Exercices de révision

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1 Université de Cen Licence de Biologie Semestre 0 04 Mthémtiques TD Groupe 4 Exercices de révision Corrigé Nombres complexes Exercice. On pose A = + i et B = + i. Clculer A B, A + B, A B, B, A + B. Clculer le quotient C = B sous forme lgébrique. A Écrire C sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle. 4 Clculer C 04 sous forme géométrique, puis sous forme lgébrique. Solution: A B = + i + i = + i i =. A + B = + i + + i = i + + i =. A B = + i i = i + i i = 6 + i + i i = 6 + i = + i. B = + = 0. A + B = + i + + i = + i = + i + i = + 4i + 4i = + 4i 4 = + 4i. C = B A = B A + i i = = A + i 6 i i i = On clcule d bord le module: C = + =. D près l représenttion géométrique, on i + i i + 6 i + = = i. rgc = π 4 mod π. Ou pr une utre méthode, ReC rgc = rccos C = rccos = π 4 mod π. Le signe étnt cr sinrgc = ImC C = < 0.

2 Donc, posnt ϕ = rgc, l forme trigonométrique de C est C = C cosϕ + i. sinϕ = cos π4 + i. sin π4 et l forme exponentielle est 4 On utilise l forme exponentielle: C = C e iϕ = e i π 4. C 04 = e i π 4 04 = 04 e i π 4 04 = 007 e i π 007 = 007 0π i e = 007 cos 0π + i. sin 0π. Comme 0π π = + 0π = π 7 π et les fonctions sinus et cosinus ont pour période π, on cos 0π = cos π = 0, sin 0π = sin π =. On rppelle les formules cos x = cosx et sin x = sinx. D où l forme lgébrique C 04 = 007 cos 0π + i. sin 0π = i. = 007 i. Exercice. Déterminer un rgument de chcun des nombres complexes suivnts: z = + i, z = i, z = + i, z 4 = i, z = + i, z 6 = i, z 7 = + i, z 8 = i. Solution: Rppelons l méthode générle pour déterminer un rgument d un nombre complexe. Pour certines expressions simples, on pourr trouver un rgument à l ide de l représenttion géométrique. Pr exemple, rg + i = π 4 mod π ; rg i = π 4 mod π ; rg + i = π 4 mod π ; rg i = π 4 mod π. Dns le cs générl, si z = + bi est l forme lgébrique, le module ρ = Z est donné pr ρ = z = + b

3 et tout rgument ϕ = rgz vérifie cr cosϕ = ρ = et sinϕ = b + b ρ = b + b + i.b = z = ρcosϕ + i. sinϕ = ρ cosϕ + i.ρ sinϕ. L fonction rccos ne prend que des vleurs dns [0 ; π] et cos ϕ = cosϕ. L reltion ϕ = rccos = rccos mod π ρ + b n est vlble que si l imge Mz du nombre z dns le pln se trouve u-dessus de l xe Ox. Sinon, ϕ = rccos = rccos mod π ρ + b Le signe de l ordonné du point Mz est celui de sinϕ. Donc, le point Mz est u-dessus de l xe Ox si et seulement si On en conclut: ϕ = rccos ϕ = rccos sinϕ = +b +b Pour les nombres z,..., z 8, on b + b 0. mod π si b +b 0 mod π si b +b < 0 z = z 6 = z 7 = z 8 = et rgz = rg + i = rccos mod π rgz 6 = rg i = rccos mod π rgz 7 = rg + i = rccos mod π rgz 8 = rg i = rccos mod π cr > 0 cr < 0 cr > 0 cr < 0 Exercice. On pose A = e i π et B = e i π 6. Écrire sous forme lgébriques les nombres A et B, en utilisnt les vleurs remrqubles du formulire.

