Mouvements dans un champ de force central et conservatif

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1 Execices du chapite M6 Langevin-Wallon, PTSI Mouvements dans un champ de foce cental et consevatif Donnée pou tous les execices : constante de gavitation G = 6, m 3 kg 1 s Execices Execice 1 : Constante des aies [ ] Nous avons établi en cous l expession de la constante des aies C = θ à pati de la consevation du moment cinétique Retouve ce ésultat à pati de la loi de la quantité de mouvement : pojete su u θ, multiplie pa, et intége Execice : Comète de Halley [ ] La comète de Halley est la plus connue La pemièe mention de son obsevation date de 611 av J-C en Chine, et on la etouve tout au long de l Antiquité et du Moyen-Âge évidemment sans savoi qu il s agit d une seule comète Cette découvete a été fomalisée en 1705 pa Edmond Halley, qui publia un live avançant que les obsevations en 1531, 1607 et 168 concenaient en fait la même comète Son pochain passage est pévu en 061 On sait aujoud hui que la comète de Halley suit une tajectoie elliptique de péiode de évolution autou du Soleil 76 ans, sa distance minimale au Soleil étant de d min = 0,59 unités astonomiques Données : Une unité astonomique coespond à la distance moyenne Tee-Soleil, soit 1, m ; Masse solaie m S =, kg 1 - Faie un schéma de la tajectoie indiquant la position du Soleil et d min - Déduie de la toisième loi de Keple la plus gande distance au Soleil de la comète 3 - Une conique est décite pa une équation polaie de la fome (θ) = p 1 e cos θ où l oigine du epéage polaie est pise su un des foyes de la conique Détemine le paamète p et l excenticité e de la tajectoie de la comète de Halley Execice 3 : Modèle classique de tou noi [ ] En 1783, le physicien bitannique John Michell eut pou la pemièe fois l idée de l existence d astes dont la gavitation seait si fote que même la lumièe ne pouait s en échappe L idée fut epise pa Piee-Simon Laplace 1 en 1796, puis oubliée ca elle semblait top abstaite Elle essugit en 1916 dans le cade de la elativité généale losque Kal Schwazschild vit appaaîte un tel objet dans les solutions des équations d Einstein, que l on peut voi comme l analogue elativiste du pincipe fondamental de la dynamique Ce concept fut développé pa la suite, et la dénomination de tou noi s est imposé dans les années 1960 On pense aujoud hui en avoi détecté plus d une centaine (la liste est su Wikipédia), mais comme ien ne peut s échappe d un tou noi la détection ne peut ête qu indiecte Cet execice popose de calcule l ode de gandeu de la taille et de la densité d un tou noi dans un modèle heuistique de physique newtonienne Considéons pou cela un point matéiel M de masse m à poximité d un aste sphéique de masse m 0, de ayon R et de cente O Cet aste est supposé suffisamment massif pou que l on puisse considée que M n est soumis qu à la foce gavitationnelle due à l aste On étudie le mouvement de M dans le éféentiel R astocentique, que l on suppose galiléen 1 Celui-là même qui a intoduit la tansfomation de Laplace et qui a également élaboé une théoie dynamique des maées encoe utilisée aujoud hui pou pévoi les heues de pleine et basse me 1/4 Étienne Thibiege, 31 mas 017, wwwetienne-thibiegef

