Soit O; i, j un repère orthogonal du plan. L unité d aire, notée u.a, est l aire du rectangle unitaire OIJK avec I(0; 1),

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1 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID I INTÉGRALE ET AIRE UNITÉ D AIRE ( ) J K Soit O; i, j un repère orthogonl du pln. L unité d ire, notée u., est l ire du rectngle unitire OIJK vec I(0; ), j u.. J(0; ) et K(; ). 0 I x i INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE ET POSITIVE DÉFINITION Soit f une fonction définie, continue ( et positive ) sur un intervlle [;b] et s courbe représenttive dns le pln muni d un repère orthogonl O; i, j. L intégrle de f entre et b est l ire, exprimée en unités d ire, du domine D f compris entre l courbe, l xe des bscisses et les droites d équtions x= et x=b Ce nombre est noté : f(x)dx J K j u. 0 i I b x REMARQUES f(x)dx se lit «intégrle de à b de f(x)dx» ou encore «somme de à b de f(x)dx». Les réels et b sont ppelés les bornes de l intégrle f(x)dx. L vrible x est dite «muette», elle n intervient ps dns le résultt. C est à dire qu on peut l remplcer pr n importe quelle utre vrible distincte des lettres et b : f(x)dx= 0, cr le domine D f est lors réduit à un segment. f(x)dx= f(t)dt = f(u)du EXEMPLES. Clculons ( 0,x+,6) dx. L fonction ffine f définie pour tout réel x pr f(x) = 0,x+,6 est continue et positive sur l intervlle [ ; ] L intégrle ( 0,x+,6) dx est égle à l ire du trpèze ABCD. ( 0,x+,6)dx (AD+BC) AB = = (+) 5 = 5 D A B - O x C A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge sur 0

2 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID. Soit f l fonction définie pour tout réel x pr f(x)= Déterminer un encdrement de l intégrle f(x)dx. 6 x x+7 dont l courbe est représentée ci-dessous. - O x Sur l intervlle [ ; ], l fonction f est continue et positive. L intégrle f(x)dx est égle à l ire, en unités d ire, du domine D f compris entre l courbe, l xe des bscisses et les droites d équtions x= et x=. On peut déterminer un encdrement de l intégrle f(x)dx à l ide du qudrillge. D où l encdrement 75 6 f(x)dx 6 Un encdrement plus précis est obtenu à prtir de trpèzes. Les droites (MN), (NV) et (VU) étnt les tngentes respectives à l courbe ux points d bscisses, et. R V Q U M N L P S T - O x L ire du domine D f est comprise entre l somme des ires des trpèzes LMNO, NOPQ, PQRS et RSTU et, l somme des ires des trpèzes LMPQ, PQV S et V STU. Soit 0,65+,5+,75+,75 f(x)dx +,875++,875 5,75 f(x)dx 5,75 Remrque : ( 6 À l ide de l clcultrice, on trouve x x+7 ( À l ide d un logiciel de clcul formel, on obtient ) dx 5,. 6 x x+7 ) dx=π. A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge sur 0

3 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE ET NÉGATIVE Si f est une fonction continue et négtive sur un intervlle [; b] lors, l fonction g définie sur l intervlle [; b] pr g = f est une fonction continue et positive sur cet intervlle. Pr smétrie pr rpport à l xe des bscisses, l ire du domine D f compris entre l courbe, l xe des bscisses et les droites d équtions x= et x=b est égle à l ire du domine D g compris entre l courbe C g, l xe des bscisses et les droites d équtions x = et x = b. J K j u. C g 0 i I b x DÉFINITION Soit f une fonction définie, continue ( et négtive ) sur un intervlle [;b] et s courbe représenttive dns le pln muni d un repère orthogonl O; i, j. L intégrle de l fonction f entre et b est égle à l opposé de l ire A, exprimée en unités d ire, du domine D f compris entre l courbe, l xe des bscisses et les droites d équtions x= et x=b : f(x)dx= A LIEN ENTRE INTÉGRALE ET PRIMITIVE Soit f une fonction continue sur un intervlle [;b]. On peut définir une nouvelle fonction F qui à tout réel x de l intervlle [; b], ssocie l intégrle de f entre et x : F(x) = x f(t)dt THÉORÈME (dmis) Soit f une fonction continue sur un intervlle [; b]. L fonction F définie sur [; b] pr F(x) = x f(t)dt est dérivble sur [; b] et pour dérivée f. EXEMPLE Soit f l fonction définie sur l intervlle[ ;] pr f(x)= x+ 5. Si x est un réel de l intervlle [ ;], l fonction F définie pr F(x)= x f(t)dt est égle à l ire du trpèze colorié. On donc F(x)= (+( 0,5x+,5)) (x+) = x + 5x + L fonction F est dérivble sur [ ;] et F (x)= x + 5 = f(x). - O x A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge sur 0

