Lycée Clemenceau. PCSI 1 - Physique. PCSI 1 (O.Granier) Lycée. Clemenceau. Potentiels et champs électrostatiques. Olivier GRANIER

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1 Lycée Clemenceau CSI (O.Ganie) otentiels et champs électostatiques Olivie GRANIER

2 INTRODUCTION Électostatique Électomagnétisme (Équations de Maxwell, fin XIX ème siècle) Magnétostatique hénomènes d induction Ondes électomagnétiques L électostatique est l étude des inteactions ente paticules chagées immobiles (dans le éféentiel du laboatoie). Les notions impotantes abodées sont les notions de champs et de potentiels. Olivie GRANIER

3 I CHARGES ELECTRIQUES ET LOI DE COULOMB Chages électiques : Il existe deux sotes de chages électiques, appelées, pa convention, positives et négatives. Deux chages de même signe se epoussent Deux chages de signe contaie s attient Toutes les chages encontées dans la natue (à l état libe, contaiement aux quaks empisonnés dans les paticules micoscopiques) sont des multiples de la chage élémentaie de l électon (la chage est quantifiée) : Q = ne ( n Z, e =,6. 9 C ) incipe généal de consevation de la chage électique (éactions chimiques ou éactions nucléaies). Olivie GRANIER

4 2 Loi de Coulomb : La foce d inteaction ente deux chages ponctuelles placées dans le vide est donnée pa la loi de Coulomb (785) : q q M (q ) f 2 =M M 2 u 2 2 f > 2 M 2 (q 2 ) f f qq2 = u 2 = f = f ε : pemittivité du vide (/ = 9. 9 USI) Cette loi est également valable dans l ai (ε =,58). Olivie GRANIER

5 3 Répatitions continues de chages : La chage élémentaie e étant tès faible, la quantification de la chage ne se emaque pas à l échelle macoscopique. On va pouvoi décie la chage d un cops chagé pa une vaiable continue (analogue de la masse volumique pou un solide, pa exemple). Soit un cops chagé en volume : Cops (C) (Q,V) On note Q sa chage électique totale et V son volume total. On peut défini une densité volumique de chage moyenne (équivalente de la masse volumique moyenne d un solide) : ρ moy = Q V Olivie GRANIER

6 Volume dτ M Chage dq On considèe un volume dτ (autou de M), petit vis-à-vis du volume occupé pa tout le cops chagé, mais gand pa appot à la taille d une molécule (échelle mésoscopique) On note dq la chage de ce volume élémentaie. La densité volumique de chages électiques au point M est définie pa : dq ρ( M ) = ( ρ en C. m dτ La chage totale potée pa le cops est alos : 3 ) dq = ρ( M ) dτ soit Q = ( V ) ρ( M ) dτ Olivie GRANIER

7 Expession du volume élémentaie dτ : Coodonnées catésiennes : d τ = dx dy dz Coodonnées cylindiques : dτ = ( d)( dθ )( dz) = d dθ dz Coodonnées sphéiques : dτ = ( d) ( dθ ) ( sinθ dϕ) = 2 sinθ d dθ dϕ Exemple : execice n Olivie GRANIER

8 Soit un cops chagé en suface : On note Q sa chage électique totale et S sa suface totale. On peut défini une densité de chage sufacique moyenne (équivalente de la masse sufacique moyenne d une feuille de papie d aluminium, pa exemple) : M Suface chagée (S,Q) Suface ds Chage dq dq = σ ( M ) ds σ = Q S On note dq la chage potée pa la suface élémentaie ds. La densité sufacique de chages électiques au point M est définie pa : dq σ ( M ) = ( ρ en C. m ds La chage totale potée pa le cops est alos : soit Q = ( S) σ ( M ) ds 2 ) Olivie GRANIER

