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1 Cours - Travaux Dirigés e Travaux Praiques de Traieme du sigal Beoî Decoux beoi.decoux@waadoo.fr

2 I) Iroducio géérale Pla du cours Cours TD Grades paries : Gééraliés sur les sigaux Aalyse fréqueielle des sigaux (Séries de Fourier, Trasformée de Fourier ) Filrage aalogique e umérique(trasformée de Laplace ) Das chaque parie : Approfodissemes héoriques (T. Laplace, disribuios, iégraio ) Cas coiu, cas discre Cas des images Applicaios Exercices TP Uilisaio de Scilab

3 I) Iroducio géérale Modaliés de dérouleme Chaque séace : h-h3 cours / h3-h TP Approche pédagogique : rès appliquée voire iducive Logiciel/lagage de programmaio uilisé : Scilab TP par biôme, sur ordiaeurs porables persoels Compe-redus de TP ( par séace) : Coeu : o réposes aux quesios posées o programmes écris o résulas de leur es o ierpréaio de ces résulas Forma fichiers : compaible MsWord Nom fichier : TP_NomNom.doc ( uméro du TP) Possibilié de compléer ava séace suivae ; evoi des complémes à : beoi.decoux@waadoo.fr Evaluaio QCM de 5 à quesios e fi de chaque séace ( m) ; quesios de cours, TD e TP Compe-redus de TP Exame fial 3

4 I) Iroducio géérale Quelques gééraliés Qu es-ce qu u sigal?! ue gradeur physique varia au cours du emps! ue focio mahémaique (variable : le emps) mais égaleme! ue image (variables : les dimesios spaiales) Qu es-ce que le raieme du sigal?! A la fois rès héorique e rès appliqué Applicaios! éléphoie, commuicaios, audio-visuel, médecie Ouils! ordiaeur / logiciels-programmaio "bas-iveau"! processeurs spécialisés (DSP) 4

5 II) Noios géérales II.) Rappels Sigal siusoïdal : avec : s() A si( + ϕ) ou π s() A cos( + ϕ) A si( + ϕ + ) A : ampliude ; pulsaio (πf ; f/t) e rad/s ; φ : phase à l origie (<φ<π) e rad Représeaios : s() A Specre d ampliude A Specre de phase φ φ/ f f f f T emporelle fréqueielle 5

6 II) Noios géérales II.) Rappels Sigal quelcoque : Représeaios (exemple : mo "zéro") : emporelle : Specre d ampliude fréqueielle : 6

7 II) Noios géérales II.) Caracérisiques des sigaux Domaie coiu sigal o périodique sigal périodique Valeur moyee : S moy (, ) s() d S moy T + T s()d Valeur efficace : S eff (, ) s () d S eff T + T s ()d Eergie : Puissace : Isaaée : E, s () d P s () Moyee : P moy E, s ()d S eff P moy T + T s ()d 7

8 II) Noios géérales II.) Caracérisiques des sigaux Domaie discre Soi s{s, s, s N } u sigal discre composé de N échaillos. Par aalogie avec le domaie coiu, o peu défiir les oios de valeur moyee, d éergie e de puissace (la somme coiue se rasforme e somme discrèe ): Valeur moyee : S N s moy N Eergie : Puissace : E N s Isaaée : P s, idice d échaillo Moyee : P E N N N s N N P 8

9 III) Séries de Fourier III.) Forme de base Pricipe Tou sigal s() périodique peu se décomposer sous la forme d ue somme de focios siusoïdales (sius-cosius) do les fréqueces so des muliples eiers de sa fréquece, e e les ampliudes dimiue lorsque augmee : () a + (a cos( ) + b si( π Avec πf, T période du sigal e f sa fréquece T a es la valeur moyee du sigal : T a s() d T s )) Les ermes de la somme so appelés harmoiques (pariels e musique) : T a s()cos( ) d ( ) T T b s()si( ) d T Propriéés imporaes Si la focio s() es paire, b pour ou >. Si la focio s() es impaire, a pour ou. 9

10 III) Séries de Fourier III.) Forme de base Exemple pour sigal carré : s() A A pour pour [,T / + kt[ [T / + kt,t + kt[ A -A T/ La décomposiio doe : s() 4a π si, impair ( pour pair) La re-syhèse à parir de ces coefficies doe (fodameal + 3 premiers harmoiques) :

11 III) Séries de Fourier III.) Forme de base Exemple pour sigal riagulaire : + pour [ T / s() A pour ]T / 4,T / 4[ 4,3T / 4[ -A T/ La décomposiio doe : 8A s() π ( ) si ( ), impair ( pour pair) La re-syhèse à parir de ces coefficies doe (fodameal + 3 premiers harmoiques) :

12 III) Séries de Fourier III.) Forme de base Exemple pour sigal e des de scie : A s () pour [ T / + kt,t / + kt[ T A -A T La décomposiio doe : s() A π ( ) si() La re-syhèse à parir de ces coefficies doe (fodameal + 3 premiers harmoiques) :

13 III) Séries de Fourier III.) Forme de base Représeaios fréqueielles b b Sigal carré s() 4A π si(), impair b 3 b 5 f 3f 5f f 3f 5f Sigal riagulaire 8A s() π ( ) si ( ), impair b π f 3f 5f f 3f 5f Sigal e des de scie b s() A π ( ) si() π f f 3f 4f 5f f f 3f 4f 5f Specres d ampliude Specres de phase 3

14 III) Séries de Fourier III.) Forme de base Exemple d u sigal quelcoque Sigal périodique quelcoque (ici i pair i impair), de fréquece f : s() T peu se mere sous la forme d ue somme de siusoïdes e cosiusoïdes : s() a + b si( ) a cos( ) +! Eoa, o? 4

15 III) Séries de Fourier III.) Forme de base Remarques 8A Pour obeir le riagle précéde, il a fallu alerer le sige des sius : s() π ( ) si ( ) Pour décaler ce riagle de π/, il aurai fallu uiliser des cosius : 8A s() π cos( ) 5

16 III) Séries de Fourier III.) Forme de base Phéomèe de Gibbs Quad le ombre d harmoiques ed vers l ifii, o obie : Explicaios Covergece e moyee quadraique : Noos ~ s() le sigal décomposé : ~ s() a + b si( ) a cos( ) + alors lim + ( ~ s() s() ) d Mais pas covergece uiforme (e ous pois) : i.q. ( s~ ( )) lim s( ) i i 6

