Corrigé transformateurs triphasés Cours et exercices

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1 Exercice I Répondre ux questions suivntes Corrigé trnsformteurs triphsés Cours et exercices. L puissnce ctive nominle est indiquée sur l plque signlétique d un trnsformteur : vri ou fux? C'est fux, c'est l puissnce pprente qui est indiquée sur l plque. 2. L plque signlétique d un trnsformteur triphsé indique 20 k/ 420. Lorsqu il fonctionne à vide, quelle vleur ffiche un voltmètre brnché entre un fil de phse et le neutre u primire? Au secondire? Les indictions concernent les tensions composées et ce sont les tensions simples qui sont demndées, il fut donc diviser 20 k pr u primire ce qui donne,5 k et diviser 420 pr u secondire ce qui donne Le trnsformteur ci contre (ci dessus à droite) fonctionne dns les conditions nominles, lquelle des indictions d mpèremètre doit figurer sur l plque signlétique? L plque signlétique indique l vleur efficce des cournts en ligne c'est à dire 55 A ici. 4. Clculer les rpports de trnsformtion des deux trnsformteurs décrits ci dessous (essis à vide). Le rpport de trnsformtion est obtenu en divisnt : l vleur efficce des tensions secondires simples pr l vleur efficce des tensions primires simples l vleur efficce des tensions secondires composées pr l vleur efficce des tensions primires composées Attention : ps de «mélnges» entre les tensions simples et composées. Trnsformteur n leurs efficces des tensions composées primires 20 k simples secondires 250 Tensions simples : ou tensions composées : m= 250 =2, m= =2,6.0 3 Trnsformteur n 2 leurs efficces des tensions composées primires 20 k composées secondires 420 Tensions simples : m= =2,6.0 3 ou tensions composées : m= =2,6.0 3 Corrigé trnsformteurs triphsés Pge TS ET

2 5. Déterminer l indice horire correspondnt u digrmme de Fresnel ci contre : Il fut comprer l'ngle entre deux tensions homologues : est l grnde iguille et l petite qui indique 3 heures. 6. Donner le nom de l tension homologue à c. Plcer c et s tension homologue sur le digrmme vectoriel. L tension homologue à c est CA. Pour les plcer, on utilise les reltions CA = C A et c = c A c C c b CA A B Exercice II Déterminer les rpports de trnsformtion en fonction du rpport du nombre de spires et les indices horires des trnsformteurs représentés ci dessous (on note et n 2 le nombre de spires pr enroulements primires et secondires) : Corrigé trnsformteurs triphsés Pge 2 TS ET

3 . Tringle étoile 2. Étoile étoile A B C b c Pour l colonne supérieure, il est possible d'écrire : soit pour les vleurs efficces des tensions composées primires et simples secondires s : s n p. En remplçnt pr = p ou s pr s, on obtient s n p s n p ce qui donne m= s = n 2 p Pour l'indice horire, on utilise l reltion : est en phse vec. Il fut plcer ces deux vecteurs sur un digrmme de Fresnel ( = A B ) pour constter que l'indice horire est égl à ou Pour l colonne supérieure, il est possible d'écrire : A soit pour les vleurs efficces des tensions simples primires p et secondires s : s p. ce qui donne m= s p Pour l'indice horire, on utilise l reltion A : est en phse vec A et l'indice horire est égl à Tringle étoile A B C b c 4. Étoile zigzg On repère les tensions A,, c2 et sur le schém : Pour l colonne supérieure, il est possible d'écrire : n AC soit pour les vleurs efficces des tensions composées primires et simples secondires s : s L loi des milles sur l portion de circuit en rouge n p. En remplçnt permet d écrire : + c2 = 0 soit pr = p ou s pr = c2 s, on obtient = n Les enroulements dont les tensions sont A et 2 s n p ou sont sur l même colonne, il en est de même pour ceux dont les tensions sont C et c2. Les reltions Corrigé trnsformteurs triphsés Pge 3 TS ET

