Exercices sur les fonctions polynômes du second degré

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1 1 Version 1 Exercices sur les onctions polynômes du second degré On considère l onction : x x x 3 1 ) ettre x sous orme cnonique ) Étudier les vritions de ; ire le tbleu de vritions de 3 ) Recopier et compléter le tbleu de vleurs ci-dessous et trcer l courbe représenttive de sur l intervlle [ ; ] dns le pln muni d un repère orthonormé (O, I, J) (prendre un centimètre ou un «gros crreu» pour unité grphique) x 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 1 3 On considère les onctions : x x x et g : x x x 1 ) Donner les ormes cnonique de x et g x ) Étudier les vritions de et g ; dresser leurs tbleux de vritions ompléter les tbleux vec les extremums 3 ) On note et ' les courbes représenttives respectives des onctions et g dns le pln muni d un repère orthonormé (O, I, J) (prendre le centimètre ou un «gros crreu» pour unité grphique) Recopier et compléter les tbleux de vleurs ci-dessous x x (x) ) Sur le grphique précédent, trcer l droite D d éqution y x 1 Déterminer pr le clcul les bscisses des points d intersection de et D 1 17 Indiction : démontrer que x x x Version : On considère l onction : x x x 3 1 ) Démontrer que pour tout réel x, on : x x 1 ) Étudier les vritions de ; ire le tbleu de vritions de 3 ) Préciser l nture de ; donner les coordonnées de son sommet S ) Recopier et compléter le tbleu de vleurs ci-dessous x 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 x Fire une grphique sur une demi-pge complète en prennt un centimètre ou un «gros crreu» pour unité grphique Plcer le point S et trcer 5 ) ) Sur le grphique précédent, trcer l représenttion grphique D de l onction g : x x b) Démontrer que pour tout réel x, on : x x x c) Déterminer pr le clcul les bscisses des points d intersection de et D x g x Trcer et ' vec soin sur une pge complète ) Déterminer pr le clcul les bscisses des points d intersection de et ' 3 Donner l orme cnonique des polynômes du second degré suivnts : ; x x 5 ; x x 1 ; x 6x 5 ; 3x x ; x x x 1 ; x x 1 ; x 3x ; x x ; x x 1 8 3x 15x Version 1 : On considère l onction déinie sur pr x x x 3x ; 3x x 1 ; 1 ) ettre x sous orme cnonique ) Étudier les vritions de ; ire le tbleu de vritions de 3 ) Recopier et compléter le tbleu de vleurs ci-dessous x 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 x

2 Sur un grphique, trcer le repère (O, I, J) en prennt le centimètre pour unité grphique Plcer les points du tbleu précédent ettre des pointillés et les vleurs sur les xes pour le point correspondnt à l extremum Trcer en relint les points précédents «à l min» en tennt compte du tbleu de vritions On soigner prticulièrement l llure de l courbe u voisinge de l tngente horizontle ontrôler sur l clcultrice grphique ) Déterminer pr le clcul les bscisses des points A et B où coupe l xe des bscisses ( x A x B ) Version : On considère l onction déinie sur pr x x x 1 ) Étudier les vritions de ; ire le tbleu de vritions de ) Recopier et compléter le tbleu de vleurs ci-dessous ontrôler sur l clcultrice grphique ) Déterminer pr le clcul les bscisses des points A et B où coupe l xe des bscisses ( x A x B ) 5 Version 1 : x x x 3 On considère l onction déinie sur pr 1 ) ettre x sous orme cnonique ) Étudier les vritions de ; ire le tbleu de vritions de 3 ) Recopier et compléter le tbleu de vleurs : x 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 x x 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5,5 3 3,5 (x) Sur un grphique, trcer le repère (O, I, J) en prennt le centimètre pour unité grphique Plcer les points du tbleu précédent ettre des pointillés et les vleurs sur les xes pour le sommet S Trcer en relint les points précédents «à l min» en tennt compte du tbleu de vritions On soigner prticulièrement l llure de l courbe u voisinge de l tngente horizontle ontrôler sur l clcultrice grphique x x ) ) Vériier que b) Déterminer pr le clcul les bscisses des points A et B où coupe l xe des bscisses ( x A x B ) Version 3 : On considère l onction déinie sur pr x x x x x ) Vériier que ) Étudier les vritions de ; ire le tbleu de vritions de 3 ) Recopier et compléter le tbleu de vleurs ci-dessous x 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 x Sur un grphique, trcer le repère (O, I, J) en prennt un centimètre ou un «gros crreu» pour unité de longueur Plcer les points du tbleu de vleurs Trcer en relint ces points «à l min» Vériier sur clcultrice grphique ) Plcer les points E(1 ; 1) et F( 1 ; 3) sur le grphique précédent Trcer l droite (EF) Déterminer l éqution réduite de l droite (EF) 5 ) L droite (EF) est l représenttion grphique d une onction ine g x g x ) Résoudre pr le clcul l éqution Retrouver le résultt grphiquement b) Résoudre pr le clcul l inéqution x g x Retrouver le résultt grphiquement Version : x x x 3 On considère l onction déinie sur pr 1 ) Étudier les vritions de ; ire le tbleu de vritions de ) Recopier et compléter le tbleu de vleurs : x 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5,5 3 3,5 Sur un grphique, trcer le repère (O, I, J) en prennt le centimètre pour unité grphique Plcer les points du tbleu précédent ettre des pointillés et les vleurs sur les xes pour le sommet S Trcer en relint les points précédents «à l min» en tennt compte du tbleu de vritions On soigner prticulièrement l llure de l courbe u voisinge de l tngente horizontle (x) Sur un grphique, trcer le repère (O, I, J) en prennt un centimètre ou un «gros crreu» pour unité de longueur

