CHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR

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1 CHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR. La contrainte budgétaire. ) Définition. Ensemble des aniers de biens ossibles, c est à dire des aniers ui resectent la limite des ressources. Proriétés de l ensemble budgétaire : ensemble des aniers ossibles x x m Les oints de la droite rerésentent une déense égale aux ressources : égalité stricte - vient de la rationalité : as de saturation comlète, donc toujours une raison d utiliser le revenu restant - l ensemble se réduit à la frontière our le consommateur rationnel Pour une droite de budget (ou contrainte budgétaire) ui s écrit x x m

2 l éuation de cette droite rerésentée sur un grahe x,x eut s écrire la ente de cette droite m x x un délacement sur cette droite dans le sens des x croissants indiue ue l on asse ar des aniers de biens dans lesuels on remlace les unités du bien ar des unités sulémentaires de ) Changement des conditions du choix : délacements de la contrainte budgétaire. a) variation du revenu, les rix étant inchangés : la contrainte se délace selon des arallèles (la ente ne change as uisu elle est égale en v.a. au raort des rix

3 les oints d intersection avec les axes rerésentent la uantité maximum ue eut acuérir le consommateur en déensant tout le revenu à acheter seulement ce bien uand le revenu augmente (les autres facteurs étant inchangés) le consommateur augmente roortionnellement ses uantités consommées de chacun des biens b) Variation des rix (autres facteurs inchangés) : la droite ivote autour d un oint fixe, le maximum ue l agent eut acuérir de l autre bien ici baisse du rix de l alimentaire : la uantité maximale de ce bien augmente ; si le rix augmente : ivote dans l autre sens ; symétriue our l autre bien

4 3) Le choix : la situation otimale, rerésentation grahiue de la solution. confrontation des consommations ossibles avec les références : carte d indifférence et droite de budget a) le cas normal : droite de budget tangente à la courbe d indifférence, - armi les aniers de biens ossibles (budget) le oint de tangence rerésente celui ui est situé sur la lus haute courbe d indifférence - en ce oint uisue le TMS rerésente la ente de la tangente à la courbe on a TMS la satisfaction est maximale uand le TMS est égal au raort des rix b) références coudées : segments corresondant à des conditions de consommation distinctes (roortion) ; ne resecte as les conditions du raisonnement mais ossibilité de définir la situation otimale : oint de la droite sur la lus haute courbe d indifférence

5 se raroche de la comlémentarité stricte (coude) et de la substituabilité arfaite (segment de droite) ; solutions : o entre les limites ue sont les entes des segments : seul oint d éuilibre (détermination seulement grahiue : as de dérivée définie) o aux limites : solutions en coin (voir lus loin) c) solution en coin : cas articuliers situation limite ui indiue une certaine saturation our le bien : la uantité ne croît as indéfiniment

6 comte tenu des références et des conditions de rix, le C ne consomme u un bien, oint de la droite de budget situé sur l axe x : lus haute courbe d indifférence ; TMS as nécessairement égal au raort des rix : en fait inégalité TMS x / x signifie u une baisse légère du rix du bien non consommé (x) ne changera rien à la consommation d) même tye de solution our le cas limite des biens arfaitement substituables : i) soit solution en coin (ente de la droite de budget différente de celle des courbes d indifférence) ii) soit une infinité de solution (même ente). 4) Fonction d utilité et résolution analytiue : le rogramme du consommateur. a) définition : on aelle rogramme l ensemble constitué ar la fonction d utilité exrimant les références de l agent u il cherche à maximiser ar son choix des uantités resectives des biens, et ar la contrainte de ressources ue doivent resecter ces uantités, comte tenu de leur rix. b) formulation générale Max U, R il recherche les uantités exactement les ressources * et * ui aortent la satisfaction maximale en déensant c) ère méthode de résolution (déduite de l observation grahiue et de la règle obtenue : égalité des entes de la droite de budget et de la tangente à la courbe d indifférence, le TMS) : soit le rogramme d un consommateur : U / / 4 on détermine les entes des fonctions en les dérivant arès avoir exrimé en fonction de, soit les dérivées remières sont U 4

7 on écrit ue ces entes sont égales soit finalement d U U d d 4 d U / / on remlace x ar sa valeur en y dans la contrainte budgétaire our obtenir les valeurs otimales, soit : U * * * donc d) la méthode ar substitution : à artir de la contrainte budgétaire on exrime l une des variables en fonction de l autre 4 et on remlace y ar cette valeur dans la fonction d utilité 4 / U / on maximise cette fonction en annulant la dérivée ar raort à la variable restante x (dérivée d un roduit dont un des termes est une fonction de fonction : règle de dérivation d un roduit et règle de la dérivation en chaîne - voir aide-mémoire en fin d introduction)

8 du d 4 / / / / / / / / 4 4 * * * 4 * * e) La méthode du Lagrangien : on forme une combinaison de la fonction à maximiser et de la contrainte à resecter ; le Lagrangien s écrit dans le cas général :,, L U R cette fonction est maximisée lorsue ses dérivées remières sont nulles our les remières ont obtient U, 0 ' * * U, 0 ' * * R 0 U, ' * * U, ' * * ui donne à nouveau l égalité fondamentale caractérisant la solution otimale : égalité des utilités marginales ondérées ar les rix f) alication à la fonction récédente : L,, / / 4

9 L L / / 0 / / 0 L 4 0 on en déduit l égalité des remières exressions, soit / / / / on détermine les solutions otimales en remlaçant dans la contrainte comme récédemment.