9 Soit un cops chagé de manièe linéique : On note Q sa chage électique totale et L sa longueu totale. On peut défini une densité de chage linéique moyenne (équivalente de la masse linéique moyenne d un fil de fe, pa exemple) : Fil chagé (L,Q) Longueu dl M Chage dq λ moy = On note dq la chage potée pa la longueu élémentaie dl. La densité linéique de chages électiques au point M est définie pa : La chage totale potée pa le cops est alos : Q L dq λ( M ) = ( ρ en C. m dl ) dq = λ( M ) dl soit Q = ( L) λ( M ) dl Olivie GRANIER

10 Cas d une chage ponctuelle : II LE CHAM ELECTROSTATIQUE On considèe une chage ponctuelle q immobile placée à l oigine O d un epèe galiléen. Soit q une chage test placée en un point M qui peut vaie dans l espace. La chage test q est soumise à la foce de Coulomb : x z O(q) = OM u M(q ) f ( M ) = y qq' 2 u f ( M ) = qq' 2 u Le champ électique céé pa la chage q placée en O au point M est, pa définition : E( M ) = f ( M ) q' Olivie GRANIER

11 Soit : E( M ) = q 2 u Ce champ est défini patout (sauf en O), même en l absence de chage test. Chage positive en O «Lignes» de champs divegentes Olivie GRANIER

12 Une intoduction à la notion de champ (doc pdf) Chage négative en O «Lignes» de champs convegentes Lignes de champs : c est une ligne de l espace telle qu en tout point M de cette ligne, la tangente et le champ E en ce point sont paallèles. Cette ligne est oientée dans le sens du champ. Olivie GRANIER

13 2 Cas d un ensemble de chages ponctuelles : On considèe un ensemble (O i,q i ) de chages ponctuelles : (O 2,q 2 ) (O i,q i ) u, i (O,q ) i = (O n,q n ) O M i M (M ) E i E (M ) E( M ) = n i= E i ( M ) = n i= q i 2 i u, i (incipe de supeposition) Olivie GRANIER

14 Deux chages ponctuelles (+ q et q) (Dipôle électostatique) + q - q Olivie GRANIER

15 Tois chages ponctuelles (+ 2q, q et - q) (Quadipôle électostatique) - q + 2q - q Olivie GRANIER

16 Quate chages ponctuelles identiques (+ q) au sommet d un caé Olivie GRANIER

17 3 Cas de épatitions continues de chages : a - Répatition volumique : Volume total V Volume dτ Chage dq de u M ( M ) = = dq M M 2 u M = M de (M ) ρ( ) dτ u 2 E (M ) Le champ élémentaie céé pa la chage élémentaie dq centée autou de au point M vaut : M Olivie GRANIER

18 Volume total V Volume dτ Chage dq u M = M M de (M ) E( M ) = de ( M ) E (M ) Le pincipe de supeposition pemet d en déduie le champ global céé pa tout le cops chagé au point M : E( M ) = ( V ) ρ( ) dτ 2 u M Intégale vectoielle, soit 3 intégales tiples scalaies! Olivie GRANIER

19 3 Cas de épatitions continues de chages : b - Répatition sufacique : Suface ds = M M de (M ) Suface totale S Chage dq de ( M ) = dq M 2 u M = σ ( ) ds u 2 E (M ) Le champ élémentaie céé pa la chage élémentaie dq centée autou de au point M vaut : M Olivie GRANIER

20 Suface ds = M M de (M ) Suface totale S Chage dq Le pincipe de supeposition pemet d en déduie le champ global céé pa tout le cops chagé au point M : E( M ) = de ( M ) E (M ) E( M ) = ( S) σ ( ) ds 2 u M Intégale vectoielle, soit 3 intégales doubles scalaies! Olivie GRANIER

21 3 Cas de épatitions continues de chages : c - Répatition linéique : Longueu dl Chage dq = M M de (M ) E (M ) Fil chagé (L,Q) Le champ élémentaie céé pa la chage élémentaie dq centée autou de au point M vaut : de ( M ) = dq M 2 u M = λ( ) dl u 2 M Olivie GRANIER

