ÉLÉMENTS THÉORIQUES D ANALYSE FRÉQUENTIELLE UTILISATION DU LOGICIEL HYFRAN-PLUS

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1 ÉLÉMES HÉORIQUES D AALYSE FRÉQUEIELLE UILISAIO DU LOGICIEL HYFRA-PLUS Benad Bobée () et Salah El Adlouni () () IRS-EE, Univesité du Québec 490, ue de la Couonne (Québec), Canada GK 9A9 () Dépatement de mathématiques et de statistique, Faculté des Sciences, Univesité de Moncton Vesion du 9 avil 05 Pemièe vesion : Benad Bobée 000

2 ote L objectif de ce document est de pésente les éléments théoiques et les méthodes statistiques, qui sont utilisés dans le guide d utilisateu de HYFRA-PLUS (El Adlouni et Bobée, 05). La pésentation de ces notions est accompagnée d applications aux distibutions statistiques poposées dans HYFRA- PLUS pou une bonne compéhension des bases théoiques utilisées dans le logiciel. Dans les appendices, on peut touve un appel des notions statistiques de base, utilisées dans ce document.

3 Liste des tableaux ableau : Statistiques exhaustives des lois de Halphen ableau : Ode des moments coespondant aux statistiques exhaustives des lois de Halphen -- ableau 3 : Justification théoique appaente de la loi Gumbel ableau 4 : Distibution et méthodes d estimation disponibles dans HYFRA-PLUS Liste des figues 3

4 able des matièes ÉLÉMES HÉORIQUES D AALYSE FRÉQUEIELLE UILISAIO DU LOGICIEL HYFRA- PLUS... ABLE DES MAIÈRES RISQUE HYDROLOGIQUE E PÉRIODE DE REOUR Intoduction... 7 Fonction de distibution... 8 Vaiable de Benoulli Loi géométique... 9 Calcul de la moyenne de la loi géométique... 0 Application aux cues... 0 Péiode de etou : débit maximum annuel... 0 Application aux étiages..... Loi binomiale... Péiode de etou et duée de vie d un ouvage... 3 Détemination de X pou fixé ESIMAIO DES PARAMERES D UE DISRIBUIO Condition d exhaustivité : cas d une loi à 3 paamètes Applications... 5 Distibution Gamma ( 0; C S 0)... 5 Distibution Gamma invese MÉHODES D ESIMAIO (M) DES PARAMÈRES D UE DISRIBUIO (D) Méthode du maximum de vaisemblance (MV)... 8 Application à la loi Gamma ( Gam, )... 9 Famille des lois de Halphen (Molat, 956) Méthode des moments... 4 Loi Gamma 0 G... 4 Loi Peason type 3 [P]

5 3.3. Calcul de X : loi Gamma et loi Peason type Loi log Peason type 3 (LP)... 7 Méthode indiecte des moments (W.R.C.)... 7 Méthode diecte des moments (BOB) [Bobée, 975]... 8 Méthode mixte des moments [Rao, 983]... 8 Méthode SAM (Sundy Aveages Methods) [Bobée, Ashka, 988]... 9 Calcul de Z : loi Log-Peason type Distibution GEV (Genealized Exteme Value) Loi Gumbel Calcul de X : loi Gumbel... 3 Application de la méthode des moments à la loi Gumbel... 3 Application des M.P.P. à la loi Gumbel (cf. Appendice 0)... 3 Application des M.P.P. à la loi GEV IERVALLE DE COFIACE DE X Ajustement d une loi à un échantillon en patique Détemination de l intevalle de confiance de X pa «bootstap» paamétique ÉAPES D UE AALYSE FRÉQUEIELLE Véification des hypothèses I.I.D Indépendance (test de Wald-Wolfowitz) Homogénéité : test de Wilcoxon (Mann-Whitney) est de stationnaité (Kendall)... 4 est de discodance (détection de valeus singulièes) : test de Gubbs-Beck Distibutions et méthodes d ajustement de HYFRA-PLUS acé d une loi ajustée Pobabilité empiique (P.E.) Synthèse : Étapes de l ajustement (FAIRE RÉFÉRECE AUX SECIOS) APPEDICES Appendice : Espéance Moyenne d une loi Géométique Appendice : Péiode de etou et duée de vie d un ouvage... 5 Appendice 3 : Moyenne géométique, moment d ode 0 (quasi-zéo)

6 Appendice 4 : Résolution des équations de la méthode du maximum de vaisemblance pou l estimation des paamètes de la distibution Gamma Appendice 5 : Popiétés des lois de Halphen Appendice 6 : Estimation des paamètes de loi Halphen type A (Peeault et al. 999) Appendice 7: Fonction généatice des moments (F.G.M.)... 6 Appendice 8 : Coection du biais de l estimateu de l asymétie Appendice 9 : Lien ente les lois GEV et Gumbel Appendice 0 : Méthode des moments pondéés (Landweh, 979) Appendice : Intevalle de confiance Appendice : otions de test statistique Appendice 3 : Coection de continuité Appendice 4 : Pobabilités empiiques (Plotting-Position) RÉFÉRECES

7 . RISQUE HYDROLOGIQUE E PÉRIODE DE REOUR.. Intoduction L objectif de l analyse hydologique est de détemine la elation ente les événements hydologiques extêmes (cue, étiage) qui peuvent engende un isque et leu pobabilité au dépassement ou d une manièe équivalente leus péiodes de etou. Pa exemple, si l on veut évalue le isque de défaillance d un ouvage de contôle de cue, on s intéesse à pp X x p la pobabilité que le débit dépasse une valeu citique x p ; p epésente le isque hydologique. Figue : Risque hydologique dans le cas de cue (illustation à pati de la fonction de densité de pobabilité) Dans tout ce qui suit on s intéesse aux événements extêmes de cue. En patique on dispose à une station de mesue de années de données jounalièes de débit. On etient pou chaque année la valeu 7

8 maximum. On dispose alos d un échantillon x, x,,, x de éalisations de la vaiable débit maximum annuel. ote: Pou un débit d étiage, le isque hydologique est : p = P X x p qui coespond à la pobabilité au non-dépassement de x p., obtenue à pati de la fonction de densité de pobabilité de la vaiable X. Fonction de distibution On suppose que le débit maximum annuel X est distibué suivant une loi de fonction de densité de,,. pobabilité (f.d.p.) (, On a donc : f x ) et une fonction de distibution ( Fx ) de paamètes x p Fxp, f x, dxpx xpp (a) 0 D où ppx x p Fx p, (b) En patique, on est intéessé à détemine le quantile x p coespondant à un isque p fixé; cette valeu est en effet, une donnée de base pou le dimensionnement des ouvages. On a donc d apès (Eq. b): F X, p p () On définit F - fonction invese de F telle que () : ( ) On a alos en considéant l équation () : F FU U X F [ p; ] (3) p () Exemple : si F(x) = exp(x) alos F x lnx en effet exp ln x x 8

9 Vaiable de Benoulli Losque les éalisations possibles d une vaiate concenent deux événements A et A : Exhaustifs : i.e. PA A PAPA mutuellement exclusifs : i.e. PAet A 0 ou On obtient alos une vaiable de Benoulli () avec : PA p et PA q p (4).. Loi géométique On considèe des expéiences aléatoies indépendantes faisant inteveni une vaiable de Benoulli à deux états A et A. On cheche la pobabilité p coespondant au nombe d expéiences pou obteni la pemièe éalisation de A, on a: k P k p p (5) coespond à la pobabilité d obteni à la k ième expéience l événement A (de pobabilité p) pou la pemièe fois. En effet : P k P AA A k,, k Puisque les éalisations sont indépendantes, on a : P k p p p p. k () Exemple : Lancement d une pièce de monnaie Apile Aface P[ A] P [ A] / 9

