5. Intégration complexe

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1 49 5. Intégrtion complexe 1. Intégrles définies d une fonction complexe d une vrible réelle Les intégrles sont extrêmement importntes dns l étude des fonctions d une vrible complexe. Nous étblirons l équivlence entre les notions de fonction nlytique, d une prt, comme fonction dérivble en chque point d un domine de définition, et, d utre prt, comme fonction dont l intégrle ne dépend ps du chemin d intégrtion Définition Pour introduire les intégrles de f(z) d une mnière simple, on commence pr introduire l intégrle définie d une fonction à vleurs complexes d une vrible réelle t sur un intervlle donné t b. Désignnt cette fonction pr w(t), on écrit : w(t) = u(t) + iv(t). (1.1) Les fonctions u(t) et v(t), définies sur l intervlle fermé borné t b, sont supposées continues pr morceux. hcune de ces deux fonctions est à vleurs réelles et continue prtout dns l intervlle [, b], suf peut-être en un nombre fini de points où l fonction, bien que discontinue, possède des limites à guche et des limites à droite finies. L fonction w est, elle ussi, continue pr morceux sur l intervlle t b. On définit l intégrle de w de à b comme : b w(t) dt = b b u(t) dt + i v(t) dt. (1.2) 1.2. Mjortion du module d une intégrle On suppose que l vleur de l intégrle (1.2) est un nombre complexe non nul. On l écrit sous l forme : b w dt = re iθ. (1.3)

2 50 hpitre 5 : Intégrtion complexe On donc : r = On en déduit l inéglité : b r Pr suite, on l mjortion : b w(t) dt Re(e iθ w) dt. (1.4) b b w dt. (1.5) w(t) dt, < b. (1.6) 2. ontours 2.1. Définition des rcs Les intégrles des fonctions à vleurs complexes d une vrible complexe sont définies sur des courbes dns le pln complexe. Un rc dns le pln complexe est un ensemble de points z = (x, y) tels que x = x(t), y = y(t), t b, (2.1) où x(t) et y(t) sont des fonctions continues du prmètre réel t. On décrit les points de l rc u moyen de l éqution où : z = z(t), t b, (2.2) z(t) = x(t) + iy(t). (2.3) L rc est un rc simple s il ne se recoupe ps lui-même. Lorsque l rc est simple mis que z(b) = z(), on dit que est une courbe simple fermée Exemple Le cercle unité z = e iθ, 0 θ 2π, (2.4) centré à l origine est une courbe simple fermée orientée dns le sens contrire des iguilles d une montre. Il en est de même du cercle de ryon R centré u point : z = + Re iθ, 0 θ 2π. (2.5)

3 Intégrles curvilignes Définition des rcs différentibles L dérivée de l fonction (2.3) est définie comme si les deux dérivées x (t) et y (t) existent. z (t) = x (t) + iy (t), (2.6) Si les dérivées x (t) et y (t) des composntes de l fonction z(t) utilisée pour décrire un rc existent et sont continues sur l intervlle t b, est ppelé un rc différentible. L fonction à vleurs réelles z (t) = [x (t)] 2 + [y (t)] 2 (2.7) est intégrble sur l intervlle t b et l rc l longueur : L = b z (t) dt. (2.8) L longueur L ne dépend ps des chngements de représenttion prmétrique de l rc Définition des contours Un contour est un rc constitué de morceux d rcs différentibles joints bout à bout. Autrement dit, si l éqution (2.2) représente un contour, z(t) est continue, tndis que l dérivée z (t) est continue pr morceux. Qund les vleurs initile et finle de z(t) sont les mêmes, le contour est ppelé contour fermé simple. L longueur d un contour ou d un contour fermé simple est l somme des longueurs des rcs différentibles qui le forment. 3. Intégrles curvilignes 3.1. Définition On s intéresse mintennt ux intégrles des fonctions f à vleurs complexes de l vrible complexe z. Une telle intégrle est définie à l ide des vleurs f(z) le long d un contour donné llnt d un point z 1 à un point z 2 dns le pln complexe. est donc une intégrle curviligne, dont l vleur dépend en générl ussi bien du contour que de l fonction f. On l écrit f(z) dz ou z2 z 1 f(z) dz, (3.1) l dernière nottion étnt réservée u cs où l vleur de l intégrle est indépendnte du choix du contour entre les deux points z 1 et z 2.