22 Longueu dl Chage dq = M M de (M ) E (M ) Fil chagé (L,Q) Le pincipe de supeposition pemet d en déduie le champ global céé pa tout le cops chagé au point M : E( M ) = ( L) λ( ) dl 2 u M Olivie GRANIER

23 4 Exemples de calculs diects de champs électostatiques : a Champ céé pa un segment unifomément chagé : (ex n 2) Olivie GRANIER

24 4 Exemples de calculs diects de champs électostatiques : b Champ céé pa disque unifomément chagé : (ex n 3) c Champ céé pa une sphèe chagée en suface : (ex n 4) Olivie GRANIER

25 II LE OTENTIEL ELECTROSTATIQUE Cas de chages ponctuelles : On considèe une chage ponctuelle q immobile placée à l oigine O d un epèe galiléen. Soit q une chage test placée en un point M qui peut vaie dans l espace. z M(q ) L énegie potentielle de la paticule «test» vaut (voi cous de mécanique) : x O(q) = OM u f ( M ) = qq' 2 y u E p ( ) = qq' Elle est eliée à la foce coulombienne pa (voi cous de mécanique) : f ( M ) = de p u d Olivie GRANIER

26 On définit le potentiel électostatique U() pa : U ( ) = E p ( ) q' soit U ( ) = q On a la même elation ente la foce et le champ et ente l énegie potentielle et le potentiel, à savoi : f ( M ) = Comme, on déduit que : Soit encoe : E p de d ( ) = q' U ( ) et f = p u E( M ) = E( M ). d du d u = du q' E Olivie GRANIER

27 On considèe maintenant un ensemble (O i,q i ) de chages ponctuelles. (O 2,q 2 ) (O i,q i ) u, i (O,q ) i = O M i M (M ) E i E (M ) (O n,q n ) Le pincipe de supeposition pemet d en déduie le potentiel céé pa l ensemble des chages ponctuelles : U ( M ) = n i= U i ( M ) = n i= q i i Olivie GRANIER

28 On peut écie la elation ente le champ et le potentiel céé pa la chage ponctuelle (i) : E a conséquent, en sommant : ( M ). d = i du i D où : n i= ( E i ( M ). d ) n n n = du = i soit E i ( M ). d d U i= i= i= E( M ). d = du i On obtient ainsi pou le champ global une elation similaie à celle valable pou chaque champ E i. Nous veons que cette popiété caactéise un champ de gadient. Olivie GRANIER

29 2 Cas de distibutions continues : a - Répatition volumique : Volume dτ Chage dq u M = M M Le potentiel élémentaie céé pa la chage élémentaie dq centée autou de au point M vaut : Volume total V du ( M ) = dq M Le potentiel total s en déduit («simple intégale» scalaie) : = ρ( ) dτ U ( M ) = ( V ) ρ( ) dτ Olivie GRANIER

30 2 Cas de épatitions continues de chages : b - Répatition sufacique : Suface ds = M M Suface totale S Chage dq Le potentiel élémentaie céé pa la chage élémentaie dq centée autou de au point M vaut : dq σ ( ) ds du ( M ) = = M Le potentiel total s en déduit («simple intégale» scalaie) : U ( M ) = ( S) σ ( ) ds Olivie GRANIER

31 2 Cas de épatitions continues de chages : c - Répatition linéique : Fil chagé (L,Q) Longueu dl Chage dq = M M Le potentiel élémentaie céé pa la chage élémentaie dq centée autou de au point M vaut : dq λ( ) dl du ( M ) = = M D où : U ( M ) = ( L) λ( ) dl Olivie GRANIER

32 3 Relation intinsèque ente le champ et le potentiel : La elation démontée dans le cas d une épatition discète de chages ponctuelles este valable dans le cas d une distibution continue : E( M ). d = du Cette elation caactéise un champ de gadient. On se place en coodonnées catésiennes : * E( M ) = E x u x + U * du = x E y u y + E z u U dx + dy + y z * d U dz z = dx u x + dy u y + dz u z Olivie GRANIER