2 Execices M6 : Champ de foce cental et consevatif Langevin-Wallon, PTSI Expime la foce gavitationnelle essentie pa M ainsi que l énegie potentielle dont elle déive en la supposant nulle à l infini Expime l énegie mécanique de M Celle-ci se conseve-t-elle? - Monte que le mouvement de M est nécessaiement plan M étant alos epéé pa ses coodonnées polaies, monte que C = θ est une constante du mouvement 3 - Monte que l énegie mécanique peut se mette sous la fome E m = 1 mṙ + E p,eff () en intoduisant l énegie potentielle effective E p,eff () dont on pécisea l expession en fonction de 4 - Tace l allue de la coube epésentative de E p,eff () À l aide d un aisonnement gaphique, détemine pou quelles valeus de E m le point M peut échappe à l attaction de l aste, c est-à-die se touve dans un état de diffusion 5 - En déduie la vitesse de libéation v lib à la suface de cet aste 6 - Dans la conception classique de Michell, un tou noi est un aste dont la vitesse de libéation est supéieue à c = m s 1 Calcule le ayon de Schwazschild R S de l aste, c est-à-die le ayon maximal qu il doit avoi pou ête un tou noi 7 - Calcule numéiquement R S pou le Soleil (M S =, kg) et pou la Tee (M T = 6, kg) En déduie la densité minimale d un tou de noi de cette masse 8 - Quelles sont les deux contadictions intenes à cette appoche? Notons toutefois que malgé les deux limites évoquées, le ayon de Schwazschild donne le bon ode de gandeu de la taille d un tou noi de masse m Execice 4 : Expéience de Ruthefod [ ] Ente 1909 et 1911, Enest Ruthefod et ses deux étudiants Hans Geige et Enest Masden ont éalisé et intepété une expéience consistant à bombade une mince feuille d o avec des paticules α, dont Ruthefod avait pécédemment monté qu il s agit de noyaux d hélium Ils obsevèent que la plupat de ces paticules tavesaient la feuille sans ête affectées (donc ne econtaient que du vide), mais que cetaines étaient déviées, pafois tès fotement En eliant les angles de déviation aux dimensions micoscopiques, cela pemit la découvete du noyau atomique et l estimation de sa taille Modélisons l expéience en considéant une paticule α de masse m et de chage e, venant de l infini avec la vitesse v 0 ex et s appochant avec un paamète d impact b d un unique noyau cible de numéo atomique Z Le paamète d impact est la distance minimale ente le polongement de la tajectoie ectiligne de la paticule et le noyau situé en O Le noyau este patiquement immobile dans le éféentiel teeste : on tavaille dans ce éféentiel supposé galiléen, le epèe étant situé su la position O du noyau La tajectoie suivie pa la paticule α est la banche d hypebole epésentée ci-conte Données : ε 0 = 8, F m 1 ; e = 1, C ; m = 6, kg et Z Au = Expime la foce électique subie pa la paticule α sous la fome F = K/ e et expime l énegie potentielle d inteaction - Monte que l énegie mécanique E m de la paticule α est une constante du mouvement et donne sa valeu à pati des conditions initiales 3 - Monte que le moment cinétique L O de la paticule α en O est un vecteu constant et donne la valeu de cette constante à l aide des conditions initiales La paticule étant epéée pa ses coodonnées polaies dans le plan (Oxy), monte que L O s expime de manièe simple en fonction de et θ 4 - Monte que l énegie mécanique peut se mette sous la fome E m = 1 mṙ + E p() en explicitant la fonction E p() Comment l appelle-t-on? 5 - On note S la position de la paticule α pou laquelle elle passe au plus pès du noyau d o, et on note min = OS la distance minimale d appoche Simplifie l expession de E m losque = min En déduie min = K ( ) m b v 1 mv K /4 Étienne Thibiege, 31 mas 017, wwwetienne-thibiegef