10 Calcul de la moyenne de la loi géométique E P k. k. La moyenne d une vaiable de loi Géométique est donnée pa On peut monte (Appendice ) que: E ( ) / p (6) k ote : Ainsi le nombe moyen d expéiences nécessaies pou obteni la pemièe éalisation de A est égal à l invese de la pobabilité p d avoi A. Application aux cues On considèe la vaiable X débit maximum annuel (i.e. débit jounalie maximum de l année) et les événements A: X X p et A: X X p telles que PA p et P A qp Il s agit de événements : P A P A exhaustifs ; mutuellement exclusifs PA et A 0 On obtient donc une vaiable de Benouilli. Péiode de etou : débit maximum annuel En appliquant le ésultat pécédent (Équation (6)), on peut monte que le nombe moyen (3) d expéiences (en années) pou obseve A pou la pemièe fois est l invese de la pobabilité p d obseve A : / p (7) est appelé la péiode de etou de l événement événements A: X X p X p de pobabilité au non-dépassement p (4). Les tels que P [A] = p sont sépaés en moyenne (su une tès longue péiode) pa une péiode de etou de / p/ q années. (3) Exemple : pou p 0.0 on a 00 ans (4) La péiode de etou est une moyenne calculée su une tès longue duée. 0

11 Figue : Risque hydologique et péiode de etou (cas de cue) Application aux étiages On considèe la vaiable X caactéisant le débit minimum annuel d étiage tel que : q q A: X x A: X x q est la pobabilité au non-dépassement de x q p q est la pobabilité au dépassement de x q. Les événements A: X xq P A q P A q p sont sépaés en moyenne pa une péiode de etou =/P[A]=/q années.

12 Figue 3 : Risque hydologique (cas d étiage).. Loi binomiale On considèe une séquence de épétitions indépendantes d une expéience aléatoie faisant inteveni une vaiable de Benouilli. PA p PA q p La loi binomiale donne la pobabilité d obteni k éalisations de A et ( - k) éalisations de A. On peut monte que (5) : pou k 0,, avec C k k,, k PZ k B k p C p p (8) k! k! k! (5) Illustation = 3 k = On a les combinaisons possibles: A A A de pobabilité p (-p) A A A de pobabilité (-p) p (-p) = p(-p) A A A de pobabilité (-p) (-p)p = p(-p) On en déduit donc que : PZ 3p p.. On véifie que : PZ B3,, p Cp p 3

13 Péiode de etou et duée de vie d un ouvage En utilisant les popiétés de la loi Binomiale, on peut démonte (Appendice ) que : L événement A : X x p de pobabilité au dépassement p et de péiode de etou / p, a une pobabilité U / (Équation A.) d ête obsevé au moins une fois dans les pochaines années. Quand est gand U tend ves 0.63 (cf Appendice ). Ainsi si on considèe la cue centenaie (=00) de pobabilité au dépassement p 0.0 : 00 ans est le temps moyen sépaant deux événements tel que p 0.0 ; Il y a une pobabilité U 0.63 d obseve au moins une fois la cue centenaie coespondant à une pobabilité au dépassement p 0.0 dans les 00 pochaines années. Le isque de défaillance U d un ouvage (i.e. la pobabilité d avoi au moins un événement tel que X x p ) pendant la duée de vie de l ouvage véifie l équation A. ( ). ( U ) Ainsi pou 00, à pati de l équation A., on a le isque U 0.63 d avoi une cue centenaie pendant la duée de vie de l ouvage. Si on veut diminue ce isque on doit considée une cue de conception de péiode de etou supéieue à 00. Pa exemple pou 00 et U 0.0, l équation A. monte que l on doit considée une cue de conception de 450 ans (cf. Appendice ). Détemination de X pou fixé D apès l équation (3) on a X F p ; En tenant compte de p / on en déduit : p. X F / ; (9a) Il s agit de la elation qui lie l événement dépassement p =/. X de péiode de etou avec une pobabilité au 3

14 En patique, on a un échantillon x,, xl x d obsevations de débit maximum annuel, obtenues pendant années, qui especte les hypothèses IID (cf. Section 5., i.e. on a des éalisations indépendantes de la même vaiable aléatoie). On fait l hypothèse d une distibution D (loi F) pou epésente les données. On effectue l estimation ˆ des paamètes de la distibution (D) pa une méthode (M). On détemine l estimation X ˆ de X ˆ Xˆ F / ; (9b) coespondant à une péiode de etou = /p La qualité de l estimation X ˆ dépend de : la distibution D choisie (loi F) la méthode d estimation des paamètes de la loi F. ( p est le isque) De nombeuses distibutions peuvent ête considéées pou epésente la séie des obsevations (5 distibutions dans HYFRA-PLUS) (cf. ableau 4, page 45) En généal, pou chaque distibution plusieus méthodes possibles. Chaque méthode peut avoi des avantages et des inconvénients; ainsi une méthode pouait ête péféable pou l extapolation (i.e. débit de gande péiode de etou). Quand on dispose de statistiques exhaustives l estimation est optimale (i.e. vaiance minimum(cf. Section.)). 4

15 . ESIMAIO DES PARAMERES D UE DISRIBUIO.. Condition d exhaustivité : cas d une loi à 3 paamètes Si la f.d.p. peut se mette sous la fome : 3 f x;,, 3 exp Ci,, 3i xd(,, 3) Sx (0) i La fonction f fait alos patie de la famille exponentielle des f.d.p. d ode 3 et,, 3 statistiques exhaustives des paamètes. sont des S il existe des statistiques exhaustives : La méthode d estimation des paamètes est optimale (i.e. de vaiance minimum); quelle que soit la taille de l échantillon ; si une solution existe, elle est unique et coespond à la méthode du maximum de vaisemblance... Applications Distibution Gamma ( 0; C S 0) La f.d.p. d une loi Gamma est donnée (Bobée et Ashka, 99) pa : f x e x x x ;,, 0 () avec 0 et e x dx 0 En tenant compte de la elation u exp( Ln u). (fonction Gamma) 5

16 On a : f x exp Ln f x exp f x Ln Ln x Ln x f x peut se mette sous la fome de l Équation (0) : ; ; exp,,, f x C x C x d S x avec :,,, d Ln Ln C x C Ln x Donc, x et Lnx sont des statistiques exhaustives. Pou échantillon x xi i x,, on peut monte [théoème de factoisation] que, si (x) exhaustive alos est aussi exhaustive. Donc, x et G sont des statistiques exhaustives pou la loi Gamma, avec : xi x (moyenne aithmétique) Ln xi LnG (moyenne géométique) G x,, xi x x et G coespondent, espectivement au moment d ode et quasi-zéo (Appendice 3). Distibution Gamma invese La f.d.p. d une distibution Gamma invese (6) est donnée pa : 6 La f.d.p. de la loi Gamma Invese (Eq. ) peut ête déivée de celle de la loi Gamma, pa un changement de vaiable (cf. Appendice B du live Bobée et Ashka (99)) 6

