Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1

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1 Chpitre 7 Intégrle et primitive TABLE DES MATIÈRES pge - Chpitre 7 Intégrle et primitive Tble des mtières I Exercices I I- Clcul pproché d une intégrle pr l méthode des rectngles I- Intégrle d une fonction ffine () I- Intégrle d une fonction ffine () I- Intégrle d une fonction ffine () I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I- Linérité I I- 7 Signe d une intégrle I I I- Reltion de Chsles I I- Domine délimité pr les courbes de deux fonctions positives I- Offre, demnde, surplus des fournisseurs I-

2 Chpitre 7 Intégrle et primitive TABLE DES MATIÈRES pge - II Cours II- Intégrle d une fonction continue et positive II- Définition et propriété de primitive d une fonction II- Intégrle d une fonction de signe quelconque II- Détermintion de primitives II- Vleur moyenne d une fonction II- 6 Propriétés de l intégrle II- 6 Linérité II- 6b Signe d une intégrle II- 6c Reltion de Chsles II-

3 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I- I Exercices Intégrle de fonction positive Évluer pproximtivement l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f ci-dessous, l xe des bscisses, et l droite d éqution x =

4 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I- Clcul pproché d une intégrle pr l méthode des rectngles L fonction représentée dns l exercice sur fiche n o étit l fonction f définie pr f(x) = x. Elle est à nouveu représentée ci-dessous. Voici un lgorithme. Entrée : n Stocker dns s Pour des vleurs de k llnt de à n, de en Stocker k n dns x Stocker x dns y Stocker y n dns r s prend l vleur s + r Fin de l boucle pour Sortie (résultt) : s. Exéculer cet lgorithme lorsque n =, en complétnt ci-dessous. Entrée : n = k x y r s Sortie : s = Que représentent les vleurs successives de r?. Que représente le résultt de cet lgorithme (c est à dire l vleur finle de s)?. () Progrmmer cet lgorithme à l clcultrice. (b) Vérifier en exécutnt ce progrmme vec n =. (c) Exécuter ce progrmme vec n =, puis n = (quelques secondes de clcul), puis n = (environ secondes de clcul). (d) Compléter n Vleur finle de s

5 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I R R R R Intégrle d une fonction ffine () Les fonctions définies pr f(x) = et g(x) = x + sur l intervlle [ ; ] sont représentées grphiquement ci-dessous.. Clculer l intégrle f(x) dx, c est à dire l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =.. Clculer l intégrle g(x) dx, c est à dire l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C g, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =. x = x = x = x = y = f(x) y = g(x) unité d ire

6 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I- Intégrle d une fonction ffine () Les fonctions f et g de l exercice précédent sont à nouveu représentées grphiquement ci-dessous et pge suivnte, chcune dns un repère orthogonl, d unité cm en bscisse et cm en ordonnée. Dns ce cs l unité d ire est l ire du «rectngle unité», c est à dire cm.. () Clculer l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x = en unité d ire puis en cm. (b) Quel résultt est égl à l intégrle f(x) dx?. () Clculer l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C g, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x = en unité d ire puis en cm. (b) Quel résultt est égl à l intégrle g(x) dx? x = x = unité d ire y = f(x) x = x = y = g(x) Intégrle d une fonction ffine () Clculer les intégrles ci-dessous. Comme ce sont des intégrles de fonctions ffines, les ires à clculer sont des ires de trpèzes. Rppelons donc l formule de clcul de l ire d un trpèze : (b + B) h ire d un trpèze = h b B () (, x + ) dx (), (x + ) dx () ( x + 7) dx () 6 (, x + ) dx

7 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I- 6 L fonction exponentielle est représentée ci-contre sur l intervlle [ ; ].. Mettre en évidence sur le grphique ci-contre l intégrle e x dx. Déterminer grphiquement un encdrement de cette intégrle. 7. Sur l figure ci-dessous, construire une courbe pouvnt représenter une fonction f définie et continue sur [- ; ] et vérifint f(x)dx 9. Sur l figure ci-dessous, construire une courbe pouvnt représenter une fonction g définie et continue sur [- ; ] et vérifint g(x)dx 6 Fig. Fig. 8 Théorème fondmentl Exemple L fonction f est définie pr f(t) = t + et elle est représentée ci-contre. L fonction F est définie pr F(x) = x f(t) dt. À l ide d un clcul d ire, clculer l expression de F(x) en fonction de x.. Clculer F (x). Que constte-t-on? x

