f( x ) = ( x + ( 3) ) 2 + (+4) = (+1) x 2 + ( 6) x + (+13),

Transcription

1 TRANFORMATION ÉLÉMENTAIRE de la FONCTION QUADRATIQUE Q( ) = Dans l ensemble des figures i-dessous, la fontion quadratique Q() = est traée en rouge et gras. uite à une observation ritique et attentive de es figures il importe de aratériser l effet des deu transformations élémentaires, homothétie de rapport a et translation d amplitude k, sur le graphique de la fontion quadratique. a = p = + p = a = f() = a, a { ] 0 ; ], }. f() = ( + p ), p {[ ; ], } Les transformées f() = a s obtiennent de la fontion quadratique Q() = par des homothéties de rapports a, où le paramètre a est hoisi dans l intervalle ] 0 ; ], par pas de 0,. Transformées de Q() = par des translations horiontales d amplitude p, où le paramètre p est hoisi dans l intervalle [ ; ], par pas de 0,. q = q = f( ) = + q, q {[ ; ], } signifiant que q est pris dans l intervalle [ ;] par pas de. f( ) = ( + ( ) ) + (+) = (+) + ( 6) + (+), le graphe de f est donné par : Transformées de Q() = vertiales d amplitude q par des translations { ( ; f( ) ) } = { ( ; ) + ( ; ) }. Transformées de Q() = par omposition d une translation horiontales d amplitude (+) et d une translation vertiales d amplitude (+).

2 ÉTUDE du TRINÔME f( ) = a + b + à partir des TRANFORMATION ÉLÉMENTAIRE de Q( ) = De manière générale la donnée des oeffiients du trinôme du seond degré permet de dérire la parabole omme omposée de transformations élémentaires : f( ) = a + b + = T q H a Q T p (), où Q() = est la fontion quadratique, T k () = ( + k ) est la translation d amplitude k, H a () = a est l homothétie de rapport a. En effet : { a, b, } f( ) = a + b + = a a + b a b a + a En posant ( p q ) = a f( ) = a b a b a a a a + b a a alors la parabole prend la forme f( ) = a ( p ) + q. a a ( p ) ( p ) a ( p ) a ( p ) + q T p Q H a T q a a + b a a {a ; b ; } = f() = ( ) {a ; b ; } = f() = (+) L intérêt d une telle déomposition devient évident quand il est question de onnaître la réiproque r f. En effet : f( ) = a ( p ) + q = = Il est aisé de démontrer que la droite = p = b a q a + p est l ae de smétrie de la parabole. r f ( ) = En effet des préimages à distanes X de et ae de smétrie ont des images égales : q a + p =. f( p + X ) = a ( ( p + X ) p ) + q = a X + q = a ( X ) + q = a ( ( p X ) p ) + q = f( p X ) De plus f( p ) = a ( p p ) + q = q et ( p, q ) = b a a est appelé le sommet de la parabole.

3 Les ZÉRO du TRINÔME : Les éros de la fontion f( ) = a + b + sont donnés par l ensemble Zer( f ) formé des raines de l équation f( ) = a + b + = 0, est-à-dire Zer( f ) = I R f( ) = 0. Or f( ) = 0 a a + b a a = 0 a = Δ ( a), où (delta) : Δ = b a, est appelé le disriminant dans l équation du seond degré. Nous voons à e stade que la reherhe de solutions ne peut faire de sens que si e Δ est positif ou nul, puisque les arrés sont positifs ou nuls, et que a = Δ ( a) ne peut ontenir de solutions réelles que si Δ 0. ) i Δ < 0 la reherhe des raines s arrête don ii et nous pouvons ertifier qu alors Zer( f ) =. ) i Δ 0, alors Δ eiste bel et bien dans I R et nous pouvons transformer la dernière équation en : a Δ a = 0, différene de deu arrés que nous fatorisons : a + Δ a a Δ a = 0 + Δ a Δ a = 0 Zer( f ) = = b Δ a = b + Δ. a ) A l évidene, si Δ = 0, alors l ensemble des éros se réduit au singleton Zer( f ) = FORMULE de FRANÇOI VIÈTE : La reherhe des raines peut être simplifiée dans ertains as. = b. a En supposant l eistene de deu raines et qui seraient distintes ou onfondues, nous pouvons identifier f( ) = a + b + = a ( ) ( ) = a a ( + ) + a, I R, et obtenir : a ( + ) = b a = + = b a = a qui est le sstème de formules de Viète. Ces formules postulent l eistene des raines et nous savons que e n est le as que si le disriminant Δ = b a 0. EXEMPLE : Pour résoudre, a) = 0, on reherhe deu raines et telles que b) = 0, on reherhe deu raines et telles que + = 7 =, soit ( ; ) = ( ; ). + = =, soit ( ; ) = ( ; ). Le tableau de la page suivante réapitule les informations sur le trinôme que nous avons établies.