4 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID II INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE DÉFINITION Soit f une fonction continue sur un intervlle [; b] et F une primitive de l fonction f sur [; b]. L intégrle de f entre à b est le nombre réel égl à F(b) F() : f(x)dx=f(b) F() REMARQUES [ ] b [ ] b L différence F(b) F() se note F(x) ; insi f(x)dx= F(x) = F(b) F(). Le choix de l primitive F n influe ps sur l vleur de l intégrle. En effet, si G est une utre primitive de f sur I, il existe un réel k tel que G(x)=F(x)+k d où G(b) G()=(F(b)+k) (F()+k)=F(b) F() Si f est une fonction continue et positive sur un intervlle [; b] lors l intégrle f(x)dx=f(b) F() est l ire, exprimée en unité d ire, du domine compris entre l courbe, l xe des bscisses et les droites d éqution x= et x=b. EXEMPLE e (x x + ex ) [ x dx= ln(x) e x ( e = ln(e) e e = e + e 5 ] e ) ( ln() e ) PREMIÈRES PROPRIÉTÉS Soit f une fonction continue sur un intervlle I de Ê. Pour tout réel pprtennt à I. f(x)dx= 0 Preuve : Soit F une primitive de f sur I. f(x)dx= F() F()=0 Soit f une fonction continue sur un intervlle I de Ê, et b deux réels pprtennt à I. Preuve : Soit F une primitive de f sur I. f(x)dx= f(x)dx b f(x)dx= F(b) F() et b f(x)dx= F() F(b) A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge sur 0

5 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID III PROPRIÉTÉS DE L INTÉGRALE POSITIVITÉ Soit f une fonction continue sur un intervlle I, et b deux réels pprtennt à I. Si b et f 0 sur l intervlle [;b], lors f(x)dx 0. DÉMONSTRATION Soit F une primitive de f sur I. Pour tout réel x de l intervlle I, F (x)= f(x). Or f 0 sur l intervlle [;b] donc F est croissnte sur [;b]. Pr conséquent, si b, lors F() F(b). On en déduit que F(b) F() 0 et f(x)dx 0. Attention l réciproque est fusse : Soit f l fonction définie sur Ê pr f(x)= x + x+ Ainsi f(x)dx 0 mis f( )=. [ x ( x + x+ ) dx= + x + x ( = 9+ 7 ) ( ) On démontre de mnière nlogue l propriété suivnte : Soit f une fonction continue sur un intervlle I, et b deux réels pprtennt à I. Si b et f 0 sur l intervlle [;b], lors f(x)dx 0. ] = 5 6 LINÉARITÉ Soit f et g deux fonctions continues sur un intervlle I de Ê. Pour tous réels et b pprtennt à I, et pour tout réel α ( f(x)+g(x))dx= f(x)dx+ g(x)dx et α f(x)dx= α f(x)dx DÉMONSTRATION. Si F et G sont deux primitives respectives des fonctions f et g sur I, lors F+ G est une primitive sur I de l fonction f + g. ( f(x)+g(x))dx=(f(b)+g(b)) (F()+G()) =(F(b) F())+(G(b) G()) = f(x)dx+. Soit F une primitive de f sur I et α un réel. k f(t)dt = αf(b) αf() = α(f(b) F()) = α f(x)dx g(x)dx A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 5 sur 0

