivnt l formule de l division Euclidienne ( A = D. d + r) Fctoriser des epressions lgériques pr mise en évidence ou en utilisnt les produits remrqules ou en cominnt plusieurs méthodes Trnsformer une éqution pour qu elle devienne une éqution «produit nul» et l résoudre Epliquer l notion de condition d eistence d une fction lgérique Trouver l (les) vleur(s) qui nnule(nt) un polnôme Enoncer les conditions d eistence d une frction lgérique Simplifier une frction lgérique Effectuer des opértions sur les fctions lgériques DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge

2 A. Définitions Connecte-toi sur le site de mthinverses et regrde les vidéos présentes dns l onglet Polnômes -> voculire Ensuite, réponds u questions se trouvnt sous l onglet «quizz et inscription» ( G- Polnômes - voculire). Tu surs si tu s compris.. Un monôme de vrile et à coefficient est une epression de l forme. n dns lquelle est un nomre réel non nul et n est un nomre nturel. Eemples : est un monôme de vrile., de coefficient.et de prtie littérle v³ est un monôme de vrile., de coefficient.et de prtie littérle - est un monôme de vrile., de coefficient.et de prtie littérle Remrque : g et -9q sont de monômes à deu vriles.. Le degré d un monôme pr rpport à une vrile est..de cette vrile dns le monôme. Eemples :. Des monômes semlles sont Eemples :. Un POLYNOME est Eemples : est un polnôme en dont les termes sont : Remrque : on le noter prfois : P()= DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge

3 . Une vleur numérique d un polnôme est l vleur que l on otient en remplçnt l vrile pr un réel donné. Eemples : A l ide du polnôme du point, détermine s vleur numérique pour =, =0 et =- P()= P(0)= P(-)= 6. Le terme indépendnt d un polnôme pr rpport à une vrile est le terme de degré zéro pr rpport à cette vrile. Eemples : dns le polnôme - ++, le nomre est le terme indépendnt cr s vleur ne dépend ps de l vrile ; son degré est cr : 7. Un polnôme réduit est un polnôme Eemple : est un polnôme Et Remrques : Un polnôme réduit à termes est un Un polnôme réduit à termes est un Un polnôme réduit à termes est un 8. Un polnôme ordonné pr rpport à une vrile est un polnôme réduit dont on clsse les monômes suivnt l ordre décroissnt (ou croissnt) des degrés de cette vrile. Eemples : DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge

4 9. Un polnôme complet pr rpport à une vrile est un polnôme qui contient Eemples : 0. Le degré d un polnôme réduit pr rpport à l vrile est. Eemples : DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge

5 B. Opértions sur les polnômes Connecte-toi sur le site de mthinverses et regrde les vidéos présentes dns l onglet Polnômes -> ddition et soustrction de polnômes. Ensuite, réponds u questions se trouvnt sous l onglet «quizz et inscription» ( G- Polnômes- ddition et soustrction). Tu surs si tu s compris.. Sommes lgériques SUPPRIME LES PARENTHESES, REDUIS ET ORDONNE LE POLYNOME AINSI OBTENU. ) ( ) ) 8 ) ) ) 6) 6. Produits lgériques Connecte-toi sur le site de mthinverses et regrde les vidéos présentes dns l onglet Polnômes -> multipliction de polnômes. Ensuite, réponds u questions se trouvnt sous l onglet «quizz et inscription» ( G- Polnômes- multipliction). Tu surs si tu s compris. DISTRIBUE, REDUIS MENTALEMENT ET ORDONNE LES EXPRESSIONS SI DESSOUS. ) (. ) ( ).( ) ). ) (z ).(z ) ) d.d d d DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge

