Exercices Mathématiques Discrètes : Relations

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1 Exeries Mthémtiques Disrètes : Reltions Reltions inires R1 Soient A = {0, 1, 2, 3, 4} et B = {0, 1, 2, 3} deux ensemles. Erire expliitement les ouples (, ) R où (, ) R si et seulement si : =, + = 4, <, pgd(, ) = 1, ppm(, ) = 2, divise. R2 Déterminer si les reltions suivntes, définies sur un ensemle de personnes, sont réflexives, symétriques, ntisymétriques et/ou trnsitives. () (, ) R 1 ssi est plus grnd que. () (, ) R 2 ssi et sont nés le même jour. () (, ) R 3 ssi le même prénom que. (d) (, ) R 4 ssi et ont un grnd-prent ommun. R3 Déterminer si les reltions suivntes, définies sur R, sont réflexives, symétriques, ntisymétriques et/ou trnsitives. () (, ) R 1 ssi + = 0. () (, ) R 2 ssi Q. () (, ) R 3 ssi 0. (d) (, ) R 4 ssi ( = 1) ( = 1). R4 Déterminer si les reltions suivntes, définies sur Z, sont réflexives, symétriques, ntisymétriques et/ou trnsitives. () (, ) R 1 ssi = 2. () (, ) R 2 ssi 7. () (, ) R 3 ssi + 1 =. (d) (, ) R 4 ssi = 0. R5 Soit A = {1, 2, 3, 4, 5} un ensemle et R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 1)} une reltion sur A. Cluler R 2, R 3, R 4 et R 5. En déduire R n, pour n 1. Représenter R, R 2 pr un grphe et R 3 pr une mtrie. R6 Prouver que si R est une reltion réflexive (resp. symétrique), lors R n (n 1) est églement réflexive (resp. symétrique). R7 Soit A un ensemle et R A 2 une reltion inire sur A. On dit que R est irréflexive si et seulement si pour tout élément A, n est ps en reltion ve lui-même. () Donner un exemple de reltion irréflexive sur Z. () Toute reltion non réflexive est-elle irréflexive? Justifier. () Si R est irréflexive, R 1 est-elle irréflexive? Justifier. (d) Si R est irréflexive, R n est-elle irréflexive quel que soit n 1? Justifier. 1

2 (Exmen juin 2008) R8 Soit 2 Z l ensemle des prties de Z et R 1 l reltion inire définie pr : R 1 = {(X, Y ) 2 Z 2 Z il existe f : X Y injetive}. () Soit X 1 = {x Z x 3 1}, trouvez Y 1 2 Z tel que Y 1 X 1 et (Y 1, X 1 ) R 1. () Soit X 2 = {x Z x 5 2}, trouvez Y 2 2 Z tel que Y 2 X 2 et (X 2, Y 2 ) R 1. () L reltion R 1 est-elle (i) réflexive? (ii) trnsitive? (iii) symétrique? (iv) ntisymétrique? (Exmen juin 2010) Reltions fontionnelles Rf1 Prmi les reltions suivntes, lesquelles sont fontionnelles? () {(x, y) R 2 y = x }. () {(x, y) R 2 x = y }. () {(x, y) R 2 x y = 1}. (d) {(x, y) R 2 3x + 2y = 7}. Rf2 Donner un exemple de reltion fontionnelle sur N qui est réflexive. Rf3 Donner un exemple de reltion fontionnelle sur N qui est symétrique. Reltions d équivlene Re1 Prmi les reltions suivntes sur {1, 2, 3}, lesquelles sont des reltions d équivlene? () R 1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}. () R 2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}. () R 3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}. (d) R 4 = {(1, 1), (3, 3), (1, 3), (3, 1)}. (e) R 5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)}. Re2 Prmi les reltions inires sur un ensemle de personnes de l exerie R2, lesquelles sont des reltions d équivlene? Re3 Prmi les reltions inires sur R de l exerie R3, lesquelles sont des reltions d équivlene? Re4 Prmi les reltions inires sur Z de l exerie R4, lesquelles sont des reltions d équivlene? Re5 Dérire l prtition engendrée pr l reltion d équivlene sur Z définie pr R = {(, ) 5 }. Re6 Prouver que si R est une reltion d équivlene, est ussi le s de R 1. 2