3 Execices M6 : Champ de foce cental et consevatif Langevin-Wallon, PTSI On peut monte que l angle de déviation D de la paticule est donnée pa tan D = K m b v0 Calcule b puis min pou D 1 = 60 et D = 180 (paticule envoyée ves l aièe) En déduie l ode de gandeu de la taille du noyau d o Execice 5 : Modèle de Boh de l atome d hydogène [ ] L expéience de Ruthefod a pouvé qu un atome avait une stuctue lacunaie, composée essentiellement de vide Enest Ruthefod popose donc un modèle planétaie de l atome d hydogène, où l électon (masse m, chage e) est en obite ciculaie de ayon autou d un poton P (chage +e) qu on supposea fixe dans le éféentiel d étude Données : constante de Planck h = 6, J s ; vitesse de la lumièe dans le vide c = 3, m s 1 ; pemittivité diélectique du vide ε 0 = 8, F m 1 ; chage élémentaie e = 1, C ; masse de l électon m = 9, kg ; 1,0 ev = 1, J 1 - Expime la foce execée pa le poton su l électon En déduie l énegie potentielle à laquelle est soumis l électon - Détemine la elation ente la vitesse v de l électon et le ayon de l obite, puis expime l énegie mécanique de l électon en fonction du ayon de l obite 3 - Relie l énegie potentielle de l électon à son énegie mécanique Pou ende compte du specte de aies discet de l atome d hydogène et de sa stabilité, Niels Boh postule que l électon ne peut occupe que cetaines obites stables de ayons n tel que le moment cinétique de l électon pa appot au point P véifie une condition de quantification L P (n) = n où n est un entie natuel non nul appelé nombe quantique pincipal et = h/π la constante de Planck éduite 4 - Expime le moment cinétique de l électon L P en fonction de n seulement 5 - En déduie en fonction de n les ayons n des obites pemises pou l électon 6 - Monte alos que l énegie mécanique de l électon peut s écie sous la fome Calcule numéiquement E 0 E n = E 0 n 7 - La condition de quantification peut se etouve de manièe élégante en temes d ondes de matièe Rappelons que la longueu d onde de de Böglie associée à une paticule se déplaçant à la vitesse v vaut λ = h/mv Monte que la condition de quantification peut s écie sous la fome π n = nλ Comment intepéte cette condition en temes ondulatoies? Execice 6 : Gavity Annale de concous [oal CCP, ] Dans le film Gavity, des astonautes effectuent une mission de maintenance su le télescope spatial Hubble losque leu navette est détuite Leu seul espoi semble ête de ejoinde la Station spatiale intenationale, l ISS Le but de cet execice est de défini dans quelles conditions ce voyage spatial est possible On suppose que le télescope Hubble et l ISS sont en obite ciculaie basse autou de la tee, espectivement à 600 km et 400 km au-dessus de la Tee, dans le même plan Le ayon de la tee est R T = 6400 km ; G est la constante univeselle de gavitation 1 - Expime la foce de gavitation execée pa la Tee, de masse M 0, su l astonaute et son équipement, de masse m Donne l expession de l énegie potentielle de gavitation - En expimant le pincipe fondamental de la dynamique pou un système en otation unifome, établi la toisième loi de Keple Expime l énegie de l astonaute su son obite, en fonction de G, m, M 0 et, ayon de l obite 3 - Détemine numéiquement la péiode T S de l ISS, sachant que la péiode du télescope vaut T H = 97 min En déduie numéiquement la vitesse du télescope v H, puis celle de la station spatiale v S su leu obite espective 3/4 Étienne Thibiege, 31 mas 017, wwwetienne-thibiegef

4 Execices M6 : Champ de foce cental et consevatif Langevin-Wallon, PTSI Pou ejoinde la station spatiale, l astonaute envisage une obite de tansfet elliptique, dont l apogée de distance H pa appot au cente de la Tee est su l obite du télescope, et le péigée de distance S pa appot au cente de la tee est su l obite de l ISS 4 - Repésente la tajectoie suivie pa l astonaute 5 - Expime l énegie de l astonaute su cette tajectoie en fonction de G, M 0, m, H et S 6 - Expime la vitesse de l astonaute à l apogée, en fonction de H, T H et S Pa analogie, en déduie l expession de la vitesse au péigée en fonction de S, T S et H Calcule les valeus numéiques Techniquement comment l astonaute peut-il gée sa vitesse? 7 - Quelle est la duée de ce voyage? Résolution de poblème Pou abode un execice de type ésolution de poblème, il peut notamment ête utile de faie un schéma modèle, d identifie et nomme les gandeus petinentes, d utilise l analyse dimensionnelle, de décompose le poblème en des sous-poblèmes simples, etc Le candidat peut également ête amené à popose des valeus numéiques aisonnables pou les gandeus manquantes Le tout est évidemment à adapte à la situation poposée! Execice 7 : Descente d un satellite [oal CCP, ] Un satellite est en obite ciculaie autou de la Tee à 800 km d altitude Su cet obite, on constate que son altitude diminue de 1 m duant une péiode On décit les fottements avec l atmosphèe pa une foce de fottement fluide quadatique f = αmv v, où v désigne la vitesse du satellite et m sa masse Le coefficient α est supposé indépendant de l altitude du satellite : α = 1, m 1 Au bout de combien de temps l altitude aua-t-elle baissé de 10 km? Données : masse de la Tee : M T = 5, kg ; ayon teeste : R T = 6371 km 4/4 Étienne Thibiege, 31 mas 017, wwwetienne-thibiegef