6 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID RELATION DE CHASLES Soit f une fonction continue sur un intervlle I de Ê. Pour tous réels, b et c pprtennt à I c f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx c DÉMONSTRATION Soit F une primitive de f sur I. Pour tous réels, b et c pprtennt à I INTERPRÉTATION GRAPHIQUE : c f(x)dx+ c f(x)dx=(f(c) F())+(F(b) F(c)) = F(b) F() = f(x)dx Dns le cs où f est une fonction continue et positive sur [;b]. L ire du domine compris entre l courbe, l xe des bscisses et les droites d équtions x=et x=b est égle à l somme des ires du domine compris entre l courbe, l xe des bscisses et les droites d équtions x = et x = c et du domine compris entre l courbe, l xe des bscisses et les droites d équtions x=c et x=b. j u. 0 i c b x ORDRE Soient f et g deux fonctions continues sur un intervlle I, et b deux réels pprtennt à I tels que b. Si pour tout réel x pprtennt à[;b], f(x) g(x), lors f(x)dx g(x)dx DÉMONSTRATION Si pour tout réel x pprtennt à [;b], f(x) g(x), lors f(x) g(x) 0. Comme f et g sont deux fonctions continues sur [; b], l fonction f g est continue sur [; b]. Pr conséquent, si b et f g 0 lors ( f g)(x)dx 0 f(x)dx g(x)dx 0 Attention l réciproque est fusse : Considérons les fonctions f et g définies sur Ê pr f(x)= x et g(x)=x + x. ( x ) ] dx= [x x ( = 7 ) ( 6+ 6 ) = 7 ( x + x ) x dx=[ + x = ] x ) ( ( ) = 77 6 A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 6 sur 0

7 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID Ainsi, f(x)dx g(x)dx mis nous ne pouvons ps conclure que sur l intervlle [ ;], f(x) g(x) comme on peut le constter sur le grphique ci-contre. 8 C g x IV INTÉGRALE ET MOYENNE INÉGALITÉS DE LA MOYENNE Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle [; b] de Ê ( < b ). Soit m et M deux réels. Si pour tout réel x pprtennt à l intervlle [;b], m f(x) M, lors : m (b ) f(x)dx M (b ) DÉMONSTRATION Les fonctions définies sur [; b] pr x m et x M sont constntes donc continues. Si pour tout réel x pprtennt à [;b] (<b ), m f(x) M, lors d près l propriété de l intégrtion d une inéglité : m dx f(x)dx M dx m dx f(x)dx M dx m (b ) f(x)dx M (b ) INTERPRÉTATION GRAPHIQUE : Dns le cs où f est une fonction continue et positive sur [;b] L ire du domine compris entre l courbe, l xe des bscisses et les droites d éqution x= et x=b est comprise entre les ires des rectngles R et R : R de côtés m et b ; R de côtés M et b. M R m R j 0 i b x VALEUR MOYENNE Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle [; b] de Ê ( < b ). On ppelle vleur moenne de f sur [;b] le réel µ = f(x)dx b INTERPRÉTATION GRAPHIQUE : Dns le cs où f est une fonction continue et positive sur [;b] L ire du domine compris entre l courbe, l xe des bscisses et les droites d éqution x = et x = b est égle à l ire du rectngle de côtés µ et b. µ j 0 i b x A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 7 sur 0

8 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID EXERCICE. L courbe est l représenttion grphique d une fonction f définie sur Ê. Déterminer un encdrement de l intégrle f(x)dx. - O x. L fonction f est définie pour tout réel x pr f(x)= 6 x x+7. À l ide de l clcultrice, déterminer un encdrement u centième près, de l intégrle f(x)dx. EXERCICE Le pln est muni d un repère orthonormé ( ) O; i, j d unité grphique cm. et b sont deux réels tels que <b. Dns chque cs, on considère une fonction f définie et positive sur( l intervlle ) [; b]. désigne l courbe représenttive de l fonction f dns le repère O; i, j et D f le domine compris entre l courbe, l xe des bscisses et les droites d éqution x= et x=b. FONCTION CONSTANTE : Soit c un réel positif. f est l fonction définie sur Ê pr f(x)=c.. Exprimer en fonction de et de b l ire en cm du domine D f.. On considère l fonction F qui à tout réel x de l intervlle [;b], ssocie l ire A x du domine hchuré. ) Donner une expression de F en fonction de x. b) Clculer F (x) où F est l dérivée de l fonction F sur [;b] c) Clculer F(b) F(). Que constte-t-on? 0 i x b c j D f FONCTION AFFINE : f est une fonction ffine définie sur Ê pr f(x) = mx+ p où m et p sont des réels fixés vec m non nul. f est supposée positive sur [; b].. Exprimer en fonction de et de b l ire en cm du domine D f.. On considère l fonction F qui à tout réel x de l intervlle [;b], ssocie l ire A x du domine hchuré. ) Donner une expression de F en fonction de x. b) Clculer F (x) où F est l dérivée de l fonction F sur [;b] c) Clculer F(b) F(). Que constte-t-on? j D f 0 i x b A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 8 sur 0

