TS Les nombres complexes (1)

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1 TS Les nombres complexes () 4 ) Comprison des ensembles de nombres III. Écriture lgébrique des nombres complexes Les nombres complexes seront étudiés dns trois chpitres. I. Introduction ) Bref historique Nombres impossibles nombres imginires (Descrtes) nombres complexes ) Ensembles de nombres x 7 0 3x 7 0 x 0 L éqution x n ps de solution dns ( x ou x ) x À chque fois que l on ggne quelque chose, on perd quelque chose (c est souvent vri dns d utres contextes). Pr exemple, qund on psse de à, on perd l reltion d ordre. 3 ) Problème Construire un ensemble de nombres qui v contenir dns lequel l éqution x 0 dmette des solutions et prolonger les opértions connues dns à ce nouvel ensemble de nombres de telle mnière qu elles ient les mêmes règles de clcul que dns. II. Ensemble des complexes ) Définition Nous dmettrons qu il existe un ensemble noté qui vérifie les conditions précédentes. Les éléments de cet ensemble sont ppelés nombres complexes. 0 ) Propriété (dmise sns démonstrtion) Tout nombre complexe s écrit de mnière unique sous l forme ) Exemples 3 i ( 3 ; b ) 5 ( 5 ; b 0) 4i ( 0 ; b 4 ) 3 i ( 3 ; b ) 5 7i ( 5 ; b 7 ) 3 ) Vocbulire ib est l forme lgébrique du nombre complexe. est ppelé l prtie réelle de ; on écrit Re. b est ppelé l prtie imginire de ; on écrit Im b. L prtie imginire est b et non ib ; c est un réel. 4 ) Cs prticuliers Si b 0 (c est-à-dire Im 0 ), lors ; est un réel. ib Si 0 (c est-à-dire Re 0), lors ib ; est un imginire pur. ; b. vec ) Opértions L ensemble des nombres complexes est muni des opértions d ddition et de multipliction vec les mêmes propriétés que dns. 3 ) Nombre i Nous dmettrons sns démonstrtion l existence d un «nombre imginire» noté i tel que i. Un imginire pur est un nombre qui s écrit sous l forme ib où b est un réel. L ensemble des imginires purs est noté i. N.B. : 0 est le seul nombre complexe à l fois réel et imginire pur. et i sont deux sous-ensembles de. i 0

2 5 ) Exemple 3 5 i Re Im Re 3 Im 5 6 ) Églité de deux nombres complexes ; nullité d un nombre complexe ib ; b ) ( ' ' i b' ' ; b' ) ( ' ' b b' (Deux nombres complexes sont égux si et seulement si ils ont l même prtie réelle et l même prtie imginire.) IV. Interpréttion géométrique (XIX e siècle : Argnd-Cuchy-Guss) Argnd (768-8) Cuchy ( ) Guss ( ) On v voir que les nombres complexes servent en géométrie. Ce chngement de cdre ser repris à l fin du chpitre et dns les chpitres ultérieurs sur les nombres complexes. On sit que les réels peuvent être mis en correspondnce vec les points d une droite munie d un repère (on prle de «droite réelle»). De même, les nombres complexes vont pouvoir être mis en correspondnce vec les points du pln muni d un repère. ) Définition Le pln orienté est muni d un repère orthonormé direct O, u, v. M x ; y est un point quelconque du pln. On ppelle ffixe de M le nombre complexe x iy. Le point M est ppelé l imge du nombre complexe. 0 0 b 0 (Un nombre complexe est nul si et seulement si s prtie réelle est nulle et s prtie imginire est nulle). Il s git de conditions nécessires et suffisntes. 7 ) Récpitultif y v O u M x ib ; b ) ( Re Im b i 0 Re 0 et Im 0 ' Re Re ' et Im Im ' Im 0 i Re 0 3 x iy est l ffixe de M. ) Nottion M ou M x iy On lit le «point M d ffixe». L ffixe d un point M est souvent notée M (lettre suivie du nom du point en indice). 3 ) Exercice Le pln orienté est muni d un repère orthonormé direct O, u, v. Plcer : le point A d ffixe A 5 3i. le point B d ffixe B. le point C d ffixe C 4i. 4