4 f() = a + b + l ae de smétrie : = b a le sommet : = = b a a < 0 a > 0 b a a les raines du trinôme : Zer = b ± les oeffiients du trinôme : ( a ; b ; ) son disriminant : ( delta) = b a a I R < 0 ae de smétrie ae de smétrie Zer = ; le graphique de f n intersete pas l ae des absisses. Pour tout, son image f() est de même signe que le oeffiient a. = 0 ae de smétrie ae de smétrie Zer = b a ; on dit alors que le trinôme a une raine double ou qu il a deu raines onfondues. Pour tout b a, son image f() est de même signe que le oeffiient a. > 0 ae de smétrie ae de smétrie Zer = b ± a ; on dit alors que le trinôme a deu raines distintes, notées et. Nous supposerons <. Pour tout [ ; ], f() prend le signe du oeffiient a. Pour tout ] ; [, f() prend le signe opposé à elui de a. Les raines et ont même signe si a > 0 ; elles sont de signes opposés si a < 0, et enfin, si = 0, alors = 0 et = b a.

5 EN de VARIATION d une PARABOLE : f() = a + b + a < 0 a > 0 b a + f() a b a b a + f() + + a b a EXERCICE En se référant au inq graphiques i-ontre et idessous, déterminer le oeffiient a pour haune de es paraboles qui sont de la forme f() = a 6 ( rép : - -,,,, ) En se référant au quatre graphiques i-dessous, déterminer les oeffiients a et pour haune des quatre paraboles qui sont de la forme f() = a + ( rép : (, ), (, ), (, ), (, ) ) En se référant au quatre graphiques i-dessous, déterminer les oeffiients a et pour haune des quatre paraboles qui sont de la forme f() = a ( b ) ( rép : (, ), (, ), (, ), (, 6 ) )

6 En se référant au quatre graphiques i-dessous, 7 déterminer les oeffiients a et pour haune des quatre paraboles qui sont de la forme f() = a ( b ) + ( rép : (, 8, ), (,, ), (, 0, 0 ), ( ; ; ) ) Déterminer la fontion quadratique f dont le graphe passe par les points A( ; ), B( ; ) et C( ; 6 ). 6 oit la fontion quadratique f() = a ( b ) +. Montrer que pour tout réel k on peut identifier f ( b a k ) = f ( b a + k ). En déduire l absisse du sommet de la parabole qui représente f. ( rép : f() = ) 7 Déterminer la fontion quadratique f dont le graphe passe par les points A( ; ) et a pour sommet ( ; ) ( rép : f() = + ) 8 Caluler les éros des fontions quadratiques suivantes et déterminer dans haque as le sommet de la parabole. Faire l étude du signe de haune de es fontions quadratiques. ) f ( ) = + + ) f ( ) = 9 7) f 7 ( ) = ) f ( ) = + ) f ( ) = + 8) f 8 ( ) = + ) f ( ) = ( ) ( ) 6) f 6 ( ) = + ( rép : ) et ( ; ) ) { 0 ; 9 } et ( 9, 8 ) 7) { ; } et ( 7 8, 6 ) ) { ; } et (, 9 8 ) ) { ; } et ( 0 ; ) 8) {, } et (, 6 ) ) { ; } et ( 7, 9 ) 6) et ( 6, )

7 9 Dans l'ensemble des ourbes paramétrées de la forme P m ( ) = ( m ) m + ( m + ) ) Déterminer elles qui ne sont pas une ourbe parabolique. ) Déterminer elles qui ont une raine double. ) Vérifier que toutes es ourbes paramétrées passent par deu points fies, omme le montre la figure idessous. Déterminer algébriquement les oordonnées de es deu points fies. )* Déterminer l'intervalle dans lequel le paramètre m peut être hoisi de sorte que les raines de haque P m soient omprises entre 0 et. ) P ( ) = + 9 est une droite. La fig. de droite i-dessus permet de visualiser ette droite ainsi que la suite des sommets de es paraboles ainsi que elles de leurs raines qui est de la forme b a. ) Pour tout m, P m ( ) est une parabole de disriminant m = ( m) (m ) (m+6) = (m m+6). Pour que P m ( ) admette une raine double il faut néessairement que m = 0 ; or (m m+6) > 0 m. C est don dire qu auune de es paraboles paramétrées n admet de raine double, et plus préisément ela signifie que toutes ont eatement deu raines distintes. ) Partant de q m : P m ( ) = P q ( ) ( m ) m + ( m + ) = ( q ) q + ( q + ) ( m q ) ( + ) = ( m q ) ( ) ( ) = 0 { ; }. Les points fies sont don { { ; P k ( ) = } ; { ; P k ( ) } }, en partiulier pour k =. ) Cette question est plus diffiile que les préédentes et mérite une attention partiulière. L informatique nous permet d etraire omme une figurine voilée, un sous-ensemble des réponses possibles, montrant ainsi que le problème a bien une solution. Mais ela ne répond pas préisément à la question. Pour que les deu raines soient omprises entre 0 et, nous devons vérifier : 0 < m ± m m+6 (m ) = m ± m m+6 m <, pour m. ahant que r(m) = (m m+6) > 0, m, nous aurons néessairement : m m m+6 < m + m m+6, m. 0 - De plus, r(m) est une parabole de sommet. -0

