2.1 L'automate minimal

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1 CH.2 Minimistion 2.1 L'utomte miniml 2.2 L'lgorithme de minimistion Automtes ch L'utomte miniml Le lngge L définit sur Σ* l reltion d'équivlence R L : x R L y ssi ( z, xz L yz L). L'AFD M définit sur Σ* l reltion d'équivlence R M : x R M y ssi δ(q 0, x) = δ(q 0, y). Une reltion R est invrinte à droite si x R y ( z, xz R yz). L'indice de R est le nomre de clsses d'équivlence de R. Automtes ch2 2

2 Lemme : Les reltions R L et R M sont invrintes à droite. Démonstrtion : fcile. Lemme : L reltion R M est d'indice fini. Démonstrtion : les clsses d'équivlence de R M sont en ijection vec les étts de M. Théorème : Equivlence entre 1. L est ccepté pr un AFD ; 2. L est réunion de clsses d'équivlence d'une reltion invrinte à droite d'indice fini ; 3. L reltion R L est d'indice fini. Automtes ch2 3 Démonstrtion : Soit M un AFD cceptnt L. Alors R M est invrinte à droite et L est réunion des clsses de R M correspondnt ux étts terminux de M Supposons que L est réunion de clsses de R d'indice fini. Montrons que x R y x R L y. Si x R y, on xz R yz (invrince à droite). Les mots xz et yz sont donc dns l même clsse de R. Soit cette clsse est une des clsses qui constitue L, uquel cs xz et yz sont tous deux dns L, soit ce n'est ps le cs et ni xz ni yz ne sont dns L. Dns tous les cs, et quel que soit z, on xz L yz L. Donc x R L y. On en déduit qu'une clsse de R est incluse dns une clsse de R L. Chque clsse de R L est donc réunion de clsses de R. R L est donc d'indice fini. Automtes ch2 4

3 3. 1. R L est d'indice fini. Notons c 0 l clsse de ε et c 1,,c n les utres clsses. Définissons δ(c i, ). Pour cel soit x un mot dns c i. Posons δ(c i, ) = l clsse de x. Il fut vérifier que cette clsse ne dépend ps du choix de x. Ceci résulte de l'invrince à droite de R L. L fonction δest donc définie. Disons mintennt que c k est terminl si tous les mots de c k sont dns L. (Si un élément de c k est dns L, lors tous le sont, cr R L est invrinte à droite pr ε.) On insi défini un utomte fini M. Montrons que M ccepte L. On étlit pr récurrence sur x que δ(c 0, x) = l clsse de x, disons c k. On donc x L(M) δ(c 0, x) = c k terminl x L. Ceci chève l démonstrtion du théorème. Automtes ch2 5 Théorème de Myhill-Nerode : Soit L un lngge reconnissle. Prmi tous les AFD reconnissnt L, il en existe un et un seul (u nom des étts près) qui un nomre minimum d'étts. Cet utomte est l'utomte miniml de L. Démonstrtion : Soit M un utomte ynt un nomre minimum d'étts et M L l'utomte construit à prtir de R L. On vu que les étts de M L sont les clsses de R L ; d'utre prt, les clsses de R L sont réunion de clsses de R M, qui correspondent elles-mêmes ux étts de M. On voit que le nomre d'étts de M L est inférieur u nomre d'étts de M. Puisque le nomre d'étts de M est minimum, il y églité. Chque étt de R L est en ijection vec un étt de M. Vérifions que les trnsitions sont identiques. Automtes ch2 6

4 Soit c i dns M L qui correspond à q i, dns M. Soit x un mot dns l clsse c i de R L ; il est donc dns l clsse ssociée à q i pour R M. C'est-à-dire δ(q 0, x) = q i dns M. On, dns M, δ(q i, ) = δ(q 0, x) = étt ssocié à l clsse de x pour R M. On de même, dns M L, δ(c i, ) = clsse de x pour R L. Puisque l clsses de R M et de R L coïncident, δ(q i, ) et δ(c i, ) sont deux étts correspondnts des utomtes M et M L. Les deux utomtes sont donc identiques, u numérotge près. Remrque : On montré l'existence et l'unicité de l'utomte miniml. L démonstrtion n'est ps imméditement convertile en un lgorithme. Automtes ch L'lgorithme de minimistion Soit M un utomte déterministe reconnissnt L. Supposons que les étts de M sont tous ccessiles. Les étts de M L correspondent ux clsses de R L. Celles-ci sont réunion de clsses de R M, qui correspondent ux étts de M. Les étts de M L peuvent donc être vus comme des réunions de clsses de R M, et donc comme "fusion" d'étts de M. Plus précisément, deux clsses de R M correspondnt ux étts q i et q j sont composntes de l même clsse de R L lorsque, étnt donnés x et y tels que δ(q 0, x) = q i et δ(q 0, y) = q i, z, xz L yz L, soit de fçon équivlente, z, δ(q i, z) F δ(q j, z) F. Automtes ch2 8

5 On définit donc sur les étts de M une reltion d'équivlence, l'indistingilité en disnt que q i q j ssi ( z, δ(q i, z) F δ(q j, z) F). Donc, q i et q j sont distingles s'il existe z tel que des deux étts δ(q i, z) et δ(q j, z), l'un est terminl et ps l'utre. On peut définir l distingilité de mnière récursive : Les étts q i et q j sont distingles - si l'un est terminl et ps l'utre ou - s'il existe une lettre telle que δ(q i, ) et δ(q j, ) sont distingles. Les étts indistingles sont ceux qui fusionnnent en un unique étt de l'utomte miniml M L. Automtes ch2 9 On construit donc les pires d'étts dinstingles à prtir des étts terminux et non terminux : Au déprt, les pires {terminl, non terminl} sont mrquées D. Les pires mrquées D sont plcées dns un ts (ou une file). On dépile l première pire. S'il existe une lettre et une pire d'étts non encore mrquée qui devient distingle pr, on mrque cette pire et on l'empile. On itère jusqu'à ce que l pile soit vide. Les pires mrquées sont exctement les pires distingles. L'lgorithme est celui de Moore. Automtes ch2 10

6 Théorème : L complexité de l'lgorithme de Moore est O(kn 2 ), où k est le crdinl de l'lphet et n le nomre d'étts de M. Démonstrtion : Dns l pile, chque pire d'étts est empilée u plus une fois. Pour chque pire dépilée {q i, q j }, on exmine pour chque lettre les pires d'étts {q r, q s } tels que δ(q r, ) = q i et δ(q s, ) = q j. Si f(i, ) est le nomre de trnsitions pr rrivnt en q i, on exmine u mximum Σ f(i,) f(j, ) pires d'étts pr pire dépilée. On exmine en tout u mximum : i < j Σ f(i,) f(j, ) i, j Σ f(i,) f(j, ) = Σ ( i f(i,)) 2. Comme M est déterministe, le nomre de trnsitions sur vut n : i f(i,) = n, d'où le résultt. On peut descendre à une complexité en O(kn log n) en gérnt plus stucieusement l'exmen des trnsitions. Automtes ch2 11 Exemple : 0 1 D 2 D D 3 D D 4 D D D D 5 D D D D D 6 D D D D D Automte miniml : 0,3 1, Automtes ch2 12