3 A pour ffixe 5 3i signifie que A pour coordonnées 5 ; 3. C(4i) 3 v O xe des imginires purs u B() 5 A(5+3i) On peut écrire A 5 3i ou A 5 3i. Pr contre, on n écrit ps : A 5 3i. Un point n est ps égl à un nombre complexe. xe des réels 3i 5i 5i i 5 3i 5 9i 0i 6i 5 i 6 i 4 3 i 9 i 4i 5 i 5 3 i 3 i 5 3 i3 i 3 i 5 9 4i 3 i i i 3 3 N.B. : Une écriture lgébrique ne doit ps contenir de i u dénominteur. Biln : On noter que le point O, origine du repère, pour ffixe 0. Les règles de clcul sont les mêmes que le clcul lgébrique ; seule, l vrible chnge x est i. 4 ) Vocbulire Le pln orienté rpporté à un repère orthonormé direct O, u, v est ppelé pln complexe. L xe de repère O, u est ppelé l xe des réels. On peut vérifier les résultts à l ide de l clcultrice (modèle TI 8 Stts ou TI-83 Plus) ou d un logiciel de clcul formel sur ordinteur (cf. 3 )). 3 ) Utilistion de l clcultrice L clcultrice permet de fire des clculs vec les nombres complexes. L xe de repère O, v est ppelé l xe des imginires purs. Sur clcultrice TI 8 Stts (ps les modèles TI 8 tout court) : V. Clculs dns Cuchy ( ) Pour clculer i, tper ( + nde ) x² entrer. ) Principe On peut effectuer les mêmes opértions que dns (ddition, multipliction, division) vec les mêmes propriétés que dns (en prticulier, tout nombre complexe non nul dmet un inverse pour l multipliction). On tiendr compte dns les clculs que i. On peut obtenir l forme lgébrique d un quotient vec des vleurs exctes il fut utiliser l commnde frc.. Ainsi, pour i 5, il est possible d obtenir le résultt sous l forme i. 3i 3 3 ) Exemples Clculons (on pourr repsser les i en rouge dns chque expression) : Sur clcultrice Csio Grph i 5 3i 8 i (on peut fire «tomber» les prenthèses) 5 OPTN et F (CPLX) 6

4 4 ) Quelques formules de clcul ib ; b ) ( ' ' ib' ' ; b' ) ( i Somme ' ' i b b' v Produit ' ' bb ' i b ' ' b O u ib Inverse 0 ib b i Églités qui se déduisent des identités remrqubles : ib b ib ib b ib ib ib b Clcul mentl Il est intéressnt de s entrîner à effectuer mentlement des clculs tels que i3 i, 3i, 3i... Il est intéressnt de s entrîner à effectuer mentlement des clculs de produits de complexes (clcul risonné ou réfléchi). 009 i? i i i 50 i 009 i 4 i i i 009 i i Un résultt importnt : i i 5 ) Puissnces de i 0 i i i i 3 i i i i i 4 3 i i i i i 5 4 i i i i 6 5 i i i ii 7 6 i i i i 8 7 i i i ii 9 8 i i i i i On observer une «cyclicité» d ordre 4. Générlistion : On veut clculer i n où n. n 4 p p Si n 4 p vec p lors i i. n 4 p 4 p Si n 4p vec p, lors i i i i i. n 4 p 4 p Si n 4 p vec p, lors i i i i. n 4 p3 4 p 3 Si n 4 p 3 vec p, lors i i i i i. 7 8

