PREMIER PRINCIPE POUR LES SYSTEMES FERMES (Corrigé) soit numériquement : = 22,5 g. A.N.: c mét = 443 J.kg

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1 PREMIER PRINIPE POUR LE YTEME FERME (rrgé). Mesure de la capacté thermque massque (u "chaleur massque") dun slde : a) Expérence adabatque, sus la pressn atmsphérque (le système {eau ntale, eau ajutée, calrmètre} est thermquemen slé). Equatn calrmétrque : H = Q p = 0. t en détallant chaque terme de varatn denthalpe, relat à des phases cndensées : m.c O.(t éq t ) + m.c O.(t éq t ) = 0 (en néglgeant c la capacté thermque du calrmètre). On tre : t éq = (m.t + m.t ) / (m + m ) = 3,8. b) Même mse en équatn, mas en tenant cmpte de la capacté thermque du calrmètre : (m + ).c O.(t éq t ) + m.c O.(t éq t ) = 0 m t t e On tre : m st numérquement : =,5 g. t t c) La nuvelle équatn calrmétrque est mantenant : (m + ).c O.(t t ) + m.c mét.(t t ) = 0 m t t qu amène : cmét c.n.: c mét = 443 J.kg m t t - K -.. alculs de travaux sur un chemn stherme réversble : a) W = -P ext.d. La transrmatn emprunte un chemn réversble, dnc quasstatque : P = P ext. Elle cncerne un Gaz Parat, respectant : P = nrt/ Elle est stherme : T = T = cste tut au lng du chemn suv lrs de la transrmatn. Il vent dnc : W = -nrt.d/ qu sntègre en : W = -nrt.ln( / ) avec = et = / t nalement : W = nrt.ln nrt a b) Même démarche, mas avec cette s : P n² (gaz de an der Waals). b ² d d dnc : W nrt n² a b ² b t : W nrt ln n² a b ) Dans les deux cas : Q = U W as a) : gaz parat : U = 0 car T = T = T (premère l de Jule) dnc Q = -W. as b) : gaz de an der Waals : U nn nulle. U n² a b Fnalement : Q = W nrt ln b 3. Traval échangé pur un lqude peu cmpressble : a) W = -P ext. d. La transrmatn emprunte un chemn réversble, dnc quasstatque : P = P ext st dnc : W = -P.d. cste et T cste T P P T Or par déntn mathématque : d dt dp pusque léquatn détat rele aux T P P T varables P et T et en ce sens est une nctn de P et T : (T, P). Il vent dnc : d dt dp T

2 Le lqude étant très peu cmpressble, n peut écrre par apprxmatn au premer rdre dans lexpressn de d. Dù W Pd P dt P dp b) Transrmatn schre : d = 0 dnc W = 0 et W = 0. Transrmatn sbare : dp = 0 dnc W Pd P dt st en ntégrant sur la seule température : W = -P. (T T ). Transrmatn stherme : dt = 0 dnc W Pd P st en ntégrant sur la seule pressn : W = T.(P² P² )/. c) En cnndant les varatns avec des varatns élémentares : W P. T.P - P T En dentant avec : W -P. n tre : = -W/P =. T - T.P u / = T- T P. / = 0,3 %. Eectvement la varatn de vlume ets mnme et les apprxmatns ates précédemment snt valdées. 4. mpressns adabatques dun gaz parat : ) mpressn adabatque et réversble dun gaz parat, ù le rapprt des capactés thermques est cnstant : les cndtns dapplcatn de la l de Laplace snt réunes. P. = ste. Dù : = (P / P ) /..N. : = 0, m 3. Dnc h = / ù = 00 cm² = 0,0 m². h = 0,093 m. (,93 cm). = nrt/p nject dans la l de Laplace dnne sn expressn en varables T,P dnt n tre : P T T st numérquement : T = 579 K. P ) La l de laplace nest plus appcable car la transrmatn nest pas quas-statque. Lensemble du traval urn par le système mécanque est transms au gaz, car le pstn est de masse néglgeable, et lénerge crrespndant à sa mse en muvement (énerge cnétque) le sera dnc auss. Le blan énergétque est dnc : U = W avec Q = 0 pur le système : {gaz cntenu dans le cylndre}. La rce applquée par lextéreur sur lensemble de la transrmatn est de nrme P.. Le traval reçu par le gaz sera : W = P.(- + ) = P.(-h + h ) nr La varatn dénerge nterne sexprme avec la varatn de température : U = T T avec n = P. / (RT ). P P Le blan U = W dnne dnc : T T P P T P avec P. = nrt et P. = nrt T P près smplcatns, n abutt à : T.N.: T =07 K > T. P nr P T 3 ) U W T T ce qu permet de cmparer les travaux reçus T dans les deux cas (température T u T ). ΔU < ΔU. T T dp

