LOIS DE PROBABILITE CONTINUES

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1 LOIS DE PROBABILITE CONTINUES I) LOI A DENSITE SUR UN INTERVALLE ( fire fiche '' vérifier les cquis'' ) 1) Introduction Qund l univers est un intervlle Jusqu à présent, chque expérience létoire conduisit à un univers fini et chque vrile létoire prenit un nomre fini de vleurs. Il s gissit donc toujours de définir une loi de proilité P sur un ensemle fini E = { x 1 ; x 2 ;... ;x n } et il suffisit de déterminer les n réels P({ x 1 }) ; P({ x 2 })... P({ x n }). Mis il rrive ussi que les issues d une expérience ou les résultts d une vrile létoire puissent être n'importe quel nomre d un intervlle I de R. Pr exemple : l durée d une communiction. Dns ce cs, il n est plus question de définir une loi de proilité en se donnnt l proilité de chque élément de I (elle serit d illeurs nulle! ) et de plus, les événement intéressnts ne sont plus otenir tel ou tel réel mis plutôt otenir un nomre entre et. L définition d une loi de proilité P sur I repose donc sur l notion de proilité d un intervlle quelconque de I. exemple : On fit un sondge sur l durée des communictions téléphoniques pendnt un mois, puis on trce l histogrmme et le polygone des fréquences. L fréquence de [3;4] est l ire du rectngle hchuré heure Comme l somme des fréquences est 1 lors l somme des ires des rectngles est 1 UA. Si on ffine les résultts en les regroupnt dns des clsses de plus en plus petites, le polygone devient de plus en plus précis. Donc qund l lrgeur de l clsse tend vers, le polygone tend vers une coure que l on ppelle coure représenttive de l densité de proilité y A y = f(x) 1 x en heure L fonction f s ppelle densité de proilité et l ire hchurée est 1 UA. L proilité pour que l consommtion soit entre et est donc l ire A = f x d x

2 2) Définitions On considère une expérience létoire et un univers ssocié, muni d'une proilité. Définition 1 : Une vrile létoire X est dite continue si elle peut prendre toutes les vleurs d'un intervlle I de R Ex : Durée de fonctionnement d'un ppreil électrique. Définition 2 : Soit X une vrile létoire continue à vleur dns un intervlle I de R. On ppelle densité de proilité sur I toute fonction f définie sur I vérifint les trois conditions : - f continue sur I - f positive sur I - f (x)d x =1 I Ex : cosinus est une densité de proilité sur [ ; 2 ] Définition 3 : On définit l loi de proilité P de densité f de X en ssocint à tout intervlle [;] I le réel : P( X [;]) = f x d x On dit que P est une loi de proilité continue à densité f sur I. 1 Avec notre exemple : P(X [;1]) = cos x d x = sin(1),84 et P ([ π 6 ; π 4 ]) = sin 4 sin 6,21 Définition 4 : Exercices : p 382 L'espérnce d'une vrile létoire X de densité f sur I est E(X) = xf (x)d x I

3 II) LA LOI UNIFORME SUR [;] On dit qu'une vrile létoire X suit l loi est uniforme sur [;] si s densité est une fonction constnte k. Il fut donc k(-) = 1 d'où k= 1 Définition : On ppelle loi uniforme sur I = [;] l loi de proilité continue sur I dont l densité f est l fonction constnte égle à f x = 1. Propriété : Si X suit l loi uniforme sur [;] lors pour tout intervlle [, ] [;] P(X [, ]) = β α Propriété : Si X suit l loi uniforme sur [;] lors son espérnce est E(X) = + 2 Démo : E(X) = 1 xd x =... Exercices : p p 367 EX 1 2 (feuille)

