Leçons de Mathématiques d aujourd hui

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1 Leçons de Mthémtiques d ujourd hui Automtes réversiles: comintoire, lgère et topologie Jen-Éric Pin LIAFA, CNRS et Université Pris 7 6 Octore 2005, Bordeux LIAFA, CNRS et Université Pris VII

2 Pln de l exposé (1) Rppels sur les utomtes (2) L pproche lgérique (3) Automtes réversiles (4) Groupes lires (5) Topologie pro-groupe (6) Lemme d itértion (7) Crctéristion lgérique (8) Algorithmes : le retour des utomtes! (9) Prolèmes connexes et questions ouvertes LIAFA, CNRS et Université Pris VII

3 Première prtie I Rppels sur les utomtes LIAFA, CNRS et Université Pris VII

4 Mots Un lphet est un ensemle dont les éléments sont ppelés des lettres. Exemple : {,, c}. Un mot est une suite finie de lettres :,,. Le mot vide, noté 1, ne contient ucune lettre. Le produit (de concténtion) de deux mots est otenu en les écrivnt out à out. r, cdr rcdr L ensemle de tous les mots sur un lphet A est noté A. C est un monoïde de neutre 1. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

5 Automtes Un utomte est un quintuplet A = (Q, A, E, I, F) où Q est un ensemle fini ppelé l ensemle des étts, A est un lphet, E est un sous-ensemle de Q A Q, ppelé l ensemle des trnsitions, I et F sont des prties de Q, ppelées resp. l ensemle des étts initiux et l ensemle des étts finux. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

6 Un exemple d utomte Les étts initiux sont 1, 3 et 4, les étts finux sont 2, 3 et 5. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

7 Lngges Un lngge (sur l lphet A) est une prtie de A. Le lngge reconnu pr un utomte est l ensemle des mots ynt u moins une lecture réussie dns l utomte, i.e. issue d un étt initil, et rrivnt dns un étt finl. Un lngge est reconnissle s il existe un utomte qui le reconnit. Deux utomtes sont équivlents s ils reconnissent le même lngge. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

8 Automtes déterministes Un utomte déterministe est un quintuplet A = (Q, A, q 0,, F) où Q est un ensemle fini ppelé l ensemle des étts, A est un lphet, q 0 Q est l étt initil, F Q est l ensemle des étts finux. Enfin, l fonction (q, ) q de Q A dns Q, est l fonction de trnsition de A. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

9 Deux utomtes déterministes 1 2, 3, c, c = 2, 1 = 1, 1 c non défini, 1 cc = 2 LIAFA, CNRS et Université Pris VII

10 Tout utomte est équivlent à un déterministe, 1 2, LIAFA, CNRS et Université Pris VII

11 Automte miniml Dns un utomte déterministe, on peut éliminer tous les étts qui ne sont ps ccessiles à prtir de l étt initil ou à prtir desquels on ne peut ps tteindre un étt finl. Equivlence sur l ensemle des étts : deux étts p et q sont équivlents si, pour tout mot u, l étt p u est finl ssi l étt q u l est ussi. On peut identifier des étts équivlents sns chnger le lngge reconnu. L utomte otenu près cette identifiction est l utomte miniml. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

12 Les lngges reconnus , 3 A {, c}, c, c LIAFA, CNRS et Université Pris VII

13 Opértions sur les lngges Soient L, L 1 et L 2 des lngges de A. Union : L 1 + L 2 Produit (de concténtion) : L 1 L 2 = {u 1 u 2 u 1 L 1, u 2 L 2 } Etoile : L = {u A il existe n 0 et des mots u 1,..., u n de L tels que u = u 1 u 2 u n } Remrque : L est ussi le sous-monoïde de A engendré pr L. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

14 Lngges rtionnels L clsse des lngges rtionnels est l plus petite clsse de lngges contennt les lngges finis, et fermée pr union, produit et étoile. Théorème (Kleene 1954) Un lngge est rtionnel ssi si il est reconnissle. Corollire Les lngges rtionnels sont fermés pr intersection et pr complémenttion (dns A ). LIAFA, CNRS et Université Pris VII

15 Deuxième prtie II L pproche lgérique Idée : remplcer les utomtes pr des monoïdes. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