5 Coection des execices du chapite M6 Langevin-Wallon, PTSI Mouvements dans un champ de foce cental et consevatif Execice 1 : Constante des aies Système : point matéiel M de masse m ; Execices Réféentiel : peu impote ca on se place dans un cas généal, il faut seulement qu il soit galiléen et que le cente de foce soit un point fixe dans ce éféentiel ; Bilan des foces : M n est soumis qu à une foce centale F = F () e dans un epéage polaie de cente le cente de foce Loi de la quantité de mouvement : ce qui donne en temes de composantes m a = F { m ( θ ) = F m ( ṙ θ + θ ) = 0 Considéons la pojection su u θ en la multipliant pa ṙ comme indiqué pa l énoncé, On identifie cette expession à la fome ṙ θ + θ = 0 Ainsi, en pocédant à l intégation, on touve u v + uv = 0 avec { u = v = θ u v = cte soit C = θ = cte Execice : Comète de Halley 1 Voi figue 1 comète d min S a d max Figue 1 Schéma de la tajectoie de la comète de Halley Le Soleil S est un des foyes de l ellipse On epésente en oute les distances minimale d min et maximale d max de la comète au Soleil, ainsi que le gand axe a de l ellipse La toisième loi de Keple pemet de détemine le demi-gand axe a, puisque O d apès la figue T a 3 = 4π m S G ( T ) 1/3 m S G d où a = 4π d max + d min = a 1/9 Étienne Thibiege, 31 mas 017, wwwetienne-thibiegef

6 Coection execices M6 : Champ de foce cental et consevatif Langevin-Wallon, PTSI d où on déduit ( T ) 1/3 m S G d max = 4π d min = 5, m = 1,1 10 ua 3 D apès le schéma, d où on déduit d max = (0) = p 1 e et d min = (π) = p 1 + e d min = 1 e d max 1 + e soit e = 1 d min d max 1 + d min d max donc e = d max d min d max + d min = 0,97 et de même p = d min (1 + e) = 1,1 ua Execice 3 : Modèle classique de tou noi 1 Voi cous F = G m 0 m e et E p = G m 0 m Voi cous : c est une conséquence de la consevation du moment cinétique 3 Voi cous : on emplace θ pa C/ dans l expession de l énegie mécanique, ce qui pemet d identifie l énegie potentielle effective E p,eff () = mc G m 0 m Attention : c est une «fausse» énegie potentielle, qui contient un teme issu de l énegie cinétique On peut s en ende compte en notant la pésence de la constante des aies C, qui dépend des conditions initiales 4 Voi cous et figue Le point M peut échappe à l attaction de l aste si sa tajectoie est non-bonée pou, c est-à-die pou E m 0 E p,eff Figue Pofil d énegie potentielle effective au voisinage d un aste sphéique 5 Voi cous On expime la valeu de l énegie mécanique à la limite d un état de diffusion (E m = 0) à la suface de l aste (distance R, vitesse v lib ) On peut le etouve plus qualitativement en expimant la consevation de l énegie mécanique ente la suface de l aste et une distance infinie en indiquant qu à la limite la paticule s est infiniment éloignée de l aste ( ) mais n a plus qu une vitesse nulle (v = 0) Ainsi, 1 m v lib G m 0 m G m0 = 0 d où v lib = R R Attention à bien utilise l énegie cinétique et l énegie potentielle «complètes», et sutout pas l énegie potentielle effective La vitesse v lib a une composante othoadiale, et la constante des aies ne doit pas este dans le ésultat /9 Étienne Thibiege, 31 mas 017, wwwetienne-thibiegef