17 y f y e y, y0 () La f.dp de la loi Gamma invese peut se mette sous la fome de l Équation (0): f yexp Ln Ln Ln y y et on a,, /, d Ln Ln C y y C y Ln y Donc et sont des statistiques exhaustives pou la loi Gamma Invese. On en déduit [théoème de factoisation] que les moments H et G coespondant espectivement aux moments d ode - et quasizéo (cf. Appendice 3), sont des statistiques exhaustives pou la loi Gamma invese. H est la moyenne hamonique telle que H y i G est la moyenne géométique avec G y y i 7

18 3. MÉHODES D ESIMAIO (M) DES PARAMÈRES D UE DISRIBUIO (D) On effectue ici la pésentation des méthodes d estimation les plus classiques et on considèe leu application à quelques distibutions epésentant les cas (D x M). Soit x, x un échantillon de valeus de maximums annuels. On fait l hypothèse que les obsevations sont (Hypothèse IID, cf. Section 5.) : indépendantes identiquement distibuées selon la loi de : f.d.p. f x, où,,,, j k est le vecteu des paamètes. La vaie distibution des données est généalement inconnue; le choix d une loi (D) coespond à un modèle appoximatif. L estimation des paamètes est effectuée pa une méthode (M). 3.. Méthode du maximum de vaisemblance (MV) Soit l échantillon : (x, x i x ). On considèe la fonction de vaisemblance L : L f x;, (3a) i On a f x dx P x X x dx. i i i i i i k Puisqu on suppose les obsevations identiquement distibuées suivant la loi f et indépendantes, la pobabilité P d obseve un échantillon x,, x x est telle que : i P f x dx f x dx f x dx (3b) P est donc popotionnel à L (Équation 3a). La méthode du M.V. consiste à touve les paamètes ˆ ˆ ˆ ˆ, j, k qui maximisent la pobabilité d obseve l échantillon (P) donc la fonction vaisemblance, donc la pobabilité d obseve l échantillon x, x. 8

19 Le maximum de la fonction vaisemblance est solution du système : L 0 ; j,, k (4a) j ou ce qui est équivalent : d Ln L dl 0 L ; j,, k (4b) j j On obtient ainsi k équations indépendantes pou détemine les estimations des k paamètes. ote : La méthode du maximum de vaisemblance est optimale pou les distibutions qui ont des statistiques exhaustives. (Exemples : Gamma, nomale, Gamma invese et Halphen type A, B, B invese). Application à la loi Gamma ( Gam, ) La f.d.p de la loi Gamma est donnée pa l équation () : ;, La fonction de vaisemblance est donnée pa (Eq. 3a) : x i i L f xi;, e x x i On en déduit la fonction log-vaisemblance : Ln L Ln Ln x Ln x i i i i x f x e x Et on obtient (Eq. 4b) Ln L xi 0 i Ln L Ln Ln Ln xi 0 i (5) On définit les moments empiiques d ode (Eq. 6a) et quasi-zéo (Eq. 6b) et la fonction Digamma (Eq. 6c) : 9

20 xi i A (6a) Ln xi i Ln G (6b) Ln (6c) Le système d équations (5) peut se mette sous la fome : Et l on en déduit : A 0 Ln LnG 0 A Ln Ln G La méthode du M.V. est équivalente à une méthode des moments qui conseve les statistiques exhaustives A et G (moments d ode et quasi-zéo 0, cf. Appendice 3). La ésolution de ce système d équations est détaillée dans l Appendice 4. Famille des lois de Halphen (Molat, 956) Loi Halphen type A (HA) La f.d.p de la loi HA est donnée pa (7) : f xm x x m x A( ;,, ) exp, 0 mk( ) m x (7) Où m > 0 est un paamète d échelle et 0,et sont des paamètes de fome. (7) Cas paticulie, si 0 f ( xm ;,,0) coespond à la f.d.p. de la loi hamonique. A 0

21 Avec K ( ) fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce d ode x m K ( ) x exp dx m 0 m x Loi Halphen de type B (HB) En aison de l insuffisance des lois de type A pou epésente le compotement asymptotique à l oigine de cetaines vaiables, Halphen a poposé la loi de type B telle que : x x fb ( xm ;,, ) x exp, x 0 m ef ( ) m m (8) Où m > 0 est un paamète d échelle et éel et 0 sont des paamètes de fome. ef ( ) fonction exponentielle factoielle définie pa (Halphen, 955): Loi Halphen de type B - (B invese, HIB) ( x x) ef ( ) x e dx 0 La loi de Halphen type B a été développée pa symétie. On a en effet, si X FB alos Y F B X On utilisant le théoème de tansfomation de loi de pobabilité continue, on obtient la fonction de densité de pobabilité d une loi Halphen type B (HIB) : m m f ( xm ;,, ) x exp, x 0 B m ef ( ) x x (9) Où m > 0 est un paamète d échelle et éel et 0 sont des paamètes de fome. La figue 4 ci-dessous epésente les difféentes fomes que peuvent avoi les tois fonctions de densité de pobabilité de la famille des lois de Halphen. ote : Les lois Gamma et Gamma Invese sont des cas paticulies des lois de Halphen (Peeault et al. 999)

22 Figue 4 : Fome des fonctions de densité de pobabilité des lois Halphen Les popiétés des lois de Halphen sont décites dans l Appendice 5. La ésolution des équations du maximum de vaisemblance pou la loi de Halphen type A est pésentée dans l Appendice 6. On peut en effet, monte que la loi HA possède des statistiques exhaustives. La méthode du M.V. détaillée dans l appendice 6 pemet l estimation optimale des paamètes (vaiance minimum). Il en est de même pou les lois HB et HIB. Le tableau indique les statistiques exhaustives de ces tois lois obtenues pa l application de l équation (0). Alos que, le tableau (déduit du tableau ) donne l ode des statistiques exhaustives pou chaque distibution. ableau : Statistiques exhaustives des lois de Halphen ype HA HB Statistiques exhaustives et complètes H ln G HB - Ql n n x n ln G ln xi i i n i n n ln xi A i n i x n i n n x i i H n n x i i n xi n i A n xi n i Q n ln G ln xi n i ableau : Ode des moments coespondant aux statistiques exhaustives des lois de Halphen (8) Distibution HA HB HIB Ode des statistiques exhaustives (-, 0, ) ( 0,, ) (-, -, 0 ) (8) Ode et -: Moyennes Aithmétique et Hamonique; Ode 0 : moment d ode quasi-zéo (cf. Appendices 3 et 6)

23 La figue 5 monte que la famille des lois de Halphen fome un système complet dans le diagamme (δ, A G δ ). Avec ln et ln. G H En effet, pou échantillon donné, les moments empiiques sont epésentés pa un point dans ce diagamme et coespondent à une distibution unique de la famille des lois de Halphen. Figue 5 : Lois Halphen dans le diagamme (δ, δ ) otons que δ et δ sont indépendants du paamète d échelle m. ote : Le diagamme (δ, δ) pemet d illuste que la famille des lois de Halphen est un système complet comme c est le cas pou le diagamme des moments, de la famille Peason (Bobée et Ashka, 99). 3