4 s ce qui donne m= s = n 2 p Pour l'indice horire, on utilise l reltion AC : est en phse vec AC. Il fut plcer ces deux vecteurs sur un digrmme de Fresnel ( AC = A C ) pour constter que l'indice horire est égl à. Exercice III On considère le trnsformteur dont le schém est donné ci contre :. Déterminer son rpport de trnsformtion en fonction du nombre de spires u primire (noté ) et du nombre de spires u secondire (noté n 2 ). Pour l colonne supérieure, il est possible d'écrire : b A soit pour les vleurs efficces des tensions n2 c2 n2 pour les tensions s écrivent = et = A n C n En remplçnt et c2 pr leurs expressions en fonction de A et C, on trouve : n2 n2 n2 n2 = A C = ( A C ) = AC n n n n D'près cette reltion est en phse vec AC et l'indice horire est égl à. Pour les vleurs efficces : s donc m= n 2 composées primires et simples secondires s : s p. En remplçnt pr = p ou s pr s, on obtient s n p ou s m 2. Déterminer son indice horire. donc Les vecteurs de l éqution b n A sont plcés sur un digrmme (voir ci contre). Les tensions b et sont homologues. b est en retrd de 30 sur, l indice horire est égl à. (Les soulignements devrient pprître sur le schém.) 3. L vleur efficce nominle de l tension ux bornes d un enroulement primire est de,5 k. Déterminer le rpport des nombres de spires secondire et primire si l tension composée à vide côté secondire une vleur efficce de 40. L tension ux bornes d un enroulement primire correspond à une tension simple : l vleur efficce d une tension composée u primire est égle à, k. Corrigé trnsformteurs triphsés Pge 4 TS ET

5 D près ce qui précède m= b = n 2 soit n 2 = b = =35, ne chrge, constituée de trois résistnces de Ω couplées en étoile, est brnchée u secondire. Déterminer les intensités efficces des cournts primires et secondires. Le trnsformteur est supposé prfit (l énoncé ne donne ucune vleur pour les «défuts»). L tension ux bornes d une résistnce est une tension simple u secondire soit environ 238. L loi d Ohm permet d écrire que l intensité efficce est de 238 A. 40 Reltion entre les intensités efficces u primire et u secondire : I = mi2 = = 4,87 A 20.0 Exercice I On considère le trnsformteur dont le schém de câblge est indiqué ci contre, il est supposé prfit : Plque signlétique Puissnce pprente : 30 ka Primire : 20 k, secondire : 380 Secondire 200 A. Indiquer les conditions pour que ce trnsformteur soit considéré comme prfit. Les résistnces des enroulements sont nulles (ps de pertes pr effet Joule). Il n y ps de fuites de flux, l permébilité du circuit mgnétique est infinie donc s réluctnce est nulle. Il n y ps de pertes dns le fer. 2. Déterminer son indice horire. Les enroulements dont les tensions sont A et (voir schém) sont sur l même colonne, il en est de même pour ceux dont les tensions sont B et b2. Les reltions pour les tensions s écrivent et A b2 B L loi des milles sur l portion de circuit en rouge permet d écrire : est en phse vec A, b2 est en phse vec B. Le vecteur est plcé à prtir de l éqution = b2 Indice horire (trnsformteur Yz) Autre méthode : en remplçnt et b2 pr leurs expressions en fonction de A et B, on obtient l éqution : n A n 2 n B ( n A B ) n AB est en phse vec, on retrouve l indice horire égl à. + b2 =0 soit = b2 3. Exprimer le rpport de trnsformtion en fonction de n 2 (nombre de spires d un enroulement secondire) et (nombre de spires d un enroulement primire). Corrigé trnsformteurs triphsés Pge 5 TS ET

6 et b2 sont remplcés pr leurs expressions en fonction de A et B, on obtient l éqution A n 2 B ( A B ). Pour les vleurs efficces : = b donc m= b = n 2 4. Ce trnsformteur est limenté pr un système direct de tensions triphsées de vleur efficce 20 k et limente une chrge triphsée constituée de trois résistnces de 4 Ω couplées en tringle.. Représenter le montge. b. Déterminer le cournt dns un élément de l chrge (module et déphsge pr rpport à l tension à ses bornes). Les tensions composées u secondire ont pour vleur efficce 380. ne résistnce est donc prcourue pr un cournt d intensité : J 2 = 380 =95 A. Le déphsge entre le cournt et l tension pour une résistnce 4 étnt nul, j c (t) est en phse vec u c (t) ; il en est de même pour j b (t) et u b (t) et pour j cb (t) et u cb (t ). c. Déterminer le cournt en ligne (module et déphsge pr rpport à l tension simple qui lui est ssocié). L intensité j c (t) (résistnce «du hut») est en phse vec u c (t) (voir le schém ci dessus et le digrmme vectoriel de l pge suivnte). Le vecteur ssocié à l intensité i (t) est plcé sur le digrmme de Fresnel. De même que J c est en phse vec c, J b est en phse vec b. L chrge triphsée est résistive, les intensités en ligne (i (t), i b (t) et i c (t)) sont en phse vec les tensions simples (v (t), v b (t) et v c (t)). L puissnce ctive reçue pr les résistnces peut s écrire : P = 3.. J = 3.. I vec l vleur efficce des tensions composées et celle des tensions simples ; J est l intensité efficce des cournts dns les résistnces (phse) lors que I est celle dns les secondires du trnsformteur (ligne u secondire). Pour les vleurs efficces I2 = 3J soit 2 I 2 = 3.95 = 64 A Corrigé trnsformteurs triphsés Pge 6 TS ET

