Trigonométrie. Or x ] 0; 2[, Le projeté orthogonal de M sur (OI) est le point C et le projeté orthogonal de M sur (OJ) est le point S. =OC car OM =1.

Transcription

1 Trgonométre Défnton du snus et cosnus d'un réel quelconque. (révson de seconde) Len avec la défnton du snus et du cosnus d'un angle agu (dans un trangle rectangle) vue au collège. S O J C I Cette généralsaton est obtenue à l'ade du cercle trgonométrque mun du repère orthonormal drect O ;OI ;OJ, où un angle agu de trangle rectangle correspond à une mesure (en radans) de cet angle avec ] 2[ 0;. On assoce au nombre le pont unque du cercle trgonométrque tel que :OI,O = IO =. Or ] 0; 2[, Donc appartent au quart de cercle (entre I et J). Le proeté orthogonal de sur (OI) est le pont C et le proeté orthogonal de sur (OJ) est le pont S. Dans le trangle OC rectangle en C, on a: cos = cos IO = cos CO = OC O sn =sn IO =sn CO = C O =OC car O =1. =OS car O =1 et OS= C. Par constructon, on a:o=ocos=cos OIsn OJ donc: O cos sn dans la base OI,OJ et cos ; sn dans le repère O,OI,OJ Cec va être la défnton générale de sn et de cos, même pour les nombres stués à l'etéreur de l'ntervalle ] 2[ 0 ;. Vor auss page 260 du lvre qu trate ce suet. Défntons : Pour tout réel, l este un pont unque du cercle trgonométrque mun du repère orthonormal drect O,, tel que,o = + 2kπ où k z. Le cosnus et le snus de sont les coordonnées de dans le repère O,,. On a : cos ; sn c est à dre : O=cos sn. Pour tout réel 2 k où k z, la tangente de est défne par : tan = sn cos.. Scard - E:\math\Cours\1S\angles_trgo_produt_scalare\trgo_polares.odt - 1 -

2 Proprétés : Pour tout réel, on a: sn 2 cos 2 =1 que l'on écrt auss sous la forme: sn 2 cos 2 =1. cos = cos La foncton cosnus est donc pare. sn =sn La foncton snus est donc mpare. Pour tout k z, cos 2 k = cos et sn 2 k =sn. Les fonctons cosnus et snus sont donc pérodques de pérode 2π, car T =2 est le plus pett réel strctement postf tel que: cos T =cos et sn T =sn. 1cos 1 et 1sn 1 ngles assocés :. Scard - E:\math\Cours\1S\angles_trgo_produt_scalare\trgo_polares.odt - 2 -

3 Vsualsaton des snus et cosnus sur le cercle trgonométrque. C est un outl ndspensable, qu l est utle de ben vsualser afn d être capable de retrouver rapdement les valeurs ndquées c-dessous. La connassance du contenu du tableau c-dessous est vrament ndspensable Snus et cosnus de l angle orenté de deu vecteurs non nuls : S u et v sont deu vecteurs non nuls, on désgne par cos u, v et sn u, v le cosnus et le snus d une mesure quelconque de l angle u, v.. Scard - E:\math\Cours\1S\angles_trgo_produt_scalare\trgo_polares.odt - 3 -

4 Coordonnées polares d un pont du plan : O=r Le plan est mun d un repère orthonormal drecto,,. tout pont O, on assoce les réels r et tels que : r=o =,O 2 k où k z. Sot le pont défn par: O= ro. On a alors : O = r O avec O =O =r0. Donc : O =O O. Donc O=1. Cec prouve que le pont est stué sur le cercle trgonométrque. De plus, r étant un réel postf,o eto sont de même sens. On a,o =,O = 2 k où k z. Concluson : Tout pont du plan ( O) peut être repéré par un couple r ; où r est un réel strctement postf et un réel défn à 2kπ près (k z). r est la dstance O et est une mesure de l angle orenté,o. Tout couple ( r ; ) ans défn est appelé couple de coordonnées polares de. On écrt : r ;. Remarque : S l on chost pour la mesure prncpale de,o, le couple r ; est alors unque. Coordonnées polares et coordonnées cartésennes d un pont du plan : Repérage par les coordonnées cartésennes Repérage par les coordonnées polares ( O) y O=r O= y Le pont est repéré par la donnée du couple de ses coordonnées cartésennes (, y ) O = r et,o =,O = 2 k où k z. Le pont ( O) est repéré par la donnée du couple de ses coordonnées polares ( r, ). Scard - E:\math\Cours\1S\angles_trgo_produt_scalare\trgo_polares.odt - 4 -

