Chapitre VI : Rayonnement dipolaire électrique

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1 Séiale PSI - Cous "Physique des ondes" Ondes éleomagnéiques dans le vide Objeifs : Rayonnemen éleomagnéique d un diôle Noions élemenaies su la diusion. Posiion du oblème Chaie VI : Rayonnemen diolaie éleique.. La soue de ayonnemen Dans le haie ééden nous avons éudié la oagaion d ondes éleomagnéiques dans le vide sans nous éoue de leu oduion à ai de hages en mouvemen. L éude du ayonnemen éleomagnéique éé a des hages en mouvemen es di ile, noammen en aison des ondiions aux limies imosées aux équaions de Maxwell. Nous éudions ii le diôle de Hez ; il es imoan ou lusieus aisons : Il eme de donne une ineéaion du ayonnemen éleomagnéique à ai du mouvemen d osillaions des hages éleiques auou de leu osiion moyenne ; la maièe éan globalemen neue, on onçoi alos que le momen diolaie de es hages ai un ôle déeminan dans l ineaion ene la maièe e le ayonnemen. Le ham ayonné a les anennes eu se amene à la sueosiion des hams oduis a un ensemble de diôles osillans. La déendane emoelle sinusoïdale du diôle de Hez ne limie en ien l inéê de l éude, uisque l on sai que oue évoluion emoelle eu se amene, a une analyse de Fouie, à une somme de fonions sinusoïdales... Desiion du sysème Considéons un double onsiué de deux hages éleiques oosées, q> au oin P e q au oin N, disanes de a>, e suosons que q vaie au ous du ems selon une loi sinusoïdale : q () q os () Le momen diolaie insanané () de ee disibuion es : () q () NP Nous hoisissons l oigine O du sysème d axe au milieu du segmen [NP] e l axe (Oz) de elle soe que NP au z.nous avons alos () aq os () u z En aison de la syméie de évoluion du sysèmeauou de (Oz) nous adoons les oodonnées shéiques (,, ) ave (, ) oodonnées olaies dans le lan méidien Oz, OM (même sysème de oodonnées que ou l éude du diôle éleosaique en èe année). Remaque fondamenale : On éalise un disosiif ayan un omoemen analogue au diôle de Hez (momen diolaie () vaiable dans le ems) soi : en onsidéan deux hages onsanes +q e q séaées a une disane vaiable : D () a os () () q D () u z q a os () u z en onsidéan un élémen de ouan iau z ave i dq d soi : i q sin () () qau z id au z q a os () u z

2 Physique des ondes. Chaie VI : Rayonnemen diolaie éleique.3. Mise en équaion Nous voulons déemine le ham éleomagnéique ayonné a e diôle, don ésoude les équaions de Maxwell. Nous savons qu il exise un oule de oeniels A, V el que : AvelehoixdejaugedeLoenzdiv A + V ouans a les équaions :, les oeniels salaie V e veeu A son liés aux hages e aux le ham éleomagnéique es alos donné a : V V V A A A µ j B o A e E gad V A.. Poeniels eadés (dis de Liénad-Wiehe) Nous admeons que A e V son donnés a les fomules de Liénad e Wiehe : V (M, ) D (P, PM )d PM e A(M,) µ D j(p, PM )d PM ave µ Poeniels eadés Ces exessions fon ineveni un déalage emoel PM : les oeniels au oin M, à l insan, son liés aux valeus de e j aux insans PM. Ce déalage oesond à la duée de oagaion de l infomaion à la viesse de la lumièe.. Poeniels A e V du diôle.. Poeniel veeu A du diôle D aès le aagahe.3. le oeniel veeu A es A(M,) µ " D j P, PM d# PM Nous nous laçons dans le as où le diôle es onsiué d une hage +q ;xe en O e d une hage mobile q laée en P e animée d une viesse v. Dans une elle siuaion le oeniel veeu es donné a : en emaquan que Nous e<euons alos deux aoximaions : A(M,) µ " qv le oeniel veeu s éi : A(M,) µ " qv P, PM PM PM l aoximaion diolaie : la disane d obsevaion OM es ès gande devan les dimensions de la disibuion d : d A(M,) µ " PM PM µ PM " PM l aoximaion non elaivise : nous suosons que la aiule q e<eue des osillaions sinusoïdales à la ulsaion T.

