Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales simples

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1 Cours de remise à niveu Mths 2ème nnée Intégrles simples C. Mugis-Rbusseu GMM Bureu 116 C. Mugis-Rbusseu (INSA) 1 / 47

2 Pln 1 Définitions 2 Propriétés des fonctions intégrbles Reltion de Chsles Opértions sur les intégrles 3 Ensembles des fonctions intégrbles Ensemble de fonctions monotones Ensemble de fonctions continues Inéglité de Cuchy-Schwrz 4 Le premier théorème de l moyenne 5 Intégrle et primitive 6 Clcul intégrl Intégrtion pr prties Chngement de vrible Tbleu récpitultif des primitives usuelles Primitives des fonctions rtionnelles Polynômes et frctions en sinus et cosinus Pour ller plus loin : Fonctions hyperboliques C. Mugis-Rbusseu (INSA) 2 / 47

3 Sommire 1 Définitions 2 Propriétés des fonctions intégrbles Reltion de Chsles Opértions sur les intégrles 3 Ensembles des fonctions intégrbles Ensemble de fonctions monotones Ensemble de fonctions continues Inéglité de Cuchy-Schwrz 4 Le premier théorème de l moyenne 5 Intégrle et primitive 6 Clcul intégrl Intégrtion pr prties Chngement de vrible Tbleu récpitultif des primitives usuelles Primitives des fonctions rtionnelles Polynômes et frctions en sinus et cosinus Pour ller plus loin : Fonctions hyperboliques C. Mugis-Rbusseu (INSA) 3 / 47

4 Introduction Intuitivement l notion d intégrle correspond à l ire lgébrique comprise entre le grphe d une fonction, l xe des x et deux droites prllèles à l xe des y. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 4 / 47

5 Définitions On prle d intégrle simple d une fonction f lorsque : l intervlle d intégrtion est un segment [, b] (intervlle fermé borné) ; l fonction f est définie, suf peut être en un nombre fini de points de [, b], l fonction f est bornée sur D f [, b], c est-à-dire M R; x D f [, b], f (x) M. On dir que f B ([, b]) pour désigner une fonction ynt ces propriétés. Définition On dit que f est intégrble sur [, b] si b f (x)dx < +. On note I([, b]) l ensemble des fonctions de B ([, b]) intégrble sur [, b]. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 5 / 47

7 Reltion de Chsles Théorème Soit f B ([, b]) et c ], b[. Soit f 1 = f Df [,c] et f 2 = f Df [c,b]. f I ([, b]) si et seulement si f 1 I ([, c]) et f 2 I ([c, b]). De plus, on dns ce cs b f (x) dx = c b f (x) dx + f (x) dx c Remrque c c f (x) dx = 0 et b f (x) dx = b f (x) dx. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 7 / 47

8 Opértions 1 Si f et g I ([, b]) lors f + g I ([, b]) et b f (x) + g(x) dx = b 2 Si f I ([, b]) et λ R lors λf I ([, b]) et b b f (x) dx + g(x) dx. b λf (x) dx = λ f (x) dx. 3 Soit f I ([, b]). Si f 0 lors b f (x) dx 0. 4 Soient f, g I ([, b]). Si f g lors b f (x) dx b g(x) dx. 5 Si f I ([, b]) lors f I ([, b]) et on l inéglité : b b f (x) dx f (x) dx. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 8 / 47

9 Opértions Remrque Attention, contrirement à l ddition, l intégrle d un produit, n est ps égle en générl u produit des intégrles. 5 ( 5 ) ( 5 ) Comprez 2πdx et 2dx πdx C. Mugis-Rbusseu (INSA) 9 / 47

11 Fonctions monotones Définition On ppelle tux d ccroissement de f, le quotient défini pour tout x y I et dns le domine D f, pr [f (x) f (y)] /(x y). On dit qu une fonction f, définie suf peut être en un nombre fini de points d un intervlle I, est monotone sur I si son tux d ccroissement reste de signe constnt. L fonction est croissnte si son tux d ccroissement reste 0 et décroissnte s il reste 0. Théorème Si f B ([, b]) et est monotone sur ], b[ lors f I ([, b]). Corollire Soit f B ([, b]). Si f est monotone pr morceux sur ], b[ lors f I ([, b]). C. Mugis-Rbusseu (INSA) 11 / 47