8 Conséquemment, nous pouvons nous fonder sur le fait que : m m m+6 m < m + m m+6 m, si m > et m m m+6 m > m + m m+6 m, si m <. Comme le montrent les fig. i-ontre, l étude fontionnelle de ± +6 permet de vérifier que : (a) < (b) +6 <, et + +6 ] 0 ; [ ] 0 ; [, si <. Ce tpe d étude relève du programme de ème et plus partiulièrement de l approhe des onepts d infiniment grand, d infiniment petit ou de limite et de omportement asmptotique. il est hors de propos d antiiper e tpe de reherhe analtique, il reste intéressant de s appuer sur e que nos petites mahines nous permettent d appréhender en partie. i m > ( (m ) > 0 ) : < m m m+6 m < m < m m m+6 < ( m ) - m m+6 < m+ et m m+6 > m, + +6 qui sont vérifiées pour tout m > ; en effet : m m+6 < m +m+ et m m+6 > 9 6m+m m > et m >. i m < ( (m ) < 0 ) : < m m m+6 m < m > m m m+6 > ( m ) m m+6 > m+ et m m+6 < m, qui sont vérifiées semblablement pour tout m <. i m < ( (m ) < ) : 0 < m + m m+6 m < 0 > m + m m+6 > m Cei nous ramène au sstème d inéquations suivantes : m > m m+6 et m m+6 > m oit : m > m m+6 et m m+6 > m + m+ (m +m ) = (m+) (m ) > 0 m I R\ [ ; ] et m <. oit finalement : m <.

9 EXERCICE UPPLÉMENTAIRE sur les DROITE et les PARABOLE a) Représenter graphiquement le trinôme T : ( ) et la fontion affine d : b) Déterminer algébriquement : l image de ( ) par T, la préimage de ( ) par d, les préimages de ( ) par T, les intersetions de d ave les deu aes du repère O, les éros de T ainsi que sont ordonnée à l origine, l ae de smétrie de la parabole T, les oordonnées de son sommet, pour quelle(s) valeur(s) de vérifie-t-on d() T(). sur e dernier intervalle quelle est la distane vertiale maimale entre la droite et la parabole?. T( ) = 6 ; d ( ) = {+ } ; T ( ) = { 6 ; 0 } d(0) = od d = et d (0) = { d = +} T() = ( ) = = ( ) ( + 8 ) 6 T (0) = { ; } = { 8 ; } et T (0) = od t = 6 ; Δ T = ; sommet I = I R d() T() = [ ; +6 ] éléments de orretion : ar d() T() ( ) ( 8 ) 0 Le maimum herhé est atteint au sommet de la parabole de la ourbe des distanes vertiales entre la parabole et la droite : δ() = T() d() = La distane maimale herhée est don δ(6) = T(6) d(6) =, qui est atteint en * 6. = 6,. + i od t * parabole des distanes vertiales : δ() = od d d Ae de smétrie i

10 EXERCICE : Déterminer l epression algébrique de la fontion f de degré deu (parabole), passant par les trois points A( ; ), B( ; ) et C( ; ). Indiation : résoudre un sstème de trois équations linéaires à trois inonnues. Vérifier le résultat obtenu en a) en alulant f( ), f() et f() ainsi que l ae de smétrie de la parabole. i la fontion f est de degré elle a la forme algébrique, f( ) = a + b +, où ses oeffiients { a, b, } sont des onstantes réelles qu il nous faut déterminer selon les onditions données, à savoir : A(, ) f f( ) = B(, ) f f() = C( ; ) f f() = A Ae de smétrie C f( ) = f( ) = a ( ) + b ( ) + = f() = f() = a () + b () + = f() = f() = a () + b () + = B Cei nous onduit à résoude le sstème : a b + = () ( * ) a + b + = () a + b + = () Les deu premières équations onduisent à : a + = + b = b b = b =. Dès lors, le sstème prend la forme ( * ) a a = = () () a + = () a + = (-) a + = 7 () Cei nous permet d identifier { a, b, } = et finalement f() = +. Le disriminant de ette parabole vaut : Δ = b a = ( ) = 7 9. Le sommet de ette parabole f est donné par b a Δ a L ae de smétrie de ette parabole f est donné par la droite d équation = b a = 8. Epliquer pourquoi la formule de Viète k = b ± Δ a pour la résolution des équations du seond degré de la forme a +b + = 0 n est pas appliquable à la résolution d une équation du premier degré de la forme p +m = 0.