7 Coection execices M6 : Champ de foce cental et consevatif Langevin-Wallon, PTSI Pa définition du ayon de Schwazschild, si l aste a pou ayon R S alos sa vitesse de libéation est égale à c On en conclut que l aste est un tou noi si R < R S = G m 0 c 7 Numéiquement, ce qui donne en temes de densité R S,S = 3,0 km et R S,T = 9,0 mm ρ S = 7, kg m 3 et ρ S = 8, kg m 3 C est phénoménal : imaginez toute la masse de la Tee concentée dans une balle de babyfoot ou de ping-pong! 8 Une pemièe contadiction consiste à généalise des ésultats de mécanique classique à des vitesses égales à la vitesse de la lumièe, qui se appotent donc au domaine de la elativité La seconde contadiction est la généalisation de ésultats de gavitation, qui s appliquent donc aux paticules massives, à la lumièe, alos qu on sait que les photons sont sans masse Execice 4 : Expéience de Ruthefod 1 Plaçons-nous en coodonnées cylindiques d axe Oz La paticule α étant chagée positivement, elle subit une foce de Coulomb épulsive execée pa le noyau placé en O s écivant ce qui s écit bien sous la fome F = 1 q α q noy e 4πε 0 = 1 Ze e 4πε 0 F = K e avec K = Ze 4πε 0 Si cette foce est consevative, alos comme elle est diigée suivant e et qu elle ne dépend que de elle s écit sous la fome F = de p e d ce qui pemet d identifie de p d = 1 Ze 4πε 0 et en intégant avec une constante d intégation choisie nulle (E p ( ) = 0), E p () = Ze πε 0 = K Le poids de la paticule α est négligeable devant la foce de Coulomb execée pa le noyau On peut donc considée qu elle n est soumise qu à cette foce, qui déive d une énegie potentielle On en déduit que le mouvement de la paticule α est consevatif, donc E m est une constante du mouvement À l instant initial, la paticule est à l infini où E p = 0 et elle est animée d une vitesse initiale de nome v 0, d où E m = 1 m v 0 3 Appliquons la loi du moment cinétique à la paticule α Comme la foce de Coulomb est diigée selon e alos sa doite d action passe pa O et donc son moment en O est nul Ainsi, d apès la loi du moment cinétique, d L O dt donc le moment cinétique évalué en O de la paticule α est une constante du mouvement Calculons-le à pati des conditions initiales En utilisant les notations de la figue de l énoncé, # OM(0) = OH # + HM # = OH e x + b e y = 0 3/9 Étienne Thibiege, 31 mas 017, wwwetienne-thibiegef

8 Coection execices M6 : Champ de foce cental et consevatif Langevin-Wallon, PTSI Ainsi, à l instant initial, L O (0) = m(oh e x + b e y ) ( v 0 ex ) = m b v 0 ( e y e x ) Enfin, expimons L O en coodonnées polaies, d où L O = m b v 0 ez L O = m( e ) (ṙ e + θ e θ ) = m θ( e e θ ) d où L O = m θ ez 4 À un instant quelconque, l énegie mécanique de la paticule α s écit sous la fome E m = 1 m(ṙ + θ ) + K Pou l écie comme une fonction de seulement, il faut emplace la dépendance en θ pa une dépendance en, ce qui est endu possible gâce au moment cinétique, L O = m θ ez = m b v 0 ez, ce qui pemet d isole et d écie ainsi ce qui se met sous la fome demandée θ = bv 0 E m = 1 mṙ + 1 m b v0 4 + K, E m = 1 mṙ + Ep() avec Ep() = m b v0 + K Cette fonction E p() est l énegie potentielle effective de la paticule α 5 Losque la paticule passe en S, sa distance à O est pa définition minimale et donc ṙ = 0 L énegie mécanique est donc tout simplement égale à E p( min ), E m = m b v0 min Pa consevation de l énegie mécanique, on en déduit 1 m v 0 = m b v0 min + K min + K min Pou isole min, le plus natuel consiste à multiplie l équation pa min, ce qui conduit à une équation du second degé 1 m v 0 min = 1 m b v 0 + K min min K mv min b = 0 0 Cette équation a pou disciminant et pou solutions ± = 1 = ( ) K mv0 + 4b > 0 K mv0 ± ( ) K mv0 + 4b 4/9 Étienne Thibiege, 31 mas 017, wwwetienne-thibiegef

