Version du 1 novembre 2016 (23h03)

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1 ! CHAPITRE 10. COMPLÉMENTS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Containtes de compession au contact de suaces coubes : omules de Hetz Intoduction Fomules de Hetz Plaques Intoduction, déinitions et hypothèses Flexion des plaques ciculaies symétiquement chagées : chage uniomément épatie A) Pou les suaces planes ciculaies encastées su tout le poutou B) Pou les suaces planes ciculaies appuyées su tout le poutou Flexion des plaques ciculaies symétiquement chagées : chage ponctuelle A) Pou les suaces planes ciculaies encastées su tout le poutou B) Pou les suaces planes ciculaies appuyées su tout le poutou Flexion des plaques ectangulaies : Chage uniomément épatie A) Pou les suaces planes ectangulaies encastées su tout le poutou B) Pou les suaces planes ectangulaies appuyées su tout le poutou Vesion du 1 novembe 016 (h0)

2 ! CHAPITRE 10. COMPLÉMENTS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Containtes de compession au contact de suaces coubes : omules de Hetz Intoduction Nous avons vu que la containte de taction (compession) se déinissait coe étant le appot d une oce su la suace de contact, soit : N. A Losque nous avons une suace coube (exemple : ouleau, bille,...) qui appuie su une aute suace, plane pa exemple, la omule déinie plus haut n a plus aucun sens. En eet, coe hypothèse de base de la ésistance des matéiaux, nous avons déinis que les matéiaux utilisés étaient indéomables. De ce ait, la suace de contact : 1. ente un ouleau et un plan : c est une ligne. ente une sphèe et un plan : c est un point. La suace d une ligne ou d un point est nulle, et donc la omule de la containte de taction - compession devient : N N!!!. A 0 C est pouquoi, dans le cas qui nous péoccupe, il nous aut cheche la éponse dans une aute théoie qui ne tient pas compte de l indéomabilité des matéiaux, c est la théoie de l élasticité. Les omules données ci-dessous sont connues sous le nom de omules de Hetz (1). Hypothèses : [H1] Les dimensions des suaces en contact ente les deux cops considéés sont aibles, en paticulie pa appot aux ayons de coubue aux points de contact. [H] Les containtes sont telles que la limite élastique de compession n est pas atteinte. Remaques : 1) Dans les omules, E epésente le module d élasticité longitudinale du même matéiau des cops en contact. Si ces cops sont en matéiaux diéents, E epésente un module icti donné pa la elation : E E E E E E E E (éq. 10.) E 1 et E étant les modules d élasticité longitudinale des matéiaux (espectivement 1 et ). (1) Hetz Heinich Rudol (1857 [Hamboug] [Bonn] ) : ingénieu et physicien allemand. R. Ittebeek Résistance des Matéiaux - Compléments de Résistance des Matéiaux Page

3 ) De plus, les diéentes elations ont étés obtenues avec un coeicient de Poisson égal à 0., c est-à-die pou les acies. On peut encoe les applique aux alliages d aluminium ( 0. ) et en alliage de cuive ( ) et pou tout aute alliage qui possède un coeicient de Poisson tel que : ; mais le ésultat est entaché d une eeu, d ailleus aible, donc acceptable Fomules de Hetz A) Sphèe su suace plane Les actions de la suace plane su la sphèe, conséquence de la déomation des solides en contact, sont inégalement épaties su un cecle de ayon a tel que : P a 111. (éq. 10.7) E La containte imale de compession est donné pa : P E (éq. 10.8) ig Contact sphèe - suace plane. On emaquea qu eectivement la containte de compession n est pas égale à : N. A B) Sphèe su sphèe Utilise les elations pécédentes en penant pou la valeu donnée pa la elation : (éq ) ( 1 et les ayons des sphèes en contact) C) Cylinde de ayon su suace plane La zone de contact, conséquence de la déomation des solides, est un ectangle de côtés : l (longueu du cylinde) b (la lageu) b est donnée pa la elation suivante : P b 15. (éq ) E L La containte imale de compession est donné pa : ig Contact cylinde - suace plane P E L (éq. 10.1) R. Ittebeek Résistance des Matéiaux - Compléments de Résistance des Matéiaux Page