3 Re7 Représenttion des rtionnels. Pour éviter de représenter le rtionnel 1 pr , 3 on peut l enoder vi le ouple (1, 3). Cependnt, ette représenttion omporte un inonvénient. En effet, pr exemple, les ouples (1, 3) et (2, 6) représentent le même rtionnel ( 1 = 2). Donner une reltion d équivlene sur Z N qui permet de régler e prolème. Que représente lors le quotient de Z N 0 pr ette reltion d équivlene? Re8 Soit A = Z 2 et R l reltion inire sur Z 2 définie pr : R = {(( 1, 1 ), ( 2, 2 )) = }. () Prouver que R est une reltion d équivlene. () Représenter l lsse d équivlene de (1, 1). () Cluler le quotient de Z 2 pr R. Re9 Soit A = R 2 et R l reltion inire sur R 2 définie pr : R = {((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) x 1 y 1 = x 2 y 2 }. () Prouver que R est une reltion d équivlene. () Représenter l lsse d équivlene de (0, 0). () Représenter l lsse d équivlene de (1, 1). (d) Cluler le quotient de R 2 pr R. Re10 Soit A = R[x] l ensemle des polynômes à oeffiients réels, défini pr : R[x] = { n x n n N et i R pour 0 i n}. () On onsidère l reltion inire R 1 sur R[x] définie pr : R 1 = {(p 1, p 2 ) p 1 (0) = p 2 (0)}. i. Prouver que R 1 est une reltion d équivlene. ii. Cluler le quotient de R[x] pr R 1. () On onsidère l reltion inire R 2 sur R[x] définie pr : R 2 = {(p 1, p 2 ) p 1 (i) = p 2 (i), où i 2 = 1}. i. Prouver que R 2 est une reltion d équivlene. ii. Cluler le quotient de R[x] pr R 2. Re11 On onsidère l reltion inire R 1 Z 2 définie pr (, ) R 1 si et seulement si 2 = 2. () Prouver que R 1 est une reltion d équivlene sur Z. () Cluler l lsse d équivlene de 0 pour R 1. () Cluler l lsse d équivlene de 2 pour R 1. (d) Cluler le quotient de Z pr R 1. (Exmen juin 2009) 3

4 Re12 L reltion R 2 = {(X, Y ) X, Y N et X Y } est-elle une reltion d équivlene sur les prties de N? (Exmen oût 2009) Re13 Soit F = {f : R R}. Pour tout f, g F, on définit l reltion inire sur F de l fçon suivnte : f g A N, x R ( x > A f(x) = g(x)). () Donnez deux fontions f, g F telles que f g et f g. () L reltion est-elle une reltion d équivlene sur F? (Exmen juin 2010) Re14 Déidez si l ffirmtion suivnte est vrie ou fusse. (Exmen oût 2010) L reltion inire R Z 2 définie pr R 1 = {(, ) Z 2 tel qu il existe p premier où p et p } est une reltion d équivlene. Re15 Soit S l ensemle des fontions de Z dns Z, i.e. S = {f : Z Z}. Et R 2 S 2 l reltion inire définie pr : (f, g) R 2 si et seulement si {x Z f(x) g(x)} est fini. () Donnez deux fontions f g S telles que (f, g) R 2. () Prouvez que R 2 est une reltion d équivlene sur S. () Soit f 0 l fontion définie pr f 0 (x) = 0 pour tout x Z. On note [f 0 ] l lsse d équivlene de f 0 pour R 2. Prouvez qu il existe une fontion injetive F : Z [f 0 ]. (Exmen oût 2010) Reltions d ordre Ro1 Prmi les reltions suivntes sur {1, 2, 3}, lesquelles sont des reltions d ordre? () R 1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}. () R 2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 3)}. () R 3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3)}. (d) R 4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)}. (e) R 5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}. Ro2 Soit (A, R) est un ensemle ordonné, prouver que (A, R 1 ) est un ensemle ordonné. Ro3 Trouver deux éléments omprles et deux éléments inomprles dns les deux ensemles prtiellement ordonnés i-dessous : (2 {0,1,2}, ) ; ({1, 2, 4, 6, 8}, ). Ro4 Soit R une reltion inire sur N 2 définie pr : ( 1, 1 )R( 2, 2 ) si et seulement si ( 1 2 ) ( 1 2 ). Prouver que R est un reltion d ordre sur N 2. Cette reltion d ordre est-elle totle? Justifier. Représenter l ensemle des ouples (, ) N 2 tels que (, )R(3, 4), insi que l ensemle des ouples (, ) N 2 tels que (3, 4)R(, ). 4