17 III) Séries de Fourier III.) Forme avec u seul coefficie s() peu se mere sous la forme suivae : avec s() a + c cos( + ϕ ) e ϕ c a + b b arcg a Iérê : séparaio e specre d ampliude e specre de phase : C C arg(c ) a C C3 C 4 φ φ φ3 φ 4 φ 5 f f 3f 4f 5f f f f 3f 4f 5f f 7

18 III) Séries de Fourier III.3) Forme complexe E uilisa les formules d Euler : cos α o obie ue ouvelle expressio (complexe) du sigal : e α + e jα e siα α e j jα e j α e jα avec s() c e j c T T s()e j d Avaage : forme compace Ierpréaio : fréqueces égaives (!) 8

19 III) Séries de Fourier III.3) Forme complexe Specre de cos( ) : Re(c ),5 Im(c ) c,5 f Specre de si( ) : -f f f -f f f Re(c ) Im(c ),5 c,5 f -f f f f -f f Specre du sigal carré : Im(c ) b / -3f b 3 / -b 3 / -f f -b / f 3f 9

20 III) Séries de Fourier III.3) Forme complexe Représeaio du passage de si() à cos() : Im f si cos Re

21 III) Séries de Fourier III.4) Formalisaio Formalisaio des specres de fréquece, par uilisaio de l impulsio de Dirac δ() : Exemples : Cosius : Sius : (f) δ(f + F ) + δ(f j (f) [ F )] S [ δ(f + F ) δ(f F )] S voir Théorie des Disribuios Défiiio de δ() : δ ( ) + δ( ) δ( )d O peu l obeir par exemple de la maière suivae : Imporace de δ() : + δ() lim rec T T - perme de coaîre la répose impulsioelle d u sysème (qui perme à so our de coaîre la répose du sysème à impore quel sigal) - ouil mahémaique rès uile (échailloage, Trasformée de Fourier, ec) T δ() δ(- )

22 III) Séries de Fourier III.4) Formalisaio Propriéés de δ() : s(). δ() s() s(). δ() s(). δ() s(). δ( ) s( ). δ( ) + + s (). δ()d s() s(). δ( )d s( ) Peige de Dirac + k δ + () δ( kt) T k x(). δ( kt) + k x(kt). δ( kt) Uile pour l éude de l échailloage des sigaux

23 III) Séries de Fourier III.5) Répariio de l éergie O peu démorer la propriéé suivae : N + T P s ()d a lim (a T + N + b ) Il y a doc coservaio de l éergie e passa de la représeaio emporelle à la représeaio fréqueielle. Avec les coefficies complexe c i : P lim N N N c C es le héorème de Parseval (ou Besse-Parseval) 3

24 III) Séries de Fourier III.6) Approfodissemes héoriques Rappels Coiuié Ue focio es coiue e u poi si la valeur de la focio e ce poi es la même que l o y arrive par la droie ou par la gauche. Si le ombre de pois de discoiuié sur u iervalle es fii, e qu elle adme des limies fiies à droie e à gauche, la focio es coiue par morceaux : lim f(x) lim f(x) + x x x x Exemple de focio coiue par morceaux : sigal carré, sigal e des de scie Dérivabilié Ue focio es dérivable e u poi si sa dérivée e ce poi es fiie, soi si : f'(x ) x x Ue focio dérivable e u poi es coiue e ce poi. f(x) f(x ) lim < x x 4

25 III) Séries de Fourier III.6) Approfodissemes héoriques Noios de covergece Pour savoir si le sigal approximé (oé plusieurs ypes de covergeces. ~ s() ici) représee bie le sigal origial s(), o défii Covergece e moyee I s() ~ s()d Covergece e moyee quadraique (moyee au ses de l éergie) I ( ~ s() s() )d Covergece uiforme sup ( s() ~ s() ), I Covergece pocuelle (covergece simple) s() ~ s(), I Il e exise d aures (voir plus ard) O éudie la limie de ces quaiés, quad Pour avoir covergece, il fau que cee limie ede vers. 5

26 III) Séries de Fourier III.6) Approfodissemes héoriques Noios de covergece Exemple Soi s () ue suie de sigaux défiis sur [,] par : s () e s() le sigal défii par : s() pour [,[ s() Covergece simple O cherche si s () s() quad O a : I, s() s () doc il y a covergece simple 5 s () s() Covergece uiforme s() s () s() s () [,[ Pour fixé, lims() s () lim doc o a pas covergece uiforme. Covergece e moyee quadraique ( s() s ()) d d [ ] qd Doc o a la covergece e moyee quadraique. O aurai pu morer de la même maière qu o a la covergece e moyee 6

27 III) Séries de Fourier III.6) Approfodissemes héoriques Sigaux décomposables e SF Sigaux iégrables (ou sommables) : espace L (, ) s() d < Sigaux de carré iégrables : espace L (, ) s() d < Iérê de ce espace : - oio d éergie - oio d orhogoalié - oio de projecio Codiio d applicaio de la décomposiio e SF : s() L (,T) ou L (,T) 7

28 III) Séries de Fourier III.6) Approfodissemes héoriques Bases orhogoales Rappel : produi scalaire focios x() e y() sur l iervalle [, ] : x { } y { y,y,..., } veceurs x,x,..., e x y < x(),y() > x.y i x. x()y()d y i i Produi scalaire sur [,T] de focios expoeielles e y() e j e j x() : < x(),y() > T j j e e d Les focios x() e j forme ue base orhogoale, Ζ Développeme e série : cas gééral + * s() a Φ ( avec a < s(), Φ > s() Φ d < Φ k, Φ l > k,l Ζ, k l ) T Cas des séries de Fourier : Φ j e 8

29 IV) Trasformée de Fourier IV.) Défiiio Défiiio S(f) F s() ( ) + s()e jπf d Comparaiso avec Trasformée de Laplace : S(p) ( ) + L s() s()e p d p σ + j Fourier cas pariculier de Laplace avec : p j Trasformée iverse : s() F ( S(f) ) + f S(f)e jπf df Codiio d applicaio : + x().d < 9