33 On calcule le poduit scalaie : E( M ). d = E( M ). d Ex dx + E y dy + E z dz a identification avec du : Il vient : Soit : Ex dx + E y dy + E x E z dz U U = ; E y = ; x y U U U = dx + dy + dz x y z E = gad U E z U = z Olivie GRANIER

34 Expessions de l opéateu gadient en : Coodonnées polaies (,θ,θ) : U E = ; Eθ = U θ Coodonnées cylindiques (,θ,θ,z) : E U U = ; Eθ = ; θ E z = U z Coodonnées sphéiques (,θ,ϕ) : E U = ; E θ U = θ ; E ϕ = U sinθ ϕ Olivie GRANIER

35 4 Exemples de calculs de potentiels : Exemple : execice n 3 On calcule diectement le potentiel puis on en déduit le champ pa la elation : E = gad U Olivie GRANIER

36 III LES SYMETRIES DU CHAM ELECTROSTATIQUE Distibution de chages possédant un plan de symétie : On considèe la épatition volumique suivante de chages : (V) S Le cops chagé possède une fome géométique symétique pa appot au plan (Π + ) et, pa ailleus : ρ ( ) = ρ( ) S lan de symétie Π + Olivie GRANIER

37 (V) lan de symétie Π + de (M ) M u M dτ S dτ u S M S M S de M S ( S ) M est un point quelconque de l espace et M S son symétique pa appot au plan (Π + ) : M S = sym + (M ) de ( M ) = Π ρ( ) dτ u 2 M M ; de ( M S ) = S ρ( S ) dτ u M S 2 S S M S Olivie GRANIER

38 de (M ) M (V) lan de symétie Π + M S de M S ( S ) E (M ) u M dτ S dτ u S M S E ( M S ) Avec : Il vient : ρ ( ) = ( S ) ; M = S M S ; u M Sym ( u S = + S Π M S de ρ ( M ) = Sym + ( de ( M )) S a intégation, on déduit : E( M ) = Sym + ( E( M )) Π S Π ) Olivie GRANIER

39 (V) dτ M E (M ) S dτ lan de symétie Π + Si M appatient au plan (Π + ), M et M S sont confondus. a conséquent : E( M ) = Sym + ( E( M )) soit E( M ) ( Π Π M ( Π + ) E( M ) ( Π + ) + ) Olivie GRANIER

40 Exemple : disque ciculaie chagé unifomément en suface Tous les plans contenant l axe (Oz) sont des plans de symétie (Π + ) pou la épatition de chages. a conséquent, pou un point M(z) de l axe (Oz) : E( z) = Le plan (Oxy) est un plan de symétie (Π + ) pou la épatition de chages. (Ici, les points et S sont confondus). a conséquent : E( z) u z E( z) = sym( Oxy) ( E( z)) soit E( z) = E( z) x σ E (z) M S (-z) z O M(z) u z E( z) y Olivie GRANIER

41 Exemple : sphèe chagée unifomément en volume ρ = cste O M(,θ,ϕ) E( M ) = E( ) Exemple : cylinde infini chagé unifomément en volume Symétie cylindique M(,θ,z) u Symétie sphéique ρ = cste E( M ) = E( ) u Olivie GRANIER

42 2 Distibution de chages possédant un plan d anti-symétie : On considèe désomais la épatition volumique suivante : (V) S Le cops chagé possède une fome géométique symétique pa appot au plan (Π - ) et, pa ailleus : ρ( ) = ρ( ) S lan d anti-symétie Π - Olivie GRANIER

43 (V) lan d anti-symétie Π - de (M ) M u M dτ S dτ u S M S M S de M S ( S ) M est un point quelconque de l espace et M S son symétique pa appot au plan (Π - ) : = sym (M ) de M S ( M ) = Π ρ( ) dτ u 2 M M ; de ( M S ) = S ρ( S ) dτ u M S 2 S S M S Olivie GRANIER