9 Coection execices M6 : Champ de foce cental et consevatif Langevin-Wallon, PTSI Comme un ayon de coodonnées polaies est pa définition positif, seule la solution avec un signe + a un sens physique, d où on déduit ( min = 1 K ) K mv0 + mv0 + 4b min = = K mv K 1 mv ( mv 1 + 4b 0 K ) ( ) b m v 0 K 6 En invesant la elation donnée, on touve K b = mv0 tan(d/) = Ze π ε 0 m v0 tan(d/) d où b 1 =, m et b = 0, ce qui donne alos min1 =, m et min =, m On en déduit qu un noyau d o a une taille de l ode de m (c est un assez gos noyau), ce qui est bien plus petit que la taille de l atome (10 10 m) connue pa Ruthefod Execice 5 : Modèle de Boh de l atome d hydogène 1 Le poton exece une foce de Coulomb attactive su l électon Dans un epéage polaie dans le plan du mouvement, F = e u 4π ε 0 Comme cette foce est consevative, alos l énegie potentielle dont elle déive est telle que ce qui conduit à en penant comme éféence E p ( ) = 0 F = de p u d de p d = e 4π ε 0 d où E p () = e 4π ε 0 L électon en mouvement pa appot à un éféentiel lié au poton Son poids est négligeable devant la foce électique execée pa le poton, ce qui a été justifié dans le chapite su les paticules chagées D apès la loi de la quantité de mouvement appliquée à l électon en mouvement ciculaie, m a = F ce qui donne en pojection su u m θ = e 4π ε 0 O θ = v /, d où et ainsi L énegie mécanique s écit alos m v = e 4π ε 0, e v = 4π ε 0 m E m = 1 m v e 4π ε 0 = e 8π ε 0 e 4π ε 0 soit E m = e 8π ε 0 3 D apès la question pécédente, E p = E m 5/9 Étienne Thibiege, 31 mas 017, wwwetienne-thibiegef

10 Coection execices M6 : Champ de foce cental et consevatif Langevin-Wallon, PTSI Comme E m < 0 il n y a pas de contadiction! 4 Comme l obite de l électon est ciculaie, son vecteu vitesse est othoadial alos que son vecteu position est adial Les deux vecteus sont donc pependiculaies La nome du moment cinétique de l électon évalué en P vaut donc L P = n mv n sin π m e soit L P = n 4π ε 0 5 L hypothèse de quantification de Boh indique que m e n 4π ε 0 = n soit m e n 4π ε 0 = n et ainsi n = 4π ε 0 m e n 6 Connaissant n, on en déduit les valeus pemises pou l énegie mécanique, E n = e m e 8π ε 0 4π ε 0 n soit E n = E 0 n avec E 0 = m e4 3π ε = 13,6 ev 0 7 Repatons de la condition de quantification du moment cinétique, En utilisant la elation de de Böglie, v n = h/mλ n, d où le ésultat annoncé, L P = m n v n = n m n h mλ n = n π n = nλ n La longueu π n coespond au péimète de l obite ciculaie, qui doit ici coesponde à un nombe entie de longueus d ondes de de Böglie : c est une condition de type ésonance d onde stationnaies Execice 6 : Gavity Annale de concous [oal CCP] 1 Dans un epèe polaie de cente O le cente de la Tee, F = GM 0m e et E p = GM 0m Pou un système en otation unifome, = cte donc ṙ = 0 et = 0 et v = θ = 0 donc θ = 0 Le PFD dans la base polaie s écit donc m v e = GM 0m e soit v = GM 0 O le mouvement est pa hypothèse ciculaie de ayon et unifome de péiode T, donc v = π/t et 4π T = GM 0 ce qui conduit à la toisième loi de Keple pou l obite ciculaie, T 3 = 4π M 0 G 6/9 Étienne Thibiege, 31 mas 017, wwwetienne-thibiegef