6 . Division d un polnôme pr un polnôme du tpe - (Horner) Dns le cs ou le diviseur est un polnôme de tpe, il est possile d utiliser une utre méthode que l méthode du clcul écrit : l méthode d HORNER. Connecte-toi sur le site de mthinverses et regrde les vidéos présentes dns l onglet utilistion de l polnomes-> Horner ou division pr (-). Ensuite, réponds u questions se trouvnt sous l onglet «quizz et inscription» ( G- Polnômes-Horner). Tu surs si tu s compris. Eemple Effectuons l division suivnte pr l méthode de HORNER. ( 8 9 ) : ( ) Q Eplictions R 6 Pour diviser deu polnômes pr l méthode d Horner : on écrit sur une première ligne les coefficients du polnôme ordonné, complété et réduit. ICI : à guche du tleu, on écrit l solution de l éqution otenue en églnt le diviseur à zéro. ICI : on «isse» le premier coefficient et on le multiplie pr le chiffre de guche, on écrit l solution dns l deuième ligne. ICI : on dditionne le nomre de l première ligne vec celui de l deuième ligne et on écrit l solution dns l troisième ligne. Etc DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge 6

7 Eercices CALCULE LE QUOTIENT ET LE RESTE DES DIVISIONS SUIVANTES. UTILISE LA METHODE D HORNER. ) ( ) : ( ) d) ( z z z ) : (z ) ) (t t ) : (t ) c) ( ) : ( ) e) (q q ) : (q ) f) ( ) : ( ) DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge 7

8 Snthèse de l fctoristion en Document rélisé pr Cmille Frnçois (cours info ) SOMME ALGEBRIQUE MISE EN EVIDENCE Binôme de crrés Une Somme de Crrés : ² + ² Une différence de crrés : ²-² Trinôme crré prfit Un doule produit Positif : ² + + ² Un doule produit Négtif : ² - +² Impossile de fctoriser ON FACTORISE et on otient : Un produit de inômes conjugués : (-).(+) Le crré d une somme (+)² Le crré d une différence (-) PRODUIT DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge 8

9 . Eercices de fctoristion Connecte-toi sur le site de mthinverses et regrde l vidéo présente dns l onglet utilistion de l fctoristion -> Définition. Ensuite, réponds u questions se trouvnt sous l onglet «quizz et inscription» ( H- Fctoristion-Définition). Tu surs si tu s compris. A. Fctorise en mettnt en évidence les fcteurs communs : Connecte-toi sur le site de mthinverses et regrde les vidéos présentes dns l onglet Fctoristion -> mise en évidence. Ensuite, réponds u questions se trouvnt sous l onglet «quizz et inscription» ( H- fctoristion- mise en évidence). Tu surs si tu s compris. ) = 7) 7-0 = ) += 8).(-)-.(-)= ) - = 9).(+)-.(+) = ) -= 0) -8 + = ) - -6 = ).(+) (+)= ) (+-c) 0(+-c)= ) - = ) = 6) 6 += ) -9 +6= B. Fctorise les différences de crrés : Connecte-toi sur le site de mthinverses et regrde l vidéo présente dns l onglet Fctoristion -> les églités remrqules. Ensuite, réponds u questions se trouvnt sous l onglet «quizz et inscription» ( H- Fctoristion-églités remrqules). Tu surs si tu s compris. ) ² 9 ) ² 6 ) 6 ² ² ² ) 8 ) ² 6² 6) ² ² c² m² 7) ² ² 8) 9) 8 6 0) ² ) ² ) 7 ² 9 ) 8 ) ) 6 ² ² 9² c² DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge 9