3 Physique des ondes. Chaie VI : Rayonnemen diolaie éleique 3 Nous ouons éie P M si le déalage emoel ene P M e qui es de l ode de d es négligeable devan l éhelle de ems aaéisique de l évoluion de don du momen diolaie : d T dans le modèle sinusoïdal, la viesse v de la aiule es de l ode de v d/t d où ou de manièe équivalene Nous admeons la généalié du ésula ééden : d d T d d v as non elaivise v T d & d & Soi un diôle éleique vaiable (), d exension saiale de l ode de d, siué au voisinage d un oin O e évoluan à une éhelle de ems aaéisique T. Dans le ade : de l aoximaion diolaie : OM d de l aoximaion non elaivise : & T d le oeniel veeu A en M àladae es :.. Poeniel salaie V du diôle A(M,) µ ( ) Le oeniel salaie V es donné a la ondiion de jauge de Loenz : div A + V Aès alul nous obenons : V (M,) ( ).u + ( ).u ( os ) + ( ) Remaque :Leeme un eme de ayonnemen. ( ).u 3. Chams E e B du diôle oesond au oeniel du diôle éleosaique alos que le eme Nous sommes oujous en oodonnées shéiques de base (u, u, u ). 3.. Syméies du ham éleomagnéique Tou lan onenan l axe (Oz), don le diôle, es lan de syméie de la disibuion de hages. Le ham éleique es un veeu olaie e aaien don à ous es lans méidiens : E Le ham magnéique es un veeu axial e es don eendiulaie à ous es lans méidiens : B B u ( ).u es 3.. Cham magnéique B du diôle Le ham magnéique B es donné a la elaion : soi aès alul : B o A ( B(M,) µ sin ( + ) ) u

4 Physique des ondes. Chaie VI : Rayonnemen diolaie éleique 3.3. Cham éleique E du diôle Pou le ham éleique E nous ouvons soi : alule E à ai des oeniels : E gad V A inége l équaion de Maxwell-Amèe (M-A) : E o B µ Aès alul nous obenons : 3.. Les di-éenes zones E(M,) E os ( ) + 3 ( ) E sin ( ) ( + ) 3 + E Nous suosons oujous que le momen diolaie es une fonion sinusoïdale : () os () ( ) Les emes, 3, aaaissan dans les exessions de E e B on alos des amliudes di<éenes : eme amliude 3 3 " 3 Selon les valeus de a ao à & le eme éondéan hange. " 3 & dé;ni la zone saique & dé;ni la zone inemédiaie & dé;ni la zone de ayonnemen.. Rayonnemen diolaie éleique.. Cham de ayonnemen... Exession du ham ayonné Dans la aique nous auons ès souven & : la disane à laquelle on déee le ham éleomagnéique es ès suéieu à la longueu d onde & ( µm dans le visible a exemle). Les exessions du aagahe ééden se simli;en ou donne : soi sous fome ininsèque E ayon (M,) sin " E ayon (M,)... Suue du ham ayonné D aès le aagahe ééden : E ayon (M,) Les hams E e B son en hase. u e B ayon (M,) µ " sin ( )u u e Bayon (M,) µ u u " " B µ ayon (M,) u B ayon (M,) u u ( )u µ B ayon (M,) u

5 Physique des ondes. Chaie VI : Rayonnemen diolaie éleique 5 Les hams E e B son nuls su l axe du diôle e maximals dans le lan équaoial (Oxy) (voi ;gues i-dessous). Dans le voisinage d un oin M siué à gande disane du diôle (ham ayonné), le ham E, B es aiquemen unifome. Comme E, B e u fomen un iède ohogonal (die) ave E B, la suue loale de l onde émise a le diôle es elle d une onde lane ansvesale, le lan d onde éan angen à la shèe en M. Dans le ade de l aoximaion diolaie ( d) e de l aoximaion non elaivise (& d), le ham éleomagnéique émis a une diôle éleique dans sa zone de ayonnemen ( &) : déoî omme ; es ooionnel à don à l aéléaion de la aiule ; ésene loalemen une suue d onde éleomagnéique lane ogessive dans le vide se oagean adialemen à ai du diôle : E ayon (M,) B ayon (M,) u B ayon (M,) u E ayon (M,) Remaque : Conaiemen au ham éleique odui a un diôle éleosaique, qui vaie omme / 3,leham éleomagnéique E, B odui à gande disane a le diôle éleique vaie omme /... Enegie éleomagnéique ayonnée... Le veeu de Poyning Le veeu de Poyning assoié au ham ayonné es : ayon E ayon B ayon µ ayon µ ayon sin " 6" 3 E ayon u E ayon E ayon µ µ u u sin u