16 Monoïde de trnsition d un utomte c - 2 3, c, c Reltions : LIAFA, CNRS et Université Pris VII

17 Monoïde de trnsition d un utomte c - 2 3, c, c Reltions : = LIAFA, CNRS et Université Pris VII

18 Monoïde de trnsition d un utomte c , c, c Reltions : = LIAFA, CNRS et Université Pris VII

19 Monoïde de trnsition d un utomte c , c, c Reltions : = c = LIAFA, CNRS et Université Pris VII

20 Monoïde de trnsition d un utomte c , c, c Reltions : = c = = LIAFA, CNRS et Université Pris VII

21 Monoïde de trnsition d un utomte c , c, c Reltions : = c = = = LIAFA, CNRS et Université Pris VII

22 Monoïde de trnsition d un utomte c c - 3 3, c, c Reltions : = c = = = LIAFA, CNRS et Université Pris VII

23 Monoïde de trnsition d un utomte c c c - 2 2, c, c Reltions : = c = = = LIAFA, CNRS et Université Pris VII

24 Monoïde de trnsition d un utomte c c c - 2 2, c, c Reltions : = c = = = c = c LIAFA, CNRS et Université Pris VII

25 Monoïde de trnsition d un utomte c c c - 2 2, c, c Reltions : = c = = = c = c cc = c LIAFA, CNRS et Université Pris VII

26 Monoïde de trnsition d un utomte c c c - 2 2, c, c Reltions : = c = = = c = c cc = c c = LIAFA, CNRS et Université Pris VII

27 Monoïde de trnsition d un utomte c c c - 2 2, c, c Reltions : = c = = = c = c cc = c c = c = c LIAFA, CNRS et Université Pris VII

28 Monoïde de trnsition d un utomte c c c - 2 2, c, c Reltions : = c = = = c = c cc = c c = c = c c = c LIAFA, CNRS et Université Pris VII

29 Monoïde de trnsition d un utomte c c c - 2 2, c, c Reltions : = c = = = c = c cc = c c = c = c c = c Fin! LIAFA, CNRS et Université Pris VII

30 Morphisme nturel Soit M le monoïde de trnsitions de A et soit ϕ : A M le morphisme de monoïde défini pr ϕ() = pour tout A. Autrement dit ϕ(u) est l trnsformtion sur Q définie pr u. Deux mots u et v tels que ϕ(u) = ϕ(v) ont l même ction sur l utomte. Ils sont donc simultnément cceptés ou rejetés. Remrque. L définition du monoïde de trnsition ne fit ps intervenir les étts finux. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

31 Reconnissnce pr morphisme Définition Soit M un monoïde et L un lngge de A. On dit que M reconnit L s il existe un morphisme de monoïde ϕ : A M et une prtie P de M telle que L = ϕ 1 (P). Proposition Un lngge est reconnu pr un monoïde fini ssi il est reconnu pr un utomte déterministe fini. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

32 Des morphismes ux utomtes Soit ϕ : A M un morphisme de monoïdes, qui définit une ction de A sur M : m = mϕ() Le grphe de Cyley de (M, A) pour ensemle de sommets M. Ses rcs sont de l forme m m pour m M et A. On prend 1 comme étt initil et on prend comme étts finux les éléments de ϕ(l). LIAFA, CNRS et Université Pris VII

33 Le grphe de Cyley vu comme un utomte, c, c, c 1 c c c c c c, c LIAFA, CNRS et Université Pris VII

34 Monoïde syntctique Définition (lgorithmique) Le monoïde syntctique d un lngge est le monoïde de trnsition de son utomte miniml. Définition (lgérique) Le monoïde syntctique d un lngge L A est le monoïde quotient de A pr l congruence syntctique de L : u L v ssi, pour tout x, y A, xvy L xuy L LIAFA, CNRS et Université Pris VII

35 Un peu d ordre! Soit A = (Q, A,, q 0, F) un utomte miniml. On définit une reltion sur Q en posnt p q ssi pour tout u A, q u F p u F. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

36 Exemple ,, L ordre est ici 1 3, 2 4 et 1, 2, 3, 4 0. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

37 Monoïde syntctique ordonné Définition (lgorithmique) C est le monoïde de trnsition de l utomte miniml, ordonné pr u v ssi pour tout q Q, q u q v. Définition (lgérique) C est le monoïde syntctique, muni de l ordre induit pr l ordre syntctique : u L v ssi, pour tout x, y A, xvy L xuy L. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