9 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID EXERCICE L courbe trcée ci-dessous est l représenttion grphique d une fonction f définie et dérivble sur Ê. L tngente T à l courbe u point A psse pr le point de coordonnées (;). On note f l dérivée de l fonction fonction f et F une primitive de l fonction fonction f. T A x Déterminer f () et f (5).. Donner le tbleu de vritions de l fonction F.. Donner un encdrement de l intégrle 5 f(x) dx.. Une des trois courbes ci-dessous est l représenttion grphique de l fonction f et une utre celle de l fonction F. ) Déterminer l courbe ssociée à l fonction f et celle qui est ssociée à l fonction F. C x x - C x - - C -6 b) En déduire l vleur excte de l ire du domine colorié. A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 9 sur 0

10 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID EXERCICE Clculer l vleur excte de chcune des intégrles suivntes :. A=. B=. C=. D= 5. E = 6 ln 0 π 6. F = π π 7. G= π ( x x+ ) dx ( x ) x dx e x+ dx e x (e x + ) dx lnx x dx cost dt sint dt π 8. H = sin(t+ π) dt 0 EXERCICE 5. Clculer l intégrle e x e x dx.. Peut-on en déduire que l fonction f définie pour tout réel x pr f(x)=e x e x est constnte sur l intervlle [ ;]? EXERCICE 6 Soit f l fonction définie sur l intervlle [0;9] pr f(x) = x x et s courbe représenttive dns le pln muni d un repère orthogonl. 6 M x L objet de cet exercice est de déterminer l bscisse du point M de l prbole telle que l ire du tringle hchuré soit égle à l moitié de l ire du domine délimité pr l courbe, l xe des bscisses et les droites d éqution x=0 et x=.. Quelle est l ordonnée du point M de l prbole d bscisse? En déduire l ire T en fonction de du tringle hchuré.. Exprimer l ire A en fonction de du domine délimité pr l courbe, l xe des bscisses et les droites d éqution x=0 et x=.. Déterminer pour que A = T. A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 0 sur 0

11 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID EXERCICE 7 L courbe trcée ci-dessous dns le pln muni d un repère orthogonl est l courbe représenttive d une fonction f définie et dérivble sur Ê. L droite T est tngente à l courbe u point d bscisse 0. T x PARTIE A - Lecture grphique. On désigne pr f l fonction dérivée de l fonction f. Pr lecture grphique, déterminer f (0).. Soit F une primitive de f. Pour chcune des propositions suivntes, indiquer si elle est vrie ou fusse et justifier l réponse. PROPOSITION A : Sur l intervlle [5; + [, l fonction F est croissnte. PROPOSITION B : F( ) F(0). PROPOSITION C : F(5) F(0) 8. PARTIE B - Clcul d ire L fonction f est définie pour tout réel x pr f(x)=xe 0,x.. On cherche une primitive F de l fonction f de l forme F(x) = (x+b)e 0,x vec et b deux nombres réels. { 0, = ) Montrer que et b sont solutions du sstème d équtions suivnt : 0,b = 0 b) Clculer et b et donner l expression de F(x).. On note A l ire, exprimée en unité d ire, du domine colorié sur le grphique. Déterminer l vleur excte de A. EXERCICE 8 L courbe trcée ci-dessous est l représenttion grphique d une fonction f définie et dérivble sur Ê. L tngente T à l courbe u point C(6;0) psse pr le point de coordonnées (5;) A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge sur 0