5 Ro5 A hque nturel n N, on peut ssoier son ériture en se 2 (pr exemple 5 = (101) 2 ). On suppose 0 < 1, lsser selon l ordre lexiogrphique les éléments suivnts : 0, 01, 101, 1101, 1011, 1001, 1000, Assoier à hque élément i-dessus le nturel qu il représente en se 2. Comprer l ordre nturel sur N et l ordre lexiogrphique sur les représenttions en se 2 des nturels. Ro6 Trer les digrmmes de Hsse des ensemles ordonnés i-dessous : ({1, 2, 3, 4, 5, 6}, ) ; ({2, 3, 5, 7, 11}, ) ; ({1, 2, 4, 8, 16}, ) ; ({1, 3, 5, 7, 15, 30, 35}, ). Ro7 Répondre ux questions suivntes pour hun des ordres prtiels représentés pr les digrmmes i-dessous : 1. Trouver les éléments mximux. 6. Trouver le supremum de {,, }. 2. Trouver les éléments minimux. 7. Trouver les ornes inf. de {f, g, h}. 3. Existe-t-il un mximum? 8. Trouver l infimum de {f, g, h}. 4. Existe-t-il un minimum? 9. Trouver les ornes sup. de {f, g, h}. 5. Trouver les ornes sup. de {,, }. 10. Trouver le supremum de {f, g, h}. l m l m l m j k j k j k i h g d e f i h g d e f i h g d e f Ro8 Donner un ensemle ordonné ve un mximum mis ps de minimum. Ro9 Déterminer si (N 0, ) un mximum? un minimum? Ro10 Déterminer si les digrmmes de Hsse i-dessous représentent un treillis. j g h h f f g f g d e d e d e 5

6 Ro11 Déterminer si les ensemles ordonnés suivnts sont des treillis : ({1, 3, 6, 9, 12}, ) ; ({1, 5, 25, 125}, ) ; (Z, ). Ro12 Prouver que tout sous-ensemle fini non vide d un treillis un infimum et un supremum. Ro13 Prouver que si (A, R) est un treillis, lors (A, R 1 ) est ussi un treillis. Ro14 Prouver que tout ordre totl est un treillis. Ro15 Prouver que tout treillis fini un mximum et un minimum. Ro16 Donner un exemple de treillis infini sns mximum, ni minimum. Ro17 Donner un exemple de treillis infini ve un mximum et sns minimum. Ro18 Donner un exemple de treillis infini sns mximum mis un minimum. Ro19 Donner un exemple de treillis infini ve un mximum et un minimum. Ro20 Vérifier que N 2 muni de l ordre lexiogrphique forme un ensemle ien ordonné. Ro21 Trouver un ordre totl omptile ve l ordre de division sur {1, 2, 3, 6, 8, 12, 24, 36}. Ro22 Trouver un ordre totl omptile ve les ordres donnés pr les digrmmes de Hsse de l question Ro10. Ro23 Soit A un ensemle et A 2 une reltion inire sur A. On dit que est un pré-ordre sur A si elle est réflexive et trnsitive. () Donner un exemple de pré-ordre qui n est ps un ordre. () Soit A un ensemle et un pré-ordre sur A. Prouver que l reltion inire définie i-dessous est une reltion d équivlene sur A : = {(, ) ( ) ( )}. () On définit l reltion inire sur le quotient de A pr de l fçon suivnte : [] [] si et seulement si. Prouver que est ien définie (i.e. x [], y [] ([] []) (x y)). (d) Prouver que est une reltion d ordre sur le quotient de A pr. Ro24 Représenter le digrmme de Hsse d un ensemle ordonné fini qui possède un minimum mis ps de mximum et qui possède trois éléments 1, 2, 3 tels que sup{ 1, 2, 3 } n existe ps. Un tel ensemle peut-il être un treillis? (Exmen juin 2008) Ro25 Soit C = {f : R R dom(f) = R} et R l reltion inire définie pr : R = {(f, g) C C x R f(x) g(x)}. () Donner deux fontions f, g C telles que (f, g) R. () Prouver que R est une reltion d ordre sur C. () R est-elle une reltion d ordre totle? (Exmen juin 2008) 6