38 L ordre syntctique de L = ( ) (1 + ). u v ssi xvy L xuy L puisque uv L uv L. 1 puisque 1() L mis 1(1) / L. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

39 Troisième prtie III Automtes réversiles LIAFA, CNRS et Université Pris VII

40 Automtes réversiles Un utomte réversile est un utomte dns lequel chque lettre induit une fonction injective de l ensemle des étts dns lui-même. Les trnsitions d un utomte réversile sont déterministes et co-déterministes. q q 2 q 2 q q 1 q 1 Fig.: Configurtions interdites dns un utomte réversile. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

41 Un exemple d utomte réversile 2, LIAFA, CNRS et Université Pris VII

42 Lngges réversiles Définition Un lngge est réversile s il est ccepté pr un utomte réversile (muni de plusieurs étts initiux et de plusieurs étts finux). Prolème Peut-on décider si un lngge rtionnel donné est réversile? LIAFA, CNRS et Université Pris VII

43 Mise en grde L utomte miniml d un lngge réversile n est ps nécessirement réversile! 1 2 c Fig.: Automtes réversile et miniml de {, c, c} c c 4 LIAFA, CNRS et Université Pris VII

44 Exemples de lngges réversiles Les lngges finis sont réversiles. Les lngges à groupe (c est-à-dire reconnus pr des groupes finis ou, si l on préfère, pr des utomtes de permuttions) sont réversiles. Toute cominison ooléenne positive (i.e. union finie d intersections finies) de lngges réversiles est réversile. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

45 Description des lngges réversiles Proposition Soit L un lngge réversile de A. Alors (1) L c est une cominison ooléenne positive de lngges de l forme R ou A R où R est un lngge à groupe, (2) L c est une cominison ooléenne positive de lngges de l forme R ou RA où R est un lngge à groupe. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

46 Preuve sur exemple (1) On se rmène u cs d un utomte réversile ynt un seul étt initil et un seul étt finl LIAFA, CNRS et Université Pris VII

47 Automte du complémentire LIAFA, CNRS et Université Pris VII

48 Automte du complémentire , LIAFA, CNRS et Université Pris VII

49 Automte du complémentire , On joute les flèches vertes. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

50 Automte du complémentire , On joute les flèches vertes. Notons R(q) le lngge reconnu pr l utomte à groupe otenu en prennt {1, 2, 3, 4} pour étts et q comme étt finl. Alors L c = R(1) R(2) R(3) R(1)A R(4)A. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

51 Première condition nécessire Un élément e est idempotent si e 2 = e. Proposition Les idempotents du monoïde syntctique d un lngge réversile commutent. Idée : les fonctions définies pr et commutent...,,, LIAFA, CNRS et Université Pris VII

52 Qutrième prtie IV Groupe lire LIAFA, CNRS et Université Pris VII

53 Groupe lire sur l ensemle A Soit à = A Ā, où Ā est une copie de A. Le groupe lire sur A, noté FG(A), est le quotient de à pr les reltions ā = 1 = ā (pour tout A). āā L réduction est confluente : āā ā ā ā ā LIAFA, CNRS et Université Pris VII

54 Prties rtionnelles du groupe lire C est l plus petite clsse R de prties du groupe lire telle que : (1) chque sous-ensemle fini du groupe lire pprtient à R, (2) si S et T sont dns R, lors ST et S T y sont ussi, (3) si S est dns R, lors S, le sous-monoïde engendré pr S, y est ussi. Remrque. Si S est rtionnel, le sous-groupe S engendré pr S est rtionnel ( S = (S S), où S est l ensemle des inverses des éléments de S). LIAFA, CNRS et Université Pris VII

55 Automtes réversiles dns le groupe lire On ssocie à chque trnsition p q une trnsition inverse q ā p. Pr exemple, l utomte 1 2 reconnit {} c. c LIAFA, CNRS et Université Pris VII

56 Sous-groupes rtionnels du groupe lire Un groupe est finiment engendré s il dmet un ensemle fini de générteurs. Théorème Soit H une prtie du groupe lire. Sont équivlents (1) H est un sous-groupe rtionnel, (2) H est un sous-groupe finiment engendré, (3) H est reconnu pr un utomte réversile dont l unique étt initil est ussi l unique étt finl. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