12 Fonctions continues Théorème Toute fonction f continue sur un segment [, b] est intégrble sur [, b]. Corollire Soit f définie suf u plus en un nombre fini de points d un segment [, b]. Si f est continue pr morceux sur [, b] lors f I([, b]). Proposition Soit f continue sur [, b]. Si x [, b], f (x) 0 et b x [, b], f (x) = 0,. f (x) dx = 0 lors C. Mugis-Rbusseu (INSA) 12 / 47

13 Inéglité de Cuchy-Schwrz Proposition Si f et g sont dns I ([, b]) lors fg, f 2 et g 2 sont dns I ([, b]) et on b b b f (x)g(x) dx f (x) 2 dx g(x) 2 dx. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 13 / 47

15 Premier théorème de l moyenne Théorème Si f et g sont dns I ([, b]) et si, x [, b], g(x) 0, lors il existe K vérifint m = inf f (x) K M = sup f (x) x [,b] D f x [,b] D f tel que b f (x)g(x) dx = K b g(x) dx. En prticulier, si g est l fonction constnte à 1, on b f (x) dx = K (b ). C. Mugis-Rbusseu (INSA) 15 / 47

16 Premier théorème de l moyenne Corollire Si f et g sont continues sur [, b] et si, x [, b], g(x) 0, lors il existe ξ [, b] tel que b En prticulier si g = 1, b b f (x)g(x) dx = f (ξ) g(x) dx. f (x) dx = (b )f (ξ). C. Mugis-Rbusseu (INSA) 16 / 47

17 Premier théorème de l moyenne Remrque Si g = 1 et f 0, le 1 er théorème de l moyenne exprime qu il existe un rectngle de bse b et de huteur K m = dont l ire est égle à inf K M = sup f (x) x [,b] x [,b] b f (x)dx. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 17 / 47

18 Premier théorème de l moyenne Exemple Soit un réel strictement positif. Clculez lim 0 3 cos x x dx. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 18 / 47

20 Intégrle et primitive Soit I un intervlle de R non vide et non réduit à un point. Soit I. On suppose que f est une fonction définie sur I et que pour tout x I, f est intégrble sur [, x] si x > et sur [x, ] si x <. Définition On ppelle primitive d une fonction f sur I une fonction F, dérivble sur I telle que pour tout x dns I, F (x) = f (x). On le théorème fondmentl du clcul intégrl suivnt qui montre que une fonction continue dmet toujours une primitive l intégrle d une fonction f peut se clculer à l ide d une primitive F de f. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 20 / 47

21 Théorème fondmentl du clcul intégrl Théorème Si I est un intervlle non vide et non réduit à un point et si f C 0 (I), les propriétés suivntes sont vérifiées : 1 I, l fonction G définie sur I pr x G (x) = x f (t) dt est de clsse C 1 sur I et vérifie x I, G (x) = f (x) (utrement dit, G est l primitive de f sur I qui s nnule en ). 2 si F est une primitive quelconque de f sur I lors F G est égle à une constnte et x x F(x) = F() + f (t)dt = F() + F (t)dt, x I. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 21 / 47

22 Théorème fondmentl du clcul intégrl Remrque Pr bus de nottion, on écrit prfois f (x)dx pour désigner une primitive F de f, sns préciser l constnte d intégrtion ou le point où s nnule cette primitive F. Remrque Si on choisit x = b I, on F(b) F() = b f (t)dt, l quntité F(b) F() est l ccroissement de F entre et b. Il est ussi noté des deux fçons suivntes [F] b = [F(x)]b = F(b) F(). C. Mugis-Rbusseu (INSA) 22 / 47

23 Intégrle et primitive Si on suppose juste que l fonction f est intégrble sur I et ps nécessirement continue sur I, lors pour tout I, l fonction G définie sur I pr x G (x) = x f (t) dt est continue sur I mis peut ne ps être dérivble comme le montre le théorème suivnt. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 23 / 47

24 Intégrle et primitive Théorème Soit I un intervlle de R non vide et non réduit à un point et I. On suppose que f est une fonction définie sur I suf éventuellement en un nombre fini de ses points et que pour tout x I, f est intégrble sur [, x] si x > et sur [x, ] si x <. Alors l fonction F définie sur I pr est continue sur I. F (x) = x f (t) dt (x I) C est donc bien l continuité de f u voisinge de x 0 I qui ssure que l fonction x x f (t)dt est dérivble u voisinge de x 0 I. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 24 / 47