4 III) LES LOIS EXPONENTIELLES Définition : Soit un réel strictement positif. X suit l loi exponentielle de prmètre sur [ ; + [ si s densité est l fonction définie sur R + pr f x = e x Démo : f est ien une densité cr f est continue et positive et I = λ e λ x d x = [ e λ x ] et lim I = 1 + = 1 e λ Propriété : Si X suit l loi exponentielle de prmètre Pour tout intervlle [;] R + : P( X [;]) = λ e λ x d x = e λ e λ et P ( X ) = e λ Démo : λ e λ x d x = [ e λ x ] = e λ ( λ ) e Propriété : L'espérnce d'une vrile létoire X qui suit l loi exponentielle de prmètre est E (X ) = 1/ Démo : Soit I = λ x e λ x d x. Cherchons une primitive de l forme F(x) = (mx+p)e λ x F '(x)=( λ mx λ p+m)e λ x donc - m = et - p+m = donc m = -1 et p = -1/ lors donc I = ( 1 λ ) e λ et lim I = 1/. + Exercices : 6 9 p p 384 Propriété : Si X suit l loi exponentielle de prmètre, pour tous réels positifs s et t, on : P X s ( X > s + t ) = P ( X > t ) On dit que l loi exponentielle est une loi de durée de vie sns vieillissement. P ( X > ) = P ( [ ; + [ ) = e - lim e x = e x Preuve : P X s t X s P X s ( X > s + t ) = Or, P X s ( X > s + t ) = ( X ] s + t ; + [ ), ( X > s ) = ( X ] s; + [ ) et ( X ] s + t ; + [ ) ( X ] s; + [ ) Donc, ( X ] s; + [ ) ( X ] s + t ; + [ ) = ( X > s + t ) D'utre prt, P ( X > s + t ) = e λ s t et P ( X > s ) = e λs e λ s t insi, P ( X > s + t / X > s ) = = e λs e λt = P ( X > t ) Significtion : Si pr exemple X désigne l durée de vie, exprimée en nnées, d un composnt électronique, l proilité qu il fonctionne encore t nnées schnt qu il déjà fonctionné pendnt s nnées est l même que l proilité qu il fonctionne pendnt u moins t nnées près s mise en service. Remrque : Cette loi modélise le phénomène de "mort sns vieillissement", oservé pr exemple pour l désintégrtion rdioctive.

5 IV) LOI NORMALE CENTREE REDUITE : N (;1) Utiliser le fichier géogér : '' loi inomile '' pour expliquer ce qui suit : Soit X une vrile létoire qui suit une loi inomile B(n;p). Si l'on fixe p et que l'on fit ugmenter n, l'histogrmme représentnt les vleurs prises pr X semle se rpprocher d'une «coure en cloche»; Si l'on chnge p, l «coure en cloche» chnge de crctéristiques ( huteur et étlement) En revnche, si on considère l vrile létoire Z = Z= X x X = X np, on s'perçoit que, quel que np 1 p soit p, l coure en cloche est toujours symétrie pr rpport à l'xe des ordonnées. De plus le mthémticien Arhm de Moivre ( XVII e ) montré que l coure qui représente cette «coure en cloche» est l représenttion de l fonction définie sur Rpr f x = e x / 2 Th de MOIVRE-LAPLACE (dmis) Pour tout entier nturel n, X n est une vrile létoire qui suit l loi inomile B( n ; p ) et on pose Z n = X np n np(1 p). Pour tout les réels et ( < ) on : l limite de P(Z n [ ; ]) qund n tend vers + est 2 x 1 2π e 2 d x Définition : Propriétés : Une vrile létoire X suit une loi normle centré réduite si s fonction densité est l fonction définie sur Rpr f x = e x / 2 elle se note N (;1) P( X ) = f x d x L'ire sous l coure est 1 : elle représente P(X ] ; [ ) L coure est symétrique pr rpport à l'xe des ordonnées donc P(X [ ; [ ) = 1 2 P( X u) = P( X -u) donc P( X - u) = 1 P ( X u )