57 (3) (2). Recherche d rre couvrnt 1 2 3, , ā 4 LIAFA, CNRS et Université Pris VII

58 Trouver des générteurs : { 3,, āā } 1 2 3, ā 4 Pour chque p c q construire 1 u p c q v ā 4 3 ā 1 3 āā LIAFA, CNRS et Université Pris VII

59 (2) (3). Bouquets de cercles et réductions LIAFA, CNRS et Université Pris VII

60 (2) (3). Bouquets de cercles et réductions LIAFA, CNRS et Université Pris VII

61 (2) (3). Bouquets de cercles et réductions Fig.: Automte réversile cceptnt,. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

62 Prties réversiles du groupe lire Définition Une prtie du groupe lire est réversile si elle est cceptée pr un utomte réversile. Théorème Une prtie du groupe lire est réversile ssi elle est union finie de clsses ltérles guches de sous-groupes finiment engendrés du groupe lire. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

63 Preuve On se rmène u cs où l utomte un seul étt initil i et un seul étt finl f. Soit H le sous-groupe finiment engendré reconnu en prennt f comme étt initil et finl. Si u est un mot tel que i u = f, l prtie reconnue est uh. Sur l exemple, on otient 3,, āā , 4 LIAFA, CNRS et Université Pris VII

64 Les réversiles du groupe lire Théorème (Kleene pour les réversiles!) Les prties réversiles du groupe lire forment l plus petite clsse F de prties telles que (1) F et, pour tout g FG(A), {g} F, (2) si S 1, S 2 F, lors S 1 S 2 F, (3) si S F et g FG(A), lors gs F, (4) si S F, lors S F. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

65 Retour u monoïde lire Le monoïde lire A peut être considéré comme un sous-monoïde du groupe lire FG(A). Théorème Un lngge L de A est réversile ssi L = K A, où K est une union finie de clsses ltérles de sous-groupes finiment engendrés du groupe lire FG(A). LIAFA, CNRS et Université Pris VII

66 Cinquième prtie V Topologie pro-groupe LIAFA, CNRS et Université Pris VII

67 Séprtion de deux mots dns un groupe fini Théorème Deux mots distinct u et v de A peuvent toujours être séprés : il existe un groupe fini G et un morphisme de monoïde ϕ : A G tel que ϕ(u) ϕ(v). Exemple. Le groupe Z/2Z sépre les mots de longueur pire des mots de longueur impire : prendre ϕ(u) = u mod 2. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

68 Exemple : séprer et (1) Construire un utomte vec les deux mots LIAFA, CNRS et Université Pris VII

69 Exemple : séprer et (1) Construire un utomte vec les deux mots (2) Compléter en permuttions. 4 5 LIAFA, CNRS et Université Pris VII

70 Exemple : séprer et (1) Construire un utomte vec les deux mots (2) Compléter en permuttions. Le groupe de permuttion otenu sépre et puisque 1 = 5 et 1 = 7. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

71 Une distnce sur les mots Posons, pour tout u, v A, r(u, v) = min { G G est un groupe fini qui sépre u et v } et d(u, v) = 2 r(u,v) (vec min = et 2 = 0). Alors d est une distnce ultrmétrique : d(u, w) mx(d(u, v), d(v, w)) Intuition : deux mots sont proches s il fut un grnd groupe pour les séprer. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

72 Propriétés de l distnce (1) Le produit (u, v) uv est uniformément continu. (2) Les morphismes de monoïde de A dns B sont uniformément continus. (3) Les morphismes de monoïde de A dns un groupe fini discret sont uniformément continus. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

73 Autres propriétés topologiques L topologie de d est l topologie initile définie pr les morphismes sur un groupe fini. Conséquences : Une suite u n converge vers u ssi, pour tout morphisme ϕ : A G (groupe fini), ϕ(u n ) est ultimement égl à ϕ(u). Une prtie de A reconnue pr un groupe fini est ouverte et fermée (clopen). LIAFA, CNRS et Université Pris VII

74 Une suite convergente... Théorème (Hll, Reutenuer) Pour tout mot u A, lim n u n! = 1. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