26 Intégrtion pr prties Théorème Soit u et v de clsse C 1 sur un intervlle I. Alors b b u(x)v (x) dx = [uv] b u (x)v(x) dx où [uv] b = u(b)v(b) u()v() désigne l ccroissement de l fonction uv entre et b. Exemple Clculez l primitive de l fonction ln qui s nnule en 1. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 26 / 47

27 Chngement de vrible Théorème Si f est une fonction continue sur un intervlle J et si ϕ est une fonction de clsse C 1 sur un intervlle I à vleurs dns J, lors pour et b dns J, ϕ(b) ϕ() f (y) dy = b f (ϕ(t))ϕ (t) dt Exemple Clculez les intégrles suivntes : x 2 dx et e 1 ln(x) 2 dx. x C. Mugis-Rbusseu (INSA) 27 / 47

28 Chngement de vrible Théorème Soit f I ([c, d]) et ϕ une fonction de clsse C 1 strictement croissnte sur [, b] telle ϕ() = c et ϕ(b) = d. On lors x f (ϕ(x))ϕ (x) I ([, b]) et b f (ϕ(x))ϕ (x) dx = d c f (y) dy. (On un énoncé et un résultt nlogue si ϕ est strictement décroissnte.) C. Mugis-Rbusseu (INSA) 28 / 47

29 Tbleu récpitultif des primitives usuelles x m dx = x m+1 + k si m 1 m + 1 e x dx = e x + k sin(x)dx = cos(x) + k 1 cos 2 dx = tn(x) + k (x) ch(x)dx = sh(x)dx + k 1 ch 2 dx = th(x) + k (x) dx x = Arctn(x) + k dx x = Argsh(x) + k dx = Arcsin(x) + k 1 x 2 dx x = ln( x ) + k ln(x)dx = x ln(x) x + k cos(x)dx = sin(x) + k 1 sin 2 (x) dx = 1 tn(x) + k sh(x)dx = ch(x)dx + k 1 sh 2 (x) dx = 1 th(x) + k dx x 2 1 = 1 2 ln x 1 x k dx x 2 1 = Argch(x) + k dx = Arccos(x) + k 1 x 2 C. Mugis-Rbusseu (INSA) 29 / 47

30 Primitives des fonctions rtionnelles Le tbleu précédent fournit les primitives de quelques fonctions rtionnelles usuelles. On v chercher à se rmener à ces situtions connues pr chngement de vrible ou intégrtion pr prties. L première étpe consiste toujours à décomposer l fonction en éléments simples. N pprissent lors plus que des polynômes ou des termes de l forme 1 (x ) n et x + b (x 2 + p x + q) n vec p2 4 q < 0. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 30 / 47

31 Exemple 1 Déterminons les primitives de l fonction x f (x) = x + 2 (x 1) (x + 3) 3 L décomposition en éléments simples de f vut : f (x) = 3 64 (x 1) 3 64 (x + 3) 3 16 (x + 3) (x + 3) 3. On obtient donc f (x) dx = 3 ( ) x 1 64 ln 3 + x (x + 3) 1 8 (x + 3) 2 + c. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 31 / 47

32 Exemple 2 x Soit l fonction g(x) = x (x 2 + x + 1) 2. S décomposition en éléments simples vut : On donc 1 g(x)dx = x dx g(x) = 1 x x + 1 x 2 + x (x 2 + x + 1) 2. x + 1 x 2 + x + 1 dx 1 (x 2 + x + 1) 2 dx. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 32 / 47

33 Exemple 2 Pour les deux dernières primitives, on remrque que ( x 2 + x + 1 = x + 1 ) [ 2 [ = 3 ( ] 2 3 x )] ce qui conduit à fire le chngement de vrible t = 2 ( 3 On donc x 2 + x + 1 = 3 4 (t2 + 1), x = 3 x + 1 = 2 t Ainsi, x + 1 x 2 + x + 1 dx = et t dt t dx 8 3 (x 2 + x + 1) 2 = 9 x t 1 3 2, dx = dt et 2 dt 3 (t 2 + 1), dt (t 2 + 1) 2., ). C. Mugis-Rbusseu (INSA) 33 / 47