30 IV) Trasformée de Fourier IV.) Propriéés Liéarié Parié F a.x() + b.y() a.x(f) + b.y(f) Cas d u sigal réel : Si s() es ue focio paire, alors S(f) es ue focio paire e réelle. Si s() es ue focio impaire, alors S(f) es ue focio impaire e imagiaire. Si s() es i paire i impaire, alors S(f) compore ue parie réelle paire e ue parie imagiaire impaire. Remarque : le sigal peu êre complexe (pureme héorique) Chageme d échelle (ou homohéie) F x(a) Dérivaio Iégraio a X f a d x() F (j πf).x(f) d F x( τ).dτ.x(f) j 3

31 IV) Trasformée de Fourier IV.) Propriéés Traslaio a) emporelle b) Fréqueielle x( a) x().e jπa F X(f).e jπaf F X(f a) avec a R Théorème de Parseval (ou de Bessel-Parseval) Covoluio Desié specrale de puissace + + s ()d S(f) df F x() * y() X(f).Y(f) F x().y() X(f) * Y(f) S(f) Coservaio de l éergie x() * y() Rappel : + y(u)x( u) du u 3

32 IV) Trasformée de Fourier IV.) TF de quelques sigaux couras Tableau de rasformées s() S(f)F[s()] δ() δ(f) s () cos(πf ) [ δ(f + f ) + δ(f f )] () si(πf ) j [ δ(f + f ) δ(f f )] s Π( T ) rec T T sic(tf) ri T + ) δ( T) T T sic (Tf) δ ( + δ(f ) δ (f) T T T T 3

33 IV) Trasformée de Fourier IV.) TF de quelques sigaux couras Quelques démosraios Sigal pore S(f) + jπf s()e d A + T / jπf e T / d A j πf jπf + A A A [ e ] T / jπft jπft jπft jπft [ e e ] [ e e ] siπft AT sic(tf) T / jπf jπf πf Rappel : sic(x) siπx πx Sigal siusoïdal jπf [ x().e ] X(f f ) F F [] δ(f) jπf [ e ] δ(f f ) F jπf j f ( F(e ) F(e )) ( (f f ) (f f )) π + δ + δ + S(f) F(cos(πf )) 33

34 IV) Trasformée de Fourier IV.3) Lie avec séries de Fourier Pricipe s() SF C f /T T -f f f 3f Das le cas d u sigal o-périodique, o peu cosidérer qu il es périodique e faisa : f T Déail O repred l expressio de la forme complexe : + s() π c e j π T avec T / j T c s().e d T / T Ré-écriure : + s() jπ S(f ). e T T / jπ T avec S(F ) s().e d T T / 34

35 IV) Trasformée de Fourier IV.3) Lie avec séries de Fourier s() + T/ T/ + s() + s( τ).e s( τ).e jπ τ T jπfτ dτ e dτ.e jπ T jπf T df Fialeme : s() ( ) + jπf S(f) S(f).e avec S(f) F( s() ) + F df jπf s().e d Ierpréaio : s() TF S(f) f 35

36 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Défiiios X(k) N N x()e jπk N k,,, N- ou X(k) N N x()w N k avec jπk k N W N e TFD iverse (TFD - k ): x() X(k)W N k,,, N- N k Propriéés Sigificaio des idices Erées [ ;N ] [ ;(N ] )T e Sories [ ;N ] f ;f e N e 36

37 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Echailloage Cosise à relever les valeurs d u sigal à iervalles de emps réguliers : la période d échailloage f e. Exemple : CD audio, so échailloé à f e 44Hz. Coséquece de l échailloage : réplicaio périodique du specre échailloage f > f e max Bo -f e -f e f max f e f e f max specre du sigal coiu f < f e max -f e -f e f e f e Mauvais D où la codiio d échailloage de Shao (ou de Nyquis) : f > f e max 37

38 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Effe de la rocaure du sigal Nombre de périodes ifii : héorique s() S(f) TF f E praique : ombre de périodes fii s() S(f) TF f 38

39 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Effe de la rocaure du sigal (suie) Explicaios ) O a déjà vu la rasformée d u produi : TF x().y() X(f) * Y(f) Ici, la rocaure du sigal es équivalee à ue muliplicaio par u sigal pore : s () s() rec () s() rec( / ) a a a a durée d aalyse Trasformée : S (f) a S(f) * a sic(f ) a d où, das le cas d u sius : j S(f) δ(f + F ) δ(f F ) soi j S(f) TF [ ] S (f) [ δ(f + f ) * sic(f ) δ(f f ) * sic(f )] a ) Cee derière expressio es obeue par uilisaio de la propriéé de raslaio du produi de covoluio (voir plus loi) : (x) * δ(x x ) f(x x ) TF [ δ(f + F ) δ(f F )] S (f) [ sic((f + f ) ) sic((f f ) )] a f a a a a a a a a 39

40 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) E résumé. Pour pouvoir ierpréer correceme les résulas de la programmaio de la TFD, il fau predre e compe : - l effe de la rocaure du sigal (sius cardiaux au lieu d impulsios de Dirac) - l effe de l échailloage (répéiio périodique du specre) - la sigificaio des idices des pois de sorie de la TFD résumés sur le schéma suiva : s() N pois im(s(f)) N pois NT e TF f e / f e f échailloé à T e échailloé à f e /T e résoluio specrale : f e /N 4

41 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Amélioraios par feêrage (ou apodisaio) O peu aéuer les effes du feêrage e uilisa ue feêre mois abrupe que la focio pore. Il exise plusieurs ypes de feêres possibles, do voici exemples couras : Feêre de Hammig ( πf ) f(),54 +,46cos Feêre de Haig ( + cos( πf ) ) f(),5 s() s() x s () im(s(f)) TF f e / f e f 4

42 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Trasformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT) Il s agi d u algorihme de calcul rapide de la TFD Il es basé sur des simplificaios des calculs permises par les propriéés de l expoeielle. Rappels L objecif es de calculer Développeme selo : X(k) X(k) w N k N N x()w N x() + w k k N avec x() w jπk k N W N e (N ) k N x(n ), k,,,,n, k,,,,n puis selo k : Forme maricielle : X() w X() w X(N ) w N N x() + w x() + w (N ) N X() w... X (N... N (N ) wn X(N ) (N wn N N x() w x() w (N ) N (N ) N. ) ) x() + w (N ) N w w (N ) N (N ) (N ) N x() w w... w w x(n ) x(n ) (N ) N (N ) (N ) N (N ) (N ) N (N ) (N ) N x(n ) x() x (N... ) x(n ) [ X ] [ W][ X] 4