4 Clculer sous forme lgébrique les quotients A/B et B/A. Simplifier l expression A B 4 en donnnt le résultt sous forme lgébrique. Solution: On d où cos π = cos π π sin π = sin π π A = e i π B = e i π 6 = cos π = = sin π = π = cos + i. sinπ = + i. π = cos 6 + i. sinπ 6 = + i. Première méthode: A B = A B + i. i. i. + i. B = + i. = + Seconde méthode: A B = ei B A = ei = + i + i i B A = A/B = i = i π e i π 6 π 6 e i π = + i = i i = i. = i. = e i π π 6 = e i π = cos π + i. sinπ = 0 + i. = i. i. = e i π 6 π = e i π π = cos + i. sin π = 0 + i. = i. En utilisnt les formes exponentielles des deux nombres A, B, on obtient A B 4 = e i π e i π 6 4 = e i π e i π 6 4 = e i 0π e i π = e i 0π + π = e i.4π = cos4π + i sin4π = cos 0 + i. sin 0 = + i.0 =. Exercice 4. Écrire sous forme exponentielle les nombres + i et i. Exercice b, Feuille de TD n 4. Simplifier l expression Z = + i9 i 7 Solution: + i = e i π 4, i = e i π 4. 4

5 Z = + i9 i = e i π e i π 4 = e i 9π 4 e i 7π 4 = 9 7 e i 9π 4 i 7π 4 = e i 9π 4 + 7π 4 = e i.4π = cos4π + i. sin4π = cos 0 + i. sin 0 = + i.0 =. Exercice. Résoudre dns C les équtions suivntes, en donnnt les solutions sous forme géométrique z 6 = i z = i Solution: Rppels voir ussi l formulire: Si C s écrit = ρ.e iθ sous forme exponentielle, lors l éqution z n = dmet exctement n solutions, données pr z 0 = ρ /n e i θ n = n ρ e i θ n ; z = n ρ e i θ n e i π n = n ρ e i θ n + π n ; z = n ρ e i θ n e i π n = n ρ e i θ n + π n ; = z n = n ρ e i θ n e i π n n = n ρ e i θ n + π n n ; c-à-d., pour chque k = 0,,..., n, z k = ρ /n e i θ n e i π n k = n ρ e i θ n + π n k. On i = et rgi = π. Donc i =.ei π sous forme exponentielle. L éqution z 6 = i 6 solutions dns C: On z 0 = 6 e i π/ 6 = e i π ; z = 6 e i π/ 6 e i π 6 = e i π + π 6 = e i π ; z = 6 e i π/ 6 e i π 6 = e i π + 4π 6 = e i 9π = e i π 4 ; z = 6 e i π/ 6 e i π 6 = e i π +π = e i π ; z 4 = 6 e i π/ 6 e i π 6 4 = e i π + 8π 6 = e i 7π ; z = 6 e i π/ 6 e i π 6 = e i π + 0π 6 = e i π = e i 7π i = = = = 8 6 = =, rg8 8 8 i = rg i = π 4 mod π.

6 D où l forme exponentielle de i: i = e i π 4. L éqution z = i solutions dns C: z 0 = e i π/4 =.e i π 0 ; z = e i π/4 e i π =.e i π 0 + π =.e i 7π 0 ; z = e i π/4 e i π =.e i π 0 + 4π =.e i π 0 =.e i π 4 ; z = e i π/4 e i π =.e i π 0 + 6π =.e i π 0 ; z 4 = e i π/4 e i π 4 =.e i π 0 + 8π =.e i π 0. Fonctions puissnces et logrithmes Exercice 6. Refire l exercice du prtiel n prtiel du 4 octobre 0. Solution: Voir le corrigé du prtiel disponible sur moodle. Études fonctionnelles Exercice 7. Refire l exercice du prtiel n prtiel du 4 octobre 0. Solution: Voir le corrigé du prtiel disponible sur moodle. Exercice 8. On considère l fonction f de R + dns R définie pr fx = 4x + x. Clculer l dérivée de f. Étblir le tbleu de vrition de f. Donner l llure du grphe de f. Solution: On peut écrire Donc, fx = 4x + = 4x + x x/. f x = 4x + x / = 4 +.x = 4 x = 4.x /. D près, f x = 0 x / = 8 x = 64 x = 64 = 4 6

7 L vleur de f en x = /4 est f = = + /4 / =. De plus, on f x > 0 4.x / > 0 x/ > 8 x > 4, schnt que l fonction x x / est croissnte. Comme x tend vers 0 en + et vers + en 0 +, fx pour limite + en + comme x et en 0 + là 4x 0. On en déduit le tbleu de vrition: L llure du grphe: x f x fx Géométrie dns l espce Exercice 9. Refire l exercice du prtiel n prtiel du novembre 0. Solution: Voir le corrigé du prtiel disponible sur moodle. 7