8 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I-6 Définition et propriété de primitive d une fonction 9 Soit deux fonctions f et F définies sur un intervlle I. Dire que F est une primitive de f sur I signifie que f est l dérivée de F sur I, c est à dire F = f L fonction f est définie sur IR pr f(x) = x +. Déterminer une primitive F de f.. Déterminer deux utres primitives F et F de f.. L fonction f en fit une infinité de primitives sur IR. Quelle est l formule générle pour les primitives de f? Pour chcune des fonctions définies ci-dessous, déterminer primitives. () f(x) = x () f(x) = x () f(x) = e x Formule fondmentle de clcul d une intégrle L fonction f est définie sur IR pr f(t) = t. Déterminer une primitive F de f sur IR.. On ppelle G l fonction définie pr () Justifier que pour tout réel x, (b) Justifier que k = F() (c) En déduire l expression de x f(t) dt G(x) = F(x) + k où k est une constnte. f(t) dt en fonction de F. En utilisnt les résultts de l exercice, clculer les intégrles ci-dessous. () t dt () t dt () e t dt Détermintion de primitives Le tbleu ci-contre rppelle les dérivées des fonctions usuelles. Pour chcune des fonctions f suivntes, utiliser ce tbleu pour déterminer une primitive F de f.. f(x) = F(x) = f(x) = x F(x) = f(x) = x F(x) = f(x) = x F(x) = f(x) = x F(x) = f(x) = x F(x) = f(x) = e x F(x) = Tbleu de DÉRIVÉES f(x) f (x) k constnte x x x n x nx n x x x x ln x e x x e x

9 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I-7 On rppelle que pour une fonction u dérivble sur un intervlle I, on sit que : (ln u) = u et que (e u ) = u e u u Pour chcune des fonctions f suivntes, déterminer une primitive F de f. ) f(x) = ) f(x) = ) f(x) = ( ) x + x x + b ) f(x) = e x 6 ) f(x) = e,x 6) f(x) = e x+b ( ) Pour chcune des fonctions f définies ci-dessous, déterminer une primitive F de f. ) f(x) = x + ) f(x) = x + x ) f(x) = x x ) f(x) = x x + 7 ) f(x) = x + 6 6) f(x) = x + Vérifier chque fois que F est une primitive de f. 7) f(x) = x + 9e,x 8) f(x) = 8e,x ) f(x) = xe x F(x) = ( x)e x ) f(x) = ln x F(x) = x + x ln x 7 Pour chcune des fonctions f suivntes, déterminer une primitive F de f. ) f(x) = (x + ) ) f(x) = x ) f(x) = x + ) f(x) = 9e 9x 6) f(x) = (x + ) 7) f(x) = x x + 9 9) f(x) = ln x x 8 Indiction : f(x) = ln x. x Déterminer une primitive F de l fonction définie pr f(x) = e x. (x 6) ) f(x) = x x + 7 8) f(x) = (x ) + ln x )f(x) = x

10 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I-8 9 Clculs d intégrles L fonction définie pr f(x) =, x + est représentée pge suivnte. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions x = et x =.. En s idnt du qudrillge, donner un encdrement de l ire A pr deux nombres entiers.. Clculer l ire A en clculnt une intégrle.. Vérifier que le résultt précédent est bien compris entre les deux entiers de l première question. Ci-dessous, fig. pour l exercice 9 et fig.,, pour l exercice 6 x = Fig. x = Fig. y =, x + Fig. Fig. 6 7 Même exercice que l exercice 9 vec chcune des fonctions et des ires indiquées.. L fonction définie pr f(x) = x + + e,x est représentée sur l figure. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =.. L fonction définie pr f(x) = + e,x est représentée sur l figure. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x = 7.. L fonction définie pr f(x) = + est représentée sur l figure. L ire A est l ire de x + l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =.

11 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I-9 L fonction définie pr f(x) =, x est représentée ci-dessous (fig., plus bs) dns un repère orthogonl d unité cm pour l xe des bscisses et d unité cm pour l xe des ordonnées. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =.. En s idnt du qudrillge, donner un encdrement de l ire A pr deux nombres entiers, d bord en unités d ire, puis en cm.. Clculer l ire A en clculnt une intégrle.. Clculer l ire A en cm.. Vérifier vec les encdrements trouvés à l première question. Même exercice que l exercice vec l fonction f et l ire indiquée ci-dessous. L fonction définie pr f(x) =, x+e x est représentée ci-dessous (fig. ) dns un repère orthogonl d unité cm pour l xe des bscisses et d unité cm pour l xe des ordonnées. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =. Fig. Fig.

