Exercices du chapitre 7 avec corrigé succinct

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1 Eercices du chpitre 7 vec corrigé succinct Eercice VII. Ch7-Eercice Montrer qu une fonction constnte sur [,b] est étgée. Si f est une fonction constnte sur [,b], lors il eiste bien une subdivision de [,b], à svoir l subdivision = < = b, telle que f soit constnte sur chcun des sous-intervlles ] i, i [ de l subdivision. Eercice VII. Ch7-Eercice Soit f : [,] R l fonction définie pr f () = 3, si <,, si =,, si <. Montrer que cette fonction est étgée en donnnt u moins deu subdivisions dptées. L subdivision = < = < = convient. En effet, f est constnte, égle à 3 sur ],[ et constnte, égle à sur ],[. Toute subdivision plus fine convient ussi. C est le cs pr eemple de l subdivision = <.5 = < = < 4/3 = 3 < = 4. Eercice VII.3 Ch7-Eercice3 À l ide de l définition de l intégrle des fonctions étgées, clculer m dt (où m est un réel donné) et f (t)dt où f : [,] R est l fonction définie pr f () = 3, si <,, si =,, si <. L fonction constnte et égle à m sur tout son intervlle de définition est une fonction étgée. Nous l vons vu plus hut. Une subdivision dptée est l subdivision = < = b. Il en résulte que : f ()d = m( ) = m(b ). Nous vons ussi vu à l eercice précédent que l fonction f est étgée : nous vons même ehibé deu subdivisions dptées. Il en résulte que : f ()d = 3( ) + ( ) = 3( ) + 3( ) + ( 4 3 ) + ( 4 3 ) = 5. Notons que les vleurs de f u points de subdivisions ne joue ucun rôle dns le clcul de l vleur de l intégrle.

2 Eercice VII.4 Ch7-Eercice4 Soit f : [,b] R qui est nulle suf en un nombre fini de points. Montrer que f (t)dt =. Prenons comme subdivision ssociée à f, outre les points et b les points, en nombre fini, où f est non nulle. Alors, sur chque sous-intervlle ] i, i [ de cette subdivision, f est nulle, de sorte que son intégrle n f ()d = ( i i ) =, est nulle. i= Eercice VII.5 Ch7-Eercice5 Soient f une fonction étgée et λ un réel. Montrer, en utilisnt l définition, que λ R, on λf (t)dt = λ f (t)dt. Si f est constnte (égle à m i ) sur un sous-intervlle ] i, i [, λf l est ussi (elle est égle à λm i ). Toute subdivision dptée à f l est donc ussi à λf et l on : b n n (λf )()d = (λm i )( i i ) = λ m i ( i i ) = λ f ()d. i= i= Eercice VII.6 Ch7-Eercice6 Montrer que si deu fonctions étgées diffèrent en un nombre fini de points sur un intervlle [,b] elles ont l même intégrle sur cet intervlle. Les fonctions f et g ne différnt qu en un nombre fini de points, leur différence f g est nulle, suf en un nombre fini de points. Nous vons vu plus hut, que cel entrîne que son intégrle est nulle, soit : (f g )()d =, c est-à-dire f ()d = g ()d. Eercice VII.7 Ch7-Eercice7 Montrer qu une fonction intégrble sur un intervlle [,b] est bornée. Une fonction étgée sur [,b] ne prennt qu un nombre fini de vleurs est bornée. Or une fonction f intégrble sur [,b] est encdrée, pr définition, pr deu fonctions étgées, donc encdrée pr deu fonctions bornées sur [,b]. Elle est donc bornée sur [,b]. Eercice VII.8 Ch7-Eercice8 Soit f : [,b] R une fonction intégrble et u et U deu fonctions étgées telles que u f U. Déduire de l définition de l intégrle de f que u(t)dt f (t)dt U (t)dt. L fonction f étnt intégrble, son intégrle eiste et est définie pr : f ()d = inf U : f U U ()d = sup u :u f u()d, de sorte que l on bien u()d f ()d U ()d.