6 Physique des ondes. Chaie VI : Rayonnemen diolaie éleique 6 Le veeu de Poyning es adial e oujous diigé ves l exéieu : le sysème de hage en mouvemen ayonne de l énegie.... Puissane ayonnée a unié d angle solide La uissane ayonnée à aves un élémen de sufae ds d de la shèe de ene O e de ayon, vu sous l angle solide élémenaie d sindd vau dp ayon.ds ayon. d u La uissane ayonnée a le diôle a unié d angle solide es indéendane de la disane d obsevaion e ooionnelle au aé de l aéléaion :..3. Diagamme de ayonnemen dp d 6 3 sin Pou eésene gahiquemen la éaiion saiale du ayonnemen émis a un diôle éleique nous ouvons ae, ou une dieion (, ) donnée, un segmen OH diigé dans ee dieion e de longueu ooionnelle à la uissane ayonnée a unié d angle solide. Nous obenons alos une sufae de évoluion auou de l axe (Oz). Le ayonnemen du diôle n es as isooe :il es nul suivan l axe du diôle e maximal suivan oue dieion onenue dans le lan (Oxy).... Puissane oale ayonnée La uissane oale ayonnée s obien a inégaion su oues les dieions de la uissane ayonnée a unié d angle solide : d, P d d 6" 3 sin d Remaque : sin 3 d P 6 3 os d ( os ) os + os3 3 3

7 Physique des ondes. Chaie VI : Rayonnemen diolaie éleique Cas d un diôle sinusoïdal Nous suosons que le diôle es une fonion sinusoïdal du ems : () os () ave se () os () () os () La uissane oale ayonnée s éi alos : P 6" 3 6" 3 os La uissane moyenne ayonnée es don : P 6" 3 os En faisan aaaîe la longueu d onde & P nous obenons : 6" 3 P 3 3 6" 3 os Cee fomule en /& joue un ôle ès imoan dans le oessus de di<usion de la lumièe a de eies aiules. La lumièe inidene engende des mouvemens éleoniques dans es aiules (moléules d ai a exemle) qui ayonne à leu ou de l énegie. Cee di<usion de la lumièe inidene sui la loi en /& e es don lus imoane ves les oues longueus d onde : le iel es bleu e le soleil ouhan donne une lumièe ouge. 5. Di-usion du ayonnemen éleomagnéique Nous nous oosons de eouve les ésulas éédens à ai du modèle de l éleon élasiquemen lié. 5.. La di-usion De eies aiules de soufe, obenues a éiiaion lene à ai de hiosulfae de sodium e d aide sulfuique euven sous l aion d un ham éleomagnéique (ii de la lumièe) joue le ôle de diôle éleomagnéique. On élaie ave un faiseau aallèle venan d une lame uissane une uve à faes bien lanes emlie d une soluion ès limide, mol. l a exemle, de hiosulfae de sodium ; une lenille L (disane foale de l ode de 3 m) donne su un éan E laé à quelques mèes une image d un diahagme iulaie D. uelques goues d aide sulfuique dilué délenhen l aaiion de soufe : onfomémen à la loi en /&, la lumièe di<usée es bleue andis que l image su l éan E devien ouge. À la ;n, la soluion devien blanhâe : les aiules de soufe on mainenan des dimensions noables vis-à-vis de &, la ondiion d & n es lus eseée e la di<usion ne sui lus la loi en /&. image du diahagme ougie diahagme (D) lenille (L) éan (E) lumièe diffusée bleue 5.. Modèle de l éleon élasiquemen lié 5... Hyohèses Nous éudions l aion d une onde éleomagnéique su un aome. D aès le aagahe.5. du haie I : Ondes éleomagnéiques dans le vide : Losqu une onde ogessive ineagi ave des aiules hagées, la foe magnéique es négligeable devan la foe éleique. Nous ne onsidéons don que l aion du ham éleique su les éleons (le noyau don la masse es beauou lus imoane es suosé immobile). En;n nous suoseons le ham éleique iniden unifome à l éhelle de l aome (& µm d, nm): E E os