24 3.. Méthode des moments La méthode des moments consiste à égale les moments centés ou non-centés: les moments théoiques de la distibution ou (qui sont fonction des paamètes) et leus estimations m ou m obtenues à pati de l échantillon. On considèe en patique, autant de moments indépendants que l on doit estime de paamètes. On utilise en généal les moments d ode le plus faible possible : Loi à paamètes : on considèe la moyenne et la vaiance. Loi à 3 paamètes : on ne peut utilise en plus de et ca 3 On utilise souvent la moyenne la vaiance et le coefficient d asymétie défini pa : C s. 3/ Loi Gamma 0 G La f.d.p de la loi Gamma (Eq. ) est donnée pa : f x e x x x ;, 0 Les moments théoiques de la loi Gamma peuvent ête obtenus pa la F.G.M. (Appendice 7). On considèe la moyenne et la vaiance non biaisée de l échantillon que l on égale au moment théoique coespondant de la loi Gamma (Appendice 7). x xi i sˆ xi x i On en déduit : x ˆ ˆ x s sˆ 4

25 Loi Peason type 3 [P] 0 A pati de la f.d.p. d une loi Gamma (Eq. ) on peut obteni la f.d.p. de la loi Peason type 3, en considéant la tansfomation : Y X m. On obtient alos la f.d.p. de la loi Peason type 3 P,, m (Appendice B, Bobée et Ashka, 99): ym fp y;,, m e y m (0) ote : On a Gam, P,,0 On considèe le cas 0, alos on a y m Cette distibution est déduite de la loi Gamma (Appendice B, Bobée et Ashka, 99): x fg x;, e x pa la tansfomation : y xm x ym dx dy ;,, fp y m fg x y fp y;,, m e y m dx dy ym Pou estime les 3 paamètes,,m ; on considèe les expessions théoiques de la moyenne, la vaiance et du coefficient d asymétie que l on égale aux valeus coespondantes de l échantillon ( y la moyenne; ŝ la vaiance non-biaisée et C ˆs coefficient d asymétie, cf. Appendice 8) : La moyenne y m () vaiance non biaisée coefficient d asymétie ŝ Cˆs () (3) Les moments y, s, C s sont obtenus à pati de l échantillon. ˆ ˆ 5

26 On en déduit : ˆ 4 sˆ ˆ mˆ y ˆ C sc ˆ ˆ Cˆ s s s Diveses coections du biais de l estimation de l asymétie sont possibles (cf. Appendice 8) Calcul de X : loi Gamma et loi Peason type 3 X Soit X G(, ) de moyenne et de vaiance. La vaiable K suit une loi Gamma de moyenne 0 et de vaiance (Gamma centée éduite). La table de Hate (969) donne les valeus des quantiles K, C s p en fonction de la pobabilité au non-dépassement p et du coefficient d asymétie C s (cf. able 4.; Bobée et Ashka, 99). Bobée (979) a effectué un ajustement polynomial des valeus de K, C s p en fonction de C s pou plusieus valeus de la pobabilité p. Ces ésultats sont utilisés dans HYFRA-PLUS pou détemine dans le cas des lois Gamma et Peason type 3 la valeu de X en fonction de la péiode de etou et de l asymétie. En effet, pou la loi Gamma l estimation des paamètes pemet ˆ, ˆ d en déduie les estimations de la moyenne, de l écat-type et du coefficient d asymétie (Eq., et 3 avec m 0 ): ˆ ˆ ˆ ˆ ; ˆ ; C ˆ ˆ s ˆ X Puisque : K donc X K. On en déduit alos les estimations des quantiles X ˆ à pati de ˆ ; ˆ et Cˆ s ainsi que de la table de Hate (969) donnant K ˆ C s : ˆ ˆ ˆ X ˆ ˆ KC, KC, ˆ ˆ Et dans le cas de la loi Peason type 3 on a: ˆ ˆ Xˆ ˆ ˆ m K ˆ ˆ ˆ ˆ s s 6

27 3.4. Loi log Peason type 3 (LP) La distibution LP est déduite de la loi P pa une tansfomation logaithmique (9). On peut considée une base a quelconque. En patique dans HYFRA, on utilise la base e (logaithme népéien) ou la base 0 (logaithme décimal). La fonction de densité de pobabilité (f.d.p.) d une loi LP m,,, peut ête déduite de celle de la loi Peason type 3 (Bobée. 975) et est donnée pa : fz e ln z m Ln zm z (4) Ln z m On doit avoi 0 0 Ln z m z e 0 Ln z m 0z e m m Les moments non-centés sont donnés pa : m e (5) On doit avoi : 0 si 0 on doit avoi 0 si 0 on doit avoi ce qui est toujous vai (pou > 0) ca 0, i.e. moments existent jusqu à l ode Il n existe pas de statistiques exhaustives pou la loi LP; donc, la méthode du maximum de vaisemblance n est pas optimale. Ainsi plusieus méthodes d estimation ont été poposées. Dans ce qui suit on pésentea les méthodes les plus utilisées. Pou plus de détails voi Bobée et Ashka (99). Méthode indiecte des moments (W.R.C.) (9) Si Y Ln Z P alos Y Z e LP 7

28 Cette méthode consiste à ajuste la loi P à l échantillon des logaithmes des obsevations y pa la méthode des moments (cf. Équations, et 3) Y Ln Z P Z LP i i Ln z, Inconvénient : Cette méthode donne le même poids aux logaithmes des obsevations et non aux obsevations; elle défavoise les gandes valeus de l échantillon. Méthode diecte des moments (BOB) [Bobée, 975] Pincipe de la méthode : On égale les 3 pemies moments non centés de la population LP3 (fonctions des paamètes, Eq. 5) et leus estimations obtenues à pati de l échantillon des valeus obsevées : x x x, i e m xi,, 3 (6) i La ésolution de ce système est décite dans Bobée (975) et Bobée et Ashka, (99). ote : Dans HYFRA-PLUS, cette méthode est utilisée avec les logaithmes décimaux (base 0). On peut, cependant, monte (Bobée, 980) que le choix de la base n a aucune influence dans le calcul de Z et va Z. Méthode mixte des moments [Rao, 983] Le pincipal inconvénient des méthodes pécédentes est d utilise un moment d ode 3 : CS ou 3 difficile à bien estime. La méthode mixte des moments considèe : les pemies moments de la méthode diecte des moments; c est-à-die la moyenne et la vaiance de la vaiable Z qui suit une loi LP. le pemie moment de la méthode indiecte des moments; c est-à-die la moyenne de la vaiable Y = Ln Z qui suit une loi P. 8

29 On a : EY Eln Z ln G Il s agit du logaithme de la moyenne géométique de la vaiable Z. Cette méthode conseve donc les moments d ode 0,, de la vaiable Z distibuée suivant une loi LP. Méthode SAM (Sundy Aveages Methods) [Bobée, Ashka, 988] Cette méthode conseve : la moyenne aithmétique (Eq. 5 avec = + ) m e Zi i la moyenne hamonique (Eq. 5 avec = - ) m e H i Zi la moyenne géométique (0) Ln G Ln Zi Yi m (moyenne de la loi P) On doit avoi pou que la moyenne aithmétique et la moyenne hamonique soient définis (cf. Eq. 5). La ésolution de ce système est décite dans Bobée et Ashka, (99). Calcul de Z : loi Log-Peason type 3 Si Z LPm,, (Eq. 4) alos Y ln Z P,, m Y logaithmique de base népéien on a : Z e donc : Z exp m K K est obtenue à pati des table de Hate (969). (Eq. 0). Dans le cas d une tansfomation 9