34 Exemple 2 On peut lors clculer d une prt x + 1 x 2 + x + 1 dx = t dt t k R. dt 3 (t 2 + 1) = 1 2 ln(1 + t2 ) + 1 Arctn(t) + k, k R 3 = 1 2 ln(x 2 + x + 1) + 1 ( ) 2 x + 1 Arctn + k, 3 3 C. Mugis-Rbusseu (INSA) 34 / 47

35 Exemple 2 D utre prt, clculons I = Il suffit d écrire 1 (t 2 + 1) 2 dt = 1 (t 2 + 1) 2 dt. t (t 2 + 1) 2 dt + 1 = (t 2 + 1) dt + = Arctn(t) + t 2 (t 2 + 1) 2 dt. t 2 (t 2 + 1) 2 dt. t 2 (t 2 dt + k, k R. + 1) 2 C. Mugis-Rbusseu (INSA) 35 / 47

36 Exemple 2 Le second terme se trite comme suit t 2 (t 2 + 1) 2 dt = u(t)v (t) dt vec u(t) = t/2 et v (t) = 2t (t 2 + 1) 2 vec u et v de clsse C1. 1 Comme v(t) = (t 2, une IPP donne + 1) t 2 (t 2 + 1) 2 dt = 1 t 2 (t 2 + 1) (t 2 + 1) dt = 1 t 2 (t 2 + 1) 1 Arctn(t) + k, k R. 2 C. Mugis-Rbusseu (INSA) 36 / 47

37 Exemple 2 Ainsi, 1 (t 2 + 1) 2 dt = t 2 (t 2 + 1) + 1 Arctn(t) + k, k R. Donc 2 { 1 3 t 9 2 (t 2 + 1) + 1 } 2 Arctn(t) + k 2x + 1 = 3 (x 2 + x + 1) + 4 ( ) 3 2 x Arctn + k, k 3 (x 2 + x + 1) 2 dx = 8 Finlement, une primitive de g est donnée pr g(x) dx = 1 2 ln ( x 2 x 2 + x Arctn ) 2x (x 2 + x + 1) ( ) 2 x k, k R. 3 C. Mugis-Rbusseu (INSA) 37 / 47

38 Polynômes en sin(x), cos(x) On cherche des primitives de l forme I n,m (x) = sin n (x) cos m (x) dx où m et n sont des entiers nturels. L méthode dépend de l prité de n et m : si n ou m est impir : si n = 2p + 1, sin 2p+1 (x) = [1 cos 2 (x)] p sin(x), et I n,m (x) = [1 cos 2 (x)] p cos m (x) sin(x) dx. On pose lors t = cos(x), de sorte que dt = sin(x) dx et I n,m (x) = [1 t 2 ] p t m dt. Si m = 2q + 1, c est t = sin(x) que l on doit poser. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 38 / 47

39 Polynômes en sin(x), cos(x) si n et m sont pirs : on peut linériser l expression sin 2p (x) cos 2q (x). Exemple : Pour le clcul de I 2,4, on peut procéder de l fçon suivnte : I 2,4 (x) = cos 2 (x)[cos(x) sin(x)] 2 dx, 1 = 2 [cos(2x) + 1] 1 4 sin2 (2x) dx, = 1 cos(2x) sin 2 (2x) dx + 1 [1 cos(4x)] dx On est rmené u cs précédent pour le clcul de l première primitive. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 39 / 47

40 Frctions en sin(x) et cos(x) : Règles de Bioche L règle consiste à regrder quel chngement de vrible lisse f (x) dx invrint. lorsque f (x) dx est invrint pr le chngement de vrible x x, on pose t = cos x, lorsque f (x) dx est invrint pr le chngement de vrible x π x, on pose t = sin x, lorsque f (x) dx est invrint pr le chngement de vrible x π + x, on pose t = tn x, lorsque f (x) dx n est invrint pr ucun des chngements de vrible précédents, ( on utilise l expression de sin x et cos x en x ) fonction de tn pour obtenir leur représenttion rtionnelle : 2 ( x ) t = tn 2 vec cos x = 1 t2 2t 2 dt, sin x = et dx = 1 + t2 1 + t2 1 + t 2. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 40 / 47