12 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID B A C x T On note f l dérivée de l fonction fonction f et F une primitive de l fonction fonction f. À prtir du grphique et des renseignements fournis, répondre ux questions suivntes :. Déterminer f ( ) et f (6).. Donner le tbleu de vritions de l fonction F.. Une des trois courbes ci-dessous est l représenttion grphique de l dérivée f et une utre de l primitive F. Déterminer l courbe ssociée à l fonction f et celle qui est ssociée à l fonction F x x x Courbe C Courbe C Courbe C -6. Donner une vleur pprochée (en unité d ire) de l ire du domine hchuré. EXERCICE 9 (D près sujet bc Antilles Gune 05) Les trois prties de cet exercice peuvent être tritées de mnière indépendnte. Dns cet exercice, ln désigne l fonction logrithme népérien. PARTIE A On considère l fonction f définie sur ]0; + [ pr : f(x)=x+bln(x)+ où et b sont deux nombres réels. A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge sur 0

13 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID est l représenttion grphique de l fonction f dns un repère orthonormé. Les points A et E sont deux points de l courbe. Le point A pour coordonnées (;) et le point E pour bscisse. L tngente à u point E est horizontle A D B - 0 C x -. Déterminer f() et f () où f désigne l fonction dérivée de f.. Clculer f (x) puis exprimer f () en fonction de et b.. Déterminer les vleurs de et b. PARTIE B Soit l fonction f définie sur ]0;+ [ pr : E f(x)=x ln(x)+. Déterminer lim f(x) en justifint l réponse. Donner une interpréttion grphique du résultt. x 0. Déterminer lim f(x) en justifint l réponse (on pourr fctoriser l expression de f(x) pr x). x +. Clculer l dérivée f de f. En déduire le tbleu des vritions de f. PARTIE C Une entreprise fbrique des pièces de crrosserie de voiture. L forme d une pièce est donnée sur l figure ci-contre et correspond à l zone hchurée sur le grphique précédent. On souhite déterminer l mesure de l ire de l pièce en unité d ire. Le point D est le point de l courbe d bscisse. Les points B et C ont pour coordonnées respectives (; 0) et (; 0). A B D C A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge sur 0

14 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID Soit l fonction G définie sur ]0;+ [ pr : G(x)=xln(x) x.. Clculer l dérivée G de G.. En déduire une primitive F de l fonction f donnée dns l prtie B sur ]0; + [.. Déterminer l vleur excte de l ire de l pièce en unité d ire; puis en donner une vleur rrondie à 0. EXERCICE 0 (D près sujet bc Nouvelle Clédonie 05) Une entreprise fbriqunt des plnches de surf conçoit un nouveu modèle d ileron. Cet ileron est composé de deux prties : l prtie supérieure ou «boîtier» permettnt de fixer l ileron à l plnche, l prtie inférieure destinée à être immergée dns l eu. Pour estimer l quntité de mtière nécessire à l fbriction de l prtie inférieure de l ileron, l entreprise souhite connître le mieux possible l ire A du domine hchuré. Pour modéliser le profil ltérl de l prtie inférieure on se plce dns un repère orthonormé vec une échelle de crreu pour 0 cm et on se propose d utiliser, pour des bscisses comprises entre 0,5 et, l courbe représenttive de l fonction f définie sur ]0;+ [ pr : f(x) = + b+ln(x) où et b sont des constntes x réelles qui restent à déterminer. 0 0,5 x. Évluer l ire A en nombre entier de crreux en expliqunt votre démrche.. Déterminer grphiquement les vleurs de f() et de f ().. Vérifier que le choix de = et b= répond u problème posé.. Soit l fonction F définie sur ]0;+ [ pr F(x)=(x+)ln(x) 7x. Montrer que F est une primitive de f. 5. Déterminer en cm près une vleur pprochée de l ire A. EXERCICE (D près sujet bc Antilles Gune 06) ( ) Sur le grphique ci-dessous, C est l courbe représenttive, dns le repère orthonormé O; i, j, d une fonction f définie sur Ê. A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge sur 0