7 5. Ce trnsformteur limente mintennt entre deux phses une chrge purement résistive.. Écrire l loi de compenstion des mpères tours pour chque colonne. Pour l colonne «A» : i A (t )=n 2 i (t)+n 2 i 2 (t) Pour l colonne «B» : i B (t)=n 2 i b (t)+n 2 i b2 (t ) Pour l colonne «C» : i C (t)=n 2 i c (t)+n 2 i c2 (t) Définition des intensités i (t), i 2 (t), : on ffecte l indice «2» à l enroulement secondire plcé à guche et l indice à celui plcé à droite. Les intensités sont comptées positives si elle «sortent» pr les têtes d enroulement. i ( t ) = 0 et 2 i( t) = i ( t) ; i b2 ( t) = i ( t) et i b ( t) = i ( t) ; i c2 ( t) = i ( t) et i c ( t ) = 0 On obtient finlement : Pour l colonne «A» : i A (t )=n 2 i (t ) Pour l colonne «B» : i B (t)= n 2 i (t) n 2 i (t)= 2n 2 i (t ) Pour l colonne «C» : i C (t)=n 2 i (t) b. En déduire que l somme des cournts primires est nulle. En fisnt l somme des mpères tours primires, on obtient l éqution : i A (t )+ i B (t)+ i C (t)=n 2 i (t) 2n 2 i (t)+n 2 i (t)=0 Corrigé trnsformteurs triphsés Pge 7 TS ET

8 Exercice. Le trnsformteur représenté sur l figure comporte spires u primire et n 2 u secondire. Déterminer son indice horire et son rpport de trnsformtion en fonction de n 2 et. Pour l colonne supérieure, on peut écrire b A L tension b est en phse vec A : b est en retrd de 30 sur, l'indice horire est donc égl à. figure On note s l vleur efficce des tensions secondires et p l vleur efficce des tensions primires, l'éqution b A devient s p pour les vleurs efficces. Comme p = lors s ce qui donne m 2. Le schém de l figure 2 représente un essi dont les résultts ont donné : indiction du voltmètre : 400 indiction du voltmètre 2 : 400. Déduire de ces résultts le rpport Pour le trnsformteur colonne, il est possible d'écrire 2 n 2 soit = b. Quelle est l vleur efficce des tensions composées u secondire si les tensions composées u primire ont une vleur efficce égle à 690? D'près l questio, m s = = p 690=400 et n 2 Figure 2 n 2 = d'près l question précédente soit m=. On donc 3. ne chrge monophsée résistive est brnchée entre les bornes et b du secondire couplé en tringle.. Représenter le schém de câblge. Corrigé trnsformteurs triphsés Pge 8 TS ET

9 b. L intensité dns l résistnce (notée i r (t)) se divise en deux voies dns le trnsformteur. L une des voies 2 est prcourue pr un cournt égl à 3 i t, l utre est prcourue pr r 3 i r t. Plcer ces cournts sur le schém (ttention ux orienttions). oir le schém ci dessus. c. En écrivnt l loi de compenstion des mpères tours pour chque colonne, montrer qu il n y urit ps de cournt dns le neutre du primire. Les cournts du primire sont orientés pour «entrer» pr les têtes d'enroulement. Colonne du hut : i A (t)= 2 3 n 2 i r (t ) Colonne centrle : i B (t)= 3 n 2i r (t) Colonne du bs: i C (t)= 3 n 2 i r (t) L somme des mpères tours primire est nulle, il n'y urit donc ps de cournt dns le neutre u primire. Exercice I n réseu HTA délivre des tensions sinusoïdles formnt un système triphsé équilibré direct ( = BC = CA = = 20 k). Il limente le primire d'un trnsformteur couplé en tringle u primire et en étoile vec neutre u secondire. Le secondire délivre un système triphsé équilibré direct de tensions de vleur efficce 2 = 400. Chque colonne porte un enroulement primire de N spires et un enroulement secondire de N 2 spires. Le trnsformteur est supposé prfit. L figure ci dessous précise l désigntion des différents cournts et les conventions doptées.. Crctéristiques du trnsformteur. Déterminer le rpport de trnsformtion m c pr colonne du trnsformteur. Pour l colonne supérieure, on peut écrire = N N AB et m c = = =, b. Déterminer, en le justifint, l'indice horire I h du trnsformteur. Pour l colonne supérieure, on peut écrire = N 2 N, l tension est en phse vec l tension. En plçnt les vecteurs et sur un digrmme vectoriel, on détermine un indice horire égl à. Corrigé trnsformteurs triphsés Pge 9 TS ET