30 3.5. Distibution GEV (Genealized Exteme Value) La fome généale de la distibution GEV est : k k Fxexp x u 0 si 0 k on obtient la loi Gumbel (EV) Fx si k 0 on obtient la loi EV() ou loi de Féchet k On a : xu 0 k x u x u x u k k exp e bone inféieue xu/ si X EV alos Ln X ~ EV EV est appelée log Gumbel si k 0, on obtient la loi EV3 x u / k bone supéieue si X ~ EV3 alos -X ~ Weibull. EV3 est appelée Weibull négative. ote : Le lien ente la loi GEV et la loi Gumbel est détaillé à l Appendice 9. Loi Gumbel ableau 3 : Justification théoique appaente de la loi Gumbel héoie des valeus extêmes Débit jounalie Conditions séies de p valeus chacune Débit jounalie avec (p 0 = 365) Distibution asymptotique On pend le maximum de chaque séie Si les obsevations de chaque séie sont indépendantes Identiquement distibuées Si p 0 est tès gand (théoiquement infini) Séie des maximums suivent une loi Gumbel Débit max annuel (X, X ) Débits jounalies sont coélés on-homogénéité des débits jounalies p 0 = 365 Choix du meilleu du meilleu ajustement 30

31 La distibution de Gumbel est tès utilisée en aison de sa justification théoique appaente, cependant, les conditions de l utilisation des ésultats asymptotiques ne sont pas véifiées. En effet, comme indiqué dans le ableau 3, le nombe p0=365 n est pas tès gand pou applique les ésultats asymptotiques. Les débits jounalies ne sont pas également toujous indépendants (existence d auto-coélation). La fome implicite des quantiles a également contibuée à la gande utilisation de cette loi. En effet, F( X) / X u Ln Ln/ Calcul de X : loi Gumbel F( x) exp e Ln F e ( xu)/ ( xu)/ Ln( Ln F) ( xu)/ x u Ln( Ln F) p = / X Figue 7 : Pobabilité au dépassement et péiode de etou Application de la méthode des moments à la loi Gumbel La distibution Gumbel a pou fonction de distibution : F x ( xu)/ ( ) exp[ e ] Les moments de cette distibution sont donnés pa : m x uc m s 6 C,4 s 3

32 où C est la constante d Eule C = 0,577 On en déduit : s ˆ 6 uˆ xˆ C Application des M.P.P. à la loi Gumbel (cf. Appendice 0) La Méthode des moments pondéés (Landweh, 979) est décite dans l Appendice 0. Loi Gumbel : Fxexp e xu/ / Ln Ln F x u x u Ln Ln F E x F x u Ln Ln F F df 0 On peut monte Geenwood (979) que : u Ln C (7) Où C = 0,577 est la constante d Eule 0 uc u Ln C En emplaçant β 0 et β pa les estimations b 0 et b obtenues à pati de l échantillon (cf. Appendice 0) D où : j!! b j x( j) j!! (8) 3

33 33 0 j j b x ( ) j j j b x En égalant les moments théoiques et empiiques on obtient : 0 b u C b u Ln C On en déduit donc les estimateus des paamètes : 0 0 ˆ ˆ ˆ b b u b C Ln Application des M.P.P. à la loi GEV Loi GEV 0 0 exp k k k k k k F x x u k Ln F x u x u Ln F k u Ln F F df k On peut monte que Geenwood (979) k k u k (9) Le système d équations à ésoude est : 0,, b

34 b0 u k k k b u k k k 3b u k 3 k (30a) (30b) (30c) b 0, b et b sont obtenus à pati de l échantillon et est donné pa (Eq. 9): ( k) u k ( ) k ( ) 0 k k 3bb0 k 3 k k (30a) et (30b) : b b k (30a) et (30c) : 3b b0 3 (3a) et (3b) : b b 0 k k (3a) (3b) (3c) Connaissant b 0, b et b d apès l échantillon j!! b j x( j) j!! = 0,, On obtient ˆk à pati de (3c) pa itéation pa la fomule appochée kˆ 7,859C,9554C b b log 3 log 3 0 a avec C b b0 ote : On peut détemine apidement une estimation de k pa itéation en penant k a comme valeu initiale. Connaissant ˆk, on déduit ˆ à pati de (3a) ou de (3b) k b b 0 ˆ ˆ kˆ k 34

35 Connaissant ˆ et ˆk, on détemine û, pa exemple à pati de (30a) ˆ uˆ b0 kˆ ˆ k 4. IERVALLE DE COFIACE DE X 4.. Ajustement d une loi à un échantillon en patique L ajustement d une distibution statistique D (estimation des paamètes pa la méthode M) à un échantillon d obsevations de débit maximum annuel de cue a pou but de détemine pou donnée (cf. Eq. 9b): ˆ X / ; ˆ F où ˆ et Xˆ sont des vaiables aléatoies. Pou un ensemble (D x M), on peut détemine va X ˆ la vaiance asymptotique de X ˆ que X ˆ est distibué asymptotiquement (si est gand) selon une loi nomale : de moyenne X (vaie valeu inconnue) de vaiance va ( X ˆ ) ; on admet La distibution exacte de X ˆ n est pas connue en généal (sauf pou cetaines lois : exponentielle, nomale, L). Cependant, si est gand on peut monte, d apès le théoème de la limite centale, que X ˆ suit une loi nomale de moyenne X et de vaiance va X ˆ. La vaiance de X ˆ est déteminé pa des appoches asymptotiques et dépend pou une loi donnée de la méthode d estimation (Appendice D, Bobée et Ashka, 99). Xˆ ~ X ; va Xˆ si gand Xˆ X va Xˆ On en déduit que : u ~ 0, On peut alos détemine (cf. Appendice ) l intevalle de confiance au niveau ( - α) de la vaie valeu inconnue X : 35

36 ˆ X X On a : P u u va Xˆ / / L intevalle de confiance du quantile théoique X au niveau de confiance est donné pa: IC X Xˆ u ˆ ˆ ˆ / va X ; X u/ va X (3) Où u / est la vaiable (0, ) de pobabilité au dépassement / Donc, on ne connaît pas la vaie valeu X, mais on peut défini un intevalle asymptotique ( gand) qui a la pobabilité ( - α) de conteni X Pou détemine l I.C. de X, on doit détemine X ˆ et va ˆ X qui dépendent de : la loi choisie la méthode d estimation considéée X ˆ est fonction des paamètes ˆ ˆ ˆ ˆ,, 3 (On considèe le cas à 3 paamètes). Xˆ ˆ, ˆ, ˆ 3 Le calcul de la valeu asymptotique de ˆ va va ˆ X Cov ˆ, ˆ i i j i i i j i j ji va X ˆ est basé su la elation : Avec / i déteminés diectement si l on a une fonction explicite de x (F) (exemple : Gumbel, va ˆ et Cov ˆ, ˆ sont donnés dans Bobée et Ashka (99) GEV). Les détails des calculs de i i j (Appendice D). Ces calculs dépendent de la loi et de la méthode d estimation considéée. 4.. Détemination de l intevalle de confiance de X pa «bootstap» paamétique ote : La elation (Eq 3) donne l intevalle de confiance asymptotique (quand est gand) du quantile théoique X au niveau de confiance. Cependant, dans le cas où est petit, il est péféable de détemine un intevalle de confiance pa bootstap paamétique selon les étapes suivantes : 36