8 Physique des ondes. Chaie VI : Rayonnemen diolaie éleique 8 Nous éudions le as aiulie d un aome à un éleon. Soi P le bayene des osiions suessives de l éleon. Nous a<eons à e oin P la masse m e la hage q e de l éleon. Au eos, le oin P es onfondu ave le noyau eéé a le oin O. Hos équilibe, nous noons le veeu OP. Nous ouvons ineée les hénomènes exéimenaux en osulan que le mouvemen de P obéi à l équaion di<éenielle d un osillaeu hamonique amoi : l éleon es soumis à une foe de ael (de ye esso) de la a du noyau : F ael k OP m OP m l éleon es soumis à une foe de ye foemen visqueux (los de son délaemen, l éleon ayonne une énegie éleomagnéique élevée su son énegie méanique) : F visq h d OP d m d OP d m ave faeu de qualié 5... Mise en équaion Aliquons la deuxième loi de Newon : ma F m F ael + F visq + q E m + m + m q E Nous nous inéessons uniquemen au égime foé. L exiaion éan sinusoïdale nous uilisons la noaion omlexe E E os E E e j e e j L équaion di<éenielle s éi alos m jm + m q E q m E m jm q m j E L exéiene mone que l absoion d une onde éleomagnéique a un aome es aiulièemen e ae losque la féquene de l onde inidene es ohe de l une des féquenes du see éleomagnéique de l aome. Pou ende ome de ee obsevaion nous hoisissons ou une ulsaion du see aomique e nous donnons au faeu de qualié une valeu ès élevée. q m j 5.3. Les di-éens yes de di-usion E Exession généale de la uissane moyenne di-usée Nous hoisissons l axe (Oz) el que E E u z Le momen diolaie s éi alos (en noaion omlexe) : q e j q q m j q m j D aès le aagahe... P 3 ave P q /m " 3 e m + E u z E e j u z e j u z + E

9 Physique des ondes. Chaie VI : Rayonnemen diolaie éleique 9 Nous ouvons alos ae les vaiaions de ee uissane moyenne en fonion de la ulsaion de l onde inidene : <P> diffusion ésonnane diffusion Rayleigh diffusion Thomson x Di-usion ésonnane Réalisons l exéiene suivane : Hg Na vaeu de sodium vaeu de sodium Nous vaoisons du sodium à l éa aomique a hau<age, ave un be Bunsen, d une amoule à vide onenan un eu de sodium. Elaions ee vaeu aomique ave une lame seale : Ave une lame à vaeu de meue (onenan un double jaune & 577 nm e & 579nm) nous obsevons une ès légèe émission jaune de la vaeu onenue dans l amoule. Ave une lame à vaeu de sodium (onenan un double jaune & 589, nm e & 589, 6nm) nous obsevons une ès foe émission jaune de la vaeu onenue dans l amoule. Dans la deuxième exéiene nous obsevons un hénomène de di-usion ésonnane : le ayonnemen iniden a exaemen la ulsaion oe des aomes de sodium. Cee di<usion oesond au maximum de la oube éédene ( 5.3..) Di-usion de Rayleigh Pou de nombeux aomes ou moléules le see éleomagnéique se siue esseniellemen dans l ulaviole. Une onde inidene dans le domainde du visible oesond don à des valeus de la ulsaion ès inféieues aux ulsaions oes. Cee di<usion, aelée di-usion de Rayleigh, oesond à la aie oissane du aé du aagahe Dans une elle siuaion ;don P q /m " 3 En inoduisan la longueu d onde & : + E P q /m " 3 E q /m " 3 " P q /m " 3 E q /m " 3 E Nous eouvons bien la déendane en : dans le see du visible, l amoshèe di<use neemen lus les adiaions bleues (& nm) que les adiaions ouges (& 8nm). & E

10 Physique des ondes. Chaie VI : Rayonnemen diolaie éleique Remaque : il es ossible d obeni l exession de la uissane ayonnée dans la limie de la di<usion Rayleigh a un alul die : di<usion Rayleigh m + m + m q E m + m + m q E s éi alos m q E q E m q q E m q E m a E es sinusoïdal Comme la uissane ayonnée a le diôle a unié d angle solide es ooionnelle au aé de l aéléaion (ou du momen diolaie de manièe équivalene) nous avons bien une uissane vaian omme soi. 5.. Polaisaion du ayonnemen a di-usion 5... Cas d une onde inidene olaisée eilignemen Soi une onde inidene diigée suivan l axe (Ox) elle que le ham éleique E soi olaisé eilignemen suivan (Oz). D aès le aagahe 5.. nous savons qu il aaaî un momen diolaie q olinéaie à u z (a olinéaie à E). Ce diôle indui es, à son ou, soue d un ayonnemen éleomagnéique don les hams E e B son nuls su l axe du diôle (Oz) e maximals dans le lan équaoial (Oxy). De lus, dans la zone de ayonnemen, le ham éleique es oé a le veeu u ; dans le lan équaoial E es don diigé suivan (Oz) : Losque le ham éleique iniden es olaisé eilignemen l onde di-usée es esseniellemen olaisée eilignemen dans la même dieion Cas d une onde inidene non olaisée Si l onde inidene n es as olaisée, les diôles induis on des dieions aléaoies (eendiulaies à la dieion de oagaion (Ox)) : le ham ayonné dans la dieion (Ox) n es as olaisé. le ham ayonné eendiulaiemen à (Ox) en un oin M es olaisé eilignemen le long de la eendiulaie au lan (MOx). 6. Exeies Exeie n (Cenale) Le mouvemen d un éleon dans un aome de ene O es modélisé a elui d un osillaeu hamonique saial de ene O, de ulsaion oe, assoié à un oin maéiel de masse m e de hage q e. On envoie su e aome (de ene O &xe) une OPPM don le ham éleique es donné a E E e x os ( kz) où k /. Déemine la seion e*ae oale de di+usion de l éleon 5 T dé&nie omme le ao de la uissane oale moyenne ayonnée à l inensié I de l onde inidene. Donne sa valeu 5 dans le as de l éleon libe. On aelle que l exession du ham magnéique ayonné, à gande disane, a un sysème diolaie éleique siué en O : Bay µ ( ) u ;où e OM u.