10 C. Vérifie si les inômes suivnts sont des crrés prfits. En cs échént, fctorise-les. ) ² ) 9 ² ) ² 8 6 6) ² ) ² ² ² 7) ² ² ) 9 8) 9 ² ² D. Fctorise en mettnt si possile en évidence et en recherchnt ensuite le ou les produits remrqules à utiliser. ) = ) = ) = ) = ) 0,0 0,09 = 6) 8 8 = 7) + - = 8) cd cd = 9) + 8= 0) + = ) = ) = 6 ) 6 ) 9 = ² ) 9 7. Résolution des équtions du degré supérieur à A. Dns quelle sitution mthémtique ser-t-il nécessire de résoudre des équtions du degré supérieur à? B. Eemples : + = 0 = = 0 C. Eercices : RÉSOUS LES ÉQUATIONS SUIVANTES : ) 9 = 0 ) 6t t = 0 ) + + = 0 ) = 0 ) = 0 6) = 6 7) = 8) (9u ) u = 0 9) m = 0) ( ) + ( ) = 0 ) u = 8u ) ( ) 9( ) = 0 ) 9 = ) = 9 ) = DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge 0

11 JE VAIS VOUS DEMONTRER QUE =! Et oui c'est possile! Mthémtiquement ien sûr... Nous posons : En multiplint pr nous vons : =. =. = ² En soustrnt pr ² nous vons : - ² = ² - ² En fctorisnt nous vons :.( - ) = ( + ).( - ) En simplifint pr : on peut écrire ceci cr = En simplifint pr : = + = + = Pr conséquent : = Astuce : 6. Frctions lgériques Rppel : Simplifier une frction c est C est-à-dire Il est donc indispensle de A. Conditions d eistence : Connecte-toi sur le site de mthinverses et regrde l vidéo présente dns l onglet Frctions lgériques -> conditions d eistences. Ensuite, réponds u questions se trouvnt sous l onglet «quizz et inscription» ( I- FA-condition d eistence). Tu surs si tu s compris. Connecte-toi sur le site de mthinverses et regrde l vidéo présente dns l onglet Frctions lgériques -> simplifiction. Ensuite, réponds u questions se trouvnt sous l onglet «quizz et inscription» ( I- FA-simplifiction). Tu surs si tu s compris. DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge

12 B. Eercices : ) POUR LES FRACTIONS SUIVANTES, DONNE LES CONDITIONS D EXISTENCE (C.E) APRES AVOIR FACTORISE. ENSUITE, SIMPLIFIE CES FRACTIONS. ) 8) ) 9) ) m p ) m p 6 ) 6) 7) 0) ) ) 8 ) DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge

13 Connecte-toi sur le site de mthinverses et regrde l vidéo présente dns l onglet Frctions lgériques ->multipliction. Ensuite, réponds u questions se trouvnt sous l onglet «quizz et inscription» ( I- FA-multipliction). Tu surs si tu s compris. Connecte-toi sur le site de mthinverses et regrde l vidéo présente dns l onglet Frctions lgériques -> division. Ensuite, réponds u questions se trouvnt sous l onglet «quizz et inscription» ( I6- FA-division). Tu surs si tu s compris. ) ECRIS LES PRODUITS SUIVANTS SOUS LA FORME D UNE FRACTION DONT LE NUMERATEUR ET LE DENOMINATEUR RESTENT SOUS LA FORME FACTORISEE ET SIMPLIFIEE ENSUITE. NB : N OUBLIE PAS LES C.E AVANT DE SIMPLIFIER. ). ). ) ) ).. 7 ) 6 ). 6). 7). ) ) c ( ) 8). ( ).( ) 9). 0).( ) ). 6 DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge

14 DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.7 pge Connecte-toi sur le site de mthinverses et regrde l vidéo présente dns l onglet Frctions lgériques -> ddition et soustrction. Ensuite, réponds u questions se trouvnt sous l onglet «quizz et inscription» ( I- FA-ddition et soustrction). Tu surs si tu s compris. c) EFFECTUE ET SIMPLIFIE SI POSSIBLE LES SOMMES ALGEBRIQUES CI-DESSOUS N.B : N OUBLIE PAS LES C.E. ) ) 8 ) ) z ) 6).. 7) 8) 6 9) 0).. ) ) ) ) ) 6 6) 7) 8) 9) 7 0) ) ) 9