75 Une suite convergente... Théorème (Hll, Reutenuer) Pour tout mot u A, lim n u n! = 1. Preuve. Soit G un groupe fini et ϕ : A G un morphisme de monoïde. Posons g = ϕ(u). Si k est l ordre de G, on donc g k = 1. Pr conséquent, pour n k, ϕ(u n! ) = g n! = 1 et l suite g n! est donc ultimement égle à ϕ(1). LIAFA, CNRS et Université Pris VII

76 Une seconde condition nécessire Proposition (Reutenuer 1979) Les lngges réversiles sont fermés. Preuve à suivre... Note. L réciproque n est ps vrie : est fermé, mis n est ps réversile. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

77 Preuve sur un exemple... Soit L le lngge reconnu pr l utomte réversile. On prouve que L c est ouvert en montrnt que pour chque mot u / L, il existe un ouvert contennt u et disjoint de L , 4 LIAFA, CNRS et Université Pris VII

78 Etpe 1 : jout de trnsitions pour lire u. On étend l utomte réversile pour pouvoir lire le mot u. Ici u = , 4 LIAFA, CNRS et Université Pris VII

79 Etpe 2 : complétion en utomte de permuttions , 4 Soit G le groupe engendré pr les permuttions et et soit ϕ : A G le morphisme nturel. Soit g = ϕ(u). Comme G est discret, {g} est ouvert. Comme ϕ est continue, U = ϕ 1 (g) est ussi ouvert. Or U contient u et est disjoint de L, cr 1 x vut 4 si x L et 6 si x U. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

80 Sixième prtie VI Un lemme d itértion LIAFA, CNRS et Université Pris VII

81 Un lemme d itértion Corollire Soit L un lngge réversile et soient x, u, y A. Si, pour tout n > 0, xu n y L, lors xy L. Preuve. Puisque le produit est continu, lim n xun! y = xy. Comme L est fermé, xy L. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

82 Version lgérique du lemme d itértion Proposition Soit L un lngge reconnissle et M son monoïde syntctique ordonné. Sont équivlents : (1) L vérifie le lemme d itértion, (2) pour tout idempotent e M, 1 e. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

83 Septième prtie VII Crctéristion lgérique LIAFA, CNRS et Université Pris VII

84 Théorème principl Théorème Soit L un lngge reconnissle et M son monoïde syntctique ordonné. Alors L est réversile ssi (1) les idempotents de M commutent, (2) pour tout idempotent e M, 1 e. On déjà vu que ces conditions sont nécessires. Pour l réciproque, on étudie de près le grphe de Cyley de (M, A). LIAFA, CNRS et Université Pris VII

85 Composntes régulières du grphe de Cyley Une composnte fortement connexe du grphe de Cyley est régulière si l un de ses sommets est un idempotent. Proposition Si les idempotents de M commutent, l utomte défini pr une composnte régulière est réversile. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

86 Exemple : L = ( ) (1 + ) Reltions : 2 = 1 2 = = 0 Les idempotents commutent. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

87 Exemple 1, LIAFA, CNRS et Université Pris VII

88 Un résultt comintoire Proposition Soit ϕ un morphisme de A dns un monoïde M dont les idempotents commutent. Alors il existe un entier N > 0 tel que tout mot w de A se fctorise en w = u 0 v 1 u 1 v k u k, vec u 1,..., u k 1 non vides et (1) les ϕ(v i ) sont des éléments réguliers de M, (2) ces fcteurs réguliers v i sont mximux, (3) l longueur totle des utres fcteurs est N. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

89 Schém de l preuve Sous les hypothèses sur M, on montre que pour chque fctoristion w = u 0 v 1 u 1 v k u k, l utomte suivnt est réversile. B 1 B 2 B k u 0 e 1 v u 1 1 e 1 v 2... e k v u k k De plus, si w L, le lngge reconnu pr cet utomte est inclus dns L. Or il n y qu un nomre fini d utomtes de ce type et L est donc union finie de lngges réversiles. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

90 Huitième prtie VIII Synthèse des résultts LIAFA, CNRS et Université Pris VII

91 Synthèse des résultts (1) Théorème Soit L un lngge de A. Sont équivlents : (1) L est réversile, (2) L c est une cominison ooléenne positive de lngges de l forme R ou A R où R est un lngge à groupe, (3) L c est une cominison ooléenne positive de lngges de l forme R, R 1 R 2 où R 1 et R 2 sont des lngges à groupe. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