4 52 hpitre 5 : Intégrtion complexe Supposons que l éqution z = z(t), t b, (3.2) représente un contour, s étendnt d un point z 1 = z() à un point z 2 = z(b). Si l fonction f(z) = u(x, y) + iv(x, y) est continue pr morceux sur, on définit l intégrle curviligne ou intégrle de contour de f le long de comme : f(z) dz = b f [ z(t) ] z (t) dt. (3.3) On soit encore : f(z) dz = b f(z) dz = (ux vy ) dt + i b (vx + uy ) dt, (3.4) udx vdy + i vdx + udy. (3.5) 3.2. Inéglité fondmentle On l propriété : b f(z) dz [ ] f z(t) z (t) dt. (3.6) Si donc M est une constnte positive telle que f(z) M, on : b f(z) dz M z (t) dt. (3.7) omme l intégrle sur l droite représente l longueur L du contour, le module de l intégrle de f le long de reste borné pr ML : f(z) dz ML. (3.8) ette mjortion ser très utile pr l suite pour le clcul prtique des intégrles. Puisque tous les chemins d intégrtion considérés ici sont des contours et puisque les intégrnds sont des fonctions continues pr morceux définies sur ces contours, un nombre M tel que celui pprissnt dns l inéglité ci-dessus existe toujours. En effet, l fonction à vleurs réelles f[z(t)] est continue sur l intervlle fermé borné t b qund f est continue sur. Une telle fonction tteint toujours une vleur mximum M sur cet intervlle. Donc f(z) possède un mximum lorsque f est continue sur. L même propriété est vrie lorsque f est continue pr morceux sur.

5 Théorème de uchy Lemme de Jordn L inéglité fondmentle peut être ppliquée à un rc de cercle Γ de centre et de ryon R, d ngle u centre Ω. L longueur de l rc Γ est L = ΩR. On donc : f(z) dz MΩR. (3.9) On en déduit le lemme de Jordn : Γ Si lim R 0 R mx z Γ f(z) = 0, lors lim R 0 Γ f(z) dz = 0 Si lim R R mx z Γ f(z) = 0, lors lim R f(z) dz = 0 Γ Le lemme de Jordn ne donne que des conditions suffisntes pour que l limite qund R 0 ou qund R de l intégrle f(z) dz soit nulle (cette limite Γ peut être nulle même si les conditions ci-dessus ne sont ps stisfites). 4. Théorème de uchy Dns le cs générl, l intégrle f(z) dz dépend ussi bien de l fonction à intégrer f(z) que du contour d intégrtion. ependnt, si une fonction est nlytique dns un domine simplement connexe contennt un contour, son intégrle est lors complètement définie pr l position des extrémités de et ne dépend ps de l forme du contour. Le théorème de uchy (uchy, 1825) s énonce de l mnière suivnte : Si une fonction f(z) est nlytique dns un domine simplement connexe D, lors, pour tous les contours pprtennt à ce domine et ynt des extrémités communes, l intégrle f(z) dz une vleur unique. Nous démontrerons ce théorème vec l hypothèse supplémentire de l continuité de l dérivée f (z) (l définition de l nlyticité n exigent que l existence de cette dérivée). On pose : En vertu de l reltion f(z) dz = f(z) = u(x, y) + iv(x, y). (4.1) udx vdy + i vdx + udy (4.2) l question de l indépendnce d une intégrle f(z) dz pr rpport u chemin d intégrtion se rmène à l même question pour les intégrles curvilignes cidessous : udx vdy, vdx + udy. (4.3) On pprend dns le cours d nlyse réelle que, pour que, dns un domine simplement connexe, l intégrle curviligne P dx + Qdy, où P et Q sont des fonctions possédnt des dérivées prtielles continues, soit indépendnte du chemin

6 54 hpitre 5 : Intégrtion complexe d intégrtion, il fut et il suffit que l expression sous le signe d intégrtion soit une différentielle totle, c est-à-dire qu en chque point du domine D on it l reltion P/ y = Q/ x. Pour les intégrles (4.3), cette reltion est de l forme u y = v x, v y = u x. (4.4) L continuité des dérivées prtielles découle de l hypothèse selon lquelle f (z) est continue. Les équtions (4.4) coïncident vec les conditions de uchy-riemnn et sont vérifiées puisque f(z) est une fonction nlytique. Le théorème est donc démontré. En vertu de ce théorème, pour les fonctions nlytiques dns les domines simplement connexes, u lieu de f(z) dz, on peut écrire z dζ, où et z sont les extrémités de l courbe. Le théorème de uchy peut ussi être énoncé sous l forme suivnte : Si une fonction f(z) est nlytique dns un domine simplement connexe D, lors son intégrle prise le long de tout contour fermé pprtennt à D est nulle : f(z) dz = 0. (4.5) 5. Primitives et indépendnce pr rpport u chemin d intégrtion Si une fonction f(z) est nlytique dns un domine simplement connexe D, lors l intégrle z dζ = F (z) (5.1) considérée comme fonction de s limite supérieure, est ussi une fonction nlytique dns D. On : F (z) = d dz z dζ = f(z). (5.2) : En effet, d près l définition de l dérivée et les propriétés de l intégrle, on F (z) = lim h 0 F (z + h) F (z) h 1 [ z+h z = lim dζ dζ ] h 0 h 1 = lim h 0 h z+h z dζ. (5.3) Etnt donnée l continuité de f(z) u point z, qui découle de son nlyticité, cette dernière quntité tend vers f(z) lorsque h tend vers zéro. Une fonction dont l dérivée est égle à une fonction donnée f(z) est une primitive de cette fonction. L intégrle de f(z), considérée comme fonction de s