3 Plcer les points du tbleu de vleurs Trcer en relint ces points «à l min» Vériier sur clcultrice grphique ) Plcer les points E(1 ; 1) et F( 1 ; 3) sur le grphique précédent Déterminer l expression de l onction ine g dont l représenttion grphique est l droite (EF) x g x 5 ) ) Résoudre pr le clcul l éqution Retrouver le résultt grphiquement b) Résoudre pr le clcul l inéqution x g x Retrouver le résultt grphiquement 6 Deux versions sont proposées pour cet exercice Version 1 : On considère un crré ABD de côté 6 cm On note I le milieu de [AD] Soit et deux points pprtennt respectivement u côté [B] et u côté [D] tels que B B Formulire : L ire d un crré de côté est égle à b L ire d un tringle rectngle dont les côtés de l ngle droit ont pour longueurs et b est égle à L ire d un trpèze dont l petite bse pour longueur b, l grnde bse pour longueur B et l huteur pour longueur h est égle à : b B h Version : On considère un crré ABD de côté 6 cm On note I le milieu de [AD] Soit et deux points pprtennt respectivement u côté [B] et u côté [D] tels que B B On s intéresse à l ire du tringle I On cherche pour quelle vleur de x cette ire est minimle On pose x B On donc 0 x 6 Reproduire l igure 1 1 ) Démontrer que l ire du tringle I est donnée pr S x x 9x 36 On pourr s ider des ormules rppelées ci-dessous x A I D,5 15,75 ) Vériier que l on : S x Dresser le tbleu de vritions de S (sur l intervlle [0 ; 6] uniquement) Fire ce tbleu insi que les lèches de vritions à l règle lculer les imges de 0 et de 6 pr S insi que l vleur du minimum globl ompléter le tbleu de vritions vec ces vleurs (correctement plcées u bout des lèches) En déduire pour quelle vleur de x l ire du tringle I est minimle On er une phrse selon le modèle suivnt : «D près le tbleu de vritions de S, l ire du tringle I est minimle pour x» On s intéresse à l ire du tringle I On cherche pour quelle vleur de x cette ire est minimle On pose x B On donc 0 x 6 Reproduire l igure 1 1 ) Démontrer que l ire du tringle I est donnée pr S x x 9x 36 On pourr s ider des ormules rppelées ci-dessous ) Dresser le tbleu de vritions de S (sur l intervlle [0 ; 6] uniquement) Fire ce tbleu insi que les lèches de vritions à l règle lculer les imges de 0 et de 6 pr S insi que l vleur du minimum globl ompléter le tbleu de vritions vec ces vleurs (correctement plcées u bout des lèches) En déduire pour quelle vleur de x l ire du tringle I est minimle On er une phrse selon le modèle suivnt : «D près le tbleu de vritions de S, l ire du tringle I est minimle pour x» 3 ) Déterminer les vleurs de x pour lesquelles l ire du tringle I est supérieure ou égle à 8 x x 5 Indiction : développer le produit A I D 3 ) Déterminer les vleurs de x pour lesquelles l ire du tringle I est supérieure ou égle à 8 x x 5 Indiction : développer le produit