15 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID T A C j x i PARTIE A - Étude grphique L droite T est tngente à C u point A(,5;,5) et d ordonnée à l origine,75. L xe des bscisses est smptote horizontle à C u voisinge de+. Déterminer grphiquement et indiquer sur votre copie :. f();. f (,5);. Une éqution de l tngente T ;. lim x + f(x). PARTIE B - Modélistion On dmet qu il existe deux réels et b tels que pour tout réel x, f(x)=(x+b)e x+,5.. Clculer f (x) en fonction de et b.. Exprimer en fonction des réels et b les nombres suivnts f(); f (,5).. Déduire des questions précédentes un sstème d équtions vérifiées pr et b.. Résoudre ce sstème et en déduire l expression de f(x) en fonction de x. PARTIE C - Étude lgébrique On dmet que pour tout réel x, f(x)=(x )e x+,5.. Déterminer l limite de f en.. ) Montrer que pour tout réel x, f(x)=e,5 ( x e x e x ). b) Déterminer l limite de f en+. Clculer f (x) pour tout réel x.. Étudier le signe de f et en déduire le tbleu des vritions de l fonction f en fisnt figurer les limites trouvées précédemment. PARTIE D - Appliction A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 5 sur 0

16 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID On souhite déterminer l ire S en unité d ire de l surfce d une des fces principles du boîtier plstique de l ppreil uditif schémtisé ci-contre. Une modélistion mthémtique permis de représenter cette surfce. Dns le pln muni du repère orthonormé l xe des bscisses; les droites d équtions x= et x=,5; l courbe représenttive C de l fonction f étudiée précédemment; l courbe représenttive C g de l fonction g définie pr : ( ) O; i, j cette surfce correspond à l prtie du pln limitée pr : pour tout réel x, g(x)= x + x 6.. Sur l nnexe fournie, hchurer l surfce décrite précédemment. Pour déterminer l ire S de cette surfce, on décompose le clcul en deux prties.. Clculer l vleur excte de l intégrle suivnte : I =,5 g(x)dx.. on souhite clculer l vleur excte de l intégrle suivnte : J = expression est donnée dns l prtie C.,5 ) Vérifier qu une primitive F de l fonction f sur Ê est l fonction définie pr : b) En déduire l vleur excte de l intégrle J.. Déterminer l vleur excte de l ire S en unité d ire. pour tout réel x, F(x)= xe x+,5. 5. En déduire l vleur rrondie à 0 de l ire S en unité d ire. f(x)dx où f est l fonction dont une ANNEXE À rendre vec l copie A C g C j x i A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 6 sur 0

17 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID EXERCICE (D près sujet bc Frnce Métropolitine, L Réunion septembre 05) «Avec une centine de décès en moenne pr n, le monoxde de crbone (CO) est l première cuse de mortlité ccidentelle pr intoxiction en Frnce. [... ] Pourtnt certins smptômes nnonciteurs d une intoxiction u monoxde de crbone existent. Mux de tête, nusées et vomissements sont notmment les premiers signes qui doivent lerter. Bien identifiés, ils permettent de régir rpidement et d éviter le pire.» Source Ministère des Affires Sociles et de l Snté. (octobre 0) DOCUMENT L société COlerte fbrique un modèle de détecteurs qui enregistre en temps réel l concentrtion de monoxde de crbone en prties pr million (ppm). Un tel détecteur produit un signl d lrme respectnt les modlités fixées pr l norme européenne EN 50 9 ci-dessous. Il déclenche un signl d lrme : si l concentrtion est supérieure à 0 ppm pendnt u moins 0 minutes; si l concentrtion est supérieure à 50 ppm pendnt u moins 60 minutes; si l concentrtion est supérieure à 00 ppm pendnt u moins 0 minutes; si l concentrtion est supérieure à 00 ppm pendnt u moins minutes. DOCUMENT Smptômes et effets sur l snté du monoxde de crbone 000 Décès rpide 000 Com, convulsions Niveux croissnts de CO dns l ir mbint (en ppm) Céphlées, confusion, évnouissements chez l dulte Céphlées, vertiges, bisse de l cuité visuelle, irritbilité chez l dulte et sncope chez l enfnt Céphlées occsionnelles, souffle court lors d un exercice Céphlées et nusées chez les enfnts 0 0 Troubles du rthme crdique ressentis chez les personnes les plus sensibles, souffrnt de coronropthie Ps de smptôme Source : Commission européenne 0. Un lbortoire d essis procède à des tests sur un détecteur produit pr l société COlerte en simulnt un ccident qui provoque une concentrtion normle de monoxde de crbone dns une pièce. PARTIE A A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 7 sur 0