12 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I-. L fonction f définie pr f(x) = ln x est représentée grphiquement ci-dessous sur l intervlle [, ; ] (figure ). () Justifier que l fonction définie pr F(x) = x ln x x est une primitive de f sur l intervlle [, ; ]. (b) Mettre en évidence sur le grphique ci-dessous, l intégrle ln x dx. (c) Justifier pr un clcul que cette intégrle est égle à 6 ln. (d) Arrondir le résultt précédent u dixième près et préciser ce que signifie le résultt.. L fonction g définie pr g(x) = x + est représentée grphiquement ci-dessous sur x l intervlle [ ;,] (figure ). () Mettre en évidence sur le grphique ci-dessous, l intégrle suivnte, g(x) dx. (b) Justifier pr un clcul que cette intégrle est égle à 9 8 ln. (c) Arrondir le résultt précédent u dixième près et préciser ce que signifie le résultt. Fig. Fig. Vleur moyenne d une fonction L fonction définie pr f(x) =, x est représentée grphiquement ci-contre.. Mettre en évidence sur cette figure l intégrle 6, x dx et l clculer.. Plcer les points A ( ; ) et B (6 ; ).. On veut trcer le rectngle ABCD dont l ire soit égle à l intégrle précédente. () Quelle est s longueur (sns justifier)? (b) Clculer s lrgeur. Arrondir u dixième près. On ppelle ce nombre l vleur moyenne de f sur l intervlle [ ; 6] (c) Trcer le rectngle ABCD. 6

13 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I- Exercices du mnuel Mthémtiques TES, Déclic, Hchette n o 89 et 9 p 8, et 6 p 68

14 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I- Linérité 6. Clculer. Clculer. Schnt que. Schnt que (x + x ) dx et 7 Propriétés de l intégrle 7 x + dx et x e x dx = e 6 ln(, ) dx = x 7 Signe d une intégrle x dx + x + dx et que clculer x dx et comprer les résultts. et comprer les résultts. xe x dx = e + x dx L fonction f est définie sur l intervlle [ ; ] pr : f(x) = x clculer (x e x +xe x ) dx L objectif de cet exercice est de fire le lien entre le signe d une fonction et le signe d une intégrle Trcer l représenttion grphique de l fonction f ci-dessous. Dresser le tbleu de signes de l fonction f sur l intervlle [ ; ]. Clculer les intégrles suivntes : f(x) dx, Si < b, quel est ppremment le signe de 8 Une fonction f est définie sur l intervlle [ ; ] ; positive sur l intervlle [ ; 9] ; négtive sur l intervlle [9 ; ] ; 9. À propos du signe de l intégrle f(x) dx. f(x) dx selon le signe f sur [ ; b]. f(x) dx on peut dire que (une seule bonne réponse) : () son signe est positif ; (b) son signe est négtif ; (c) on ne peut ps conclure.. Mêmes questions pour l intégrle. Mêmes questions pour l intégrle 7 7 f(x) dx f(x) dx Sns clcul, déterminer le signe de chcune des intégrles suivntes. (), ln(x) dx () 7 Reltion de Chsles ln(x) dx () L fonction f est représentée ci-contre, insi que les intégrles f(x) dx et 7 On donne les vleurs suivntes : f(x) dx =, 76 et Clculer 7 f(x) dx 7 f(x) dx. f(x) dx =, 8. 8 e x dx () 6 e x dx () C f 7 x ln(x) dx

15 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I- Clculer les intégrles : () e x dx + 7 e x dx () (6x + 8x) dx + 9 (6x + 8x) dx () Domine délimité pr les courbes de deux fonctions positives. 8 x dx + x dx Le progrmme de mthémtiques de terminle ES indique qu un élève doit svoir clculer l ire du domine délimité pr les courbes représenttives de deux fonctions positives. Deux fonctions f et g sont représentées grphiquement ci-dessous.. Les intégrles f(x) dx et positives? Justifier grphiquement. g(x) dx sont-elles. Les fonctions f et g sont définies pr : f(x) = et g(x) =, x x + Clculer l ire de l prtie du pln comprise entre les courbes C f et C g, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =. C f C g 6 7