6 Propriétés : Si X est une vrile létoire qui suit l loi normle N (;1) lors son espérnce est E(X) = lim t xf (x)d x + lim t s s + Démonstrtion de l'espérnce : f x = 1 2 e x 2 / 2 xf (x)d x = et son écrt-type est 1. I t = xf (x)d x = t 1 2 π 2 x [ e 2 ] t... et lim I t = t + 1 2π s De même si J s = xf (x)d x lim J s = s + 1 2π donc E(X) = Utilistion de l clcultrice pour clculer Soit X une vrile létoire qui suit l loi normle centrée réduite, clculer : P(-1,96 X 1,96),95 P( X 1),8413 P ( X,5 ),385 Remrques : pour P( X 1) progrmmer P( 1 99 X 1) et pour P ( X,5 ) progrmmer P(,5 X 1 99 ) Propriétés : Démonstrtion : Si X est une vrile létoire qui suit l loi normle N (;1) lors pour tout réel ] ; 1 [ il existe un unique réel u α tel que P ( u α X u α ) = 1 - Soit f x = 1 t t 2 e x 2 / 2 posons g(t) = P (-t X t ) = f (x)d x = 2 f (x)d x cr f est pire. t Donc g'(t) = 2 f(t) > donc g est strictement croissnte et continue. Or g() = et lim g(t) = 2 1 = 1 donc si ] ; 1 [ on donc < 1 - <1 donc d'près le théorème des t + 2 vleurs intermédiires, il existe un unique u α tel que g(u α ) = 1 -.

7 Intervlles prticuliers à connître P( X [-1;1] ),68 P( X [-1,96;1,96] ),95 P( X [-2;2] ),954 P( X [-3;3] ),997 Exercices 1 p p 385 EX V) LOI NORMALE N ( ; 2 ) Définition : Dire qu'une vrile létoire X suit une loi normle N ( ; 2 ) signifie que l vrile létoire T= X suit une loi normle N (;1) Propriétés (dmise): Si une vrile létoire suit une loi normle N ( ; 2 ), lors son espérnce est, s vrince est 2 et son écrt-type est. Remrque : l fonction de réprtition n'est ps u progrmme. Influence des prmètres : Les intervlles à connître: Si une vrile létoire suit une loi normle N ( ; 2 ) lors l vrile létoire T= X normle N (;1) donc P( - X + ) =... = P ( -1 T 1),68 suit une loi P( - X + ),68 P( - 2 X + 2 ),954 P( - 3 X + 3 ),997 Exercices : p 386

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9 EX 1 : On choisit u hsrd un réel dns [ -1 ; 4 ]. Quelle est l proilité d voir : ) un nomre positif. ) un nomre inférieur à. c) le nomre. Ex 2 : ) On choisit u hsrd un réel dns [ ; 1 ]. Quelle est l proilité qu il soit solution de l inéqution E : x 2-4 x + 3 > EX 3 : Soit T une vrile létoire qui suit l l loi normle centrée réduite ; dns chcun des cs déterminer l'rrondi u centième du nomre u tel que : ) P(T u),25 ) P(T u) =,45 c) P(T>u) =,38 d) P(T<u) =,15 P(-u t u) =,87 EXERCICE 4 : EXERCICE 5 :

10 VERIFIER LES ACQUIS ( voir le chpitre des proilités) 1) Clculer l moyenne, l vrince et l'écrt-type de ces deux séries sttistiques x i effectifs x = y i fréquences,1,4,2,3 y = V = V = = = 2) On lnce 3 fois de suite un dé tétrédrique équiliré dont les fces sont numérotées 1, 2, 3,4. On ppelle X l vrile létoire représentnt le nomre de fois où le 1 est sorti. ) Préciser l nture de X et ses prmètres. ) Pour x i {;1;2;3}, donner l formule qui clcule P X=x i = Compléter à l'ide de l clcultrice le tleu suivnt : x i P X=x i c) Clculer l'espérnce E(X), l vrince V(X) et l'écrt-type (X) de X.

11 d) Soit Z l vrile létoire Z= X x X = X np np 1 p = ; compléter le tleu suivnt : x i z i P Z=z i Clculer l'espérnce, l vrince et l'écrt-type de Z. 3) Représenter l'histogrmme de l loi inomile B( 1;,4) ( le rectngle ABCD représentnt,1) xi p(x=xi),65,431,1293,21499,2582,266,11148,4247,162,157,1 D A C B x