37 - Soit l échantillon x x x,, i - On ajuste la loi F de f.d.p., ˆ - Estimation ˆ des paamètes - À pati de la loi, ˆ f x : f x pa méthode M à l échantillon On génèe R échantillons de taille. On estime X ˆ pou chaque échantillon. On obtient le vecteu des quantiles X ˆ Xˆ,, R Soit Z = Xˆ, Xˆ, R échantillon des valeus classées des quantiles estimés. Dans l échantillon Z, on détemine les valeus Z/ et Z / de pobabilité empiiques au nondépassement α/ et ( - α/), on obtient si l échantillon X ˆ n est pas biaisé, l intevalle de confiance de X au niveau ( - α) : Z ; Z / /. Cette méthode est plus pécise que le calcul asymptotique si est petit. 5. ÉAPES D UE AALYSE FRÉQUEIELLE 5.. Véification des hypothèses I.I.D. Pou ajuste une distibution statistique à un échantillon, il faut que toutes les obsevations soient des éalisations indépendantes de la même vaiable aléatoie. Il est donc nécessaie de véifie si toutes les obsevations sont : a) indépendantes (absence d autocoélation, i.e. l occuence d une obsevation n est pas affectée pa les autes obsevations). b) Identiquement distibuées: toutes les obsevations poviennent de la même population, ce qui équivalent à une séie homogène et stationnaie. ote : Les causes d hétéogénéité peuvent ête eliées : au déplacement d une station de mesue; à des cues causées pa des phénomènes difféents : automne (pluie), pintemps (fonte de neige). 37

38 Il est également impotant de véifie que la séie ne contient pas de valeu singulièe. Le test de Gubbs pouait ête considée pou la détection d outlie 0 (Hosain). Les hypothèses d indépendance, de stationnaité et d homogénéité, sont examinées à l aide de tests statistiques. Les notions généales eliées à l application des tests statistiques sont données à l Appendice. Indépendance (test de Wald-Wolfowitz) L indépendance signifie qu il n y a aucun lien ente les obsevations successives (absence d autocoélation). débit jounalie : vaiable dépendante débit maximum annuel : vaiable indépendante en généal H : x, x obsevations indépendantes 0 H : x, x obsevations non indépendantes Statistique : R xx x x i i i Hypothèse de séie ciculaie: x x Si les obsevations sont indépendantes (H 0 ) R~ R, va R / 4 4 s 4ss4ss 3s s4 / R s s va R s s / R avec s m ( m moment non centé d ode de l échantillon) donc : i i i i s x x 0 Une valeu singulièe est une valeu qui semble ne pas appateni à la population considéée. Le test de Gubbs (décit dans ce qui suit) peut ête considéé pou détecte les valeus singulièes. 38

39 u R R va R ~ 0, Acceptation de H 0 si u/ u u/ (niveau α) valeu citique au niveau 5% : u,5%, 96 valeu citique au niveau % : u0,5%,58 Homogénéité : test de Wilcoxon (Mann-Whitney) On soupçonne une cause d hétéogénéité qui pemet de décompose l échantillon obsevé de taille en sous-échantillons : échantillon de taille p : x, xp échantillon de taille q : y, yq On a = p + q La cause d hétéogénéité peut ête : le déplacement d une station de mesue la saisonnalité des cues : cues d automne et de pintemps Q t Déplacement (date connue) Figue 8 : Exemple d hétéogénéité 39

40 On egoupe les obsevations des sous-échantillons dans un échantillon unique en les classant pa ode coissant. Si > 0 p, q 3 V () est distibué asymptotiquement selon une loi de : moyenne pq V vaiance pq vav pq Donc : u VV va V ~ 0, On peut monte que V est elié à pa la elation suivante : p pq VV p p pq VV Pou effectue le test, on considèe la statistique : VV u (où ½ coespond à une coection de continuité (Appendice 3) va V p pq On obtient donc : u ~ 0, pq p q L objectif de ce test est de véifie si les deux échantillon poviennent de populations de mêmes moyennes (H 0 : les moyennes théoiques sont égales). Hypothèse : H0 u u si u u/ u/ u u/ On accepte H0 si, p, q petits utilisation de tables V coespond au nombe de dépassements des éléments de l échantillon à ceux de l échantillon. est la somme des angs des éléments de l échantillon dans l échantillon combiné. 40

41 est de stationnaité (Kendall) Il y a stationnaité si les caactéistiques statistiques (moyenne, vaiance,...) invaiantes dans le temps. Deux types de non-stationnaité sont généalement obsevés dépendamment de la natue du changement dans la moyenne : busque ou gaduel. Changement busque, si date du saut est connue : on utilise dans ce cas le test de Wilcoxon (décit pécédemment); Si date de changement busque est inconnue ou si l on a un changement gaduel test de Kendall (décit ci-dessous). Hypothèses du test de Kendall H 0 : la moyenne des H : la moyenne des X i constante (stationnaité) X i n est pas constante Pou un échantillon classé pa ode chonologique x, x, x On calcule la statistique S telle que : S sgn X jxi ji i j i si x 0 concodance avec les angs sgnx 0 si x0 si x 0 discodance avec les angs Sous l hypothèse H 0, la distibution asymptotique ( gand) de S est nomale avec : moyenne ES 0 5 vaiance va S 8 On considèe, en ajoutant une coection de continuité (Appendice 9), la statistique K : 4

42 SES ( ) S si S0 va S va S K 0 si S 0 SES ( ) S si S 0 va S va S Si les obsevations sont stationnaies (hypothèse 0 H ) : K ~ 0, S est voisin de sa moyenne ES 0 Si S est élevé (donc si K est élevé), on ejette H 0 Pou effectue le test au niveau de signification α, on compae K avec u / Vaiate 0, de pobabilité au dépassement / : si K u / c est-à-die ( u/ K u/) : on accepte H 0 si K u / on ejette H 0 acceptation ejet -U α/ U U α/ ejet K Figue 9 : Région d acceptation et de ejet du test de Kendall 4

43 est de discodance (détection de valeus singulièes) : test de Gubbs-Beck Dans cetains cas, une donnée extême de l échantillon (plus gande ou plus petite valeu) semble ne pas poveni de la même population que les autes valeus. On dispose d un test pou la loi nomale. Pou la loi Ln, on considèe la séie des logaithmes (ca y ~ Ln X suit une loi nomale) H 0 : toutes les obsevations poviennent de la même population nomale. H la plus gande valeu de l échantillon x () ne povient pas de la même population nomale. On considèe l échantillon classé x x () x x x Statistique sˆ Rejet si x x gand (test unilatéal) Rejet si > (α) On ne connaît pas la valeu citique de la zone d acceptation pou un niveau de signification α Mais, on dispose d infomation su la pobabilité au dépassement p de (p - value) pp t (33) où t est une vaiable de Student à ( - ) degés de libeté Il y a égalité dans l équation (33) si dans ce cas, on connaît exactement la p value et on peut la compae à α; autement, on en a une bone supéieue. En posant : et P t On a : p L échantillon pemet le calcul de, 0, 0 En posant t P, Eq. (33) devient p

44 α α α inconnue p π 0 0 t - Figue 0 : est de discodance (Gubbs-Beck) On peut donc détemine une bone supéieue de la pobabilité au dépassement p de la statistique Si 0 On a : p0 On ejette H 0 : la plus gande valeu de l échantillon est singulièe. Si 0 On ne peut conclue. 0 44