7 Ro26 Trer le digrmme de Hsse de (2 {2,3,5}, ). (Exmen juin 2009) Ro27 Soit C = {f : R R dom(f) = R} et R 2 l reltion inire définie pr : R 2 = {(f, g) C C x Z f(x) g(x)}. () Donner deux fontions f, g C telles que (f, g) R 2. () R 2 est-elle une reltion d ordre sur C? (Exmen juin 2009) Ro28 Déterminer si l reltion inire R 3 Z 2 Z 2 définie i-dessous est une reltion d ordre : (Exmen juin 2009) ( 1, 1 )R 3 ( 2, 2 ) si et seulement si ( 1 2 ) ou ( 1 2 ). Ro29 Déider si l ffirmtion suivnte est vrie ou fusse. Justifier. Soit A un ensemle, un pré-ordre sur A est une reltion inire réflexive et trnsitive. Tout pré-ordre sur A est ussi un ordre sur A. (Exmen juin 2009) Ro30 L reltion R 1 = {(x, y) R 2 x 2 y 2 } définit-elle un ordre sur R? (Exmen oût 2009) Ro31 Soit E = {0, 1} 3 et R 3 une reltion inire sur E définie pr : ( 1, 1, 1 )R 3 ( 2, 2, 2 ) si et seulement si 1 2 et 1 2 et 1 2. () Prouver que R 3 est un ordre sur E et trer le digrmme de Hsse de (E, R 3 ). () L ensemle ordonné (E, R 3 ) possède-t-il un mximum? (Exmen oût 2009) Ro32 Si X est un ensemle fini, on note 2 X l ensemle des prties de X. Etnt donné A 2 X, on note A le nomre d éléments de A. Soit R X 2 X 2 X l reltion inire définie pr : (A, B) R X si et seulement si A B, où A, B 2 X. Déidez si les ffirmtions suivntes sont vries ou fusses. () Quel que soit X ensemle fini, l reltion R X est une reltion d ordre. () Quel que soit X ensemle fini, l reltion R X n est ps une reltion d ordre. () Quel que soit X ensemle fini, l reltion R X n est ps une reltion d équivlene. (Exmen juin 2010) Ro33 Soit l ensemle E = {0, 1, 2}, on munit E 2 de l reltion inire R 2 définie pr : R 2 = {( ( 1, 1 ), ( 2, 2 ) ) E 2 E et 1 2 }. () Prouvez que l reltion R 2 est une reltion d ordre sur E 2. () Trez le digrmme de Hsse de (E 2, R 2 ). (Exmen juin 2010) 7