4 D) Cylinde su cylinde Utilise les elations pécédentes (cylinde su suace plane) en penant pou la valeu donnée pa la elation : (éq. 10.1) ( 1 et les ayons des sphèes en contact) Notons de plus que dans le cas de la igue ig... ci-conte, il aut donne à, la valeu négative de -. ig Contact cylinde - cylinde (éq. 10.1) Application.1. L action d une oue de pont oulant su le ail est de 50 kn; le diamète de la oue d 600 ; la lageu du ail l 50, la oue et le ail sont en acie. a) Calcule la containte imale de contact ente la oue et le ail. b) Calcule la lageu de la suace ectangulaie de contact pa la omule de Hetz. Solution : a) Fomule concenant un cylinde su un plan avec : 00 et E N. Soit : P E N l La valeu touvée est élevée, mais l expéience monte qu elle est acceptable, ca elle peut atteinde et même dépasse, sans doage pou la constuction, la valeu de la limite élastique (de taction) du matéiau. Une aute méthode (empiique) consiste à considée ente ail et galet un ectangle de contact coespondant à un angle au cente du galet de 1. La suace de ce ectangle vaut : A l ail La containte vaut dans ce cas : N N A 618. ig Application b) La demi-lageu est donnée pa la omule : P b E L R. Ittebeek Résistance des Matéiaux - Compléments de Résistance des Matéiaux Page

5 La lageu vaut donc : lageu b Dans le cas de la méthode empiique, la lageu vaut : 1 lageu R. Ittebeek Résistance des Matéiaux - Compléments de Résistance des Matéiaux Page

6 10.. Plaques Intoduction, déinitions et hypothèses La plupat des éléments de constuctions devant ête calculés à la ésistance peuvent ête éduits aux schémas de la bae ou de l enveloppe. Coe nous l avons déjà dit, nous appelleons bae tout cops dont une des dimensions (la longueu) est bien plus gande que les autes. Nous avons considée jusqu à pésent pincipalement des éléments de constuction se éduisant au schéma de la bae (exception aite des enveloppes cylindiques minces vues au chapite Taction - Compession ). Passons maintenant aux enveloppes. Déinissons le teme enveloppe : Une enveloppe est un cops dont une des dimensions (l épaisseu) est bien plus petite que les deux autes. Avant d entame l étude popement dite, déinissons le teme de plaque. Le lieu géométique des points équidistants des deux suaces de l enveloppe est la suace moyenne. Si la suace moyenne de l enveloppe est un plan, nous avons alos une plaque. Hypothèses : [H1] Epaisseu d enveloppe constante; [H] Symétie géométique (pas de point d inlexion, ni anguleux); [H] Containtes épaties uniomément suivant l épaisseu; [H] La lèche est petite pa appot à l épaisseu; Plaques ou enveloppes minces impliquent : [H5] Epaisseu petite pa appot au ayon de coubue moyen : e Flexion des plaques ciculaies symétiquement chagées : chage uniomément épatie Notations : p s e σ E ν pession (chage suacique épatie) épaisseu de la plaque lèche de la plaque ayon de la plaque containte issible module d élasticité longitudinal coeicient de Poisson N/ N/ N/ - R. Ittebeek Résistance des Matéiaux - Compléments de Résistance des Matéiaux Page

7 A) Pou les suaces planes ciculaies encastées su tout le poutou ig Plaque ciculaie encastée. p s e (éq. 10.) et donc : emin p s (éq. 10.5) ps 16 1 (éq. 10.6) B) Pou les suaces planes ciculaies appuyées su tout le poutou ig Plaque ciculaie appuyée. p 8 s e (éq. 10.7) 8 et donc : emin p s (éq. 10.8) p s (éq. 10.9) R. Ittebeek Résistance des Matéiaux - Compléments de Résistance des Matéiaux Page