11 Physique des ondes. Chaie VI : Rayonnemen diolaie éleique Exeie n : Duée de vie d un éa exié d un aome On adoe ii un modèle lanéaie de l aome ou lequel l éleon d un aome d hydogène es assimilé à une aiule de masse m e de hage e qui gavie su une ajeoie iulaie de ayon R auou d un oon, onsidéé omme in&nimen massif, &xe à l oigine O. ) Exime en fonion de R, m e e, la viesse v, l aéaion a de l éleon, la éiode T e l énegie méanique E du sysème. Les évalue ou R 53m, e disue le aaèe elaivise ou non de l éleon. Données : m 9,. 3 kg, e, 6. 9 C e 9. 9 F. m. À une disane ès gande devan l exension saiale R de son mouvemen, une aiule non elaivise, de hage q e d aéléaion a, éme un ham éleomagnéique de ayonnemen, don le ham magnéique es : B µ qa e " ) Disue la olaisaion de l onde émise dans le lan de l obie de l éleon ou su son axe de évoluion. 3) Éabli la fomule de Lamo donnan la uissane ayonnée a l éleon déivan sa ajeoie iulaie. ) uelle es la onséquene de ee émission de ayonnemen su le mouvemen de l éleon? Disue la aidié de ee évoluion en évaluan le ao ene l énegie ayonnée endan une évoluion e l énegie méanique obenue à la quesion ). 5) En uilisan les onlusions éédenes, oose une loi d évoluion du ayon R de la ajeoie éleonique en fonion du ems. En déduie une évaluaion de la duée de vie # du niveau exié de l aome d hydogène, sahan que l aome eombe, a émission de ayonnemen, dans l éa s. On aelle que les niveaux d énegie de l aome d hydogène son donnés a la loi de quani&aion E n 3,6 n ev, oùn désigne le nombe quanique inial. Comae la valeu obenue à la valeu exéimenale de e ems de vie qui es T, 6ns. Exeie n 3 : Rayonnemen d une anenne demi-onde L exession du ham de ayonnemen ( &) d un diôle laé à l oigine du sysème de oodonnées es : E (, ) B (, ) e ave B µ " e Une anenne es onsiuée d un &l d éaisseu négligeable, de ene O e de longueu L, oïnidan ave l axe (Oz), auquel un sysème éleonique imose un ouan osillan i(z, ) I os z L os() soi en noaion omlexe : i(z, ) I os z L e j. On obseve le ayonnemen de ee anenne en un oin M, eéé a ses oodonnées shéiques (, ). ) Exlique l exession du ouan i(z, ) dans l anenne. Indique la elaion lian la longueu L de l anenne e la longueu d onde &, assoiée au ouan i(z, ). ) Dans la zone de ayonnemen & eu-on suose aussi que la longueu d onde es ès gande devan les dimensions de la soue, omme dans le as du ayonnemen diolaie? Déemine le ham d E éé en M a un élémen de longueu dz siué en un oin P d absisse z de l anenne, uis son amliude omlexe de. 3) Calule le ham éleique E ayonné au oin M. ) Mone que le veeu de Poyning moyen eu se mee sous la fome Kf(),oùf() (fonion don la valeu maximale 3 es ) es aelée indiaie de ayonnemen de l émeeu.

12 Physique des ondes. Chaie VI : Rayonnemen diolaie éleique 5) Donne l allue du diagamme de ayonnemen de l anenne. 6) Calule la uissane moyenne oale ayonnée ainsi que la ésisane de ayonnemen R de l anenne, dé&nie a P RI. Calule I ou une anenne qui ayonne une uissane moyenne de kw.