43 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Trasformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT) Exercice ) Calculer la marice des faceurs de phase das le cas d u sigal de 4 pois. ) Calculer la TFR du sigal défii par : x(),,,3 : - 3) Ierpréer les résulas (e prea e compe que ce sigal peu êre cosidéré comme ue période de sigal siusoïdal) 4) Recommecer avec le sigal suiva :

44 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Trasformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT) Exemples si(πf) Im(S(f)) S(f) TFD,5,5 7 -,5 7 7 cos(πf) Re(S(f)) S(f) TFD,5,

45 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Trasformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT) Pricipe X(k) N / N / k k X(k) x()w + N x( + )WN W k πk πk k W exp j exp j W N N N/ N X(k) N / N / k x()w + x( N + ) W N / N / k x()w + x( )W N + O recoaî TFD de N/ pois : celle des ermes d idices pairs e celle des ermes d idices impairs ; seuls les sories de ces deriers so mulipliées par u faceur de phase. k N k(+ ) N W k N k N coû de calcul moidre E répéa cee opéraio jusqu à obeir des TFD de pois, o obie ue fore réducio du coû de calcul : N Log N au lieu de N 45

46 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Trasformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT) Srucure (exemple pour 8 pois) x() papillo X() x(4) x() x(6) x() x(5) x(3) x(7) W W W W 4 W 4 W 4 W W 4 W 8 W 8 W 8 3 W 8 X() X() X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) 46

47 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Aalyse specrale Pricipe s() sigal f feêrage ramage (T e ) FFT FFT FFT FFT specrogramme E praique (image obeue avec Maplo de Scilab) Chevaucheme des rames Choix de la aille de la feêre Compromis emps (durée la plus coure possible) fréquece (durée la plus grade possible) 47

48 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Recosrucio du sigal origial s() sigal Modificaios possibles : feêrage T e - Eireme emporel (ime srechig) Iérê : chager la durée du sigal sas chager so coeu fréqueiel FFT FFT FFT FFT specrogramme FFT - FFT - FFT - FFT - + s() - Trasposiio de fréquece par décalage du specre (pich shifig) Iérê (exemple) : chager la haueur d ue voix sas chager so imbre - Modificaio du specre (dimiuio ou réhausseme de l éergie das ceraies bades de fréqueces, ec), e oamme filrage (mais aeio aux pees raides!) T e 48

49 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Applicaio aux images Trasformée direce F(p,q) M N m f(m,).e πmp j M m e : dimesios spaiales de l image origiale (posiios) p e q : dimesios de l image rasformée (fréqueces spaiales) F(,) : composae coiue valeur moyee des pixels.e πq j N p,,,m- e q,,,n- Trasformée iverse f(m,) MN M N p q F(p,q).e πmp j M.e πq j N m,,,m- e,,,n- 49

50 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Applicaio aux images TFD Explicaio : Π( ) rec T sic(tf) T T TF T T 5

51 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Applicaios cocrèes Prohèse audiive U pei boîier moé sur ou das les oreilles iègre u processeur spécialisé das le raieme du sigal (DSP), réalisa ue TFR. Différes paramères du specre de fréqueces obeu peuve alors êre modifiés, e focio des besois de l uilisaeur : l éergie du sigal das les bades de fréquece, modificaio du coeu specral (pich e voiseme), modificaio de l'eveloppe specrale, modificaio du ryhme emporel. U sigal emporel modifié es alors re-syhéisé e gééré e so. 5

52 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Applicaios cocrèes Specroscopie à ifra-rouge (IR) La specroscopie IR es basée sur l'absorpio d'u rayoeme ifrarouge par le maériau aalysé. Elle perme via la déecio des vibraios caracérisiques des liaisos chimiques, d'effecuer l'aalyse des focios chimiques présees das le maériau. Perme de déermier la présece ou l absece de composés chimiques. La specroscopie IR à Trasformée de Fourier (ou FTIR : Fourier Trasformed IfraRed Specroscopy) rasforme u ierférogramme (iesié e focio de la posiio d u miroir) e secre ifrarouge. TF 5

53 IV) Trasformée de Fourier IV.4) Trasformée de Fourier Discrèe (TFD) Applicaios cocrèes Forma d images JPEG Compressio : Décompressio : Les mêmes éapes mais e ses iverse. 53

54 V) Filrage V.) Iroducio Objecifs E gééral : laisser passer ceraies choses e e reeir d aures. E raieme du sigal : ces choses plages (ou bades) de fréqueces. Nuace : filrage acif augmeer (l éergie de) ceraies bades de fréqueces. Exemple : filrage passe-bas : e laisse passer que des basses fréqueces. Défiiios U filre es u sysème liéaire. Il peu êre décri par - ue équaio différeielle liéaire - ue focio de rasfer de Laplace - u produi de covoluio avec sa répose impulsioelle Ces 3 descripios so équivalees. E gééral, le sysème es saioaire : coefficies de l équa. diff. cosas. 54

55 V) Filrage V.) Iroducio Défiiios e() erée s() sorie h() répose impulsioelle (à δ()) E(p) TL[e()] S(p)TL[s()] Représeaios Equaio différeielle d s() d s() a + a a s() b e() d d TL Focio de rasfer de Laplace H (p) S(p) E(p) Répose géérale Répose impulsioelle h() + s() (e * h)() h( τ)e( τ) dτ Domaie emporel TL pj Focio de rasfer harmoique S(j) H(j) E(j) Domaie fréqueiel (complexe) 55

56 V) Filrage V.) Iroducio Propriéés e() filre s() U filre es u sysème liéaire, saioaire. U filre physiqueme réalisable es causal. Liéarié a e ()+a e () a s ()+a s () Saioarié e(- ) s(- ) Causalié δ() h() pour < 56

57 V) Filrage V.) Iroducio Trasformée de Laplace Défiiio { } + S(p) s()e L s() p d s() causal Propriéés Liéarié L a.x() + b.y() a.x(p) + b.y(p) Reard L x( ) e p X(p) Dérivée d s() L p.s(p) d Le e erme correspod aux codiios iiiales. Il es souve pris ul. i p i i d s(). i d + 57

58 V) Filrage V.) Iroducio Trasformée de Laplace Théorèmes de la valeur iiiale e de la valeur fiale Théorème de la valeur iiiale Théorème de la valeur fiale + lim pf(p) lim f() f( ) p + limpf(p) limf() p Covoluio e rasformée de Laplace L x() * y() X(p).Y(p) L x().y() X(p) * Y(p) 58