8 10... Flexion des plaques ciculaies symétiquement chagées : chage ponctuelle Notations : F i Chage ponctuelle ayon de la petite suace su laquelle la oce ponctuelle est appliquée N A) Pou les suaces planes ciculaies encastées su tout le poutou ig Plaque ciculaie encastée : chage ponctuelle. F log e 1 i (éq. 10.0) et donc : emin 1 F log i (éq. 10.1) F 1 (éq. 10.) B) Pou les suaces planes ciculaies appuyées su tout le poutou ig Plaque ciculaie appuyée : chage ponctuelle. F 1 log 1 e i (éq. 10.) et donc : emin F 1 log 1 i (éq. 10.) R. Ittebeek Résistance des Matéiaux - Compléments de Résistance des Matéiaux Page

9 1 1 F (éq. 10.5) Application 10.. Calcule l épaisseu du ond plat d un ésevoi d ai compimé soumis à une pession intéieu de 11 bas, sachant que le diamète du ésevoi est de 1.5 m. Nous pendons coe containte issible 60 N. Solution : Fomule des suaces planes encastées : ps emin Application 10.. Un hublot d avion de 50 de diamète est soumis à m d altitude à une pession extéieue de 00 de mecue et intéieuement de 1 ba. Quelle sea l épaisseu du hublot sachant que la tension ise dans le plexiglas est de 0 N/. Dans ces conditions quelle sea la lèche imale du hublot? Solution : Données : Hg 1. 6 kg dm ; plexiglas 0. ; E plexiglas N Recheche de la diéence de pession Pession extéieue : pext g h Pa Vaiation de pession : p p Pa s Fomule des suaces planes encastées : ps emin Recheche de la lèche imale. ps inissible! Posons coe lèche issible imum : d Rechechons maintenant l épaisseu coespondante : R. Ittebeek Résistance des Matéiaux - Compléments de Résistance des Matéiaux Page

10 ps e p s E Application 10.. Une plaque ciculaie en tôle d acie AE 55 assue la emetue autoclave d un ésevoi de diamète intéieu de 00 sous pession eective de 00 N/cm. Calcule l épaisseu de la plaque ainsi que sa lèche. Nous pendons un coeicient de sécuité égal à.5. Solution : Containte issible Re N S. 5 / Recheche de l épaisseu minimale ps emin e 18 Recheche de la lèche coespondante ps Remaquons que l épaisseu de la tôle du ésevoi seait, pou la même valeu de la containte issible de : p d 100 emin Il en ésulte une dispopotion tès nette ente les épaisseus du ond et du ésevoi; une plaque plane ne constitue pas une solution économique au poblème. R. Ittebeek Résistance des Matéiaux - Compléments de Résistance des Matéiaux Page

11 10... Flexion des plaques ectangulaies : Chage uniomément épatie Notations : a b α, α 1, β, β 1 lageu de la plaque longueu de la plaque coeicients - Remaque impotante : De plus, les diéentes elations ont étés obtenues avec un coeicient de Poisson égal à 0., c est-à-die pou les acies. On peut encoe les applique aux alliages d aluminium ( 0. ) et en alliage de cuive ( ) et pou tout aute alliage qui possède un coeicient de Poisson tel que : ν... 0.; mais le ésultat est entaché d une eeu, d ailleus aible, donc acceptable. A) Pou les suaces planes ectangulaies encastées su tout le poutou 6 1 p a s e (éq. 10.5) et donc : ps a e 6 1 (éq. 10.5) 1 ps a (éq. 10.5) b/a α β B) Pou les suaces planes ectangulaies appuyées su tout le poutou 6 ps a (éq ) e et donc : ps a e 6 (éq ) p a s (éq ) b/a α β R. Ittebeek Résistance des Matéiaux - Compléments de Résistance des Matéiaux Page