5 Lason entre coordonnées cartésennes et coordonnées polares. Coordonnées polares Coordonnées cartésennes Coordonnées cartésennes Coordonnées polares =r.sn r r= 2 +y 2 sn sn y=r.cos cos o O y cos Le pont a pour coordonnées cartésennes : cos ; sn. Or O= ro. donc a pour coordonnées cartésennes : r cos;r sn. Le pont a pour coordonnées cartésennes ; y. donc O = r= 2 y 2. Donc : cos= 2 y et y sn = 2 2 y. 2 En résumé, s ; y : coordonnées cartésennes et r ; : coordonnées polares = r cos y=r sn r = 2 y 2 cos= 2 y 2 y sn = 2 y 2 tan= y Par eemple : 1) Sot tel, O = 3 et O = 2. Les coordonnées polares de sont : 2 ; 3 Les coordonnées cartésennes de sont : =2 cos 3 =2 1 2 = 1 et y=2 sn 3 = =3 Donc 1 ;3 2) Sot de coordonnées cartésennes : 3 ; 4. On a : O 2 = = 9 16=25. Donc O =5 et en notant =,O 2 k où k z, on a : cos= 3 5, sn = 4 5 et tan= 4 3. La calculatrce donne : 1,33 rad 51,3.. Scard - E:\math\Cours\1S\angles_trgo_produt_scalare\trgo_polares.odt - 5 -

6 Formules d addton. O ; ; est un repère orthonormal drect. u, v et u ' sont tros vecteurs untares tels que : u est tel que :,u= a 2 k 1 où k 1 v est tel que : u, v =b 2 k 2 où k 2 u ' est tel que : u,u ' = 2 2 k 3 où k 3 Dans la base orthonormale drecte ;, on a :,u= a 2 k 1 où k 1 Donc, par défnton: u=cos a sn a Dans la base orthonormale drecte u ; u ', on a : u, v =b 2 k 2 où k 2 Donc, par défnton:v= cos b usn bu '. D après la proprété de Chasles, on a : ; u '= ;uu ; u '=a 2 2 k 1 k 2 =a 2 2k 4 où k 4 Z Dans la base orthonormale drecte ;, on a donc : ; u '=a 2 2k 4 où k 4 Donc, par défnton: u '=cos a 2 sn a 2. Or cos a 2 =sn a et sn a 2 =cos a. On en dédut donc que: u '=sn a cos a. Dans l epresson de v dans la base u ; u ' : v= cos b usn bu ', remplaçons u et u ' par leurs epressons dans la base ;. Cela donne : v= cos busn bu '= cos b cos a sn a sn b sn a cos a. C est à dre : v= cos b cos a cos b sn asn b sn a sn b cos a. Cec peut auss s écrre : v= cos a cos bsn a sn b sn a cos b cos a sn b. D autre part, d après la proprété de Chasles, on a auss : ;v = ;uu ;v = ab 2 k 1 k 2 = ab 2k 5 où k 5 Dans la base orthonormale drecte ;, on a donc : ;v= ab 2k 5 où k 5 Donc, par défnton : v= cos ab sn ab. On peut donc conclure que, pour tout a R et b R, on a : cos a b=cos a cos bsn a sn b et sn ab=sn a cos bcos a sn b. Scard - E:\math\Cours\1S\angles_trgo_produt_scalare\trgo_polares.odt - 6 -

7 Formules de soustracton. En écrvant que ab= a b, et sachant que : cos = cos et sn =sn, on obtent : cos ab=cos [ ab]=cos a cos bsn a sn b=cos a cos bsn a sn b. sn ab=sn [ab]= sn a cos bcos a sn b=sn a cos bcos a sn b. Concluson : cos a b= cos a cos bsn a sn b et sn ab=sn a cos bcos a sn b Formules de duplcaton. En écrvant 2 a=aa, on peut alors applquer les formules d addton dans ce cas partculer. Cela donne : cos 2 a=cos a a=cos a cos asn a sn a=cos 2 asn 2 a. Sachant que cos 2 asn 2 a=1, on peut auss écrre : cos 2 a=2 cos 2 a1 ou cos 2 a=12 sn 2 a. De même : sn 2 a= sn a a=sn a cos acos a sn a= 2 sn a cos a. Résumé de toutes les formules de trgonométre à connaître. Dans les formules c-dessous, a et b sont deu réels quelconques. Pérodcté 2 Pour tout k Z, cos a 2 k = cos a Pour tout k Z, sn a2 k=sn a ornées 1 cos a1 et 1 sn a1 Pythagore cos 2 asn 2 a=1 Tangente Pour a sn a 2 k ( k Z), tan a= 2 cos a symétre d ae O ; cos a= cos a sn a=sn a symétre d ae O ; cos a=cos a sn a=sn a symétre de centre O cos a=cos a sn a=sn a symétre d ae O ; ;) cos 2 a =sn a sn 2 a = cos a rotaton d angle 2 cos 2 a =sn a sn 2 a = cos a Sommes et dfférences cos a b=cos a cos bsn a sn b cos a b=cos a cos bsn a sn b sn ab=sn a cos bcos a sn b sn ab=sn a cos bcos a sn b Double cos 2 a=cos 2 asn 2 a cos 2 a=2 cos 2 a1 cos 2 a=12 sn 2 a sn 2 a=2 sn a cos a. Scard - E:\math\Cours\1S\angles_trgo_produt_scalare\trgo_polares.odt - 7 -