3 5. mpressn stherme u mntherme d un gaz parat : ) Transrmatn stherme (et dnc quas statque) d un gaz parat. W = -P ext.d. La transrmatn emprunte un chemn réversble, dnc quasstatque : P = P ext. Elle cncerne un Gaz Parat, respectant : P = nrt/ Elle est stherme : T = T = cste tut au lng du chemn suv lrs de la transrmatn. Il vent dnc : W = -nrt.d/ qu sntègre en : W = -nrt.ln( / ) avec P = P = nrt dnc : / = P /P ù P = P et P = P + mg/ mg t nalement : W nrt ln. P mme T = T et que l n a un GP : ΔU = 0. D ù par le premer prncpe : Q = -W. l état nal, =.h avec =.(P / P ) ù = h. P P Il vent : h h. et. h. N : ). h = 0,67 m ; W = 405 J. mg mg P P ) Transrmatn mntherme. Elle ne sera pas quas-statque, u du mns la température T du système ne restera pas nvarante dans la transrmatn (et l n ne cnnaît pas sn évlutn de açn smple et précse). Par cntre, l évlutn est mnbare : P ext = ste = P + mg/. mg mg On calcule dnc aclement : W Pext d P d P L équlbre nal du gaz reste néanmns dentque : P = P ext = P + mg/, T = T et dnc et h restent nchangés. Le traval reçu par le gaz est dérent, mas le blan énergétque s écrt tujurs : ΔU = Q + W = 0 pusque la température ntale et la température nale restent dentques. mg Il vent dnc Q = -W = P. N :, h = 0,67 m nchangée. W = -Q = 500 J 6. Pertes thermques : δq pertes = K(T(t) T).dt ; système = {masn} de capacté thermque p. Le système subt une évlutn sbare = P = P atm = ste. Ecrvns un blan thermque sur une durée dt : T(t) : T(t) : T(t +dt) = T(t) + dt On rasnne sur l enthalpe : dh = H(t+dt) H(t) = δq ù δq est l énerge reçue par transert thermque par la masn : δq = -δq pertes. et dh = p.dt pusque la transrmatn est sbare. D ù l équatn : p.dt = -K(T(t) T ).dt dt K éparns les varables : dt qu s ntègre entre T(t = 0) = T et T(t) : T( t) T p T( t) T K. t ln T T p Kt / p T ( t) T T T e st en passant à l expnentelle : δq pertes T ext = T T T(t) T t 3

4 7. mteur à ar cmprmé. ) Le traval sur le cycle est négat (sens hrare, traval mteur). e traval est ppsé à l ar algébrque du cycle, cette are est celle d un rectangle : W cy = - = - (P P ).( B - ). N : W cy = -450 kj. Masse d ar cnsmmée par cycle : m = M.(n B n D ) avec n B = P. B /(RT ) et n D = P. D /(RT ) en remarquant que B = et n B = n pusque l n a une détente schre d un système ermé, ce qu cndut, par l équatn d état du gaz prat, à : P /T = P /T. MP D ù nalement : m B D N : m = 5, g RT et dnc le traval massque vaut w = W/m = 89 kj.kg -. ) a) ette s : m = M(n B n D ). On détermne l état D par le at que D et appartennent à la même curbe plytrpque : P D. k D = P. k en remarquant ben que n = n D. / k P Il vent : D N : D = 0,8 L. P MP D ù : m B D N : m = 4,3 g. RT Remarque : l entrée de matère se dérule au ( ) sur D et B tands qu elle n a leu que sur B en ( ). Evaluns les travaux sur les dérentes partes du cycle : B sbare dnc W B = -P ( B ) N : W B = -540 J W B = 0 car schre D sbare dnc W D = -P ( D ) N : W D = + 77 J ste D plytrpque. WD d car P k ext = P = ste/ k qu sntègre en W P P N : W D k D D D = + 30 J En smmant ces travaux : W cy = J et dnc w = W cy / m = -00 J.kg -. b) w > w ; la valeur du traval urn est plus grande dans la secnde slutn avec un accrssement de,5 %. c) Représentatn P = (v) ù v = / m vlume massque. et B nt même crdnnée (la varatn du vlume est due au seul apprt de masse d ar). Idem pur et D. Les transrmatn B et D nt leu seln une vertcale sur ces graphes pusques réalsées à masse et vlume cnstant. 8. Pstn à ressrt : ) Energe apprtée au système par chauage électrque : R él Q R = RI²Δt pur le système : {gaz, pstn, ressrt}. Le cmpartment () cntent : n = (P ) / (RT ) st n = mle de gaz parat de capacté thermque mlare : vm = 5R/. (gaz datmque aux cndtns usuelles). Blan énergétque : ΔE tt = ΔU + ΔE p = Q R + W avec ΔU = ΔU gaz = vm (T T ) et ΔE p = (/)kx², pur l énerge ptentelle élastque du ressrt. 4