59 V) Filrage V.) Iroducio Trasformée de Laplace Trasformée de quelques sigaux couras s() S(p)L[s()] α e e δ() u() p p p +.u() e a.u() a..u().si( ).u() si().u() cos().u() p p a (p + a) + ( p + α + j)(p + α j) (p + α) + + p + 59

60 V) Filrage V.) Iroducio Trasformée de Laplace Exercice ) Calculer la rasformée de Laplace de l échelo uié u() ( pour, pour <) ) Calculer la rasformée de Laplace d ue impulsio de Dirac décalée : δ(- ) 6

61 V) Filrage V.) Répose impulsioelle Imporace Perme de caracériser complèeme u sysème, par le biais de : - sa répose à impore quel sigal, de impore quelle fréquece - sa focio de rasfer de Laplace Lie ere répose impulsioelle e focio de rasfer Trasformée de Laplace h() H(p) Répose du sysème à ue erée quelcoque e() : produi de covoluio Rappel + s() (e * h)() h( τ)e( τ) dτ Trasformée de Fourier δ() l impulsio de Dirac compore oues les fréqueces 6

62 V) Filrage V.) Répose impulsioelle Remarque : l impulsio de Dirac δ() es pas ue focio, mais ue disribuio Rappel : δ() es défiie par : δ ( ) + δ( ) δ( )d Ue disribuio perme de défiir idireceme ue focio : par ue focioelle : Soi φ ue disribuio, la focioelle de f, T f es défiie par : T f ( ϕ) φ peu êre quelcoque, mais doi êre : - à suppor boré (ulle e dehors d u iervalle boré) - idéfiime dérivable + f() ϕ() d + La héorie des disribuios perme de formaliser, ere aures : d / d - de défiir la dérivée de focios o dérivables, ex. de l échelo : u() δ() F j - la représeaio fréqueielle des sigaux siusoïdaux : si( πf) δ(f + f) δ(f f) - la représeaio fréqueielle de l impulsio de Dirac F δ() (qui compore oues les fréqueces) : l opéraio d échailloage : x() δ( kt) x(kt). δ( kt) k k -ec. [ ] 6

63 V) Filrage V.3) Descripio d u filre par ue équaio différeielle Cas gééral N a a d s() d N b b d e() d e() sigal d erée s() sigal de sorie Résoluio N b N a Pricipe : uilisaio de la propriéé de dérivaio de la rasformée de Laplace (TL) : d f() TL p F(p) d (pour simplifier, les codiios iiiales so ici prises ulles) Eapes de résoluio : - o applique cee propriéé à e(), s() e leurs dérivées respecives - o exprime S(p) e focio de E(p) - o remplace E(p) par so expressio - par TL iverse, o déermie alors s(), la répose à e() où : f() ue focio du emps F(p) sa rasformée de Laplace 63

64 V) Filrage V.3) Descripio d u filre par ue équaio différeielle Cas du er ordre Exemple d équaio différeielle : ds() + a.s() b.e() d Trasformée de Laplace (e supposa les codiios iiiales ulles) ps (p) + a.s(p) b.e(p) S (p)(p + a) b.e(p) S(p) b ( H(p)) E(p) p + a Résoluio pour e()δ() (δ()impulsio de Dirac, doc s()répose impulsioelle) : -remplaceme de E(p) par (TL(δ()) -cosulaio de la able des rasformées s() b.e a h(), oaio habiuelle de la répose impulsioelle 64

65 V) Filrage V.3) Descripio d u filre par ue équaio différeielle Exemple du er ordre : circui RC i() R : résisace e() R C s() C : codesaeur i() : coura e(), s() : esios i() e() s() R ds() i () C d Equaio différeielle ds() RC + s() e() d Résoluio pour e()δ() ( répose impulsioelle) s() RC e RC 65

66 V) Filrage V.3) Descripio d u filre par ue équaio différeielle Cas du e ordre Exemple d équaio différeielle : d s() ds() + a + a s() e() d d a Trasformée de Laplace : a p S(p) + aps(p) + a S(p) E(p) S (p)(a p + ap + a ) E(p) S(p) E(p) a p + ap + a ( H(p)). a p a a + p + a a 66

67 V) Filrage V.3) Descripio d u filre par ue équaio différeielle Cas du e ordre : résoluio (pour ue erée doée e()) Pour e() δ() : E(p) s() répose impulsioelle! > : racies réelles r e r s () ce + de r r! : racie réelle double r s () (c + r d).e! < : racies complexes cojuguées r, α+jβ s() c.e α cos ( β + ϕ) c, d des cosaes De même, o peu remplacer E(p) par la TL de impore quel sigal s() répose du sysème à ce sigal 67

68 V) Filrage V.3) Descripio d u filre par ue équaio différeielle Exemple du e ordre : circui RLC e() R L C s() Equaio différeielle : d s() + m d ds() + s() e() d LC R m C L Résoluio pour e()δ() ( répose impulsioelle)! m>! m s() s().e m e e (m m ) (m+ m )! m< s() m e m cos π ( m ) 68

69 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Focio de rasfer (ou rasmiace) de Laplace Perme de coaîre la répose du filre à impore quel sigal d erée H (p) S(p) E(p) Focio de rasfer harmoique Régime siusoïdal (ou régime harmoique) Perme de coaîre la répose e fréquece p j H(p) H(j) Gai e décibel (db) e phase G( ) logh(j) ϕ( ) argg(j) Remarque : H(j) représee u gai sas uié, ou gai e ampliude Rappels : module e phase d u complexe b z a + jb z a + b ϕ(z) arg(z) arcg a 69

70 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Focio de rasfer harmoique (suie) H(j) S(j) E(j) Représeaio graphique : diagramme de Bode Axe des abscisses logarihmique f f log f log (f) log f log + log (f ) log f + log (f ) la logueur d ue décade es cosae Avaages ) Précisio sur les peies valeurs du gai ) Mise e série de focios de rasfers élémeaires H H H H H H... H logh log(h H... H ) argh logh + logh logh arg(h H... H ) arg H + argh argh Les courbes de gai e de phase s ajoue (e oamme les pees des variaios) 7