10 2. Premier cs : L'ensemble des récepteurs constitue une chrge linéire triphsée équilibrée. Les cournts i (t), i b (t) et i c (t) sont lors sinusoïdux. On i t =I 2sin t vec I = 900 A et f = 50 Hz. Exprimer i n (t) en fonction de i (t), i b (t) et i c (t). En déduire l vleur de i n (t). D'près l loi des nœuds, i (t)+i b (t)+i c (t)+i n (t)=0 soit i n (t)= i (t) i b (t) i c (t). Les récepteurs constitunt une chrge équilibrée, le cournt dns le neutre est nul : i n (t)=0 3. Deuxième cs : Les récepteurs constituent une chrge non linéire triphsée équilibrée. Chque cournt en ligne u secondire résulte de l superposition d'un cournt fondmentl de fréquence 50 Hz et de cournts hrmoniques de fréquences multiples. On ne prend en compte que les hrmoniques de rng 3, les utres rngs sont négligés. Le cournt i (t) lors pour expression i t =I 2sin t I 3 2sin3 t, vec I = 900 A et I 3 = 30 A (figure à l pge suivnte). Le cournts i (t), i b (t) et i c (t) formnt toujours un système triphsé équilibré, i b (t) et i c (t) s'obtiennent en remplçnt respectivement t pr t 2 3 et pr t érifier en exprimnt i b (t) et i c (t) que les trois composntes de rng 3 sont en phse, comme le montre l figure ci dessous. D'près l'énoncé i t =I 2sin t I 3 2sin3 t et cr i b (t )=I 2sin(ω t 2 π 3 )+ I 3 2sin (3ω t 3 2 π 3 )=I 2sin (ω t 2π 3 )+I 3 2sin(3ω t ) et i c (t )=I 2sin (ωt 4π 3 )+I 3 2sin(3ω t 3 4 π 3 )=I 2sin (ω t 4π 3 )+I 3 2sin(3ω t ) 3ωt 3 2π 4π =3ω t =3ω t Les trois composntes de rng 3 I 3 2sin (3ω t ) sont donc en phse (elles sont même identiques). b. Écrire l loi des nœuds u point n. En déduire l'expression de i n (t). Trcer son llure sur l figure ci dessous. Donner s vleur efficce. L loi des nœuds u point n s'écrit toujours i n (t)= i (t) i b (t) i c (t). Les fondmentux des cournts s'nnulent, il ne reste que les hrmoniques de rng 3 ce qui donne i n (t )=3I 3 2sin(3ω t ). C'est une sinusoïde dont l fréquence est égle à trois fois celle du réseu (période trois fois plus petite que celle du réseu) et donc l vleur efficce est égle à 3I 3 =3 30=390 A c. Étblir que les cournts dns les enroulements primires ont pour expression j A (t) = 0,05 i (t), j B (t) = 0,05 i b (t) et j C (t) = 0,05 i c (t). Pour l colonne supérieure, l loi de compenstion des mpères tours s'écrit N j A (t)=n 2 i (t ) ce qui donne j A (t)= N 2 i N (t)=m c i (t ) et m c =0,05 donc j A (t)=0,05 i (t ) d'près l première question. Le même risonnement donne j B (t)=0,05i b (t) pour l colonne centrle et j C (t)=0,05i c (t) pour l colonne inférieure. d. Écrire l loi des nœuds u point A. En déduire l'expression du cournt i (t). Au point A : i = j A j C soit i =0,05 i 0,05 i c En remplçnt i pr i t =I 2sin t I 3 2sin3 t et i c pr i c (t )=I 2sin (ωt 4π 3 )+I 3 2sin(3ω t ) on obtient Corrigé trnsformteurs triphsés Pge 0 TS ET

11 i (t)=0,05(i 2 sin ω t I 2sin (ω t 4 π 3 )) e. En déduire l'intérêt de ce couplge pour le réseu HTA. Les hrmoniques de rng 3 des cournts secondires ne se propgent ps sur les lignes du réseu HTA. Évolution des cournts Corrigé trnsformteurs triphsés Pge TS ET