4 Formulire : L ire d un crré de côté est égle à b L ire d un tringle rectngle dont les côtés de l ngle droit ont pour longueurs et b est égle à L ire d un trpèze dont l petite bse pour longueur b, l grnde bse pour longueur B et l huteur pour longueur h est égle à : b B h 7 Soit ABD un crré de côté 1 (une unité de longueur étnt choisie) et un point mobile sur le segment [AB] hque courbe représente l ire du domine grisé sur une conigurtion en onction de x A hque onction donne l'ire du domine grisé sur une conigurtion Associer à chque conigurtion l courbe et l onction correspondnte en justiint 9 On note l courbe d éqution y x dns le pln muni d un repère orthonormé (O, I, J) 1 ) Soit un point quelconque de d bscisse On note le milieu de [O] lculer les coordonnées de en onction de ) Démontrer que pprtient à l courbe ' d éqution y x 10 Dresser le tbleu de vritions de chcune des onctions suivntes déinies sur : 0,5 1,5 3 1 ) x 7x 9 15 ) g x x 3 ) hx x 11 Dresser le tbleu de vritions de chcune des onctions suivntes déinies sur : 1 3 k x x 6 ) 1 ) x x 1 3 ) g x x 3 3 ) hx x ) k x x 1 1 j A B D A 1 3 B j 1 j 3 D A B D 1 On considère l onction : x x x 5 On note s courbe représenttive dns le pln muni d un repère orthonormé (O, I, J) x x 1 1 ) Vériier que ) Étudier les vritions de 3 ) Trcer puis, sur le même grphique, l droite D d éqution y 5 x ) Déterminer grphiquement et pr le clcul les solutions de l inéqution : 5 x x x 5 13 L ltitude d un plongeur, en mètre, repérée pr rpport u niveu de l eu, est exprimée en onction du h t t t 3 temps t écoulé, en secondes, depuis le déprt du plongeur pr : 1 1 ) Vériier que ht t ) À quelle huteur se trouve le plongeoir? 3 ) Quelle est l ltitude mximle du plongeur? ) Au bout de combien de temps le plongeur rrive-t-il dns l eu? i O O O g x x x x x h x x x 1 8 On considère les onctions : x x x 3 et l on note s représenttion grphique dns le pln muni d un repère (O, I, J) Le but de l exercice est de déterminer pr le clcul les coordonnées des points d intersection de vec les xes du repère x x 1 1 ) ) Démontrer que pour tout réel x, on : b) Déterminer pr le clcul les bscisses des points d intersection de vec l xe des bscisses onclure en rédigent insi : coupe l xe des bscisses ux points A( ; ) et B( ; ) ou (Ox) = {A ; B} vec A( ; ) et B( ; ) ) Déterminer le point d intersection de vec l xe des ordonnées 3 ) ontrôler les résultts trouvés précédemment en représentnt grphiquement sur l clcultrice i i 1 Soit ABD est un crré de côté 5 cm Le point pprtient u segment [B] et le point u segment [D] tel que B D On note P le point tel que P soit un crré Le polygone AP est une «lèche» Soit x l mesure en centimètres de B D D D D P P P A B A B A B