3 Eercice VII.9 Ch7-Eercice9 Démontrer l reltion de Chsles pour les fonctions intégrbles. (on s inspirer de l démonstrtion de cette propriété pour les fonctions étgées.) Soit c ],b[. Soit u une fonction étgée sur [,b]. Alors les fonctions u et u définies pr : { u(), pour c, u () =, pour c < b, {, pour c, u () = u(), pour c < b, sont clirement étgées. Soient f et f définies à prtir de f de l même mnière. Donnons nous un ε > quelconque. Alors, f étnt intégrble, il eiste deu fonctions étgées s et S telles que s f S et (S s)()d ε. Alors, nous voyons que s f S et (S s )()d ε, s f S et (S s )()d ε, ce qui montre que f et f sont intégrbles. Le résultt s en déduit ussitôt, puisque f = f + f. Eercice VII. Ch7-Eercice Soit l fonction f : [,] R telle que f (), [,]. Donner un encdrement pour f ()d. On les inéglités f, Nous vons montré dns le prgrphe (Fonction intégrble - définition) que d =, donc nous déduisons que : d = 4, 4 = d f ()d d = d =. Eercice VII. Ch7-Eercice Soit une fonction f définie pr f () =, si <,, si =,, si <. Cette fonction est-elle intégrble sur [,]? Clculer lors son intégrle. Sur [,[ / est intégrble, d intégrle /4. Sur ],], l fonction est intégrble, d intǵrle 3. L reltion de Chsle nous permet lors d ffirmer que l fonction f est intégrble sur [,], d intégrle 9/4.

4 Eercice VII. Ch7-Eercice Soit l fonction f définie pr f () = sin sur l intervlle [, π]. Pr quelle intégrle peut-on clculer l ire comprise entre l e des et le grphe de f? Cette ire est clculée pr l intégrle sin d = [ cos ] π =. Eercice VII.3 Ch7-Eercice3 Soit l fonction f définie pr f () = sur [,[ ],] et f () =. Cette fonction est-elle nulle sur [,]? Que vut f ()d? Nous vons pourtnt démontré que "si l intégrle d une fonction positive est nulle, cette fonction est nulle". Où est l contrdiction?. Non, cette fonction n est ps nulle sur l intervlle [,], puisqu elle est égle à u point =.. Son intégrle se clcule pr f ()d = f ()d + f ()d = + = 3. Non, il n y ps de contrdiction vec le théorème cité, cr l fonction f de l eercice n est ps continue. Si nous reprenons l démonstrtion du théorème, nous voyons que le point clé est que f () et pourtnt, il n eiste ps de sous-intervlle [ η, + η] où f soit non nulle en tout point. Eercice VII.4 Ch7-Eercice4 Montrer en reprennt l démonstrtion de l proposition (7..7) que, pour h <, on lim h, h Pour h négtif, nous pouvons écrire h +h h +h f ()d = h f ()d = f (). +h f ()d. Posons lors δ = h. Alors δ est positif et nous devons clculer l limite, lorsque δ > tend vers de δ δ f ()d. L démonstrtion se poursuit ensuite comme celle de l proposition 7..6, vec cette fois-ci les quntités m(δ) = min δ f () et M(δ) = m f (). δ Eercice VII.5 Ch7-Eercice5 Clculer t dt, t dt. Le théorème fondmentl de l nlyse nous permet d eprimer ces intégrles à l ide d une primitive de t. Il vient insi [ t t 3 ] dt = = De même [ t t 3 ] dt = =

5 Eercice VII.6 Ch7-Eercice6 Appliquer le premier théorème de l moyenne à sin d. Appliquer le deuième théorème de l moyenne à f ()sin d, où f est une fonction continue sur [,π] donnée.. sin d = πsin(θπ), vec θ ],[.. Comme l fonction sinus grde un signe constnt sur l intervlle [,π], nous pouvons utiliser le deuième théorème de l moyenne, ce qui donne f ()sin d = f (θ f π) sin d, vec θ f ],[. Enfin, nous vons déjà clculé cette dernière intégrle (eercice VII.), ce qui donne f ()sin d = f (θ f π). Eercice VII.7 Ch7-Eercice7 Donner l inéglité de Cuchy-Schwrtz lorsque l fonction f est constnte (f () = α, [,b]). L inéglité de Cuchy-Schwrz s écrit dns ce cs αg ()d ( ) ( ) α d g ()d d où soit, près simplifiction pr α b ( α b g ()d (b )α g ()d ) g ()d ( ) (b ) g ()d Eercice VII.8 Ch7-Eercice8. On suppose f croissnte sur un intervlle [,b], on définit h = b n, i = + ih, en s inspirnt du document B..5 sur l intégrbilité des fonctions monotones, donner deu fonctions étgées s n et S n telles s n f S n.. Clculer s n ()d, S n ()d, 3. En déduire une mjortion de l erreur correspondnte. (S n () s n ())d Donnons nous une subdivision de l intervlle [,b], en n sous-intervlles, à l ide de points i = + i (b )/n, i =,...,n. Nous construisons deu fmilles de fonctions étgées s n et S n, pr { [i, i+ [, s n () = f ( i ), s n (b) = f (b), { ]i, i+ ], S n () = f ( i+ ), S n () = f (), où i vrie de à n.