44 de (M ) M E (M ) lan d anti-symétie Π - u M dτ (V) S dτ u S M S M S de M S E ( M S ( S ) ) Avec : Il vient : ρ ( ) = ( S ) ; M = S M S ; u M Sym ( u S = + S Π M S de ρ ( M ) = Sym ( de ( M )) S a intégation, on déduit : E( M ) = Sym ( E( M )) Π S Π ) Olivie GRANIER

45 (V) dτ M S dτ Si M appatient au plan (Π - ), M et M S sont confondus. a conséquent : E( M ) = Sym ( E( M )) soit E( M ) Π E M ( Π ) E( M ) ( Π ) (M ) ( Π ) lan d anti-symétie Π - Olivie GRANIER

46 Exemple : deux hémisphèes chagés + ρ et - ρ Le plan (Oxz) est un plan (Π - ). z En tout point de ce plan : E( M ) = E( M ) u y +ρ +ρ +ρ +ρ O ρ ρ ρ ρ y x M E( M ) = E( M ) u y Olivie GRANIER

47 4 Topogaphie du champ électostatique ; lignes de champs et lignes équipotentielles : Lignes de champs : c est une ligne de l espace telle qu en tout point M de cette ligne, la tangente et le champ E en ce point sont paallèles. Cette ligne est oientée dans le sens du champ. Le long d une ligne de champ, un déplacement est paallèle au champ : Ligne de champ M d E (M ) Sufaces équipotentielles : on appelle suface équipotentielle une suface (Σ) su laquelle le potentiel électostatique est une constante U : d E( M ) // d E( M ) d = U ( M ) = U pou M ( Σ) Olivie GRANIER

48 opiétés des lignes de champs : * En tout point M d un domaine où existe une champ électostatique, la ligne de champ et la suface équipotentielle passant pa ce point sont pependiculaies : Suface équipotentielle (Σ ) Ligne de champ E (M ) M d Soit un déplacement su la suface équipotentielle (Σ ) : a conséquent : d E ( M ). d = du = ( U = cste = U ) E M ) d soit E( M ) ( Σ ) ( en M Olivie GRANIER

49 opiétés des lignes de champs : * Les lignes de champs sont oientées selon les potentiels décoissants : Ligne de champ M d E (M ) d Soit un déplacement su la ligne de champ dans le sens positif (donné pa le sens du champ) : E( M ). d = E( M ). d = du O, E(M).d >, pa conséquent : Une animation java qui pemet de tace des lignes de champs. du < Olivie GRANIER

50 Cates de champs électostatiques : On epésente dans le plan de la figue () les lignes de champs pa des coubes fléchées en taits pleins et les sections pa le plan () des sufaces équipotentielles pa des pointillés (lignes équipotentielles). Quelques emaques généales : Au voisinage d une chage ponctuelle, la cate de champ coespond à celle d une seule chage ponctuelle isolée. Les lignes de champs sont toutes issues d une chage positive et se diigent soit ves l infini soit ves une chage négative. Aucune ligne de champ n est une ligne femée. Les lignes de champs ne se coupent jamais (sinon le champ auait 2 diections difféentes en un même point). Le nombe de lignes qui patent d une chage ou qui se diigent ves elle est popotionnel à la gandeu de la chage. Olivie GRANIER

51 Olivie GRANIER

52 Ensemble neute de quate chages Olivie GRANIER

53 Execice : dessine les lignes du champ céé pa deux chages ponctuelles + 2q et q (avec q > ). Symétie : les lignes de champs sont symétiques pa appot à la doite joignant les deux chages. Champ au voisinage immédiat : au voisinage immédiat d une chage, les lignes de champs sont adiales et de symétie sphéique. Champ en un point éloigné : tès loin des deux chages, la cate de champ doit coesponde à celle d une chage unique + q ; les lignes de champs sont donc adiales et divegentes tès loin des chages. Nombe de lignes : les lignes patant de + 2q sont deux fois plus nombeuses que celles qui aivent en q. Olivie GRANIER

54 2q - q Olivie GRANIER