45 α acceptation π 0 > α π 0 < α Figue : Conclusion du test de Gubbs-Beck Quand on a alos p 0 On compae diectement p avec le niveau de signification α. Si p On ejette H0 : la plus gande valeu de l échantillon est singulièe. On peut examine aussi si la plus petite valeu de l échantillon est singulièe. H 0 : toutes les obsevations poviennent de la même population nomale " H : la plus petite valeu de l échantillon x () ne povient pas de la même population On effectue le test comme pécédemment avec la statistique : x x (test unilatéal) sˆ ote impotante Losqu une valeu singulièe est détectée, on doit véifie s il s agit : d une valeu abeante (exemple : eeu de mesue) que l on peut élimine ; d une valeu extême éelle et donc tès impotante à conseve. Cette validation doit ête effectuée à pati du contexte hydométéoologique. 45

46 5.. Distibutions et méthodes d ajustement de HYFRA-PLUS La table 4 pésente la liste des distibutions disponibles dans HYFRA-PLUS ainsi que les méthodes d estimation pou chacune d elles. ableau 4 : Distibution et méthodes d estimation disponibles dans HYFRA-PLUS Loi exponentielle Loi GEV MV MV coigé pou le biais; moments; moments pondéés Loi Gumbel Loi nomale MV Loi Log nomale Loi Log nomale 3 MV; moments Loi Weibull Loi Gamma Loi Peason type 3 Loi Gamma généalisée Loi Gamma invese Loi Log Peason type 3 Loi Halphen (A, B, B - ) MV W.R.C.; moments BOB*; SAM** MV * ecommandée pou l extapolation ( gand) ** ecommandée pou l intepolation ( ) 5.3. acé d une loi ajustée Échantillon x x, Choix de distibution (D) et méthode d ajustement (M) Estimation des paamètes ˆ 46

47 Calcul de ˆ X / ; ˆ F Détemination de l intevalle de confiance asymptotique de X (vaie valeu inconnue) au niveau ( - α) X ˆ u va X ˆ X X ˆ u va X ˆ / / On obtient ainsi : la coube théoique estimée (elation ente X ˆ et ) les intevalles de confiance asymptotiques Pou tace les points epésentatifs de l échantillon, on doit leu affecte une pobabilité au non-dépassement, appelée pobabilité empiique (plotting position, cf. Appendice 4). On Figue : Ajustement de la loi Log Peason type 3 (méthode SAM) 47

48 5.4. Pobabilité empiique (P.E.) Figue 3 : Pobabilité empiique P k pobabilité empiique associée à x (k) coespond à la pobabilité au non-dépassement de l élément x (k) classé pa ode coissant dans l échantillon. Plus de détails concenant les pobabilités empiiques sont disponibles dans l Appendice Synthèse : Étapes de l ajustement (FAIRE RÉFÉRECE AUX SECIOS) Échantillon : véification des hypothèses I.I.D. (cf. Section 5.): obsevations indépendantes; identiquement distibuées (homogénéité, stationnaité, discodance); test su les valeus singulièes. Choix de distibution (D) (cf. Section 5.) : modèle appoximatif Fx, Choix de méthode d estimation (M) (cf. Section 5.) estimation des paamètes calcul de ˆ X, ˆ X [ /, ˆ F ] calcul de va X ˆ et des intevalles de confiance de X acé gaphique: examen visuel [pobabilité empiique] (cf. Section 5.4) Adéquation de (D x M) [tests] 48

49 6. Appendices Appendice : Espéance Moyenne d une loi Géométique Soit une vaiable aléatoie de loi Géométique de paamète p. On note La moyenne (ou l espéance) de la vaiable est donnée pa : k E P kk p p k k k Geom p. k k E p k p p kq k k avec q = - p E () = p.s avec S kq q kq k On considèe : k du U qq q On a: S dq k k Si l on détemine U, on peut en déduie S et E(). On a : S du E ps. dq k U q q q Uq q q q k k Pa difféence on obtient k qq q U q q q d ' où U k si k est gand alos q k+ 0 (ca q < ) q On a alos : U q 49

50 du d q S q q dq dq q q qq S ( q) q p E p ps p p Le nombe moyen d expéiences E ( ) / p pou avoi la pemièe éalisation de A est égal à l invese de pobabilité p d avoi A. 50

51 Appendice : Péiode de etou et duée de vie d un ouvage On suppose les débits maximums annuels de cue indépendants (généalement vai). Pobabilité de n avoi aucun événement (k=0) A: X xp pochaines années (loi binomiale) Bk (,, p) C p( p) de pobabilité p pendant les k k k 0 0 On a donc : PZ 0 B, 0, pc pp p Pobabilité P d avoi au moins un événement A: X xp pendant les pochaines années PZ ou ou PZ 0 P PZ 0 B, 0, pp On a : P p Pobabilité U d avoi au moins une cue de péiode de etou [i.e. A: X xp avec p / ] dans les pochaines années : U / (A.) On a : U=-V avec V=(-/) et LnV Ln ( / ) Quand est gand : LnV ~ ( / ) LnV V e U e U et donc 0,378 0,63 U ,75 0,67 0,65 0,636 0,634 0,63 Donc, quand gand, la pobabilité d obseve au moins une fois la cue A: X xp etou / p dans les pochaines années est U = 0,63 Événement A : X x P A p / On note aussi A X X p : de péiode de 5

52 Si = 00 on a P = 63% d obseve une cue X X 00 au moins une fois dans les 00 pochaines années ce qui coespond à une pobabilité au dépassement de 0.0. Il s agit d un isque élevé. Ouvage de duée de vie θ Si θ élevé, on a P = 63% d obseve une cue X dans θ pochaines années Si l on veut diminue le isque, on doit considée une péiode de etou X Généalisation Ouvage de duée de vie θ U = P [au moins cue X X dans θ pochaines années] U = - P [0 cue X X dans les θ pochaines années] 0 événement A : X X p( A) p / θ événements A : X X p A q p U = Poba [obseve au moins une fois une cue X X dans les θ pochaines années], 0, 0 0 Obtenue à pati de l équa U B p C p p tion A. D où U p / Si l on fixe : la duée de vie de l ouvage θ le isque de défaillance U On peut en déduie, à pati du développement suivant : U / U / U / / U d où ( U ) (A.) Exemple : θ = 00 U = 0,63 = 00 θ = 00 U = 0,0 = 450 θ = 00 U = 0,0 = 950 5

53 Si l on veut avoi une pobabilité de défaillance ( X X ) on doit considée une péiode de etou : = 450 ans Si le isque U diminue X et les coûts de constuction augmentent., U = 0,0 dans les 00 pochaines années, 53

54 Appendice 3 : Moyenne géométique, moment d ode 0 (quasi-zéo) La fome généale des moments empiiques généalisés est donnée pa (Bobée et Ashka, 99): M / x i (A3.) i On etouve alos : : xi moyenne aithmétique : H moyenne hamonique x i Quand tend ves 0 l équation A3. : 0 0: Ln M 0 Ln x i 0 Ce qui coespond à une fome indéteminée. En posant : A Ln xi ; B et B On a pa application de la ègle de l Hôpital ' A A Lim Ln( M 0 ) Lim Lim 0 0 ' 0 B B où ' ' A da/ d B da / d En tenant compte de : i exp i x Ln x e Ln xi Ln x i On a: A Ln x i Ln e Ln xi Ln xi e da da Ln xi 0: d Ln xi e d 54