8 Ro34 Soit Σ = {, }. Un mot fini de longueur n sur Σ est une fontion w : {0,..., n 1} Σ. Dns e s, on note Dom(w) l ensemle {0,..., n 1} et Σ l ensemle des mots finis sur Σ. Un mot infini sur Σ est une fontion w : N Σ. Dns e s, on note Dom(w) l ensemle N et Σ ω l ensemle des mots infinis sur Σ. On dir qu un mot w 1 (fini ou infini) est un sous-mot d un mot w 2 (fini ou infini) si et seulement si les deux onditions suivntes sont stisfites : Dom(w 1 ) Dom(w 2 ) ; il existe F : Dom(w 1 ) Dom(w 2 ) telle que F est stritement roissnte 1 et w 1 (n) = w 2 (F (n)), pour tout n Dom(w 1 ). On note w 1 w 2 si w 1 est un sous-mot de w 2. () On onsidère les mots finis w 1 : {0,..., 3} Σ et w 2 : {0,..., 5} Σ définis i-dessous. { { si n = 0, 1 si n = 0, 2, 4 w 1 (n) = ; w 2 (n) = si n = 2, 3 si n = 1, 3, 5 Le mot w 1 peut être représenté pr l suite w 1 (0)... w 1 (3) = et le mot w 2 pr l suite w 2 (0)... w 2 (5) =. Montrer que w 1 est un sous-mot de w 2 (i.e., w 1 w 2 ). () Donner (si possile) un mot fini w 1 Σ et un mot infini w 2 Σ ω tels que w 1 w 2. () Donner (si possile) un mot infini w 1 Σ ω et un mot fini w 2 Σ tels que w 1 w 2. (d) L reltion est-elle un ordre sur Σ? Si oui, s git-il d un ordre totl? Si non, trouver un sous-ensemle infini de Σ ordonné pr. (e) L reltion est-elle un ordre sur Σ ω? Si oui, s git-il d un ordre totl? Si non, trouver un sous-ensemle infini de Σ ω ordonné pr. (f) On note ω (resp. ω ) le mot infini w : N Σ tel que w(n) = (resp. ) pour tout n N. On note () ω le mot infini w : N Σ tel que w(n) = si n est pir et w(n) = si n est impir. L reltion est-elle un ordre sur l ensemle X = {,, ω, ω, () ω }? Si oui, trer le digrmme de Hsse ssoié à (X, ). Si non, donner un sous-ensemle de X, ontennt 3 éléments, sur lequel est un ordre. On note w 1 w 2 si et seulement si w 1 w 2 et w 2 w 1. (g) L reltion est-elle une reltion d équivlene sur Σ? Si oui, luler l lsse d équivlene du mot. Si non, donner un sous-ensemle infini de Σ sur lequel est une reltion d équivlene. (h) L reltion est-elle une reltion d équivlene sur Σ ω? 1. On dit qu une fontion f : N N est stritement roissnte si et seulement si x, y N x < y f(x) < f(y). 8

9 Si oui, déterminer si l lsse d équivlene du mot ω est finie ou infinie. Si non, donner un sous-ensemle infini de Σ ω sur lequel est une reltion d équivlene. (Exmen juin 2011) Ro35 On fixe U = P(N) (l ensemle des sous-ensemles de N) omme espe universel (ussi ppelé espe mint). On définit les qutre ensemles suivnts : A = {X N tq n N X n}, B = A, C = {X N tq X A}, D = {{x N tq 0 x n} tq n N}. On définit églement deux reltions inires R 1, R 2 U U : XR 1 Y ssi il existe une injetion f : X Y, XR 2 Y ssi il existe une ijetion f : X Y. Déterminez si les ffirmtions suivntes sont vries ou fusses. () L ensemle B est inlus à l ensemle C. () L ensemle C est inlus à l ensemle B. () L formule x N X C x X est une tutologie. (d) Il existe une fontion injetive F 1 : N A. (e) Il existe une fontion injetive F 2 : N B. (f) R 1 est une reltion réflexive et trnsitive sur U. (g) R 2 est une reltion réflexive et trnsitive sur U. (h) R 1 est une reltion d équivlene sur A. (i) R 2 est une reltion d équivlene sur B. (j) R 1 est une reltion d ordre sur D. (k) R 2 est une reltion d ordre sur A. (l) R 2 est une reltion d ordre sur B. (Exmen oût 2011) 9