5 6 ) Règle du produit nul On l même règle que dns l ensemble des réels. Pour tous nombres complexes et ', ' 0 0 ou ' 0. Un produit de fcteurs est nul si et seulement si l un u moins des fcteurs est nul. VI. Clcul littérl ; équtions dns ) Exemple Résoudre dns l éqution i i (). Z x iy x iy 3 Z x x y y x y i i 3 Z x y x y x 3 i On en déduit que Re Z x y x 3 Im Z y x 4 ) Exemple 4 (très importnt) On regroupe les «i» et les «non i». () i i i i i i i i i i 3i 5 3i S 5 ) Exemple Fctoriser dns. Pour tout nombre complexe On pose x iy i, on pose 3 Z. i x ; y 0 ;., x et y étnt deux réels tels que Exprimer Re Z et Im Z en fonction de x et de y. ère étpe : on écrit le numérteur et le dénominteur sous forme lgébrique. y iy y x i 3 Z x i x 3 iy Z (forme lgébrique : expression de l forme ib où et b sont deux réels) x i e étpe : on multiplie le numérteur et le dénominteur pr l quntité conjuguée du dénominteur. x 3 iy x i y x i y x i y Z Astuce : i. i (Identité remrquble) i i 3 ) Exemple 3 Pour tout nombre complexe ; x iy x y, on pose Écrire Z sous forme lgébrique en fonction de x et y. Z 3. 3 e étpe : on effectue intelligemment les clculs u numérteur et u dénominteur. Z Z 3 i 3 x y x x y y x y yx x y x y x y 3 i 3 6 x y Développement à 4 fcteurs i b' i b' ' bb ' i b' ' b ib ib b Identité remrquble : Z 3 9 0

6 Re Z x y 3x y x y x 3y 6 Im Z x y Le mot conjugué s emploie dns les deux situtions suivntes : 3i est le conjugué de 3i 3i et 3i sont deux nombres complexes conjugués. VII. Conjugué d un nombre complexe ) Définition Le conjugué d un nombre complexe ) Imge dns le pln complexe ib vec ; b est le nombre complexe ib. 5 ) Conjugué d une somme Propriété, ' ' ' Le conjugué d une somme est égl à l somme des conjugués. b M Démonstrtion (ROC) M ' S M Ox b v O u M ' ib ; b ). ( ' ' ib' ' ; b' ) ( On : ' ' i b b' Pr suite,. ib ' i ' ' ' i b b' ' b ' ' 3 ) Propriété immédite : conjugué d un conjugué 4 ) Exemples 3 i 3 i 5i 5i ) Conjugué d un produit Propriété, ' ' ' Le conjugué d un produit est égl u produit des conjugués. Démonstrtion (ROC) On pose ib ; b ) et ' ' ib' ( On : ' ' bb' i b ' ' b. '; b' ). ( Donc ' ' bb' i b ' ' b.

7 Pr illeurs, ' bb' ib ' i b ' i b' ' ' ' b On en déduit que ' '. Générlistion Le conjugué d un produit d un nombre quelconque de fcteurs est égl u produit des conjugués. 7 ) Conjugué d une puissnce L propriété du produit permet d écrire : 0 donc 0 9 ) Conjugué d un quotient Propriété Propriété n * n n *, ' Démonstrtion (ROC) ' ' Démonstrtion (ROC) n... n fcteurs On pplique le résultt sur le produit. n... n... n n 8 ) Conjugué d un inverse Propriété * Démonstrtion (ROC) On :. Donc. On :. ' ' Pr conséquent, ' ' (propriété du conjugué d un produit) ' ' (propriété du conjugué d un inverse) ' ' ' ' 0 ) Expressions des prties réelle et imginire d un nombre complexe à l ide du conjugué Propriété Re Im i Dns l deuxième formule, on ne s étonner ps de l présence du i u dénominteur (bien que l on it dit qu une prtie imginire ne contient ps de i). L réponse est donnée dns l démonstrtion. 3 4

8 Démonstrtion (ROC) ) Récpitultif sur les conjugués On pose : On lors : ib donc ib donc ; b ). ( ib. b i ) Crctéristion des réels et des imginires purs à l ide du conjugué Propriété i Démonstrtion (ROC) Im 0 0 i 0 i Re Utilistion On se sert de cette propriété pour démontrer dns certins cs (bstrits) qu un nombre complexe est réel ou imginire pur (voir exercices). ib ; b ) ( ib ' ' ' ' n VIII. Équtions du second degré dns n ' ' Re Im i i ) Exemple : nombres complexes de crré donné (Cs prticulier) Résoudre dns l éqution 9 (). () 9 0 3i 0 3i 3i 0 (éqution produit nul ; on pplique l règle du produit nul) 3i ou 3i 5 6