18 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID Le lbortoire relève l concentrtion de monoxde de crbone en fonction du temps, exprimé en heures. Les enregistrements effectués sur une période de 8 heures se trduisent pr l représenttion grphique ci-dessous. 80 Concentrtion de monoxde de crbone en ppm Temps en minutes. Estimer u bout de combien de temps devrit retentir un signl d lrme.. Une personne présente dns l pièce depuis le début d un tel ccident risquerit-elle de présenter des smptômes? Si oui, lesquels? PARTIE B Dns cette prtie, tous les résultts seront rrondis à 0 près. L concentrtion de monoxde de crbone exprimée en ppm dns l pièce en fonction du temps, exprimé en heures, est modélisée pr l fonction f définie sur [0; 8] pr f(t)=,+00te t.. Clculer l concentrtion de monoxde de crbone en ppm dns l pièce : ) u moment de l ccident; b) 0 minutes près.. À l ide du grphique de l prtie A, conjecturer les vritions de l concentrtion de monoxde de crbone dns l pièce en fonction du temps.. On note f l fonction dérivée de l fonction f sur l intervlle [0;8]. ) Montrer que pour tout réel t de l intervlle [0;8], f (t)=00( t)e t. b) Étudier le signe de f (t) sur l intervlle [0;8]. c) Vlider ou invlider l conjecture émise à l question.. On note F l fonction définie sur l intervlle [0;8] pr F(t)=,t 00(t+ )e t. On dmet que F est une primitive de l fonction f sur l intervlle [0; 8]. ) On rppelle que l vleur moenne d une fonction continue sur un intervlle [ ;b] est le nombre réel b défini pr : f(t)dt. b Clculer l vleur moenne de l concentrtion de monoxde de crbone lors des 8 heures qui ont suivi l ccident. A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 8 sur 0

19 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID b) Pour des risons de sécurité, le ministère du trvil fixe un seuil pour l concentrtion moenne de monoxde de crbone. Ce seuil est de 50 ppm pour une période de 8 heures. L sécurité des personnes présentes dns l pièce urit-elle été remise en cuse lors de l ccident simulé? EXERCICE (D près sujet bc Polnésie 06) PARTIE A : Lecture grphique On considère l courbe C ssociée à une fonction f représentée en nnexe vec l droite T, tngente à l courbe C u point d bscisse 0.. Résoudre grphiquement sur l intervlle[ ;,5] et vec l précision permise pr le dessin les deux inéqutions suivntes : ) f(x). b) f (x) 0.. ) Donner l éqution de l tngente T à l courbe C u point de coordonnées (0;) en schnt que cette tngente psse pr le point de coordonnées (;7). b) En déduire le nombre dérivé f (0). PARTIE B : Étude de l fonction f Soit f l fonction définie sur Ê pr l reltion f(x)= e x + 5x.. Déterminer, en l justifint, l limite de f en +. On dmet pour l suite que l limite de f en est +.. Clculer f (x) et étudier son signe sur Ê.. En déduire le tbleu des vritions de l fonction f sur Ê.. ) Déterminer à prtir du tbleu des vritions le nombre de solutions de l éqution f(x) =. b) Donner une vleur rrondie à 0 près de chque solution. PARTIE C : Clcul d ire On dmet : que l courbe C de l prtie A est l représenttion de l fonction f définie dns l prtie B; que l courbe C se situe «u-dessus» de l droite tngente T sur Ê. L objectif de cette prtie est de déterminer pr un clcul l ire A comprise entre l courbe C, l droite T et les droites verticles d équtions x = 0 et x =,5.. Hchurer sur le dessin, en nnexe, l ire A que l on veut déterminer.. ) Déterminer une primitive de l fonction g définie sur Ê pr : pour tout réel x, g(x) = e x + x.,5 b) Justifier que l ire A recherchée vut, en unité d ire : A = g(x)dx. 0 c) En déduire l vleur excte puis l rrondi à 0 de A. A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 9 sur 0

20 Lcée JANSON DE SAILLY 7 février 07 CALCUL INTÉGRAL T le STID ANNEXE à rendre vec l copie 8 7 C 6 T 5 -,0 -,5 -,0-0,5 0 0,5,0,5,0,5 x A. YALLOUZ (MATH@ES) Pge 0 sur 0