71 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Focio de rasfer harmoique (suie) Exemple d u filre passe-bas du er ordre S(j) H(j) E(j) + j c Gai e ampliude (sas uié) : H(j) + c Gai e décibels (db) : H ( ) log H(j) log + c log () log + c log db + c Phase : ϕ( ) arg H(j Im(H(j) ( ) ) arcg arcg + + arcg() arcg j arcg j Re(H(j) c c + j c 7

72 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Focio de rasfer harmoique (suie) Fréqueces de coupure Dimiuio de la puissace de moiié dimiuio du gai e db de 3 muliplicaio du gai e ampliude ( H(j) ) par / (,7) Démosraio : G( ) logh(j) 3 logh(j) 3 logh(j) 3 H(j) 3 3 7

73 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Focio de rasfer harmoique (suie) Exemple d u filre passe-bas du er ordre (pour f 3Hz) : Gai e db : H db H(j) + j ( ) logh(j) c pee-db/décade Phase (e rad) : Im(H(j) ϕ( ) arcg Re(H(j) (figure obeue par la focio bode de Scilab) 73

74 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Focio de rasfer harmoique (suie) Exemple d u filre passe-bas du e ordre (pour f 3Hz) : H(j) Gai e db : + ξj c + j c ξ, pee-4db/décade H db ( ) logh(j) ξ,7 Phase (e rad) : Im(H(j) ϕ( ) arcg Re(H(j) 74

75 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Filres élémeaires er ordre passe-bas : passe-hau : e ordre passe-bas : passe-hau : passe-bade : coupe-bade (*) : (*) ou réjeceur de bade j ) H(j + j j ) H(j + j j ) H(j + ξ + j j j ) H(j + ξ + ξ j j j ) H(j + ξ + j j j ) H(j + ξ + +

76 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Décomposiio des focios de rasfer Décomposiio sous forme de produi Ue focio de rasfer d ordre quelcoque peu se décomposer e u produi de focios de rasfer élémeaires d ordres e (les ordres s ajoue). Exemple : ordre 5 5 imporace de l éude des filres d ordre e O uilise cee décomposiio pour obeir le diagramme de Bode de la focio de rasfer harmoique (e j). 76

77 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Décomposiio des focios de rasfer (suie) Décomposiio sous forme de somme (e élémes simples) H(p) k p + a p + a p + ap + a ( p p ) ( p p ) ( p p ) A + A A avec [ F(p) ( p )] p pi A p i i ou i,q d (q )! (p i : pôles simples) (p i : pôles muliples, d ordre q) A q q (F(p)(p p) ) i q dp p p i Cee décomposiio correspod à des blocs élémeaires disposés e parallèle. 3 O uilise cee décomposiio pour déermier la répose du sysème à u sigal d erée quelcoque (perme d uiliser des rasformées coues, à parir de la able des rasformées). 77

78 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Formule des résidus U pôle peu êre muliple. Par exemple, das la fracio raioelle suivae, p i es u pôle d ordre q : S(p) E(p) q ( p p )...( p p )...( p ) p i Sa décomposiio e élémes simples doe : S(p) E(p) A i, i, i,q q q ( p p ) ( p p ) ( p p ) ( p p ) ( p p ) A i + A i A i A avec q [ F(p)(p p ] i p pi A ) i, A i,! q d(f(p)(p p) ) i dp p p i A i,! d (F(p)(p dp q p) ) i p p i Remarque :! Exercice : décomposer e élémes simples :. p F(p) (p + ) 3 A i,q d (q )! q q (F(p)(p p) ) i q dp p p i 78

79 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Exercice Soi ue fracio raioelle défiie par : ) Déermier sa rasformée de Laplace iverse (e la décomposa préalableme e focios de rasfer élémeaires) ) E déduire la répose impulsioelle d u sysème posséda F(p) pour rasmiace. 3) Calculer la répose de ce sysème à u sigal échelo u(), de maières différees : - rasformée de Laplace iverse F (p) p - produi de covoluio avec répose impulsioelle Représeer graphiqueme cee répose. + 3p + 4) Représeer le diagramme de Bode de la focio de rasfer harmoique correspoda à F(p). 79

80 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Exemple de programmaio avec Scilab Exemple (p) 4 3 p +,6p + 3,4p +,6p + H um; depoly([ ], "s", "coef"); syssysli('c', um, de) bode(sys,.,.3); 8

81 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Aure exemple de programmaio avec Scilab Aure exemple H(j) + ξj c + j c f[::]; f3; w*%pi*f; w*%pi*f; xi.; de(+*xi*%i*w/w-(w/w)^); H../de; PhaseH-aa(imag(de),real(de)); GaiHdB*log(abs(H)); xbasc bode(f+,gaihdb,phaseh); 8

82 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Aures filres Filres de Buerworh Ils so défiis par la focio de rasfer : H( ) + c N N ordre du filre Caracérisiques Pee de la décroissace du gai : N db/décade. Valeur du gai de ce filre à la fréquece de coupure : 3dB (quel que soi l ordre N). 8

83 V) Filrage V.4) Focio de rasfer Sabilié Codiio par rappor aux pôles U sysème es sable si ous les pôles de sa focio de rasfer so siués das le demi-pla siué à gauche de l axe imagiaire du pla de la variable p : Explicaio Pôle réel p : Pôles complexes cojugués p, α+jβ : A p p pla p risque d isabilié L H (p) h() Ae A L α H(p) h() Ae.si( ) (p p )(p p ) p Codiio par rappor à la répose impulsioelle Soi h() la répose impulsioelle d u sysème. Ce sysème es sable si : + h()d < 83

84 V) Filrage V.5) Covoluio Défiiio du produi de covoluio Défiiio géérale (domaie coiu) Cas des sigaux physiques ( causaux) Domaie discre s () e() * e () + e( τ).e ( τ).dτ s() e( τ).e ( τ). dτ N i s e * h e. h k,..., + k k k k i i Covoluio avec répose impulsioelle h() La covoluio avec la répose impulsioelle perme de coaîre la répose du sysème à u sigal quelcoque e(). Rappel : la répose impulsioelle peu êre coue à parir de l équaio différeielle, par le biais de la focio de rasfer de Laplace : s() (e * h)() h( τ)e( τ)dτ 84

85 V) Filrage V.5) Covoluio Illusraios Exemple das le domaie coiu : circui RC e() R C s() /RC h()(/rc)e /RC h(τ) chageme de om de variable τ h(-τ) reoureme τ décalage h(-τ) τ 85