5 W est le traval des cntrantes extéreures, exercées au nveau de la ace externe du pstn, par la rce pressante mpsée par l atmsphère. (détente) W P d P d P x 0 ext Il vent dnc : 5 R T T kx² RI ² t P x ) Il aut détermner l état nal du système {gaz dans le cmpartment ()}. P, = x +, T. L équlbre mécanque du pstn mpse : P. = kx + P. Le terme kx crrespnd à la rce exercée par le ressrt et le temre P. est la rce pressante due à l atmsphère. L équatn d état dnne pur le gaz parat : P.( + x) = RT. Il vent : RT = kx² + kx / + P x + P En njectant ce résultat dans le blan énergétque du ), n tre une équatn du secnd degré sur x : 3kx² + (5/)kx / + (7/)P x RI²Δt = 0 st numérquement : x² + 3,3.0 4.x-.0 3 = 0 de slutns : x = 0,057 et x = -,5 (aberrante). On a dnc un déplacement de 5,7 cm du pstn, chaque cmpartment ayant ntalement une lngueur / = 0 cm. 3 ) Pur le système : {gaz dans le cmpartment ()}, le blan énergétque s écrt : vm (T T ) = RI²Δt + W ù W = - W, W étant le traval reçu par le gaz du cmpartment (). e derner traval est assez asé à exprmer, pusqu l a leu seln une transrmatn stherme, et dnc quas-statque : d W Pext d nrt avec à l : = et à l état nal : = x. x On btent : W RT ln l équlbre nal, l équlbre mécanque du pstn nécesste : P = P = P avec d après l équatn du gaz parat : RT pur le cmpartment () : P pur le cmpartment () : P x Il vent : 5 x x x RT RI ² t RT ln x 5 RT RI ² t RT ln st numérquement :.0, 43.0 ln De slutn : ε = 0, et dnc x = 0, m = cm. Psns : ε = x/. On a dnc : R él RT x 9. Etude dun cycle de trlng. rendement thermdynamque. 5

6 P T = T B ) T > T, dnc pur un même vlume = D, n aura P > P D. Le cycle, mteur, dt être parcuru dans le sens hrare. D T = T B : stherme dnc par la premère l de Jule : ΔU = 0, dnc Q B = -W B, avec c W B < 0 (détente) ; dnc Q B > 0. B B : schre. ΔU = Q B d ù Q B = mc v (T T ) < 0. D : stherme dnc par la premère l de Jule : ΔU = 0, dnc Q D = -W D, avec c W D > 0 (cmpressn) ; dnc Q D < 0. D : schre. ΔU = Q D d ù Q D = mc v (T T ) > 0. Remarquns que : Q B + Q D = 0. ) Q est le transert thermque reçu à la température T (stherme B). d Q = -W B avec : W Pext d nrt dnc Q = nrt ln( B / ) Or nrt = P et nrt = P et B =. D ù B / = (T /T ).(P /P ) = (nrt ) /(P ). nrt Fnalement : Q nrt ln P De même, Q est le transert thermque reçu à la température T (stherme D). d Q = -W D avec : W Pext d nrt dnc Q = nrt ln( D / ) Or nrt = P et nrt = P et D =. D ù D / = (P )/ (nrt ). P Fnalement : Q nrt ln nrt alcul du rendement du mteur : = -W cy /Q. Par le premer prncpe, écrt sur le cycle : ΔU = 0 = Q + Q + W cy dnc -W cy = Q + Q P nrt ln Q nrt T Il vent : n cnstate : = carnt. Q P T nrt ln nrt 6

7 0. ycle dun mteur Desel. P nalyse des transerts thermques reçus : B et D : transrmatns adabatques : Q = 0 ; B : sbare : Q B = ΔH = p (T T B ) > 0 (phase de cmbustn avec njectn) ; D : schre : Q B = ΔU = (T T D ) < 0 (rerdssement) ; B D Par le premer prncpe, écrt sur le cycle : ΔU = 0 = Q B + Q D + W cy dnc -W cy = Q B + Q D st : = -W / Q B = + Q B / Q D. QD T TD ec amène : Q T T B B On rele les températures par les adabatques répndant à la l de Laplace : T. - = ste Il vent : TB T Ta et TD T TBb B D B et étant de même pressn : P B = P = nrt B / B = nrt / dnt n tre T = T B (a/b). Dnc : T T a / b et T T ( a / b). D En rassemblant ces nrmatns n btent nalement : a b b a 7