16 Chpitre 7 Intégrle et primitive I EXERCICES pge I- Offre, demnde, surplus des fournisseurs Un produit est mis sur le mrché. Soit x le nombre d unités pouvnt être vendues, exprimée en milliers. L fonction d offre de ce produit est l fonction f définie sur l intervlle [ ; ] pr f(x) = e,x. Cel veut dire que pour un prix unitire f(x), on peut trouver x milliers de fbricnts prêts à vendre ce produit à ce prix unitire. L fonction de demnde de ce produit est l fonction g définie sur l intervlle [ ; ] pr g(x) = ln(x + ) +. Cel veut dire que pour un prix unitire g(x), on peut trouver x milliers de consommteurs prêts à pyer ce prix pour ce produit. Les fonctions f et g sont représentées grphiquement ci-dessous pr les courbes C f et C g.. Sns justifier, déterminer quelle courbe est C f et lquelle est C g.. Le prix d équilibre est le prix unitire tel que l offre est égle à l demnde. () Déterminer grphiquement ce prix d équilibre en euros, à euros près. (b) Déterminer grphiquement le nombre d unités correspondnt u millier près.. On pose h(x) = f(x) g(x) et on dmet que l éqution h(x) = dmet une unique solution x sur l intervlle [ ; ]. À l ide de l clcultrice, déterminer l rrondi de x u millième.. On pose y = f(x ). Clculer l rrondi de y u centième.. En déduire le prix d équilibre en euros, à euro près et le nombre d unités correspondnt à l unité près. 6. On ppelle surplus des fournisseurs (*) le nombre réel S défini pr : S = x y x f(x) dx () Colorier sur le grphique le domine du pln dont l ire en unités d ire est le nombre réel S. (b) Déterminer l vleur rrondie u millième du nombre S. (*) L fonction d offre f indique que certins fournisseurs serient prêts à vendre le produit moins cher à l unité que le prix d équilibre. Lorsque ces fournisseurs vendent finlement le produit u prix unitire d équilibre, ils rélisent ensemble un gin qu on ppelle le surplus des fournisseurs.

17 Chpitre 7 Intégrle et primitive II COURS pge II- II Cours Intégrle d une fonction continue et positive Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [ ; b] représentée grphiquement pr une courbe C. L intégrle de l fonction f sur intervlle [ ; b] qui s écrit f(x) dx, est l ire, exprimée en unités d ire, de l prtie du pln comprise entre l courbe C, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x = b. Exemple L fonction f est définie pr f(x) = x + sur l intervlle [ ; ]. Elle est représentée grphiquement ci-dessous et l intégrle (x + ) est égle à l ire grisée en unités d ire soit 8 unités d ire. x = x = unité d ire y = f(x) Théorème Si f est continue et positive sur [, b], l fonction F définie sur [, b] pr F(x) = est dérivble sur [, b] et pour dérivée f. x f(t)dt Exemple : exercice sur fiche n o 8 f(t) = t + x (x )(f() + f(x)) F(x) = f(t) dt = F (x) = x + = f(x) = (x )(x + ) = x + x Définition et propriété de primitive d une fonction Définition Soit deux fonctions f et F définies sur un intervlle I. Dire que F est une primitive de f sur I signifie que f est l dérivée de F sur I, c est à dire F = f Exemple Soit l fonction F définie et dérivble sur IR pr F(x) = x + x et l fonction f définie sur IR pr f(x) = x +.