9 (Cs générl) Résoudre dns l éqution ( réel fixé). er cs : 0 e cs : 0 3 e cs : 0 S ; S 0 ) Démonstrtion dns le cs générl, b, c sont trois réels tels que 0. Résoudre dns l éqution b c 0 (E). (E) b c 0 b c 0 b c b 0 b b 4c 0 4 On pose : b 4c. : ( 0 ) S i ; i N.B. : 0 er cs : 0 (E) e cs : 0 b ou b b ou b b (E) 0 b 0 b 3 e cs : 0 b (E) 4 b 4 0 L hypothèse «, b, c réels» entre en scène à prtir de mintennt. En effet, on peut dire que et, prtnt, que. 4 On se rccroche u prgrphe ). (E) b i ou b i b i ou b i 7 8

10 3 ) Règle 5 ) Fctoristion d un polynôme du second degré 3 0, b, c, 0 b c b 4c er b b cs : 0 L éqution dmet rcines réelles distinctes : et. e b cs : 0 L éqution dmet rcine réelle double : 0. 3 e b i b i cs : 0 L éqution dmet rcines complexes distinctes : et. Ces deux rcines sont conjuguées. 3 f b c (,, b c, 0) On note et les rcines distinctes ou confondues. f 6 ) Somme et produit des rcines b c 7 ) Complément : discriminnt réduit Ces formules restent vlbles dns le cs où, b, c sont des complexes tels que et 0. 4 ) Exercice Résoudre dns l éqution Considérons le polynôme Recensement des coefficients : ; b ; c Clcul du discriminnt b 4c On : 0 donc le polynôme dmet rcines complexes distinctes conjuguées : b i i 3 Soit S l ensemble des solutions de l éqution. i 3 i 3 S ; b i i 3 3 0, b, c, 0 b c On pose b b'. ' b' c (formule du discriminnt réduit) er b' ' b' ' cs : ' 0 L éqution dmet rcines réelles distinctes : et. e b' cs : ' 0 L éqution dmet rcine réelle double : 0. 3 e b' i ' b' i ' cs : ' 0 L éqution dmet rcines complexes conjuguées : et. On utilise ces formules lorsque b est un entier pir ; on obtient lors les expressions des solutions déjà simplifiées. 8 ) Utilistion d outils de clculs Sur clcultrice, utilistion d un progrmme ou du solveur d équtions (clcultrice TI 83 Premium CE, clcultrices Csio, clcultrices fisnt du clcul formel). Attention, dns le cs d un progrmme sur clcultrice, les solutions peuvent être données sous forme de vleurs pprochées et non en vleurs exctes. Les clcultrices possédnt un «bon» solveur d équtions donnent les solutions en vleurs exctes à l ide de rdicux. Progrmme sur clcultrice Modifier le progrmme de ère fin de tenir compte du cs 0 (vec i). 9 0

11 Sur logiciel de clcul formel en mode complexe. 9 ) Complément sur somme et produit des rcines : recherche de deux nombres connissnt l somme et le produit Étude de l condition nécessire et b sont deux complexes. et b sont solutions de l éqution b 0 b b 0 (on développe) 4 ) Propriété : ffixe d un vecteur défini pr deux points Énoncé A et A B B sont deux points quelconques de P. Le vecteur AB pour ffixe B A. AB B A Démonstrtion Conclusion : b b 0 S P (on réduit) AB B A AB x x x y y AB B ya et b sont solutions de l éqution S P 0 d inconnue vec S b et P b. Étude de l condition suffisnte S Si deux nombres sont solutions de l éqution S P 0, lors leur somme est égle à S (le u P dénominteur correspond u coefficient de ) et leur produit est égl à P. IX. Premières pplictions géométriques des nombres complexes ) Remrque préliminire Dns tout le prgrphe, on se plce dns le pln complexe muni d un repère orthonormé direct O, u, v. Il est intéressnt de souligner le chngement de cdre déjà bordé u début du chpitre. On v utiliser les nombres complexes pour résoudre des problèmes de géométrie. ) Définition de l ffixe d un vecteur x iy AB AB AB AB xb xa i yb ya x x AB iy iy AB B Exemple A 3i B B A A A B4 i Clculer l ffixe du vecteur AB. AB B A 4 i 3i AB i AB AB i À tout vecteur w de coordonnées crtésiennes x ; y on fit correspondre son ffixe x iy w x ; y w x u y v 3 ) Propriété : églité de vecteurs w. On écrit.... AB On se grde bien d écrire AB.... Un vecteur n est ps égl à un complexe. On trville vec des ffixes des points ; on ne repsse ps ux coordonnées. Le but du prgrphe est d pprendre à trviller vec des ffixes. w et w' sont deux vecteurs quelconques. w w' w w'