5 1 ) Exprimer en onction de x les ires du crré P et des tringles AB et AD (en cm ) ) En déduire que l ire A (x) de l lèche est donnée pr A (x) x 5x pour x [0 ; 5] ) Démontrer que A (x) x ) Pour quelle vleur de x l ire de l lèche est elle mximle? 5 ) À l ide de l clcultrice, trcer sur une pge complète prise dns le sens de l longueur l courbe représentnt l onction A pour x [0 ; 5] dns le pln muni d un repère orthogonl (O, I, J) tel que OI 5 cm et OJ cm 6 ) Les igures, et correspondent respectivement à x = 1, ; x =,9 et x =,3 En utilisnt l xe de symétrie de l courbe et les vritions de l onction A, expliquer comment, sns clculs, on peut clsser ces lèches pr ordre croissnt de leurs ires 7 ) En résolvnt une éqution, déterminer où plcer pour que l lèche it pour ire 5,5 cm Expliquer comment retrouver grphiquement ce résultt à l ide de l courbe 15 Soit ABD un crré de côté 8 cm On note le point de [AD] tel que D 6,5 cm et un point de [AB] tel que A x cm On se demnde si le tringle peut-être rectngle en Le but de l exercice est d étudier s il existe ou non une ou plusieurs vleurs de x pour lesquelles le tringle est rectngle en 1 ) ) lculer b) Exprimer, en justiint, et en onction de x ) Démontrer que résoudre le problème posé revient à résoudre l éqution : x 16x 0 E x x 8 Développer l expression 3 ) onclure 16 Les questions sont indépendntes les unes des utres Il n est ps nécessire de trcer les courbes représenttives On justiier dns chque cs pr le clcul 1 ) Soit l onction déinie sur pr d un repère Quel(s) point(s) pprtient (pprtiennent) à? A(5 ; 0) B(3 ; 5) (1 ; ) ) Soit l onction déinie sur pr x x repère Déterminer le(s) point(s) de d ordonnée 8 x x 3x 5 et s courbe représenttive dns le pln muni 1 et s courbe représenttive dns le pln muni d un 17 On considère l onction : x x 5x 1 x x,5 7,5 1 ) Vériier que pour tout réel x on : ) Étudier les vritions de ; ire le tbleu de vritionsde 3 ) Recopier et compléter le tbleu de vleurs ci-dessous et trcer l courbe représenttive de sur l intervlle [ ; ] dns le pln muni d un repère orthonormé (O, I, J) (prendre un centimètre ou un «gros crreu» pour unité grphique) x 1 0,5 0 0,5 1 1,5,5 3 3,5,5 5 x ) Le point A ; 5 1 pprtient-il à? Justiier l réponse 5 ) Résoudre grphiquement puis pr le clcul l inéqution x 1 6 ) Sur le grphique précédent, trcer l droite D d éqution y 6 x Résoudre grphiquement l éqution x 6 x 18 Une entreprise brique un prum On note x l quntité en hectolitres produite quotidiennement Le coût totl en euros engendré pr l production de x hectolitres de prum est donné pr l expression x x ) ) Déterminer le coût totl dns le cs où l entreprise produit 0 hectolitres pr jour b) Quel est le montnt des coûts (coûts qui ne dépendent ps de l quntité x produite)? ) On suppose que toute l production journlière est vendue u prix unitire de 808 ( est-à-dire que chque hectolitre produit est vendu 808 ) ) Exprimer en onction de x l recette quotidienne notée R x b) Démontrer que le bénéice journlier est B x x c) Démontrer que B x x 808x 300 d) Déterminer, pr le clcul, les quntités à produire pour que le bénéice rélisé pr l entreprise soit mximl 3 ) Pour inncer l dépollution de l eu utilisée pr cette entreprise, l étt décide de prélever une txe de 16 pr hectolitre produit Quelle est l nouvelle production qui mximise le bénéice? 3 ) Soit l onction déinie sur pr ( x) 3 repère Quelle est l ordonnée du point de d bscisse 3? x et s courbe représenttive dns le pln muni d un

6 19 On considère les deux lgorithmes suivnts : Entrée : Sisir x Tritement : y prend l vleur x z prend l vleur y Sortie : Aicher z Entrée : Sisir x Tritement : y prend l vleur x z prend l vleur y Sortie : Aicher z Recopier ces deux lgorithmes Dns chque cs, l lgorithme permet de déinir une onction : x z Exprimer x en onction de x 0 On considère un jeu de boules comme le jeu de pétnque pr exemple Un joueur lnce une boule et on s intéresse ici à l trjectoire de l boule Soit l onction déinie sur l intervlle [0 ; ] pr 3 x x x 1 où x est le temps écoulé, en secondes, à prtir de l instnt où l boule quitte l min du lnceur et représente, en mètres, l distnce (verticle) séprnt le sol de l boule près x secondes écoulées ) Démontrer que x= x 16 ) Dresser tbleu complet des vritions de l onction 3 ) Indiquer à quel instnt l boule tteint s huteur mximle ) Déterminer à quel instnt l boule touche le sol 1 On considère l onction : x 9 x déinie sur On note l courbe représenttive de dns le pln muni d un repère orthonormé (O, I, J) tel que OI OJ 1 cm 1 ) Fire le tbleu de vritions de ) Développer et réduire x 3 ) À l ide de l clcultrice, dresser un tbleu de vleurs de sur l intervlle 6 ; vec un ps de 1 ) Trcer sur un grphique Plcer le point S 5 ) Résoudre lgébriquement les équtions x 0 et x 6 6 ) Résoudre lgébriquement l inéqution x 5 x

7 x x ) orrigé x 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 x 5,5 0 1,75 3 3,75 3,75 3 1,75 0,5 5 ) x Donc ' y ) On résout l éqution x x 1 Les bscisses des points d intersection de et D sont Version x x ) ) 3 ) ) Vériier que On prt de l expression x 1 5 On développe À l in, on écrit qu elle est égle à 5 Version ) x 1 g x 5 ) x 1 17 et 1 17 Rppel de cours : est une onction x D (x, y) revient à dire que et y x 19 x x 1 er cs : x x e cs : ) x x ou x x 9 1 ) y xo x x yo y y