18 Chpitre 7 Intégrle et primitive II COURS pge II- Pour tout nombre x de IR, F (x) = f(x) f est l dérivée de F sur IR donc F est une primitive de f sur IR. Propriété Soit une fonction f définie sur un intervlle I et F une primitive de f sur I. Alors l fonction f dmet une infinité de primitives toute primitive de f est de l forme x F(x) + c, où c est un nombre réel. Exemple On reprend les fonctions f et F de l exemple précédent. Les fonctions F et F définies pr F (x) = x + x + et F (x) = x + x sont des primitives de f, en effet, pour tout nombre x de IR, F (x) = x + = f(x) et F (x) = x + = f(x) et pour nombre x de IR, on F (x) = F(x) + et F (x) = F(x) Intégrle d une fonction de signe quelconque Dns l exercice sur fiche n o on justifie sur un exemple que pour une fonction f continue et positive ynt une primitive F, on : f(t)dt = F(b) F() Cette propriété est vrie pour toute fonction f continue et positive ynt une primitive F, et on étend cette formule ux fonctions continues de signe quelconque, d où l définition et l formule ci-dessous. Définition Si F est une primitive d une fonction f sur un intervlle I, et si et b sont deux nombres de cet intervlle, on ppelle intégrle de à b de f l expression F(b) F(). On écrit : Exemple f(x) dx = F(b) F() f(x) = x + F(x) = x + x ( ) ( ) (x + ) dx = F() F() = + + Utilistion des clcultrices Clculons l intégrle précédente à l ide de l clcultrice. TI 8 Appuyer sur les touches mth Compléter insi : fonctintégr(x+,x,,) TI 89 = 6 + = 8 9. On obtient l ffichge : fonctintégr( Touches HOME (Clc) choisir : ( integrte Compléter insi : (x+,x,,) CASIO Touche MENU, choisir RUN touches OPTN F (CALC) F ( dx) Compléter insi : (X+,,)

19 Chpitre 7 Intégrle et primitive II COURS pge II- Détermintion de primitives Théorème : toute fonction continue sur un intervlle dmet des primitives. L propriété et les deux tbleux ci-dessous sont utiles pour déterminer des primitives. On les obtient en lisnt des tbleux de dérivtion «à l envers». Propriété Soient U et V des primitives respectives des fonctions u et v sur un intervlle I, et k un nombre réel. Alors U + V est une primitive de u + v sur I et ku est une primitive de ku sur I Tbleu Dns le tbleu ci-dessous : f désigne une fonction définie sur un intervlle I, F est une primitive de f, et c est une constnte. f(x) F(x) I k constnte kx + c IR x x + c IR x n x n+ n + + c IR x ln x + c ] ; [ ou ] ; + [ x + c x ] ; [ ou ] ; + [ x x + c ] ; + [ Tbleu Dns ce tbleu, u est une fonction dérivble sur un intervlle I, et n est un nombre entier. Fonctions Primitives u u n u n+ n + u u u u u u u e u ln u u u e u e x e x + c IR x + b ( ) ln(x + b) + c ] ; b [ ou ] b ; + [ e x+b ( ) ex+b + c IR Remrque : il rrive que pour une fonction donnée, on ne puisse ps déterminer une primitive à l ide des fonctions de références, pr exemple l fonction définie pr f(x) = e x Déterminer une primitive vec l clcultrice TI 89 Pr exemple une primitive de l fonction définie pr f(x) = x est l fonction définie pr F(x) = x Appuyer sur les touches HOME F Dns le menu déroulnt, choisir : : integrte puis compléter insi : (x,x) Vleur moyenne d une fonction Définition Soient et b deux nombres tels que < b et une fonction f dmettnt une primitive sur l intervlle [ ; b]. L vleur moyenne de f sur [ ; b] est le nombre f(x) dx. b b. On retrouver cette fonction dns le chpitre de probbilité «Loi à densité».

20 Chpitre 7 Intégrle et primitive II COURS pge II- Remrque Si on ppelle m cette vleur moyenne, on l églité m = f(x) dx b donc m (b ) = f(x) dx Donc pour une fonction f positive, cel signifie grphiquement que l ire du rectngle de lrgeur b et de huteur m est égle à f(x) dx. m b 6 Propriétés de l intégrle 6 Linérité Propriétés Soient f et g deux fonctions dmettnt chcune une primitive sur un intervlle I, et et b deux nombres de cet intervlle. lors : (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx. Soient f une fonction dmettnt une primitive sur un intervlle I, et et b deux nombres de cet intervlle. lors : (k f(x)) dx = k f(x) dx. Exemples : voir l exercice sur fiche n o 6b Signe d une intégrle Propriété Signe d une intégrle Soient f une fonction dmettnt une primitive sur un intervlle I, et et b deux nombres de cet intervlle. Si f sur l intervlle I, et si b lors : Si f sur l intervlle I, et si b lors : b f(x) dx. f(x) dx. 6c Reltion de Chsles Soient f une fonction dmettnt une primitive sur un intervlle I, et, b, c trois nombres de cet intervlle, lors : f(x) dx + c b f(x) dx = c f(x) dx. Remrque Interpréttion pour les ires Pour une fonction f positive, si b c, l reltion de Chsles trduit le fit que les ires s joutent comme on le voit sur l figure ci-contre. C f b c