55 A Lim LnM 0Lim Ln xi Ln G 0 0 B M 0 G (moyenne géométique) G est le moment M (Eq. 3.) quand 0), on l appelle alos moment quasi-zéo. G x xxix et LnG Ln xi. 55

56 Appendice 4 : Résolution des équations de la méthode du maximum de vaisemblance pou l estimation des paamètes de la distibution Gamma On doit ésoude : A LnLnG On élimine dans la deuxième équation A Ln Ln G Ln A / A et on obtient le système : Connaissant A et G à pati de l échantillon, la deuxième équation donne et la pemièe. Résolution en patique Ln Ln G Ln A On pose U LnG Ln A On obtient une valeu appochée a de λ pa : a 4 U /3 4U Une meilleue appoximation est donnée pa : * a a avec 0, ,6 a (Bobée et DesGoseilles, 985) a 56

57 Appendice 5 : Popiétés des lois de Halphen X F( x; m,, ) Y k X F( y; k m,, ) XFA( xm ;,, ) Y FA y;,, X m XH( xm ;, ) Y H y;, X m XFB ( xm ;,, ) Y F y;,, B X m XF ( xm ;,, ) Y FB y;,, B X m 57

58 Appendice 6 : Estimation des paamètes de loi Halphen type A (Peeault et al. 999) Les lois Halphen sont de la fome (Eq. 0) : 3 f( x,,, 3) exp ci,, 3i xd,, 3Sx i Classe exponentielle de f.d.p. d ode 3 où i (x) sont des statistiques exhaustives Exemple : loi Halphen de type A f x x x m x A( ) exp, 0 mk( ) m x f A ( x) exp ( ) Lnx xm Ln m K ( ) m x On en déduit que: les vaiables Ln X, X,/ X sont exhaustives pou un échantillon de taille n Ln X i LnG X i A n n n X H sont des statistiques exhaustives. i En effet d apès le héoème de factoisation: si ( X) exhaustive alos ( X i ) exhaustive. n G, A, H sont des statistiques exhaustives, il s agit moments quasi-zéo, et - (cf. Appendice 3). Donc, si une solution existe, elle est unique et peut ête obtenue pa la méthode du maximum de vaisemblance. On obtient le système (M.V.): n K (A6.) m K n x H K i (A6.) n m K n i xi A i 58

59 n K mexp exp ln x ig K (A6.3) n i Estimation en étapes. Estimation ( ˆ, mˆ ) de et m pou fixé à pati des équations A6. et A6.: K ( ) K ( ) A (A6.4) H K ( ) K ( ) m A (A6.5) K ( ) Pou fixé A6.4 pemet de détemine ensuite A6.5 pemet de détemine m On peut monte qu il y a une solution, si : A A U c'est-à-die si - U U H H Si U (i.e. U ou U )dispesion des obsevations top gande U convegence ves loi Gamma U convegence ves loi Gamma invese G et GI lois possédant la plus gande dispesion Gamma Invese Halphen type A -U U Gamma A A AH U 0 H H 59

60 . Estimation de (pou U U ) a. On a obtenu pou fixé l estimation ˆ et ˆm (Eq. A6.4 et A6.5) b. On considèe la fonction vaisemblance L(,, m) c. On détemine ˆ coespondant au maximum de L(, ˆ, mˆ ) En patique, on considèe : Ln[ L( ; ˆ, mˆ )] Fonction concave avec un seul maximum pou fixé ( U U ): le pogamme de calcul donne ˆ,mˆ détemination numéique de ˆ à l aide de tabulation de Ln L( ; ˆ, mˆ ). Résultats de l estimation des paamètes de la loi Halphen de type A Exemple : = 5 A= 508, G= 489,09 H= 470,34 υ α m K υ ( ) α K υ ( α) K υ ( α) ln L( υ α, m ) E E E E E E E E E E E-06.90E E E E E-06.03E E E-05.56E E E E-05.08E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

61 Appendice 7: Fonction généatice des moments (F.G.M.) Cette fonction pemet de détemine globalement les moments non centés d une distibution. On considèe la fonction gx e pou u petit, on a le développement : hx X X On en déduit : e h h!! hx La F.G.M. est donnée pa ( h) Ee [ ] X X ( h) E h h!! en tenant compte de Ek( X ) ke( X ) h hex EX h h! 3 h h h 0 h 3 hx e u u u! 3!! h 3 h h h 0 h 3! 3!! u!! h 3 d h h dh! d h h 3 dh! d h dh d d d dh h0 dh dh h0 h0 6

62 Donc, si l on peut obteni une expession analytique de la F.G.M. b hx h e f x dx a (cas continu) hx i h e p x i (cas discet) h hx Ee calculée pa : On peut en déduie : les moments non centés de manièes : d o dh o h0 est le coefficient du teme d ode de h! dans le développement limité de Ee hx j les moments centés pa appot à la moyenne : C j j0 j Exemple : Distibution Gamma (α > 0) x f x e x x x e x dx 0 0 tx tx x xt E e e e x dx e x dx 0 0 On pose : u x t On a : u x t u x t et du dx t 6

63 tx u u du Ee e t t 0 t t u e u du 0 t t t On peut monte que (i) : t coefficient de on en déduit :! ; ; 3 3 t t t t 3 3! 3! ote : La elation centée est non-centée est donnée pa : ' ' j j0 j On peut en déduie : j (i) Quand est petit : 3 3 u u uu uu u 3 3! 3! 63

64 Appendice 8 : Coection du biais de l estimateu de l asymétie Plusieus coections de biais ont été poposées : C S C S (WRC, 967) 8,5 C C S S (Hazen, 94) 6,5 0, 0, 48 6, 77 C C C S 3 S S (Bobée et Robitaille, 975) quand est gand ( Cs),( Cs),( C s) 3 tendent ves C s C S 3 calculé pou la loi Peason type 3 C S est basé su la coection de biais de m et m 3, mais en éalité S aison qu on considèe la coection CS C est biaisé. C est pou cette qui utilisée pa défaut dans HYFRA-PLUS. 64

65 Appendice 9 : Lien ente les lois GEV et Gumbel Démonstation de la convegence de la loi GEV ves Gumbel, losque k 0 k k Fxexp x u (GEV) k k Ln F xu k Ln Ln F Ln xu k Si k 0 k k Ln xu xu k xu LnLn F ~ xu k xu/ xu/ Ln F e Ln F e xu/ Fxexp e On etouve la distibution Gumbel (EV ) appelée aussi loi double exponentielle. Ainsi quand k tend ves 0, la loi GEV convege ves la loi Gumbel. 65

66 Appendice 0 : Méthode des moments pondéés (Landweh, 979) Pou une loi de fonction de distibution F et de f.d.p. f df / dx, on peut défini les moments pondéés (Pobability Weighted Moments) pa : p s M ps,, E X F( X) F X En patique, on utilise M,,0 ; En utilisant la elation E h( X ) h( x) f ( x) dx E[ XF X ] x F x f x dx 0 On en déduit : EX x F x df (puisque f df / dx ) 0 moyenne Pou un échantillon classé pa ode coissant x() x( i) x( ) est estimé pa : j j!! b j!! j j!! b j!! x x ( j) ( j) b 0 estimateu de 0 EX coespond à la moyenne b 0 x j j b j x ( j) j b j j ( j) j x Les moments théoiques β sont fonction des paamètes de la distibution F considéée. 66