12 5 ) Propriété 3 : règles de clcul sur les ffixes Énoncé w et w' ' sont deux vecteurs quelconques. Le vecteur w w' pour ffixe '. Le vecteur w pour ffixe. w w' w w' w w Démonstrtion Très fcile, non fite ici. 6 ) Propriété 4 : ffixe du milieu d un segment Énoncé A A et B sont deux points quelconques de P. B A B Le milieu M du segment [AB] pour ffixe M. Démonstrtion M milieu de [AB] MA MB 0 A M B M 0 A B M 0 A B M Démonstrtion G brycentre des points pondérés (A ; ) et (B ; b) GA b GB 0 Générlistion - Pour trois points G : (A ; ), (B ; b), (C ; c) b c 0 G b c b c A B C - Pour n points G : A ;, A ;,..., A ; G in i Ai i in i i n n in i 0 ) i X. Applictions du pln complexe dns lui-même ) Définition b A G B G 0 A G bb bg 0 b b A B G b b A B G Une ppliction du pln complexe est une «fonction» de P (ou d une prtie de P) dns lui-même qui à tout M ' '. point M ssocie un point 7 ) Propriété 5 : ffixe d un brycentre Énoncé A et A B sont deux points quelconques de P. B et b sont deux réels tels que b 0. A bb Le brycentre G des points pondérés (A ; ) et (B ; b) pour ffixe G. b 3 Lorsque f est une bijection de P dns lui-même (c est-à-dire si tout point du pln dmet un unique ntécédent pr f), on dit que f est une trnsformtion du pln complexe. ) Exemple f : P P M M' ' vec ' Déterminer les ffixes des imges de A 3 et B i. 4

13 donc A' 9 A' A 3 9 donc B' i B' B i i 3 ) Vocbulire M' est ppelé l imge de M pr f. On écrit M L expression de f M'. ' en fonction de est ppelée l «expression complexe» de f. Les ntécédents d un point A pr f sont les points qui ont pour imge A pr f. On dit qu un point M du pln est invrint pr f lorsque M ' M c est-à-dire f M M (M est confondu vec son imge pr f). 3 ) Résultt dmis sns démonstrtion Nous dmettrons que tout nombre complexe dmet deux rcines complexes opposées. Ce résultt explique le pluriel employé dns le titre insi que le fit que le symbole de rcine crrée ne s emploie ps pour un nombre complexe. 4 ) Détermintion des rcines crrées d un nombre complexe sous forme lgébrique L méthode pour clculer «à l min» les rcines crrées ser étudiée dns le supérieur. Nous ne les utiliserons ps cette nnée. Les rcines crrées de nombres complexes sont hors progrmme, mis il est bon d voir quelques connissnces dessus pour ne ps commettre de bourdes. Les rcines crrées de nombres complexes sont utilisées dns l résolution des équtions du second degré à coefficients complexes. Pour déterminer les points invrints d une ppliction f, on doit résoudre l éqution Exemple : '. Pour l ppliction f donnée dns le prgrphe ), les points invrints sont les points d ffixes 0 et (solutions de l éqution ). 3 ) Applictions importntes du pln complexe L ppliction M L ppliction M M' L ppliction M M' M' est l symétrie orthogonle pr rpport à l xe des réels L ppliction M L ppliction M est l symétrie centrle pr rpport à l origine du repère. est l symétrie orthogonle pr rpport à l xe des bscisses. M ' Re est l projection orthogonle sur l xe des réels. M ' Im est l projection orthogonle sur l xe des imges. L ppliction M M ' i est l rottion de centre O et d ngle (qurt de tour direct de centre O). XI. Rcines crrées et nombres complexes ) Utilistion de l clcultrice Sur les clcultrices modèles TI, on peut obtenir un nombre complexe dont le crré est égl à un nombre complexe donné. Pr exemple, si on tpe sur l touche rcine puis 3 4i, on obtient i. Cel signifie que i u crré est égl à 3 4i. On peut vérifier ce résultt pr un clcul immédit. On dit que i est une (l rticle est fondmentl) rcine crrée du nombre 3 4i. ) Mise en grde sur l nottion On n emploie ps l écriture vec le symbole rdicl. L expliction est donnée dns le prgrphe suivnt. 5 6