86 V) Filrage V.5) Covoluio Illusraios Exemple das le domaie coiu : circui RC (suie) e(τ) h(-τ) défiiio d u sigal d erée τ muliplicaio e(τ) x h(-τ) τ h(-τ) iégraio de à τ S résula : u poi de la répose recherchée τ résula pour oues les valeurs de τ 86

87 V) Filrage V.5) Covoluio Illusraios Exemple das le domaie discre (suie) Rappel, cas coiu : s k h k * e k k h k i i k N+ e i s() (e * h)() h( τ)e( τ)dτ k,,...,m avec e u sigal échailloé défii par (M) : e h u aure sigal (représea la répose impulsioelle d u filre) défii par (N) : - Résula de la covoluio ere ces sigaux :.x - - Das ce exemple, la covoluio perme ue déecio des bords de l impulsio présee das le sigal log. Exercice Doer l expressio de s 3 (e vérifier sa valeur). 3 s 3 h e h e h e ( ) i i i 87

88 V) Filrage V.5) Covoluio Illusraios Exemples das le domaie discre, à dimesios (raieme d images) (e supposa que le poi ceral de h a pour coordoées (,) e que les idices des ordoées so croissaes du hau vers le bas) ; M aille de l image e N aille du filre N / N / s e * h e. h x,y,,...,m x,y x,y x,y i+ x,j+ y j N / i N / i,j * - - -??????? ? ??? 3? 3????? Les? Peuve predre des valeurs différees selo la maière do so gérés les effes de bord. Remarque : e gééral, N es pris impair, doc N/ doi êre cosidéré comme la divisio eière. Exercice Calculer explicieme s,, e compléer l image résula. 88

89 V) Filrage V.5) Covoluio Illusraios Exemples das le domaie discre, à dimesios (raieme d images) (suie) Aures exemples de filres couramme uilisés : - Filre Laplacie perme d exraire des coours quelle que soi leur orieaio - Filre moyeeur perme de lisser ue image Les filres peuve êre de différees ailles. 89

90 V) Filrage V.5) Covoluio Illusraios Exemples das le domaie discre, à dimesios (raieme d images) (suie) Remarque L opéraio de covoluio peu êre rès coûeuse e erme de emps de raieme. O peu alors irer parie de : - La propriéé suivae de la Trasformée de Fourier : F x() * y() X(f).Y(f) - L exisece de l algorihme de Trasformée de Fourier Rapide (TFR, ou FFT). Le pricipe es alors le suiva : TF TF image(x,x ) * filre(x,x ) IMAGE(f,f ).FILTRE(f,f ) IMAGE(f,f ) image(x,x ) 9

91 V) Filrage V.5) Covoluio Propriéés Commuaivié : x () * y() y() * x() Associaivié : [ x () * y() ]* z() x() * [ y() * z() ] Disribuivié : Eléme eure : impulsio de Dirac Traslaio (ou échailloage) : Exercice Démorer l ue des propriéés [ x () + y() ]* z() x() * z() + y() * z() x () * δ() x() x() * δ( ) x( ) 9

92 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.) Iroducio Iérê Pouvoir réaliser des filres avec des sysèmes umériques (ordiaeur sadard, DSP, circui iégré persoalisé ). Représeaio Correspod à u sysème liéaire do les sigaux d erée e de sorie so échailloés : La référece au emps peu êre omise : es l idice de l échaillo coura du emps discréisé (le sysème es cosidéré comme "empsréel" : à chaque ouvel isa, u échaillo e() ere e u échaillo s() sor. Equaio aux différeces Cocrèeme, u filrage umérique cosise à calculer u erme de la forme : s() a e() + a e( ) a e( P) + b s( ) + b s( ) b s( Q) P Q Ce so les coefficies a i e b i qui déermie les caracérisiques du filre (ype, fréqueces de coupure, ec). Cee équaio es appelée équaio aux différeces. 9

93 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.) Iroducio Réalisaio praique Pour pouvoir calculer cee équaio das u sysème emps réel, le bloc du schéma précéde doi comporer de la mémoire pour les échaillos e(-i) e s(-i) : ypes de filres umériques RIF : à répose impulsioelle fiie ; e compore que les ermes e e(-i) ; permee d obeir des filres à parir d ue répose e fréquece idéale ; les coefficies a i so les échaillos de la répose impulsioelle (ils so souve oés h i ) RII : à répose impulsioelle ifiie ; compore des ermes e e(-i) e des ermes e s(-i) ; permee de syhéiser des filres à parir des caracérisiques de filres aalogiques. 93

94 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.) Iroducio Pourquoi "Répose Impulsioelle Fiie" e "Répose Impulsioelle Ifiie"? Répose "iuiive" : Preos l exemple du filre d équaio de récurrece : s() e() + ks( ) Appliquos lui ue impulsio de Kroecker (δ k {,,,,.}, équivale de l impulsio de Dirac du domaie coiu). - si k>, le sigal de sorie s() peu diverger vers des valeurs - si k, s() garde ue valeur cosae - si k<, s() ed vers quad Comme obeir l équaio aux différeces, à parir du filre recherché? o uilise la rasformée e Z 94

95 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.) La rasformée e Z, ouil d éude des sysèmes échailloés Défiiio TZ d u sigal umérique s() : S(z) s()z Propriéés élémeaires Liéarié Z a s() + a s () as(z) + a S (z) Rappel T. Laplace L a.s() + a.s () a.s(p) + a.s (p) Reard emporel s Z ( ) z S(z) L p s( ) e S(p) Trasformées élémeaires Impulsio Il s agi ici de l impulsio de Kroecker, défiie par δ k {,,, } : Z δ Sigal expoeiel s(t) e at Z k S(z) z e at z z e at 95

96 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.) La rasformée e Z, ouil d éude des sysèmes échailloés Rappel : suies géomériques S u + u + u +... u avec u r. u + r :raiso Somme des N+ premiers ermes : Somme de ous les ermes : S S N N+ r u r + r u lim r Exemple 3 S +,5 +,5 +,5 +...,5 u,5,5,5 u + +,5 S u r r,5,5,75,5,5,5 S r u lim r,5 lim,5,5,5 96