6 Les fonctions étgées s n et S n encdrent lors f et l on s n ()d = b n n i= f ( i ), S n ()d = b n n i= f ( i+ ), l intégrle de f est encdrée pr celles de s n et S n. On obtient une mjortion de l erreur pr s n ()d f ()d S n ()d (S n s n )()d = b (f (b) f ()), n (f s n ())d (S n s n )()d, (S n () f ())d (S n s n )()d Eercice VII.9 Ch7-Eercice9 En se servnt du théorème fondmentl de l nlyse clculer les intégrles sin d, n d, d, e d. sin d = ( cos π ) ( cos) =, n d = n+ n + n+ n + = n +, [ 5/ ] d = = e 5/ 5, d = lne ln = lne =. Eercice VII. Ch7-Eercice Clculer les intégrles ln d,. Posons u =, v = ln, d où u =, v = /. Il vient lors e d ln d = [ ln ] b d = b lnb ln (b ).. On fit deu intégrtions pr prties successives, ce qui donne e d = [ e ] b e d (.) = [ e ] b [e ] b + e d (.) = [ e e + e ] b (.3) = e b (b b + ) e ( + ). (.4)

7 Eercice VII. Ch7-Eercice Clculer les intégrles + d, Arctn Arctn d, + d.. L première intégrle se clcule pr chngement de vrible. Posons pour =, on t =, pour =, on t =. + d = t = ϕ() =, dt = d, dt + t = [ln + t ] = ln. L deuième intégrle s obtient en intégrnt pr prties. Posons u = et v = Arctn. Il vient u = et v = /( + ), d où Arctn d = [Arctn ] 3. L troisième intégrle s obtient pr chngement de vrible. Posons t = ϕ() = Arctn(), + d = π 4 ln pour =, on t =, pour =, on t = π 4. dt = d +, Arctn 4 + d = tdt = π 3. Eercice VII. Ch7-Eercice Clculer l dérivée de l fonction ln.. Lorsque est positif, ln = ln. S dérivée est donc /.. Lorsque est négtif, ln = ln( ). S dérivée est donc ( )/( ) = /. Eercice VII.3 Ch7-Eercice3 Démontrer le corollire (7.3.).. (i) On écrit que b b =, de sorte que lnb + ln = ln. b. (ii) Pr récurrence. ln( i ) = ln = ln i. i= Supposons l proposition vrie pour q, lors q+ ln( i= q q i ) = ln(( i ) q+ ) = i= i= i= q+ ln i + ln q+ = i= ln i.

8 3. (iii) On utilise ce qui précède vec i =,i =,..., p. 4. (iv) Si p est négtif, p = q, p = q, donc 5. (v) Il suffit de poser = q q donc 6. (vi) Si Q, = p q, lors = p p, q = q donc ln p = ln q = q ln = p ln ln = q ln q. ln = p ln q = p ln = ln q Eercice VII.4 Ch7-Eercice4. Pour réel positif, p et q entiers, on définit l fonction /q comme étnt l fonction réciproque de l fonction q. Montrer que p q = ( p ) Déf q = p q. Montrer que ep( p q ) = e p q.. { p } q q = pq { q = q } p { } q = p = ( p ) q q, d où l on déduit pr pssge à l fonction réciproque p q = ( p ) q,. ce qui permet de donner un sens à l epression p/q. lnep( p q ) = p q = p q lne = lne p q Eercice VII.5 Ch7-Eercice5 Soient et deu réels.. Montrer que. En déduire pr dérivtion que ch( + ) = ch ch + sh sh. sh( + ) = ch sh + sh ch.. On développe le second membre en remplçnt les cosinus et sinus hyperboliques pr leurs epressions en fonction de e, e, e et e.. Il suffit de dériver pr rpport à l reltion précécente.

9 Eercice VII.6 Ch7-Eercice6 Soit un réel strictement positif, et y deu réels quelconques, montrer que +y = + y, y = ( ) y = ( y )... +y = e (+y)ln = e ln +y ln = e ln e y ln = y ( ) y = (e ln ) y = e y ln(e ln ) = e y ln = y. Eercice VII.7 Ch7-Eercice7 Récpituler, les etensions successives de l fonction α, étnt un réel positif et α étnt un entier positif, un entier négtif, un rtionnel, un réel.. Pour m entier positif ou nul, on pose =, puis m+ = m.. Pour m entier négtif, on pose m = / m. 3. Pour m entier, on définit /m comme fonction réciproque de m. 4. Pour r = p/q, rtionnel, on définit r, comme epliqué dns l eercice VII Pour y réel, on définit y pr e ln y. À chque étpe, on vérifie que. L nouvelle définition est une etension des précédentes, c est-à-dire, pr eemple, que pour α = r, l définition de α, pour α réel, redonne bien r pour r rtionnel.. Les règles de clcul sont bien conservées, c est-à-dire que α+β = α β, ( α ) β = αβ, α = α.