11 Coection execices M6 : Champ de foce cental et consevatif Langevin-Wallon, PTSI L énegie mécanique de l astonaute vaut alos E m = 1 mv GM 0m = 1 mgm 0 GM 0m donc E m = GM 0m 3 D apès la toisième loi de Keple, T S 3 S = T H 3 H donc ( ) 3/ S T S = T H = 93 min H On a pa ailleus v H = π H T H = 7, m s 1 et v S = π S T S = 7, m s 1 (la difféence n appaaît que su le toisième chiffe significatif mais l énoncé n en donne que deux pou T H ) 4 Voi figue 3 Le cente de la Tee est focément l un des foyes de l ellipse, d apès la pemièe loi de Keple Hubble ISS obite de tansfet Tee Figue 3 Obite de tansfet Les deux obites de Hubble et de l ISS sont epésentées en bleu, l obite de tansfet en ouge Évidemment, la figue n est pas à l échelle Vesion couleu su le site de la classe 5 L énegie mécanique en obite elliptique pend la même fome qu en obite ciculaie en emplaçant le ayon pa le demi-gand axe a (ésultat admis dans le cous) Ici, a = S + H, d où on déduit E m = GM 0m S + H 6 À l apogée, l astonaute est à distance H du cente de la Tee, donc ce qui donne E m = 1 mv apo GM 0m = GM 0m H S + H vapo = GM 0 S H ( S + H ) et en utilisant la toisième loi de Keple pou faie appaaîte la péiode à la place de M 0 G vapo S 4π H 3 = H ( S + H ) TH d où v apo = π H S = 7, m s 1 T H S + H Pa analogie (et en véifiant que le aisonnement se tanspose sans poblème!), v pé = π S H = 7, m s 1 T S S + H 7/9 Étienne Thibiege, 31 mas 017, wwwetienne-thibiegef

12 Coection execices M6 : Champ de foce cental et consevatif Langevin-Wallon, PTSI Pou le contôle de la vitesse, je ne sais pas top comment l astonaute peut faie Les satellites utilisent des moteus, mais je ne suis pas sû que l astonaute en ait! 7 Même su l obite de tansfet, l astonaute n est soumis qu à la foce execée pa la Tee, et son mouvement véifie la toisième loi de Keple Ainsi, la péiode T tansf à laquelle il pacout l obite de tansfet est eliée au demi-gand axe a = S + H pa Ttansf ( ) 3 = 4π S + H M 0 G = T H 3 H Pa ailleus l astonaute ne pacout que la moitié de l obite : le voyage pend une duée t = T tansf /, d où 8 4 t ( S + H ) 3 = T H 3 H soit t = T ( H 1 + ) 3/ S = 47 min 3 H Notez que cette duée est celle pou passe de l obite de Hubble à celle de l ISS mais pas pou atteinde l ISS Sauf coup de chance, l opéation est d ailleus mal engagée pou les astonautes : comme la vitesse ne dépend pas de la masse mais que de la distance au cente de la Tee, tous les cops su la même obite vont à la même vitesse À moins d aive su l obite juste au bon moment (et c est comme pa hasad ce qui aive dans le film), les astonautes n ont aucune chance de attape ou d ête attapés pa l ISS Execice 7 : Descente d un satellite Résolution de poblème [oal CCP] Compte tenu de la tès faible vaiation d altitude au cous d une péiode, on peut faie l appoximation que tous les ésultats établis pou une obite ciculaie demeuent valables en penant simplement un ayon dépendant (lentement) du temps De façon pécise, on suppose ṙ θ Su une obite ciculaie de ayon R, la vitesse du satellite vaut v = GMT R donc la foce de fottement s écit αgmm T f = eθ R La vaiation d énegie mécanique du satellite au cous d une péiode est égale au tavail de la foce de fottement, ce qui donne Ainsi, au cous d une péiode, ˆ W = cecle W = αgmm T ˆ f # dm = cecle ˆ eθ cecle E m = παgmm T f (Rdθ eθ ) dθ = παgmm T Pa ailleus, l énegie mécanique du satellite en obite ciculaie vaut et donc E m = GM Tm R E m = GM Tm R GM Tm (R R) GM Tm en appoximant R(R R) R Ainsi, au cous d une péiode, R R παgmm T = GM Tm R R soit R = 4πR α Ainsi, pou que l altitude du satellite diminue de h = 10 km, il faut h/ R péiodes 8/9 Étienne Thibiege, 31 mas 017, wwwetienne-thibiegef

13 Coection execices M6 : Champ de foce cental et consevatif Langevin-Wallon, PTSI Enfin, connaissant le ayon et la vitesse il n est pas difficile d estime la péiode, T = πr R = πr, v GM T et de conclue su la duée nécessaie pou que l altitude diminue de h, t = h T πr h R = R 4πR α GM T d où finalement t = h α RGM T = s ans 9/9 Étienne Thibiege, 31 mas 017, wwwetienne-thibiegef