41 Exemple 1 T 1 (x) = f (x)dx vec f (x) = 1 sin(x) + sin(2x). f (x)dx est invrint pr le chngement x x ; on pose t = cos x, et donc dt = sin xdx. dx sin(x) = sin(x) + sin(2x) sin 2 (x) sin(x) [2 sin(x) cos(x)] dx, sin(x) = sin 2 (x) 2 sin 2 (x) cos(x) dx, = = sin(x) cos 2 (x) 1 2 cos(x)[1 cos 2 (x)] dx, 1 t 2 1 2t(1 t 2 ) dt, C. Mugis-Rbusseu (INSA) 41 / 47

42 Exemple 1 Pr suite, dx sin(x) + sin(2x) = = = 1 t 2 1 2t(1 t 2 ) dt, 1 (t 1)(t + 1)(2t + 1) dt, 1 dt 1 6 t 1 + dt 2 2 t + 1 2dt 3 2t + 1, T 1 (x) = 1 6 ln t ln t ln 2t k, k R 3 et, en revennt à l vrible x : T 1 (x) = 1 6 ln cos(x) ln cos(x) ln 2 cos(x) k, k 3 C. Mugis-Rbusseu (INSA) 42 / 47

43 Exemple 2 Clculons T 2 (x) = dx 2 + sin(x) dx 2 + sin(x). n étnt invrint pr ucun des trois chngements de ( x ) vrible élémentires, on pose t = tn donc dx = 2dt 2 (1 + t 2 ) et sin(x) = 2t 1 + t 2. T 2 (x) = ( ) 1 2 dt 2 + 2t 1 + t 2 = 1+t 2 dt t 2 + t + 1 = Arctn(u) + k, k R vec u = (t + 1/2) 3 3 ( 2 = Arctn = Arctn 3 ( t ( )) + k, k R ( tn x ) ) + k, k R C. Mugis-Rbusseu (INSA) 43 / 47

44 Fonctions hyperboliques Cette fois on s intéresse ux fonctions du type f (x) = F(ch(x), sh(x)). Pour clculer F(ch(x), sh(x))dx, on exmine F(cos x, sin x)dx. Si F (cos(x), sin(x))dx se clcule vec t = cos x lors F (ch(x), sh(x))dx se clcule vec t = chx. Si F (cos(x), sin(x))dx se clcule vec t = sin x lors F (ch(x), sh(x))dx se clcule vec t = shx. Si F (cos(x), sin(x))dx se clcule vec t = tn x lors F (ch(x), sh(x))dx se clcule vec t = thx. Si F (cos(x), sin(x))dx se clcule vec t = tn clculer vec t = th ( x ) lors 2 F (ch(x), sh(x))dx peut se ( x 2 ), mis il est préférble d utiliser le chngement t = e x. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 44 / 47

45 Exemple 1 dx Clculons H 1 (x) = sh(x) + sh(2x). D près l étude de T 1, il fut poser t = ch(x) dx sh(x) + sh(2x) = = = = = sh(x)dx sh 2 (x) + sh(x)[2sh(x)ch(x)] sh(x)dx sh 2 (x) + 2sh 2 (x)ch(x) sh(x)dx ch 2 (x) 1 + 2ch(x)[ch 2 (x) 1] dt t t(t 2 1) = dt (t 1)(t + 1)(2t + 1) 1 dt 1 6 t 1 + dt 2 2 t + 1 2dt 3 2t + 1. C. Mugis-Rbusseu (INSA) 45 / 47

46 Exemple 1 Donc H 1 (x) = 1 6 ln t ln t ln 2t k, k R 3 = 1 6 ln ch(x) ln ch(x) ln 2ch(x) k, k R 3 C. Mugis-Rbusseu (INSA) 46 / 47

47 Exemple 2 dx Clculons H 2 (x) = ch(x) + 2sh(x). On n observe ucune invrince. On pose t = e x, dt = t dx. dx e x H 2 (x) = = 3 2 ex 1 = 2 e x dx 3 2 t2 1 2 = 2 dt 3 t = 3 ln t t + 3 = 3 ln e x e x e2x k, k R + k, k R. dx C. Mugis-Rbusseu (INSA) 47 / 47