14 Progrmme de résolution d une éqution du second degré à coefficients réels dns pour clcultrice TI Le Il fut mettre des prenthèses utour de A pour les priorités opértoires. : Prompt A,B,C : B 4AC D : Disp "DISCRIMINANT : ",D : If D 0 : Then : ( B (D)) /(A) Q : ( B+ (D))/(A) J : Disp "RACINES : " : Disp J,Q : End : If D 0 : Then : B/(A) G : Disp "RACINES : " : Disp G : End : If D 0 : Then : bi (ller dns mode et choisir bi ) : ( B+i ( D))/(A) Z : ( B-i ( D))/(A) Y : Disp "RACINES : " : Disp Z,Y : End Le Progrmme beucoup plus simple de résolution dns des équtions du second degré à coefficients réels On utilise le fit que l clcultrice en mode complexe donne une rcine crrée complexe de n importe quel nombre complexe. : Prompt A, B, C : bi (ller dns mode et choisir bi ) : B 4AC D : Disp "DISCRIMINANT : ",D : B D / A X : B D / A Y : Disp X,Y Ce progrmme mrche ussi pour les équtions du second degré à coefficients complexes. /!\ ux erreurs de signes on met un «petit» moins (-) lorsqu il s git du premier terme de l formule. on met un «grnd» moins lorsqu il s git de tous mes utres termes de l formule. 7 8

15 Le Résolution d une éqution du second degré vec l clcultrice TI-83 Plus.fr boîtier noir Aller dns «pps» Appliction choisir PlySmlt Choisir rcine d un polynôme Fire suivnt près voir rentré l éqution Fire résolution Résolution d une éqution du second degré dns les complexes vec l clcultrice TI-83 Premium CE Aller dns «pps» donc touche nde puis touche résol. Applictions choisir 8 : PlySmlt Menu principl choisir : rcine d un polynôme Choisir le degré (en générl ) puis sur l ligne RÉEL bi re^(i) choisir bi clter Fire suivnt (touche «grphe») Donner une vleur pour, b et c Fire résol (touche «grphe») Résolution d une éqution polynomile à coefficients réels dns les complexes sur l clcultrice TI-83 Plus.fr Attention les coefficients doivent être réels. Tper sur l touche «pps» violette Descendre le long des pplictions et chercher «PlySmlt» Tper deux fois sur l touche «entrer» pour entrer dns l ppliction Sélectionner l première fonction «poly root finder» Arriver dns le menu des réglges ; sélectionner dns «order» le degré du polynôme Sélectionner pr l suite si l on veut obtenir un résultt sous l forme réel ou sous l forme complexe (=+ib) Sélectionner le mode «norml» et le mode «degree» Dns l ligne de réglge «flot» on sélectionne le nombre de chiffres significtifs désirés Pour continuer ppuyer sur le bouton «grphe» situé en bs à droite de l écrn On rentre dns les cses ; ; 0 les coefficients réels. Pour résoudre ce polynôme on ppuie sur l touche «grphe». On obtient rcines complexes vec leur vleurs pprochées. Résolution d un polynôme de degré 4 vec l clcultrice TI-83 Premium CE Tper sur l touche seconde puis ppuyer sur l touche résol. Chercher l ppliction PlySmlt et l sélectionner. Choisir l première rubrique nommée «rcines d un polynôme» Sélectionner le degré 4 Puis ppuyer sur l touche «grph» Rentrer les vleurs de 4, 3,,, 0 (coefficients du polynôme) Appuyer de nouveu sur «grph» Les résultts s ffichent pour chque rcine. 9 Exemple : exercice 4 des complexes () 4 3 4x 3x x x 0 0 Avec : L résolution de l éqution pr l clcultrice donne l ffichge suivnt : x x i x i x

16 Le TI-83 Premium CE Pour une résolution de polynôme de degré 4, l clcultrice brre utomtiquement l cse Auto insi que réel. Le TI-83 Premium CE seconde résol 8 : PlySmlt : rcine d un polynôme Degré? solution cplx : bi ENTRER SUIVANT Coeffs : Résolution : Suivnt 3