7 Formule intégrle de uchy 55 limite supérieure, est l une des primitives de l fonction f(z). On peut montrer que deux primitives quelconques d une fonction diffèrent l une de l utre u plus pr une constnte. Plus générlement, si F (z) est une primitive quelconque d une fonction nlytique f(z), lors on : z dζ = F (z) F ( ). (5.4) 6. Formule intégrle de uchy Grâce à une ppliction très simple du théorème de uchy, il est possible de représenter une fonction nlytique f(z) comme une intégrle de contour dns lquelle l vrible z intervient comme un prmètre. ette représenttion d une fonction nlytique, connue sous le nom de formule intégrle de uchy, des pplictions importntes et nombreuses. Soit f une fonction nlytique prtout à l intérieur d un contour fermé simple prcouru dns le sens direct, insi que sur ce contour lui-même. Si z est un point quelconque intérieur à, on : f(z) = 1 2πi dζ. (6.1) L formule intégrle de uchy (6.1) signifie que, pour une fonction f nlytique à l intérieur et sur l frontière d un contour fermé simple, les vleurs de f intérieures à sont complètement déterminées pr les vleurs de f sur. Lorsque l formule intégrle de uchy est écrite sous l forme dζ = 2πif(z), (6.2) elle peut être utilisée pour clculer certines intégrles le long de contours fermés simples.

8 56 hpitre 5 : Intégrtion complexe y 0 z! O x Figure 1 Pour démontrer l formule (6.1), on choisit un nombre positif ρ ssez petit pour que le cercle = ρ, désigné pr 0 et orienté dns le sens direct, soit intérieur à (Fig. 1). omme f est continue en z, il correspond à chque nombre positif ɛ, ussi petit soit-il, un nombre positif δ tel que f(z) < ɛ lorsque < δ. Si donc ρ < δ, on ur f(z) < ɛ sur le cercle 0. Puisque l fonction /() est nlytique pour tous les points situés sur et intérieurs à, à l exception du point z, on peut ppliquer le théorème de uchy pour un domine multiplement connexe. L intégrle le long de l frontière orientée de l région entre et 0 pour vleur zéro : dζ On peut donc écrire : 1 dζ f(z) 0 dζ = omme on 0 dζ = 0. (6.3) 0 f(z) dζ (6.4) 1 dζ = 2πi, (6.5) 0

9 Dérivées des fonctions nlytiques 57 l éqution (6.4) devient : dζ 2πif(z) = 0 f(z) dζ. (6.6) En utilisnt l continuité de f et en remrqunt que l longueur de 0 est 2πρ, on peut mjorer l intégrle du membre de droite de l éqution (6.6) : 0 f(z) dζ < ɛ 2πρ = 2πɛ. (6.7) ρ omme ɛ est rbitrirement petit, l formule (6.1) est démontrée. 7. Dérivées des fonctions nlytiques Si une fonction est nlytique en un point, ses dérivées de tous les ordres existent et sont elles-mêmes nlytiques en ce point. Supposons que f est nlytique à l intérieur d un contour fermé simple orienté positivement, insi que sur ce contour lui-même. Soit z un point quelconque intérieur à. Si ζ désigne un point de, l formule intégrle de uchy s écrit : f(z) = 1 2πi dζ. (7.1) On peut montrer que les dérivées de tous les ordres de f u point z existent et ont les représenttions intégrles : f (n) (z) = n! 2πi n+1 dζ. (7.2) () En prticulier, si une fonction f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (7.3) est nlytique en un point z = (x, y), l nlyticité de f ssure l continuité de f. Puisque l on f (z) = u x + i v x = v y i u y, (7.4) il s ensuit que les dérivées prtielles du premier ordre de u et v sont continues en ce point. On démontre de même que les dérivées prtielles de tous les ordres de u et v sont continues en tout point où f est nlytique.