97 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.) La rasformée e Z, ouil d éude des sysèmes échailloés Lie avec la Trasformée de Laplace La TZ es la TL d u sigal échailloé, e posa : T e p z e Démosraio { } + S(p) s()e L s() p d L δ() δ( L ) e p Soi s() u sigal e s e () sa versio échailloée : s () s() e + δ( T ) e + s(t ) δ( T ) e e L S (p) e s(t )e e T p e S(z) T e p z e s(t ) z e 97

98 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.) La rasformée e Z, ouil d éude des sysèmes échailloés Focio de rasfer e Z e répose impulsioelle H (z) S(z) E(z) Z S(z) e(t) δ E(z) k H (z) S(z) H(z) h()z Z{ h() } la focio de rasfer es la TZ de la répose impulsioelle (idem Laplace) 98

99 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.) La rasformée e Z, ouil d éude des sysèmes échailloés De la focio de rasfer e z à l équaio aux différeces Forme géérale de la focio de rasfer e z du filre umérique : H(z) P p a z P p S(z) a + a z + a z a z P p Q Q E(z) b z b z... b z Q q b.z q q E(z) e S(z) représee respeciveme les rasformées e z des échaillos d erée e() (avec correspod à T e ) e de sorie s() couras : E(z)Z{e()} S(z)Z{s()} Z{e(- )}z - E(z) Z{ae a ()+be b ()}ae a (z)+be b (z) (propriéés de reard emporel e de liéarié) s() a e() + a e( ) + a e( ) a e( P) + b s( ) + b s( ) b s( Q) P Q 99

100 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.3) Syhèse des filres Objecif Déermier les coefficies a i e b i des filres RII e les coefficies a i des filres RIF, à parir de caracérisiques souhaiées (ype des filres, ordre, ec). Syhèse des filres RII par Trasformée biliéaire (exemple pour l ordre ) Focio de rasfer de Laplace Focio de rasfer e Z rasformée biliéaire H(p) p H(z) T Y(p) X(p) z z e + Y(z) X(z) a ' + a 'p + a 'p b 'p b 'p a + a z b z + a z b z [ e( )] z E(z) Z Equaio aux différeces s () a e() + a e( ) + a e( ) + b s( ) + b s( ) Fodeme héorique : équivalece de l iégraio y() x() + x( ) x().d y() y( ) + Te

101 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.3) Syhèse des filres Exemple : Filre passe-bas d ordre H(j) + ξj + j Relaios obeues par applicaio de la rasformée biliéaire : a a a k k a a k b ( k ) k b ( ξk + ) k k avec : fe k k + ξk + k πf c Exemple d applicaio umérique f c 5Hz ; ξ, ; f e 44Hz a,6 a a b -,9884 b,98587 s () a e() + a e( ) + a e( ) + b s( ) + b s( ),6e() + e( ) + e( ),9884s( ) +,98587s( )

102 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.3) Syhèse des filres Syhèse des filres RIF par développeme e série de Fourier de la répose fréqueielle Pricipe propriéés imporaes : ) ) F h() H(f) s() N i h()e( i) h() répose impulsioelle H(f) répose e fréquece (module de la FT harmoique) h() coefficies du filre (qui e coie N) les coefficies d u filre RIF peuve s obeir par TFD -

103 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.3) Syhèse des filres Syhèse pas développeme e série de Fourier de la répose fréqueielle (suie) Pricipe Par du cosa que la répose e fréquece désirée es ue focio périodique de période f e (coséquece de l échailloage) o peu la développer e série de Fourier Cas classique : + k e jkπ T k s() c. avec c k T T s().e jkπ T d Ici : + jkπ f f e e H(f) g.e k avec g H(f).e k k fe f e f O aule la parie imagiaire : g H(f).cos k π k df f e fe f,5 Simplificaio : F g H(F).cos( πkf) df k f e Décalage pour causalié : Développeme de () : g k k p passe-bas : h si( π(k p) F ) k c passe-hau : (k p) π h f avec N p si N pair, f jkπ f e df, k,,n- (k p) π () N p si N impair h si ( π(k p) ) k F c + passe-bade, coupe-bade 3

104 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.3) Syhèse des filres Syhèse pas développeme e série de Fourier de la répose fréqueielle (suie) Algorihme du cas passe-bas Lire la valeur de N (ombre de coefficies du filre) Si N pair pn/ sio p(n-)/ Lire la valeur de la fréquece de coupure ormalisée Fc Pour k varia de à N- Si k!p h(k+)si(*pi*(k-p)*fc)/((k-p)*pi); sio h(k+)*fc; Diviser les coefficies h(i) par leur somme //calcul des coefficies h(i) du filre //k-p pour le décalage //sius(x)/x pour x raié à par Programme Scilab correspoda N if modulo(n,) //si N pair pn/; else p(n-)/; //si N impair ed Fc. for k:n- if k~p h(k+)/(k-p)/%pi*si(*fc*(k-p)*%pi); else h(k+)*fc; //cas si(x)/x pour x raié à par ed ed sommesum(h); hh/somme //divisio des coefficies par leur somme 4

105 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.3) Syhèse des filres Syhèse pas développeme e série de Fourier de la répose fréqueielle (suie) Exemple : Réalisaio d u filre passe-bas avec f e 44Hz, f c 44Hz e N passe-bas fréquece de coupure relaive : F c, g si(, π) kπ k k, k-5,,5 h g N e k k p avec p 5 h si(,(k 5 π), k,,9 (k 5) π ) k Résulas obeus : h h h 9 h h 8 h 3.96 h 7 h h 6 h

106 V) Filrage V.6) Filrage umérique V.6.4) Comparaiso des filres RII e RIF Filres RII Avaages - peu de coefficies doc calcul rapide - modélisaio des filres aalogiques (e oamme possibilié d obeir des résoaces) Icovéies - risque d isabilié surou pour les grads faceurs de qualié - les coefficies doive êre codés avec beaucoup de précisio (coséquece du risque d isabilié) - phase o-liéaire (se radui par ue déformaio du sigal). Rm : le emps de propagaio de groupe es défii par : dϕ g d Il correspod au emps de rasfer de l éergie du sigal d erée vers sa sorie. Il doi êre cosa sio le sigal subi ue déformaio par le filre. Filres RIF Avaages - pas de risque d isabilié - phase liéaire - perme de syhéiser impore quelle focio de rasfer (sauf résoaces) Icovéies - ombreux coefficies surou pour les pees raides e les bades passaes éroies 6