92 Synthèse des résultts (2) Théorème Soit L un lngge rtionnel et M son monoïde syntctique ordonné. Sont équivlentes : (1) L est réversile, (2) L = K A, où K est une union finie de clsses ltérles de sous-groupes finiment engendrés du groupe lire FG(A), (3) les idempotents de M commutent et, pour chque idempotent e de M, 1 e, (4) les idempotents de M commutent et L est fermé. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

93 Algorithme 1 Théorème Soit A l utomte miniml du lngge L. Les idempotents de M(L) commutent ssi A ne contient ucune configurtion de l forme u v u v q 4 u q 3 v q 0 u q 1 v q 2 vec u, v A et q 2 q 4. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

94 Algorithme 2 Théorème Soit A l utomte miniml d un lngge L. On 1 e pour tout idempotent e M(L) ssi A ne contient ucune configurtion de l forme u q 2 v p u q u q 1 vec u, v A et q 1 F et q 2 / F. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

95 Algorithme 3 Théorème Soit A l utomte miniml d un lngge L. Alors L est réversile ssi A ne contient ucune des deux configurtions précédentes. Corollire On peut tester en temps polynomil si un lngge ccepté pr un utomte déterministe à n étts est réversile. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

96 Neuvième prtie IX Pour ller plus loin... LIAFA, CNRS et Université Pris VII

97 Retour sur l topologie du groupe lire Théorème (M. Hll Jr., ) Tout sous-groupe finiment engendré du groupe lire est fermé. Théorème (Ries Zlesskii, 1993) Tout produit de sous-groupes finiment engendrés du groupe lire est fermé. Plusieurs démonstrtions, dont une vi l théorie des modèles! LIAFA, CNRS et Université Pris VII

98 Cloture d un lngge rtionnel Théorème L fermeture (topologique) d un lngge rtionnel est un lngge rtionnel. On dispose d un lgorithme pour l clculer. De nomreuses conséquences en théorie des semigroupes finis. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

99 Prolèmes ouverts On peut définir des topologies pro-p-groupe, pro-groupe pro- groupe nilpotent, etc. On vu que l fermeture d un lngge rtionnel est toujours rtionnelle. On dispose d un lgorithme pour l topologie pro-groupe, p-groupe, groupe nilpotent, mis ps groupe résolule! Le prolème se rmène à décider si un utomte réversile peut être complété, quitte à rjouter des étts et des flèches, en un utomte à groupe résolule. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

100 Pourquoi s rrêter ux groupes? On peut construire des topologies profinies pour d utres vriétés de monoïdes finis. Le monoïde lire A est lors muni d une structure d espce métrique, dont l complétion est un monoïde compct. Ces ojets sont encore très ml connus et sont l clé de l solution de nomreux prolèmes de théorie des utomtes et l ojet de recherches très ctives. LIAFA, CNRS et Université Pris VII

101 References I C.J. Ash, Finite semigroups with commuting idempotents, J. Austrl. Mth. Soc. (Series A) 43, (1987) C. J. Ash, Inevitle Grphs : A proof of the type II conjecture nd some relted decision procedures, Int. Jour. Alg. nd Comp. 1, (1991), M. Hll Jr., A topology for free groups nd relted groups, Ann. of Mths 52, (1950) LIAFA, CNRS et Université Pris VII

102 References II J.E. Pin, On the lnguges recognized y finite reversile utomt, 14th ICALP, LNCS 267, (1987) J.E. Pin, Topologies for the free monoid, Journl of Alger 137 (1991) J.-E. Pin, On reversile utomt, in Proceedings of the first LATIN conference, Sõ-Pulo, LNCS 583, (1992), J.-E. Pin, Topologie p-dique sur les mots, Journl de théorie des nomres de Bordeux 5 (1993), LIAFA, CNRS et Université Pris VII

103 References III J.-E. Pin nd C. Reutenuer, A conjecture on the Hll topology for the free group, Notices of the London Mth. Society 23, (1991), Ch. Reutenuer, Une topologie du monoïde lire, Semigroup Forum 18, (1979) Correction Semigroup Forum 22, (1981) L. Ries nd P.A. Zlesskii, On the profinite topology on free group, Bull. London Mth. Soc. 25, (1993), J. Stllings, Topology of finite grphs, Invent. Mth. 71, (1983), LIAFA, CNRS et Université Pris VII

104 References IV LIAFA, CNRS et Université Pris VII